Систолическая геометрия

Форма дифференциальной геометрии

Геодезическая линия на футбольном мяче , иллюстрирующая доказательство гипотезы Громова о площади заполнения в гиперэллиптическом случае (см. пояснение ниже).

В математике систолическая геометрия — это изучение систолических инвариантов многообразий и многогранников , первоначально задуманных Чарльзом Левнером и развитых Михаилом Громовым , Майклом Фридманом , Питером Сарнаком , Михаилом Кацем , Ларри Гутом и другими, в ее арифметических , эргодических и топологические проявления. См. также Введение в систолическую геометрию .

Понятие о систоле

Кратчайшая петля на торе

Систола компактного метрического пространства X — это метрический инвариант X , определяемый как наименьшая длина несжимаемой петли в X ( т. е. петли, которую нельзя стянуть до точки в окружающем пространстве X ) . Говоря более техническим языком, мы минимизируем длину свободных циклов , представляющих нетривиальные классы сопряженности в фундаментальной группе X. Когда X является графом , инвариант обычно называют обхватом , начиная со статьи 1947 года об обхвате У.Т. Тутте . ^[1] Возможно, вдохновленный статьей Тутте, Лёвнер начал задумываться о систолических вопросах на поверхностях в конце 1940-х годов, что привело к написанию в 1950 году диссертации его ученика Пао Мин Пу . Сам термин «систола» был придуман лишь четверть века спустя Марселем Бергером .

Дальнейший толчок этому направлению исследований, по-видимому, дало замечание Рене Тома в беседе с Бергером в библиотеке Страсбургского университета в 1961/62 учебном году, вскоре после публикации статей Р. Акколы и К. Блаттер. Говоря об этом систолическом неравенстве, Том, как сообщается, воскликнул: « Mais c'estfoundal!» [Эти результаты имеют фундаментальное значение!]

Впоследствии Бергер популяризировал эту тему в серии статей и книг, последняя из которых — в мартовском выпуске «Извещений Американского математического общества» за 2008 год (см. ссылку ниже). Библиография на сайте по систолической геометрии и топологии в настоящее время содержит более 160 статей. Систолическая геометрия — быстро развивающаяся область, имеющая ряд недавних публикаций в ведущих журналах. Недавно (см. статью Каца и Рудяка 2006 г. ниже) появилась связь с категорией Люстерника – Шнирельмана . Существование такой связи можно рассматривать как теорему систолической топологии .

Свойство центрально-симметричного многогранника в трехмерном пространстве

Каждый выпуклый центрально-симметричный многогранник P в R ³ допускает пару противоположных (антиподальных) точек и соединяющий их путь длины L, лежащий на границе ∂ P полиэдра P , удовлетворяющий условию

${\displaystyle L^{2}\leq {\frac {\pi }{4}}\mathrm {area} (\partial P).}$

Альтернативная формулировка заключается в следующем. Любое центрально-симметричное выпуклое тело с площадью поверхности A можно протиснуть в петлю длиной , при этом наиболее плотное прилегание достигается с помощью сферы. Это свойство эквивалентно частному случаю неравенства Пу (см. ниже), одного из самых ранних систолических неравенств. ${\displaystyle {\sqrt {\pi A}}}$

Концепции

Чтобы дать предварительное представление о характере поля, можно сделать следующие наблюдения. Основная идея цитированного выше замечания Тома Бергеру заключается в следующем. Всякий раз, когда кто-либо сталкивается с неравенством, связывающим геометрические инварианты, такое явление само по себе интересно; тем более, когда неравенство точное (т.е. оптимальное). Хорошим примером является классическое изопериметрическое неравенство .

Тор

В систолических вопросах о поверхностях особенно важную роль играют интегрально-геометрические тождества. Грубо говоря, имеется интегральная область, связывающая тождество, с одной стороны, и среднее значение энергий подходящего семейства петель, с другой. Согласно неравенству Коши – Шварца энергия является верхней границей квадрата длины; отсюда получается неравенство между площадью и площадью систолы. Такой подход работает как для неравенства Лёвнера

${\displaystyle \mathrm {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\cdot \mathrm {area} }$

для тора , где случай равенства достигается плоским тором, преобразования колоды которого образуют решетку целых чисел Эйзенштейна ,

Анимация римской поверхности , представляющей P ² ( R ) в R ^3.

