Углы Эйлера

Описание ориентации твердого тела

Геометрическое определение классических углов Эйлера.

  Фиксированная система координат ( x, y, z )

  Повернутая система координат ( X, Y, Z )

  Линия узлов ( N )

Углы Эйлера — это три угла, введенные Леонардом Эйлером для описания ориентации твердого тела относительно неподвижной системы координат . ^[1]

Они также могут представлять ориентацию подвижной системы отсчёта в физике или ориентацию общего базиса в трёхмерной линейной алгебре .

Классические углы Эйлера обычно берут угол наклона таким образом, что ноль градусов представляет вертикальную ориентацию. Альтернативные формы были позже введены Питером Гатри Тейтом и Джорджем Х. Брайаном, предназначенными для использования в аэронавтике и машиностроении, в которых ноль градусов представляет горизонтальное положение.

Эквивалентность цепных вращений

Любая целевая ориентация может быть достигнута, начиная с известной опорной ориентации, используя определенную последовательность внутренних вращений, величины которых являются углами Эйлера целевой ориентации. В этом примере используется последовательность zx′-z″ .

Углы Эйлера могут быть определены элементарной геометрией или композицией вращений (т.е. цепочечными вращениями ). Геометрическое определение показывает, что три составных элементарных вращения (вращения вокруг осей системы координат ) всегда достаточны для достижения любой целевой рамки.

Три элементарных вращения могут быть внешними (вращения вокруг осей xyz исходной системы координат, которая предполагается неподвижной) или внутренними (вращения вокруг осей вращающейся системы координат XYZ , солидарной с движущимся телом, которое меняет свою ориентацию относительно внешней системы координат после каждого элементарного вращения).

В разделах ниже обозначение оси с надстрочным знаком штриха (например, z ″) обозначает новую ось после элементарного поворота.

Углы Эйлера обычно обозначаются как α , β , γ или ψ , θ , φ . Разные авторы могут использовать разные наборы осей вращения для определения углов Эйлера или разные названия для одних и тех же углов. Поэтому любое обсуждение, использующее углы Эйлера, всегда должно предваряться их определением.

Не принимая во внимание возможность использования двух различных соглашений для определения осей вращения (внутренних или внешних), существует двенадцать возможных последовательностей осей вращения, разделенных на две группы:

• Собственные углы Эйлера ( z - x - z , x - y - x , y - z - y , z - y - z , x - z - x , y - x - y )
• Углы Тейта–Брайана ( x - y - z , y - z - x , z - x - y , x - z - y , z - y - x , y - x - z ) .

Углы Тейта–Брайана также называются углами Кардана ; навигационными углами ; курсом , возвышением и креном ; или рысканием, тангажем и креном . Иногда оба вида последовательностей называются «углами Эйлера». В этом случае последовательности первой группы называются собственными или классическими углами Эйлера.

Классические углы Эйлера

Углы Эйлера — это три угла, введенные швейцарским математиком Леонардом Эйлером (1707–1783) для описания ориентации твердого тела относительно неподвижной системы координат . ^[1]

Слева: набор карданных подвесов , показывающий последовательность вращения z - x - z . Внешняя рамка показана в основании. Внутренние оси красного цвета. Справа: простая диаграмма, показывающая аналогичные углы Эйлера.

Геометрическое определение

Оси исходной системы обозначены как x , y , z , а оси повернутой системы — как X , Y , Z. Геометрическое определение (иногда называемое статическим) начинается с определения линии узлов (N) как пересечения плоскостей xy и XY (ее также можно определить как общий перпендикуляр к осям z и Z , а затем записать как векторное произведение N = z × Z ). Используя его, три угла Эйлера можно определить следующим образом:

• ${\displaystyle \alpha }$(или ) — это угол со знаком между осью x и осью N ( x -соглашение — его также можно определить между y и N , называемое y -соглашением). ${\displaystyle \varphi }$
• ${\displaystyle \beta }$(или ) — угол между осью z и осью Z. ${\displaystyle \theta }$
• ${\displaystyle \gamma }$(или ) — угол со знаком между осью N и осью X ( по правилу x ). ${\displaystyle \psi }$

Углы Эйлера между двумя системами отсчета определяются только в том случае, если обе системы имеют одинаковую хиральность .

