Т-симметрия

Т-симметрия или симметрия обращения времени - это теоретическая симметрия физических законов при преобразовании обращения времени ,

T:t\mapsto -t.

Поскольку второй закон термодинамики гласит, что энтропия увеличивается по мере того, как время течет в будущее, в целом макроскопическая Вселенная не проявляет симметрии при обращении времени. Другими словами, время считается несимметричным или асимметричным, за исключением особых состояний равновесия, когда второй закон термодинамики предсказывает соблюдение временной симметрии. Однако предсказано, что квантовые неинвазивные измерения нарушают временную симметрию даже в равновесии ^[1] в отличие от своих классических аналогов, хотя это еще не подтверждено экспериментально.

Временные асимметрии (см. Стрела времени ) обычно вызываются одной из трех категорий:

свойственный динамическому физическому закону (например, для слабого взаимодействия )
из-за начальных условий Вселенной (например, для второго закона термодинамики )
из-за измерений (например, при неинвазивных измерениях)

Макроскопические явления

Второй закон термодинамики

Игрушка под названием « качели» в разрезе иллюстрирует два аспекта инвариантности обращения времени. Приведенная в движение на вершине постамента (качающаяся из стороны в сторону, как на изображении), фигура очень долго колеблется. Игрушка спроектирована таким образом, чтобы минимизировать трение и проиллюстрировать обратимость законов движения Ньютона . Однако механически устойчивым состоянием игрушки является падение фигурки с постамента в одно из сколь угодно многих положений. Это иллюстрация закона возрастания энтропии посредством отождествления Больцманом логарифма числа состояний с энтропией.

Повседневный опыт показывает, что Т-симметрия не соблюдается для поведения сыпучих материалов. Из этих макроскопических законов наиболее примечательным является второй закон термодинамики . К этому сводятся и многие другие явления, например относительное движение тел с трением или вязкое движение жидкостей, поскольку в основе механизма лежит диссипация полезной энергии (например, кинетической энергии) в тепло.

Вопрос о том, действительно ли неизбежна эта асимметричная во времени диссипация, рассматривался многими физиками, часто в контексте максвелловского демона . Название происходит от мысленного эксперимента , описанного Джеймсом Клерком Максвеллом , в котором микроскопический демон охраняет ворота между двумя половинами комнаты. В одну половину он пропускает только медленные молекулы, в другую — только быстрые. В конечном итоге делая одну сторону комнаты более прохладной, чем раньше, а другую более горячей, энтропия комнаты , по-видимому, уменьшается и поворачивается вспять стрелу времени. По этому поводу было проведено множество анализов; все показывают, что когда энтропия комнаты и демона взята вместе, эта общая энтропия действительно увеличивается. Современный анализ этой проблемы принял во внимание отношение Клода Э. Шеннона между энтропией и информацией . Многие интересные результаты в современных вычислениях тесно связаны с этой проблемой: обратимые вычисления , квантовые вычисления и физические ограничения вычислений являются примерами. Эти, казалось бы, метафизические вопросы сегодня постепенно превращаются в гипотезы физических наук.

Нынешний консенсус зависит от идентификации Больцмана-Шеннона логарифма объема фазового пространства с отрицательной информацией Шеннона и, следовательно, с энтропией . В этом представлении фиксированное начальное состояние макроскопической системы соответствует относительно низкой энтропии, поскольку координаты молекул тела ограничены. По мере развития системы при наличии диссипации координаты молекул могут перемещаться в большие объемы фазового пространства, становясь более неопределенными и, таким образом, приводя к увеличению энтропии.

Большой взрыв

Одним из решений необратимости является утверждение, что постоянное увеличение энтропии, которое мы наблюдаем, происходит только из-за начального состояния нашей Вселенной. Другие возможные состояния Вселенной (например, Вселенная, находящаяся в равновесии тепловой смерти ) на самом деле не привели бы к увеличению энтропии. С этой точки зрения очевидная Т-асимметрия нашей Вселенной представляет собой проблему космологии : почему Вселенная возникла с низкой энтропией? Эта точка зрения, подкрепленная космологическими наблюдениями (такими как изотропия космического микроволнового фона ), связывает эту проблему с вопросом о начальных условиях Вселенной.