и для неравенства Пу для вещественной проективной плоскости P ² ( R ):

${\displaystyle \mathrm {sys} ^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}\cdot \mathrm {area} }$,

с равенством, характеризующим метрику постоянной гауссовой кривизны .

Применение вычислительной формулы для дисперсии фактически дает следующую версию неравенства тора Левнера с изосистолическим дефектом:

${\displaystyle \mathrm {area} -{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {sys} ^{2}\geq \mathrm {var} (f),}$

где f - конформный фактор метрики по отношению к плоской метрике единичной площади в ее конформном классе. Это неравенство можно рассматривать как аналог неравенства Боннесена с изопериметрическим дефектом, усиление изопериметрического неравенства.

Недавно был обнаружен ряд новых неравенств этого типа, в том числе нижние оценки универсального объема. Более подробная информация появляется при систолах поверхностей .

Систолическое неравенство Громова

Самый глубокий результат в этой области — неравенство Громова для гомотопической 1-систолы существенного n - многообразия M :

${\displaystyle \operatorname {sys\pi } _{1}{}^{n}\leq C_{n}\operatorname {vol} (M),}$

где Cn — универсальная константа _, зависящая только от размерности M. Здесь гомотопическая систола sysπ ₁ по определению есть наименьшая длина нестягиваемой петли в M . Многообразие называется существенным , если его фундаментальный класс [М] представляет нетривиальный класс в гомологиях его фундаментальной группы . В доказательстве используется новый инвариант, названный радиусом заполнения , введенный Громовым и определяемый следующим образом.

Обозначим через A кольцо коэффициентов Z или Z ₂ в зависимости от того, ориентируемо M или нет. Тогда фундаментальный класс компактного n -мерного многообразия M , обозначаемый [M] , является генератором . Учитывая вложение M в евклидово пространство E , положим ${\displaystyle H_{n}(M;A)=A}$

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (M\subset E)=\inf \left\{\epsilon >0\left|\;\iota _{\epsilon }([M])=0\in H_{n}(U_{\epsilon }M)\right.\right\},}$

где ιε _{— гомоморфизм включения,} индуцированный включением M в его ε- _{окрестность} UεM в E.

Чтобы определить абсолютный радиус заполнения в ситуации, когда M оснащен римановой метрикой g , Громов поступает следующим образом. Используется вложение К. Куратовского. M вкладывается в банахово пространство L∞ ( M ) ограниченных борелевских функций на M ^, снабженное нормой sup . А именно, мы отображаем точку x ∈ M в функцию f _x ∈ L ^∞ ( M ), определенную по формуле f _x (y) = d(x,y) для всех y ∈ M , где d — функция расстояния, определенная формулой метрика. По неравенству треугольника мы имеем, и, следовательно, вложение является сильно изометрическим в том точном смысле, что внутреннее расстояние и окружающее расстояние совпадают. Такое сильно изометрическое вложение невозможно, если объемлющее пространство является гильбертовым, даже если M — риманова окружность (расстояние между противоположными точками должно быть π , а не 2!). Затем мы полагаем E = L ^∞ ( M ) в приведенной выше формуле и определяем ${\displaystyle \|\;\|}$ ${\displaystyle d(x,y)=\|f_{x}-f_{y}\|,}$

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (M)=\mathrm {FillRad} \left(M\subset L^{\infty }(M)\right).}$

А именно, Громов доказал резкое неравенство, связывающее систолу и радиус наполнения:

${\displaystyle \mathrm {sys\pi } _{1}\leq 6\;\mathrm {FillRad} (M),}$

справедливо для всех существенных многообразий M ; а также неравенство

${\displaystyle \mathrm {FillRad} \leq C_{n}\mathrm {vol} _{n}{}^{1/n}(M),}$

справедливо для всех замкнутых многообразий M .