Соглашения по внутренним вращениям

Внутренние вращения — это элементарные вращения, которые происходят вокруг осей системы координат XYZ, прикрепленной к движущемуся телу. Поэтому они меняют свою ориентацию после каждого элементарного вращения. Система XYZ вращается, в то время как xyz фиксирована. Начиная с XYZ, перекрывающего xyz , композиция из трех внутренних вращений может использоваться для достижения любой целевой ориентации для XYZ .

Углы Эйлера можно определить с помощью внутренних вращений. Повернутая система XYZ может быть представлена ​​изначально выровненной с xyz , прежде чем подвергнется трем элементарным вращениям, представленным углами Эйлера. Ее последовательные ориентации можно обозначить следующим образом:

• x - y - z или x ₀ - y ₀ - z ₀ (исходный)
• x ′- y ′- z ′ или x ₁ - y ₁ - z ₁ (после первого поворота)
• x ″- y ″- z ″ или x ₂ - y ₂ - z ₂ (после второго поворота)
• X - Y - Z или x ₃ - y ₃ - z ₃ (окончательный)

Для вышеперечисленной последовательности вращений линия узлов N может быть просто определена как ориентация X после первого элементарного вращения. Следовательно, N может быть просто обозначено как x ′. Более того, поскольку третье элементарное вращение происходит вокруг Z , оно не меняет ориентацию Z . Следовательно, Z совпадает с z ″. Это позволяет нам упростить определение углов Эйлера следующим образом:

• α (или φ ) представляет собой вращение вокруг оси z ,
• β (или θ ) представляет собой вращение вокруг оси x ′,
• γ (или ψ ) представляет собой вращение вокруг оси z ″.

Соглашения по внешним вращениям

Внешние вращения — это элементарные вращения, которые происходят вокруг осей фиксированной системы координат xyz . Система XYZ вращается, в то время как xyz фиксирована. Начиная с XYZ, перекрывающего xyz , композиция из трех внешних вращений может быть использована для достижения любой целевой ориентации для XYZ . Углы Эйлера или Тейта–Брайана ( α , β , γ ) являются амплитудами этих элементарных вращений. Например, целевая ориентация может быть достигнута следующим образом (обратите внимание на обратный порядок применения углов Эйлера):

• Система XYZ поворачивается вокруг оси z на угол γ . Ось X теперь находится под углом γ по отношению к оси x .
• Система XYZ снова поворачивается, но на этот раз вокруг оси x на угол β . Ось Z теперь находится под углом β по отношению к оси z .
• Система XYZ поворачивается третий раз, снова вокруг оси z , на угол α .

В сумме три элементарных вращения происходят вокруг z , x и z . Действительно, эта последовательность часто обозначается как z - x - z (или 3-1-3). Наборы осей вращения, связанные как с собственными углами Эйлера, так и с углами Тейта-Брайана, обычно называются с использованием этой нотации (подробности см. выше).

Если каждый шаг вращения действует на вращающуюся систему координат XYZ, то вращение является внутренним ( ZX'-Z'' ). Внутреннее вращение также можно обозначить как 3-1-3.

Знаки, диапазоны и условные обозначения

Углы обычно определяются по правилу правой руки . А именно, они имеют положительные значения, когда представляют собой вращение, которое выглядит по часовой стрелке, если смотреть в положительном направлении оси, и отрицательные значения, когда вращение выглядит против часовой стрелки. Противоположное соглашение (правило левой руки) применяется реже.

О диапазонах (используя интервальную запись ):

• для α и γ диапазон определяется по модулю 2 π радиан . Например, допустимый диапазон может быть [− π ,  π ] .
• для β диапазон охватывает π радиан (но нельзя сказать, что он по модулю  π ). Например, это может быть [0,  π ] или [− π /2,  π /2] .

Углы α , β и γ определяются однозначно, за исключением особого случая, когда плоскости xy и XY идентичны, т. е. когда оси z и Z имеют одинаковые или противоположные направления. Действительно, если оси z и Z совпадают, β  = 0 и только ( α  +  γ ) определяется однозначно (не отдельные значения), и, аналогично, если оси z и Z противоположны, β  =  π и только ( α  −  γ ) определяется однозначно (не отдельные значения). Эти неоднозначности известны в приложениях как блокировка карданного шарнира .