Черные дыры

Законы гравитации кажутся инвариантными к обращению времени в классической механике; однако конкретных решений быть не должно.

Объект может пересечь горизонт событий черной дыры снаружи , а затем быстро упасть в центральную область, где наше понимание физики нарушается. Поскольку внутри черной дыры передний световой конус направлен к центру, а обратный световой конус направлен наружу, невозможно даже определить обращение времени обычным способом. Единственный способ вырваться из черной дыры — это излучение Хокинга .

Обращением времени черной дыры мог бы стать гипотетический объект, известный как белая дыра . Внешне они кажутся похожими. В то время как черная дыра имеет начало и из нее невозможно убежать, белая дыра имеет конец и в нее нельзя войти. Передние световые конусы белой дыры направлены наружу; а его обратные световые конусы направлены к центру.

Горизонт событий черной дыры можно представить как поверхность, движущуюся наружу с местной скоростью света и находящуюся как раз на грани между ускользанием и падением назад. Горизонт событий белой дыры представляет собой поверхность, движущуюся внутрь с местной скоростью света и находящуюся на грани между выбрасыванием наружу и достижением центра. Это два разных типа горизонтов: горизонт белой дыры подобен горизонту черной дыры, вывернутой наизнанку.

Современный взгляд на необратимость черной дыры заключается в том, чтобы связать ее со вторым законом термодинамики, поскольку черные дыры рассматриваются как термодинамические объекты . Например, согласно гипотезе калибровочно-гравитационной дуальности , все микроскопические процессы в черной дыре обратимы, и только коллективное поведение необратимо, как и в любой другой макроскопической, тепловой системе. ^{[ нужна цитата ]}

Кинетические последствия: детальный баланс и взаимные отношения Онзагера

В физической и химической кинетике Т-симметрия механо-микроскопических уравнений предполагает два важных закона: принцип детального баланса и соотношения взаимности Онзагера . Т-симметрию микроскопического описания вместе с ее кинетическими следствиями называют микроскопической обратимостью .

Влияние обращения времени на некоторые переменные классической физики

Даже

Классические переменные, которые не изменяются при развороте времени, включают:

{\vec {x}}

, положение частицы в трехмерном пространстве

{\vec {a}}

, ускорение частицы

{\vec {F}}

, сила, действующая на частицу

E

, энергия частицы

V

, электрический потенциал (напряжение)

{\vec {E}}

, электрическое поле

{\vec {D}}

, электрическое смещение

\rho

, плотность электрического заряда

{\vec {P}}

, электрическая поляризация

Плотность энергии электромагнитного поля

T_{ij}

, Тензор напряжений Максвелла

Все массы, заряды, константы связи и другие физические константы, кроме тех, которые связаны со слабым взаимодействием.

Странный

Классические переменные, которые отрицает обращение времени, включают:

t

, время, когда происходит событие

{\vec {v}}

, скорость частицы

{\vec {p}}

, импульс частицы

{\vec {l}}

, угловой момент частицы (как орбитальный, так и спиновый)

{\vec {A}}

, электромагнитный векторный потенциал

{\vec {B}}

, магнитное поле

{\vec {H}}

, вспомогательное магнитное поле

{\vec {j}}

, плотность электрического тока

{\vec {M}}

, намагниченность

{\vec {S}}

, вектор Пойнтинга

{\mathcal {P}}

, мощность (скорость совершения работы).

Пример: магнитное поле и взаимные отношения Онзагера.