Краткое изложение доказательства, основанного на недавних результатах С. Венгера в области геометрической теории меры и более ранних работах Л. Амбросио и Б. Кирхгейма, содержится в разделе 12.2 книги «Систолическая геометрия и топология», на которую ссылка ниже. Совершенно иной подход к доказательству неравенства Громова недавно предложил Ларри Гут . ^[2]

Устойчивое неравенство Громова

Следует иметь в виду значительную разницу между 1-систолическими инвариантами (определяемыми через длину петель) и высшими, k -систолическими инвариантами (определяемыми через площади циклов и т. д.). Хотя к настоящему времени получен ряд оптимальных систолических неравенств, включающих 1-систолы, практически единственным оптимальным неравенством, включающим исключительно высшие k -систолы, является оптимальное устойчивое 2-систолическое неравенство Громова.

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{2}{}^{n}\leq n!\;\mathrm {vol} _{2n}(\mathbb {CP} ^{n})}$

для комплексного проективного пространства , где оптимальная граница достигается с помощью симметричной метрики Фубини–Студи , указывающей на связь с квантовой механикой . Здесь устойчивая 2-систола риманова многообразия M определяется полаганием

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{2}=\lambda _{1}\left(H_{2}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} },\|\;\|\right),}$

где – устойчивая норма, а λ ₁ – наименьшая норма ненулевого элемента решетки. Насколько исключительным является устойчивое неравенство Громова, стало ясно лишь недавно. А именно, было обнаружено, что, вопреки ожиданию, симметричная метрика на кватернионной проективной плоскости не является ее систолически оптимальной метрикой, в отличие от 2-систолы в сложном случае. В то время как кватернионная проективная плоскость с ее симметричной метрикой имеет среднемерное стабильное систолическое отношение 10/3, аналогичное соотношение для симметричной метрики комплексного проективного 4-мерного пространства дает значение 6, в то время как наилучшая доступная верхняя граница для такого отношение произвольной метрики в обоих этих пространствах равно 14. Эта верхняя оценка связана со свойствами алгебры Ли E7 . Если существует 8-многообразие с исключительной голономией Spin(7) и 4-м числом Бетти 1, то значение 14 фактически является оптимальным. Многообразия с голономией Spin(7) интенсивно изучались Домиником Джойсом . ${\displaystyle \|\;\|}$

Нижние границы для 2-систол

Аналогичным образом, чуть ли не единственная нетривиальная нижняя оценка для k -систолы с k = 2 является результатом недавних работ в области калибровочной теории и J-голоморфных кривых . Исследование нижних границ конформной 2-систолы 4-многообразий привело Джейка Соломона к упрощенному доказательству плотности изображения карты периода.

Задача Шоттки

Возможно, одно из самых ярких применений систол - в контексте проблемы Шоттки П. Бузером и П. Сарнаком , которые выделили якобианы римановых поверхностей среди принципиально поляризованных абелевых разновидностей, заложив основу систолической арифметики.

Категория Люстерника – Шнирельмана

Задание систолических вопросов часто стимулирует вопросы в смежных областях. Таким образом, определено и исследовано понятие систолической категории многообразия, обнаруживающее связь с категорией Люстерника–Шнирельмана (категорией LS). Обратите внимание, что систолическая категория (как и категория LS) по определению является целым числом. Было показано, что эти две категории совпадают как для поверхностей, так и для 3-многообразий. Более того, для ориентируемых 4-многообразий систолическая категория является нижней границей категории LS. Как только связь установлена, влияние становится взаимным: известные результаты по категории LS стимулируют систолические вопросы, и наоборот.

Новый инвариант был введен Кацем и Рудяком (см. ниже). Поскольку инвариант оказался тесно связан с категорией Люстерника-Шнирельмана (категория LS), его назвали систолической категорией .

Систолическая категория многообразия M определяется через различные k -систолы M . Грубо говоря, идея заключается в следующем. Учитывая многообразие M , ищут самое длинное произведение систол, которое дает «без кривизны» нижнюю границу общего объема M (с константой, не зависящей от метрики). В определение естественно включить и систолические инварианты покрытий M. Число факторов в таком «самом длинном произведении» по определению является систолической категорией М.

Например, Громов показал, что существенное n -многообразие допускает нижнюю границу объема в n-й степени гомотопической 1-систолы (см. раздел выше). Отсюда следует, что систолическая категория существенного n -многообразия равна в точности n . Фактически для замкнутых n -многообразий максимальное значение как категории LS, так и систолической категории достигается одновременно.