Существует шесть возможностей выбора осей вращения для собственных углов Эйлера. Во всех них первая и третья оси вращения одинаковы. Шесть возможных последовательностей:

1. z ₁ - x ′- z ₂ ″ (внутренние вращения) или z ₂ - x - z ₁ (внешние вращения)
2. x ₁ - y ′- x ₂ ″ (внутренние вращения) или x ₂ - y - x ₁ (внешние вращения)
3. y ₁ - z ′- y ₂ ″ (внутренние вращения) или y ₂ - z - y ₁ (внешние вращения)
4. z ₁ - y ′- z ₂ ″ (внутренние вращения) или z ₂ - y - z ₁ (внешние вращения)
5. x ₁ - z ′- x ₂ ″ (внутренние вращения) или x ₂ - z - x ₁ (внешние вращения)
6. y ₁ - x ′- y ₂ ″ (внутренние вращения) или y ₂ - x - y ₁ (внешние вращения)

Прецессия, нутация и собственное вращение

Основные движения Земли по Эйлеру. Внутреннее (зеленый), Прецессия (синий) и Нутация (красный)

Прецессия , нутация и внутреннее вращение (спин) определяются как движения, полученные путем изменения одного из углов Эйлера при сохранении двух других постоянными. Эти движения не выражаются в терминах внешней системы отсчета или в терминах сопутствующей вращающейся системы отсчета тела, а в смеси. Они составляют смешанную систему осей вращения , где первый угол перемещает линию узлов вокруг внешней оси z , второй вращается вокруг линии узлов N , а третий является внутренним вращением вокруг Z , оси, зафиксированной в движущемся теле.

Статическое определение подразумевает, что:

• α (прецессия) представляет собой вращение вокруг оси z ,
• β (нутация) представляет собой вращение вокруг оси N или x′,
• γ (внутреннее вращение) представляет собой вращение вокруг оси Z или z″.

Если β равно нулю, то вращения вокруг N нет . Как следствие, Z совпадает с z , α и γ представляют собой вращения вокруг одной и той же оси ( z ), а окончательная ориентация может быть получена одним поворотом вокруг z на угол, равный α + γ .

В качестве примера рассмотрим волчок . Волчок вращается вокруг своей оси симметрии; это соответствует его собственному вращению. Он также вращается вокруг своей оси вращения, при этом его центр масс вращается вокруг оси вращения; это вращение является прецессией. Наконец, волчок может качаться вверх и вниз; угол наклона является углом нутации. Тот же пример можно увидеть и в движениях Земли.

Хотя все три движения могут быть представлены оператором вращения с постоянными коэффициентами в некоторой системе отсчета, они не могут быть представлены этими операторами одновременно. При наличии системы отсчета максимум одно из них будет без коэффициентов. Только прецессия может быть выражена в общем виде как матрица в базисе пространства без зависимостей от других углов.

Эти движения также ведут себя как набор карданного подвеса. Если задан набор кадров, способных перемещаться каждый относительно предыдущего только под одним углом, как карданный подвес, то будет существовать внешняя фиксированная рамка, одна конечная рамка и две рамки в середине, которые называются «промежуточными рамками». Две в середине работают как два кольца карданного подвеса, которые позволяют последней раме достигать любой ориентации в пространстве.

Углы Тейта–Брайана

Углы Тейта–Брайана. Последовательность z - y ′- x ″ (внутренние вращения; N совпадает с y' ). Последовательность вращения углов — ψ , θ , φ . Обратите внимание, что в этом случае ψ > 90° , а θ — отрицательный угол.

Второй тип формализма называется углами Тейта–Брайана , в честь шотландского математического физика Питера Гатри Тейта (1831–1901) и английского прикладного математика Джорджа Х. Брайана (1864–1928). Это соглашение обычно используется для аэрокосмических приложений, так что ноль градусов возвышения представляет горизонтальное положение. Углы Тейта–Брайана представляют ориентацию самолета относительно мировой системы координат. При работе с другими транспортными средствами возможны другие соглашения о осях .

Определения

Углы Тейта–Брайана. Последовательность z - x ′- y ″ (внутренние вращения; N совпадает с x ′)

Определения и обозначения, используемые для углов Тейта–Брайана, аналогичны тем, которые описаны выше для собственных углов Эйлера (геометрическое определение, определение внутреннего вращения, определение внешнего вращения). Единственное отличие состоит в том, что углы Тейта–Брайана представляют собой вращения вокруг трех различных осей (например, x - y - z или x - y ′- z ″), тогда как собственные углы Эйлера используют одну и ту же ось как для первого, так и для третьего элементарных вращений (например, z - x - z или z - x ′- z ″).