Рассмотрим пример системы заряженных частиц, находящейся в постоянном внешнем магнитном поле: в этом случае каноническая операция обращения времени, обращающая скорости и время на противоположные и сохраняющая координаты нетронутыми, больше не является симметрией для системы. С учетом этого кажется, что могут сохраняться только взаимные отношения Онзагера-Казимира; ^[2] эти равенства относятся к двум различным системам, одна подчиняется , а другая - , и поэтому их полезность ограничена. Однако было доказано, что можно найти и другие операции обращения времени, сохраняющие динамику и, следовательно, обратные отношения Онзагера; ^[3]^[4]^[5] в заключение нельзя утверждать, что наличие магнитного поля всегда нарушает Т-симметрию. $t$ ${\vec {B}}$ $-{\vec {B}}$

Микроскопические явления: инвариантность обращения времени

Большинство систем асимметричны относительно обращения времени, но могут существовать явления с симметрией. В классической механике скорость v меняется под действием Т , а ускорение — нет. ^[6] Таким образом, диссипативные явления моделируются с помощью членов, которые нечетны по v . Однако деликатные эксперименты, в которых устраняются известные источники диссипации, показывают, что законы механики инвариантны относительно обращения времени. Сама диссипация возникает во втором законе термодинамики .

Движение заряженного тела в магнитном поле B включает в себя скорость через член силы Лоренца v × B и на первый взгляд может показаться асимметричным относительно T . Более пристальный взгляд убеждает нас, что B также меняет знак при обращении времени. Это происходит потому , что магнитное поле создается электрическим током J , который меняет знак при Т. Таким образом, движение классических заряженных частиц в электромагнитных полях также инвариантно относительно обращения времени. (Несмотря на это, все же полезно рассматривать неинвариантность относительно обращения времени в локальном смысле при фиксированном внешнем поле, например при анализе магнитооптического эффекта . Это позволяет проанализировать условия, при которых оптические явления могут возникнуть локальные нарушения обращения времени, такие как изоляторы Фарадея и направленный дихроизм.)

В физике законы движения, называемые кинематикой , отделяются от законов силы, называемых динамикой . Следуя классической кинематике законов движения Ньютона , кинематика квантовой механики построена таким образом, что ничего не предполагает симметрии динамики относительно обращения времени. Другими словами, если динамика инвариантна, то кинематика позволит ей оставаться инвариантной; если динамики нет, то и кинематика это покажет. Структура квантовых законов движения богаче, и мы рассмотрим их далее.

Обращение времени в квантовой механике

Двумерные представления четности задаются парой квантовых состояний, которые переходят друг в друга при четности. Однако это представление всегда можно свести к линейным комбинациям состояний, каждое из которых либо четное, либо нечетное по четности. Говорят, что все неприводимые представления четности одномерны. Теорема Крамерса утверждает, что обращение времени не обязательно должно обладать этим свойством, поскольку оно представлено антиунитарным оператором.

В этом разделе обсуждаются три наиболее важных свойства обращения времени в квантовой механике; главным образом,

что его необходимо представить как антиунитарный оператор,
что он защищает невырожденные квантовые состояния от наличия электрического дипольного момента ,
что он имеет двумерные представления со свойством T ² = −1 (для фермионов ).

Странность этого результата очевидна, если сравнить его с четностью. Если четность преобразует пару квантовых состояний друг в друга, то сумма и разность этих двух базисных состояний являются состояниями хорошей четности. Обращение времени не ведет себя подобным образом. Кажется, это нарушает теорему о том, что все абелевы группы могут быть представлены одномерными неприводимыми представлениями. Причина, по которой он это делает, заключается в том, что он представлен антиунитарным оператором. Таким образом, это открывает путь к спинорам в квантовой механике.

С другой стороны, идея квантово-механического обращения времени оказывается полезным инструментом для разработки физически мотивированных квантовых вычислений и настроек моделирования , предоставляя в то же время относительно простые инструменты для оценки их сложности . Например, квантово-механическое обращение времени использовалось для разработки новых схем выборки бозонов ^[7] и для доказательства двойственности между двумя фундаментальными оптическими операциями: светоделителем и сжимающими преобразованиями. ^[8]

Формальные обозначения

В формальных математических представлениях Т-симметрии необходимо тщательно различать три различных вида обозначений Т : Т , представляющее собой инволюцию , фиксирующую фактическое обращение временной координаты, Т, представляющее собой обычную конечномерную матрицу, действующую на спиноры и векторы, а также оператор T в бесконечномерном гильбертовом пространстве .