Еще одним намеком на существование интригующей связи между двумя категориями является связь с инвариантом, называемым длиной чашки. Таким образом, реальная длина чашки оказывается нижней границей для обеих категорий.

Систолическая категория совпадает с категорией LS в ряде случаев, в том числе в случае многообразий размерностей 2 и 3. В размерности 4 недавно было показано, что систолическая категория является нижней оценкой категории LS.

Систолическая гиперболическая геометрия

Исследование асимптотического поведения систолы гиперболических поверхностей большого рода g позволяет выявить некоторые интересные константы. Таким образом, поверхности Гурвица Σ _g , определенные башней главных конгруэнтных подгрупп группы гиперболических треугольников (2,3,7), удовлетворяют оценке

${\displaystyle \mathrm {sys} \pi _{1}(\Sigma _{g})\geq {\frac {4}{3}}\log g,}$

аналогичная оценка справедлива и для более общих арифметических фуксовых групп . Этот результат 2007 года Каца, Шапса и Вишне ^[3] обобщает результаты Питера Бузера и Питера Сарнака на случай арифметических групп, определенных над Q , из их основополагающей статьи 1994 года. ^[4]

Библиография систол в гиперболической геометрии в настоящее время насчитывает сорок статей. Интересные примеры дают поверхность Больца , квартика Клейна , поверхность Макбита , первая тройка Гурвица .

Связь с картами Абеля – Якоби

Семейство оптимальных систолических неравенств получается в результате применения методов Бураго и Иванова с использованием подходящих отображений Абеля – Якоби , определяемых следующим образом.

Пусть M — многообразие , π = π ₁ ( M ), его фундаментальная группа и f : π → π ^ab — его абелианизация . Пусть tor — периодическая подгруппа группы π ^ab . Пусть g : π ^ab → π ^ab / tor — фактор кручения. Очевидно, π ^ab / tor = Z ^b , где b = b ₁ ( M ). Пусть φ: π → Z ^b — составной гомоморфизм.

Определение: Покрытие многообразия M , соответствующее подгруппе Ker(φ) ⊂ π, называется универсальным (или максимальным) свободным абелевым накрытием. ${\displaystyle {\bar {M}}}$

Теперь предположим, что M имеет риманову метрику . Пусть E — пространство гармонических 1-форм на M , причем двойственное E * канонически отождествляется с H ₁ ( M , R ). Интегрируя целочисленную гармоническую 1-форму по путям из базовой точки _x0 ∈ M , мы получаем отображение в окружность R / Z = S1 ^.

Аналогично, чтобы определить отображение M → H ₁ ( M , R )/ H ₁ ( M , Z ) _R без выбора базиса когомологий, мы рассуждаем следующим образом. Пусть x — точка универсального покрытия M . Таким образом, _x представляется точкой из M вместе с путем c от x0 до нее. Интегрируя по пути c , мы получаем линейную форму , на E . Таким образом, мы получаем отображение , которое, кроме того, спускается к отображению ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle h\to \int _{c}h}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbf {R} )}$

${\displaystyle {\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*},\;\;c\mapsto \left(h\mapsto \int _{c}h\right),}$

где – универсальное свободное абелева накрытие. ${\displaystyle {\overline {M}}}$

Определение: Многообразием Якоби (тор Якоби) M — это тор J ₁ ( M ) = H ₁ ( M , R )/ H ₁ ( M , Z ) _R

Определение: Отображение Абеля – Якоби получается из приведенного выше отображения путем перехода к факторам. Отображение Абеля–Якоби уникально с точностью до перевода тора Якоби. ${\displaystyle A_{M}:M\to J_{1}(M),}$

В качестве примера можно привести следующее неравенство, принадлежащее Д. Бураго, С. Иванову и М. Громову .

Пусть M — n -мерное риманово многообразие с первым числом Бетти n такое, что отображение M в его тор Якоби имеет ненулевую степень . Тогда M удовлетворяет оптимальному устойчивому систолическому неравенству

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{1}{}^{n}\leq \gamma _{n}\mathrm {vol} _{n}(M),}$

где – классическая постоянная Эрмита . ${\displaystyle \gamma _{n}}$

Связанные поля, энтропия объема

Было показано, что асимптотические явления систолы поверхностей большого рода связаны с интересными эргодическими явлениями и свойствами подгрупп конгруэнтности арифметических групп .