Это подразумевает другое определение линии узлов в геометрической конструкции. В случае собственных углов Эйлера она была определена как пересечение двух гомологичных декартовых плоскостей (параллельных, когда углы Эйлера равны нулю; например, xy и XY ). В случае углов Тейта–Брайана она определяется как пересечение двух негомологичных плоскостей (перпендикулярных, когда углы Эйлера равны нулю; например, xy и YZ ).

Конвенции

Углы направления, возвышения и крена ( Z - Y ′- X ″) для самолета с использованием бортовых осей ENU как на борту, так и для наземной станции слежения. Фиксированная система отсчета x - y - z представляет такую ​​станцию ​​слежения. Бортовые оси Y и Z не показаны. X показан зеленым цветом. Согласно правилам RHS показанная ось y отрицательна.

Три элементарных вращения могут происходить либо вокруг осей исходной системы координат, которая остается неподвижной (внешние вращения), либо вокруг осей вращающейся системы координат, которая меняет свою ориентацию после каждого элементарного вращения (внутренние вращения).

Существует шесть возможностей выбора осей вращения для углов Тейта–Брайана. Шесть возможных последовательностей:

• x - y ′- z ″ (внутренние вращения) или z - y - x (внешние вращения)
• y - z ′- x ″ (внутренние вращения) или x - z - y (внешние вращения)
• z - x ′- y ″ (внутренние вращения) или y - x - z (внешние вращения)
• x - z ′- y ″ (внутренние вращения) или y - z - x (внешние вращения)
• z - y ′- x ″ (внутренние вращения) или x - y - z (внешние вращения): внутренние вращения известны как: рыскание, тангаж и крен
• y - x ′- z ″ (внутренние вращения) или z - x - y (внешние вращения)

Знаки и диапазоны

Главные оси самолета согласно воздушной норме DIN 9300. Обратите внимание, что неподвижные и подвижные рамы должны совпадать с углами ноль. Поэтому эта норма также будет требовать совместимого соглашения о осях в системе отсчета

Соглашение Тейта–Брайена широко используется в инженерии с различными целями. На практике существует несколько соглашений об осях для выбора подвижных и неподвижных осей, и эти соглашения определяют знаки углов. Поэтому знаки должны быть тщательно изучены в каждом случае.

Диапазон углов ψ и φ составляет 2π радиан . Для θ диапазон составляет π радиан.

Альтернативные названия

Эти углы обычно берутся как один во внешней системе отсчета ( курс , пеленг ), один во внутренней подвижной системе отсчета ( крен ) и один в средней системе отсчета, представляющей собой возвышение или наклон относительно горизонтальной плоскости, которая для этой цели эквивалентна линии узлов.

Как цепочечные вращения

Мнемоника для запоминания названий углов

Для самолета их можно получить тремя поворотами вокруг его главных осей , если выполнять их в правильном порядке и начинать с системы отсчета, совпадающей с системой отсчета.

• Рыскание даст направление,
• шаг даст высоту, и
• крен дает угол крена.

Поэтому в космонавтике их иногда называют рысканием, тангажем и креном . Обратите внимание, что это не будет работать, если вращения применяются в любом другом порядке или если оси самолета начинаются в любом положении, не эквивалентном системе отсчета.

Углы Тейта–Брайана, следующие за соглашением z - y ′- x ″ (внутренние вращения), также известны как навигационные углы , поскольку их можно использовать для описания ориентации корабля или самолета, или углы Кардано , в честь итальянского математика и физика Джероламо Кардано , который первым подробно описал подвеску Кардано и карданов шарнир .

Углы данной рамы

Проекции вектора Z

Проекции вектора Y

Распространенной проблемой является нахождение углов Эйлера заданной системы координат. Самый быстрый способ получить их — записать три заданных вектора в виде столбцов матрицы и сравнить ее с выражением теоретической матрицы (см. таблицу матриц ниже). Таким образом, можно вычислить три угла Эйлера. Тем не менее, того же результата можно достичь, избегая матричной алгебры и используя только элементарную геометрию. Здесь мы представляем результаты для двух наиболее часто используемых соглашений: ZXZ для собственных углов Эйлера и ZYX для Тейта–Брайана. Обратите внимание, что любое другое соглашение можно получить, просто изменив название осей.