Для реального (не комплексного ) классического (неквантованного) скалярного поля инволюцию обращения времени можно просто записать как $\phi$

{\mathsf {T}}\phi (t,{\vec {x}})=\phi ^{\prime }(-t,{\vec {x}})=s\phi (t,{\vec {x}})

поскольку обращение времени оставляет скалярное значение в фиксированной точке пространства-времени неизменным, вплоть до общего знака . Немного более формальный способ написать это: $s=\pm 1$

{\mathsf {T}}:\phi (t,{\vec {x}})\mapsto \phi ^{\prime }(-t,{\vec {x}})=s\phi (t,{\vec {x}})

Преимущество которого заключается в том, что оно подчеркивает, что это карта и, следовательно, обозначение «mapsto», тогда как это фактическое утверждение, связывающее старое и новое поля друг с другом. ${\mathsf {T}}$ $\mapsto ~,$ $\phi ^{\prime }(-t,{\vec {x}})=s\phi (t,{\vec {x}})$

В отличие от скалярных полей, спинорные и векторные поля могут вести себя нетривиально при обращении времени. В этом случае нужно написать $\psi$

{\mathsf {T}}:\psi (t,{\vec {x}})\mapsto \psi ^{\prime }(-t,{\vec {x}})=T\psi (t,{\vec {x}})

где это обычная матрица . Для сложных полей может потребоваться комплексное сопряжение , для которого отображение можно представить как матрицу 2x2. Для спинора Дирака , нельзя записать в виде матрицы 4x4, потому что на самом деле действительно требуется комплексное сопряжение; однако ее можно записать в виде матрицы 8x8, действующей на 8 действительных компонент спинора Дирака. $T$ $K:(x+iy)\mapsto (x-iy)$ $T$

В общих настройках для параметра не может быть задано первоначальное значение ; его фактическая форма зависит от конкретного исследуемого уравнения или уравнений. В общем, кто-то просто утверждает, что уравнения должны быть инвариантными относительно обращения времени, а затем находит явное значение, которое достигает этой цели. В некоторых случаях можно привести общие аргументы. Так, например, для спиноров в трехмерном евклидовом пространстве или четырехмерном пространстве Минковского можно дать явное преобразование. Условно его представляют как $T$ $T$

T=e^{i\pi J_{y}}K

где – y-компонента оператора углового момента , а – комплексное сопряжение, как и раньше. Эта форма возникает всякий раз, когда спинор может быть описан с помощью линейного дифференциального уравнения первого порядка по производной по времени, что обычно имеет место для того, чтобы что-то можно было правильно называть «спинором». $J_{y}$ $K$

Формальные обозначения теперь проясняют, как распространить обращение времени на произвольное тензорное поле . В этом случае $\psi _{abc\cdots }$

{\mathsf {T}}:\psi _{abc\cdots }(t,{\vec {x}})\mapsto \psi _{abc\cdots }^{\prime }(-t,{\vec {x}})={T_{a}}^{d}\,{T_{b}}^{e}\,{T_{c}}^{f}\cdots \psi _{def\cdots }(t,{\vec {x}})

Ковариантные тензорные индексы будут трансформироваться как и так далее. Для квантовых полей существует также третий T , записанный как который на самом деле является бесконечномерным оператором, действующим в гильбертовом пространстве. Он действует на квантованные поля как ${T_{a}}^{b}={(T^{-1})_{b}}^{a}$ ${\mathcal {T}},$ $\Psi$