Неравенство Громова 1983 года для гомотопической систолы подразумевает, в частности, равномерную нижнюю оценку площади асферической поверхности через ее систолу. Такая оценка обобщает неравенства Левнера и Пу, хотя и неоптимальным образом.

Основополагающая статья Громова 1983 года также содержит асимптотические границы, связывающие систолу и площадь, которые улучшают равномерную оценку (действительную во всех измерениях).

Недавно было обнаружено (см. статью Каца и Сабуро ниже), что объемная энтропия h вместе с оптимальным неравенством А. Катока для h является «правильным» посредником в прозрачном доказательстве асимптотической оценки М. Громова для систолического отношения поверхности большого рода.

Классический результат А. Каток утверждает, что каждая метрика на замкнутой поверхности M с отрицательной эйлеровой характеристикой удовлетворяет оптимальному неравенству, связывающему энтропию и площадь.

Оказывается, минимальная энтропия замкнутой поверхности может быть связана с ее оптимальным систолическим соотношением. А именно, существует верхняя граница энтропии систолически экстремальной поверхности через ее систолу. Объединив эту верхнюю оценку с оптимальной нижней оценкой Катока по объему, можно получить более простое альтернативное доказательство асимптотической оценки Громова оптимального систолического отношения поверхностей большого рода. Более того, такой подход дает улучшенную мультипликативную константу в теореме Громова.

В качестве приложения этот метод подразумевает, что каждая метрика на поверхности рода не менее 20 удовлетворяет неравенству тора Лёвнера. Это улучшает лучшую предыдущую оценку 50, которая следовала из оценки Громова.

Гипотеза о заполнении области

Гипотеза Громова о области заполнения была доказана в гиперэллиптической ситуации (см. ссылку Бангерта и др. ниже).

Гипотеза о площади заполнения утверждает, что среди всех возможных заполнений риманова окружности длины 2π поверхностью с сильно изометричным свойством круглая полусфера имеет наименьшую площадь. Здесь под римановой окружностью понимается единственное замкнутое одномерное риманово многообразие с полным 1-объемом 2π и римановым диаметром π.

Чтобы объяснить гипотезу, мы начнем с наблюдения, что экваториальная окружность единичной 2-сферы S ² ⊂ R ³ представляет собой риманову окружность S ¹ длины 2π и диаметра π.

Точнее, функция риманова расстояния S ¹ представляет собой ограничение окружающего риманова расстояния на сфере. Этому свойству не удовлетворяет стандартное вложение единичного круга в евклидову плоскость, где пара противоположных точек находится на расстоянии 2, а не π.

Мы рассматриваем все заполнения поверхности S ¹ такой, что ограниченная метрика, определяемая включением окружности в качестве границы поверхности, является римановой метрикой окружности длины 2π. Включение окружности в качестве границы тогда называется сильно изометрическим вложением окружности.

В 1983 году Громов предположил, что круглая полусфера дает «лучший» способ заполнения круга среди всех заполняющих поверхностей.

Случай односвязных заполнений эквивалентен неравенству Пу . Недавно случай пломб рода -1 также был решен положительно (см. ссылку Bangert et al. ниже). А именно, оказывается, что можно использовать формулу Дж. Герша полувековой давности из интегральной геометрии. А именно, рассмотрим семейство петель восьмерки на футбольном мяче с точкой самопересечения на экваторе (см. рисунок в начале статьи). Формула Херша выражает площадь метрики конформного класса футбольного мяча как среднее значение энергий петель восьмерки из семейства. Применение формулы Херша к гиперэллиптическому фактору римановой поверхности доказывает гипотезу о площади заполнения в этом случае.

Другие систолические разветвления гиперэллиптичности были идентифицированы в роде 2.

Опросы

К полевым исследованиям относятся опрос М. Бергера (1993 г.), опрос Громова (1996 г.), книга Громова (1999 г.), панорамная книга Бергера (2003 г.), а также книга Каца (2007 г.). Эти ссылки могут помочь новичку войти в эту область. Они также содержат открытые проблемы, над которыми нужно работать.