Правильные углы Эйлера

Предполагая, что система координат с единичными векторами ( X , Y , Z ) задана их координатами, как на основной диаграмме, можно увидеть, что:

${\displaystyle \cos(\beta )=Z_{3}.}$

И, поскольку

${\displaystyle \sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x,}$

ибо у нас есть ${\displaystyle 0<x<\pi }$

${\displaystyle \sin(\beta )={\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}.}$

Как и двойная проекция единичного вектора, ${\displaystyle Z_{2}}$

${\displaystyle \cos(\alpha )\cdot \sin(\beta )=-Z_{2},}$

${\displaystyle \cos(\alpha )=-Z_{2}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}.}$

Аналогичное построение существует для , проецируя его сначала на плоскость, определяемую осью z и линией узлов. Поскольку угол между плоскостями равен и , это приводит к: ${\displaystyle Y_{3}}$ ${\displaystyle \pi /2-\beta }$ ${\displaystyle \cos(\pi /2-\beta )=\sin(\beta )}$

${\displaystyle \sin(\beta )\cdot \cos(\gamma )=Y_{3},}$

${\displaystyle \cos(\gamma )=Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}},}$

и наконец, используя функцию обратного косинуса ,

${\displaystyle \alpha =\arccos \left(-Z_{2}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}\right),}$

${\displaystyle \beta =\arccos \left(Z_{3}\right),}$

${\displaystyle \gamma =\arccos \left(Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}\right).}$

Углы Тейта–Брайана

Проекции оси x после трех вращений Тейта–Брайана. Обратите внимание, что тета — это отрицательное вращение вокруг оси y ′.

Предполагая, что система отсчета с единичными векторами ( X , Y , Z ) задана их координатами, как на этой новой диаграмме (обратите внимание, что угол тета отрицателен), можно увидеть, что:

${\displaystyle \sin(\theta )=-X_{3}}$

Как и прежде,

${\displaystyle \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x,}$

ибо у нас есть ${\displaystyle -\pi /2<x<\pi /2}$

${\displaystyle \cos(\theta )={\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

аналогично предыдущему способу:

${\displaystyle \sin(\psi )=X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

${\displaystyle \sin(\phi )=Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

Ищем выражения, похожие на предыдущие:

${\displaystyle \psi =\arcsin \left(X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}\right),}$

${\displaystyle \theta =\arcsin(-X_{3}),}$

${\displaystyle \phi =\arcsin \left(Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}\right).}$

Последние замечания

Обратите внимание, что функции обратного синуса и косинуса дают два возможных значения для аргумента. В этом геометрическом описании только одно из решений является допустимым. Когда углы Эйлера определяются как последовательность поворотов, все решения могут быть допустимыми, но внутри диапазонов углов будет только одно. Это происходит потому, что последовательность поворотов для достижения целевой системы отсчета не является уникальной, если диапазоны не были определены заранее. ^[2]

Для вычислительных целей может быть полезно представлять углы с помощью atan2 ( y , x ) . Например, в случае правильных углов Эйлера:

${\displaystyle \alpha =\operatorname {atan2} (Z_{1},-Z_{2}),}$

${\displaystyle \gamma =\operatorname {atan2} (X_{3},Y_{3}).}$

Преобразование в другие представления ориентации

Углы Эйлера — один из способов представления ориентаций. Существуют и другие, и можно переходить от одних соглашений к другим. Для описания ориентаций в трехмерном евклидовом пространстве всегда требуются три параметра . Их можно задать несколькими способами, одним из которых являются углы Эйлера; см. таблицы на SO(3) для других.

Наиболее распространенными представлениями ориентации являются матрицы вращения , ось-угол и кватернионы , также известные как параметры Эйлера–Родрига , которые предоставляют другой механизм для представления трехмерных вращений. Это эквивалентно описанию специальной унитарной группы.

Выражение вращений в трехмерном пространстве в виде единичных кватернионов вместо матриц имеет некоторые преимущества:

• Конкатенация вращений выполняется быстрее в вычислительном отношении и более стабильно в числовом отношении.
• Извлечение угла и оси вращения проще.
• Интерполяция более проста. См. например slerp .
• Кватернионы не подвержены эффекту карданного захвата , как углы Эйлера.

Независимо от этого, вычисление матрицы вращения является первым шагом для получения двух других представлений.

Матрица вращения

Любая ориентация может быть достигнута путем составления трех элементарных вращений, начиная с известной стандартной ориентации. Эквивалентно, любая матрица вращения R может быть разложена как произведение трех элементарных матриц вращения. Например: — это матрица вращения, которая может быть использована для представления композиции внешних вращений вокруг осей z , y , x , (в указанном порядке) или композиции внутренних вращений вокруг осей x - y ′- z ″ (в указанном порядке). Однако как определение элементарных матриц вращения X , Y , Z , так и порядок их умножения зависят от выбора, сделанного пользователем относительно определения как матриц вращения, так и углов Эйлера (см., например, Неоднозначности в определении матриц вращения ). К сожалению, в разных контекстах пользователи принимают разные наборы соглашений. Следующая таблица была построена в соответствии с этим набором соглашений: $${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$$

1. Каждая матрица должна работать путем предварительного умножения векторов-столбцов (см. Неоднозначности в определении матриц вращения ). ${\textstyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$
2. Каждая матрица должна представлять активное вращение (составляющая и составная матрицы должны действовать на координаты векторов, определенных в исходной неподвижной системе отсчета, и давать в результате координаты повернутого вектора, определенного в той же системе отсчета).
3. Каждая матрица должна представлять, в первую очередь, композицию внутренних вращений (вокруг осей вращающейся системы отсчета) и, во вторую очередь, композицию трех внешних вращений (что соответствует конструктивной оценке матрицы R путем умножения трех истинно элементарных матриц в обратном порядке).
4. Принимаются правосторонние системы отсчета, и для определения знаков углов α , β , γ используется правило правой руки .

Для простоты в следующей таблице матричных продуктов используется следующая номенклатура:

1. X , Y , Z — матрицы, представляющие элементарные вращения вокруг осей x , y , z неподвижной системы отсчета (например, X _α представляет поворот вокруг x на угол α ).
2. s и c представляют синус и косинус (например, s _α представляет синус α ).

Эти табличные результаты доступны во многих учебниках. ^[3] Для каждого столбца последняя строка представляет собой наиболее часто используемое соглашение.

Чтобы изменить формулы для пассивных вращений (или найти обратное активное вращение), транспонируем матрицы (тогда каждая матрица преобразует исходные координаты вектора, оставаясь неподвижной, в координаты того же вектора, измеренные в повернутой системе отсчета; та же ось вращения, те же углы, но теперь вращается система координат, а не вектор).

Следующая таблица содержит формулы для углов α , β и γ из элементов матрицы вращения . ^[4] ${\displaystyle R}$

Характеристики

Углы Эйлера образуют диаграмму на всех SO(3) , специальной ортогональной группе вращений в трехмерном пространстве. Диаграмма гладкая, за исключением сингулярности в стиле полярных координат вдоль β = 0 . См. диаграммы на SO(3) для более полного рассмотрения.

Пространство вращений в общем случае называется « Гиперсферой вращений », хотя это неправильное название: группа Spin(3) изометрична гиперсфере S ³ , но пространство вращений SO(3) вместо этого изометрично действительному проективному пространству RP ^{3 ,} которое является 2-кратным факторпространством гиперсферы. Эта двусмысленность 2 к 1 является математическим источником спина в физике .

Аналогичное разложение по трем углам применимо к SU(2) , специальной унитарной группе вращений в комплексном 2D-пространстве, с той разницей, что β варьируется от 0 до 2 π . Их также называют углами Эйлера.

Мера Хаара для SO(3) в углах Эйлера задается параметризацией угла Хопфа для SO(3), [ ^5] где параметризуется как пространство осей вращения. ${\displaystyle {\textrm {d}}V\propto \sin \beta \cdot {\textrm {d}}\alpha \cdot {\textrm {d}}\beta \cdot {\textrm {d}}\gamma }$ ${\displaystyle (\beta ,\alpha )}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Например, чтобы сгенерировать равномерно рандомизированные ориентации, пусть α и γ будут равномерными от 0 до 2π , пусть z будет равномерным от −1 до 1 и пусть β = arccos( z ) .

Геометрическая алгебра

Другие свойства углов Эйлера и вращений в целом можно найти в геометрической алгебре , абстракции более высокого уровня, в которой кватернионы являются четной подалгеброй. Основным инструментом в геометрической алгебре является ротор, где угол поворота , является осью вращения (унитарный вектор), а является псевдоскаляром (тривектором в ) ${\displaystyle \mathbf {R} =[\cos(\theta /2)-Iu\sin(\theta /2)]}$ ${\displaystyle \theta =}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Более высокие измерения

Можно определить параметры, аналогичные углам Эйлера, в измерениях выше трех. ^{[6] [7] [ ненадежный источник? ]} В четырех измерениях и выше понятие «вращение вокруг оси» теряет смысл и вместо этого становится «вращением в плоскости». Количество углов Эйлера, необходимое для представления группы SO( n ), равно n ( n − 1)/2 , что равно количеству плоскостей, содержащих две различные оси координат в n -мерном евклидовом пространстве.