Смотрите также

• Гипотеза о заполнении области
• Первая тройка Гурвица
• Обхват (функциональный анализ)
• Неравенство Громова для комплексного проективного пространства
• Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий.
• Список тем дифференциальной геометрии
• Неравенство тора Лёвнера
• Неравенство Пу
• Систолы поверхностей
• Систолическая свобода

Примечания

1. Тутте, Уильям Т. (1947). «Семейство кубических графов». Учеб. Кембриджская философия. Соц. 43 (4): 459–474. Бибкод : 1947PCPS...43..459T. дои : 10.1017/S0305004100023720. MR  0021678. S2CID  123505185.
2. Гут, Ларри (2011). «Объемы шаров в больших римановых многообразиях ». Анналы математики . 173 (1): 51–76. arXiv : математика/0610212 . дои : 10.4007/анналы.2011.173.1.2. МР  2753599. S2CID  1392012.
3. Кац, Михаил Г .; Шапс, Мэри ; Вишне, Узи (2007). «Логарифмический рост систолы арифметических римановых поверхностей вдоль конгруэнтных подгрупп». Журнал дифференциальной геометрии . 76 (3): 399–422. arXiv : math.DG/0505007 . дои : 10.4310/jdg/1180135693 .
4. Бузер, П .; Сарнак, П. (1994). «О матрице периодов римановой поверхности большого рода (с приложением Дж. Х. Конвея и Н. Дж. А. Слоана)». Математические изобретения . 117 (1): 27–56. дои : 10.1007/BF01232233. ISSN  0020-9910. S2CID  116904696.

Рекомендации

• Бангерт, В .; Крок, К.; Иванов С.; Кац, М. (2005). «Гипотеза о площади заполнения и безовальные реальные гиперэллиптические поверхности». Геометрический и функциональный анализ . 15 (3): 577–597. arXiv : math/0405583 . CiteSeerX  10.1.1.240.2242 . дои : 10.1007/s00039-005-0517-8. S2CID  17100812.
• Бергер, Марсель (1992–1993). «Систолы и приложения селона Громова» (PDF) . Семинар Бурбаки . 35 : 279–310.
• Бергер, М. (2003). Панорамный вид на риманову геометрию. Спрингер. ISBN 978-3-642-18245-7.
• Бергер, М. (2008). «Что такое… систола?» (PDF) . Уведомления АМС . 55 (3): 374–6.
• Громов, М. (1983). «Заполнение римановых многообразий». Дж. Диф. Геом . 18 : 1–147. CiteSeerX  10.1.1.400.9154 . дои : 10.4310/jdg/1214509283.
• Громов, М. (1996). «Систолы и межсистолические неравенства». Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) . Семин. Конгресс Том. 1. Соц. Математика. Франция. стр. 291–362. CiteSeerX  10.1.1.539.1365 .
• Кац, М.; Семмес, С.; Громов, М. (2007) [2001]. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств . Прогресс в математике. Том. 152. Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-4583-0.
• Кац, М. (1983). «Радиус заполнения двухточечных однородных пространств». Журнал дифференциальной геометрии . 18 (3): 505–511. дои : 10.4310/jdg/1214437785 .
• Кац, М. (2007). Систолическая геометрия и топология. Математические обзоры и монографии. Том. 137. Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4177-8.
• Кац, М.; Рудяк, Ю. (2006). «Систолическая категория и категория Люстерника – Шнирельмана маломерных многообразий». Сообщения по чистой и прикладной математике . 59 : 1433–56. arXiv : math/0410456 . CiteSeerX  10.1.1.236.3757 . дои : 10.1002/cpa.20146. S2CID  15470409.
• Кац, М.; Сабурау, С. (2005). «Энтропия систолически экстремальных поверхностей и асимптотические границы». Следовательно. Т.е. Динам. Сис . 25 (4): 1209–20. arXiv : math/0410312 . CiteSeerX  10.1.1.236.5949 . дои : 10.1017/S0143385704001014. S2CID  11631690.
• Пу, ПМ (1952). «Некоторые неравенства в некоторых неориентируемых римановых многообразиях» (PDF) . Пасифик Дж. Математика . 2 : 55–71. дои : 10.2140/pjm.1952.2.55.

Внешние ссылки

• Веб-страница AMS с книгой Михаила Каца.
• Веб-сайт систолической геометрии и топологии