В SO(4) матрица вращения определяется двумя единичными кватернионами и, следовательно, имеет шесть степеней свободы, по три от каждого кватерниона.

Приложения

Транспортные средства и движущиеся рамы

Их главное преимущество перед другими описаниями ориентации заключается в том, что они могут быть напрямую измерены с помощью карданного подвеса, установленного в транспортном средстве. Поскольку гироскопы сохраняют свою ось вращения постоянной, углы, измеренные в раме гироскопа, эквивалентны углам, измеренным в лабораторной раме. Поэтому гироскопы используются для определения фактической ориентации движущегося космического корабля, а углы Эйлера могут быть напрямую измерены. Внутренний угол вращения не может быть считан с одного карданного подвеса, поэтому в космическом корабле должно быть более одного карданного подвеса. Обычно их должно быть не менее трех для избыточности. Существует также связь с хорошо известной проблемой блокировки карданного подвеса в машиностроении . ^[8]

При изучении твердых тел в целом система xyz называется пространственными координатами , а система XYZ — телесными координатами . Пространственные координаты рассматриваются как неподвижные, в то время как телесные координаты считаются встроенными в движущееся тело. Вычисления, включающие ускорение , угловое ускорение , угловую скорость , угловой момент и кинетическую энергию , часто проще всего проводить в телесных координатах, потому что тогда тензор момента инерции не меняется со временем. Если также диагонализовать тензор момента инерции твердого тела (с девятью компонентами, шесть из которых независимы), то получится набор координат (называемых главными осями), в котором тензор момента инерции имеет только три компонента.

Угловая скорость твердого тела принимает простую форму с использованием углов Эйлера в подвижной системе отсчета. Также уравнения твердого тела Эйлера проще, поскольку тензор инерции постоянен в этой системе отсчета.

Кристаллографическая текстура

Полюсные фигуры, демонстрирующие кристаллографическую текстуру гамма-TiAl в альфа2-гамма сплаве, измеренную с помощью высокоэнергетического рентгеновского излучения. ^[9]

В материаловедении кристаллографическая текстура (или предпочтительная ориентация) может быть описана с помощью углов Эйлера. В анализе текстуры углы Эйлера обеспечивают математическое изображение ориентации отдельных кристаллитов в поликристаллическом материале, что позволяет количественно описать макроскопический материал. ^[10] Наиболее распространенное определение углов принадлежит Бунге и соответствует соглашению ZXZ . Однако важно отметить, что приложение обычно включает в себя преобразования осей тензорных величин, т. е. пассивные вращения. Таким образом, матрица, которая соответствует углам Бунге-Эйлера, является транспонированной матрицей, показанной в таблице выше. ^[11]

Другие

Промышленный робот, работающий в литейном цехе

Углы Эйлера, обычно в конвенции Тейта-Брайана, также используются в робототехнике для описания степеней свободы запястья . Они также используются в электронном контроле устойчивости аналогичным образом.

Системы управления огнем орудий требуют коррекции углов приказа орудия (пеленга и возвышения) для компенсации наклона палубы (тангажа и крена). В традиционных системах стабилизирующий гироскоп с вертикальной осью вращения корректирует наклон палубы и стабилизирует оптические прицелы и антенну радара. Однако стволы орудий направлены в направлении, отличном от линии визирования цели, чтобы предвидеть движение цели и падение снаряда из-за силы тяжести, среди прочих факторов. Орудийные установки кренятся и наклоняются вместе с плоскостью палубы, но также требуют стабилизации. Приказы орудия включают углы, вычисленные на основе данных вертикального гироскопа, и эти вычисления включают углы Эйлера.

Углы Эйлера также широко используются в квантовой механике углового момента. В квантовой механике явные описания представлений SO(3) очень важны для вычислений, и почти вся работа была проделана с использованием углов Эйлера. В ранней истории квантовой механики, когда физики и химики резко отрицательно относились к абстрактным методам теории групп (называемым Gruppenpest ), опора на углы Эйлера также была необходима для базовой теоретической работы.

Многие мобильные вычислительные устройства содержат акселерометры , которые могут определять углы Эйлера этих устройств относительно гравитационного притяжения Земли. Они используются в таких приложениях, как игры, моделирование пузырькового уровня и калейдоскопы . ^{[ необходима цитата ]}

Библиотеки компьютерной графики, такие как three.js, используют их для наведения камеры

Смотрите также

• 3D проекция
• Представление оси-угла
• Преобразование между кватернионами и углами Эйлера
• Цепные вращения Дэвенпорта
• Теорема вращения Эйлера
• Блокировка карданного подвеса
• Кватернион
• Кватернионы и пространственное вращение
• Формализмы вращения в трех измерениях
• Сферическая система координат

Ссылки

1. Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 20, 1776, стр. 189–207 (E478) PDF
2. Грегори Г. Слабо, Вычисление углов Эйлера из матрицы вращения
3. Например, Приложение I (стр. 483) из: Roithmayr, Carlos M.; Hodges, Dewey H. (2016). Динамика: теория и применение метода Кейна (1-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-1107005693.
4. Хендерсон, ДМ (1977-06-09). Углы Эйлера, кватернионы и матрицы преобразования для анализа космического челнока (Технический отчет). NASA. С. 12–24.
5. Yershova, A.; Jain, S.; Lavalle, SM; Mitchell, JC (2010). "Generating Uniform Incremental Grids on SO(3) Using the Hopf Fibration". The International Journal of Robotics Research . 29 (7). Раздел 8 – Вывод параметризации Хопфа. doi : 10.1177/0278364909352700. PMC 2896220. PMID  20607113 . 
6. Хоффман, Д.К. (1972), Обобщение углов Эйлера для N-мерных ортогональных матриц, [J. Math. Phys. 13, 528–533], doi :10.1063/1.1666011
7. (на итальянском) Обобщение углов Эйлера на n-мерные действительные пространства
8. Связь между углами Эйлера и подвесом Кардано объясняется в главе 11.7 следующего учебника: U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics – A Concise Overview , New York, London, Berlin, Heidelberg, Springer (2007).
9. Liss KD, Bartels A, Schreyer A, Clemens H (2003). "Высокоэнергетические рентгеновские лучи: инструмент для передовых объемных исследований в материаловедении и физике". Textures Microstruct . 35 (3/4): 219–52. doi : 10.1080/07303300310001634952 .
10. Kocks, UF; Tomé, CN; Wenk, H.-R. (2000), Текстура и анизотропия: предпочтительные ориентации в поликристаллах и их влияние на свойства материалов , Кембридж , ISBN 978-0-521-79420-6
11. Бунге, Х. (1993), Анализ текстур в материаловедении: математические методы , Cuvillier Verlag , ASIN  B0014XV9HU

Библиография

• Биденхарн, Л. К.; Лоук, Дж. Д. (1981), Угловой момент в квантовой физике , Рединг, Массачусетс: Addison–Wesley , ISBN 978-0-201-13507-7
• Голдштейн, Герберт (1980), Классическая механика (2-е изд.), Рединг, Массачусетс: Addison–Wesley, ISBN 978-0-201-02918-5
• Грей, Эндрю (1918), Трактат о гиростатике и вращательном движении , Лондон: Macmillan (опубликовано в 2007 г.), ISBN 978-1-4212-5592-7
• Роуз, М. Э. (1957), Элементарная теория углового момента , Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons (опубликовано в 1995 году), ISBN 978-0-486-68480-2
• Саймон, Кит (1971), Механика , Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-07392-8
• Ландау, Л. Д.; Лифшиц , Э. М. (1996), Механика (3-е изд.), Оксфорд: Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-7506-2896-9

Внешние ссылки

• «Углы Эйлера», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Углы Эйлера». Математический мир .
• Дэвид Эберли. Формулы угла Эйлера, Геометрические инструменты
• Интерактивное руководство по углам Эйлера доступно по адресу https://www.mecademic.com/en/how-is-orientation-in-space-represented-with-euler-angles
• EulerAngles – приложение iOS для визуализации в 3D трех вращений, связанных с углами Эйлера
• Библиотека ориентации – «orilib», набор процедур для вращения/манипулирования ориентацией, включая специальные инструменты для ориентации кристаллов
• Онлайн-инструмент для преобразования матриц вращения доступен на сайте rotate converter (числовое преобразование)
• Онлайн-инструмент для преобразования символических матриц вращения (мертв, но все еще доступен на Wayback Machine ) преобразователь символического вращения
• Вращение, отражение и смена системы отсчета: ортогональные тензоры в вычислительной инженерной механике, IOP Publishing
• Углы Эйлера, кватернионы и матрицы преобразования для анализа космических челноков, НАСА