{\mathsf {T}}:\Psi (t,{\vec {x}})\mapsto \Psi ^{\prime }(-t,{\vec {x}})={\mathcal {T}}\Psi (t,{\vec {x}}){\mathcal {T}}^{-1}

Это можно рассматривать как частный случай тензора с одним ковариантным и одним контравариантным индексом, поэтому требуются два индекса. ${\mathcal {T}}$

Все три этих символа отражают идею обращения времени; они различаются в зависимости от конкретного пространства , на которое воздействуют: функции, векторы/спиноры или бесконечномерные операторы. В оставшейся части статьи нет необходимости различать эти три; буква T , которая появляется ниже, означает «или » или « или» в зависимости от контекста, оставленная читателю на усмотрение. ${\mathsf {T}}$ $T$ ${\mathcal {T}},$

Антиунитарное представление обращения времени

Юджин Вигнер показал, что операция симметрии S гамильтониана представлена в квантовой механике либо унитарным оператором S = U , либо антиунитарным оператором S = UK , где U унитарно, а K обозначает комплексное сопряжение . Это единственные операции, которые действуют в гильбертовом пространстве так, чтобы сохранить длину проекции любого одного вектора состояния на другой вектор состояния.

Рассмотрим оператор четности . Воздействуя на позицию, он меняет направления пространства, так что PxP ⁻¹ = − x . Точно так же он меняет направление импульса , так что PpP ⁻¹ = − p , где x и p — операторы положения и импульса. Это сохраняет канонический коммутатор [ x , p ] = iħ , где ħ — приведенная постоянная Планка , только если P выбрано унитарным, PiP ⁻¹ = i .

С другой стороны, оператор обращения времени T ничего не делает с оператором x, TxT ⁻¹ = x , но меняет направление p на противоположное, так что TpT ⁻¹ = − p . Канонический коммутатор инвариантен только в том случае, если T выбран антиунитарным, т. е. TiT ⁻¹ = − i .

Другой аргумент касается энергии, временной составляющей четырехимпульса. Если бы обращение времени было реализовано как унитарный оператор, оно изменило бы знак энергии точно так же, как обращение пространства меняет знак импульса. Это невозможно, потому что, в отличие от импульса, энергия всегда положительна. Поскольку энергия в квантовой механике определяется как фазовый коэффициент exp(– iEt ), который человек получает, когда движется вперед во времени, способ повернуть время вспять, сохраняя при этом знак энергии, состоит в том, чтобы также обратить смысл « i », поэтому что смысл фаз обратный.

Точно так же любая операция, меняющая направление фазы, меняющая знак i , превратит положительные энергии в отрицательные, если только она не изменит также направление времени. Таким образом, каждая антиунитарная симметрия в теории с положительной энергией должна изменить направление времени. Любой антиунитарный оператор можно записать как произведение оператора обращения времени и унитарного оператора, не обращающего время.

Для частицы со спином J можно использовать представление

T=e^{-i\pi J_{y}/\hbar }K,

где J _y — y -компонента спина, и использовано TJT −1 ⁼ − J.

Электрические дипольные моменты

Это имеет интересные последствия для электрического дипольного момента (ЭДМ) любой частицы. ЭДМ определяется через сдвиг энергии состояния, когда оно помещено во внешнее электрическое поле: Δ e = d· E + E · δ· E , где d называется ЭДМ, а δ - индуцированным дипольным моментом. Одним из важных свойств ЭДМ является то, что вызванный им сдвиг энергии меняет знак при преобразовании четности. Однако, поскольку d является вектором, его математическое ожидание в состоянии |ψ⟩ должно быть пропорционально ⟨ψ| J |ψ⟩, это ожидаемый спин. Таким образом, при обращении времени инвариантное состояние должно иметь исчезающую ЭДМ. Другими словами, неисчезающий EDM сигнализирует о нарушении P- и T -симметрии. ^[9]

Некоторые молекулы, такие как вода, должны иметь EDM независимо от того, является ли T симметрией. Это верно; если квантовая система имеет вырожденные основные состояния, которые переходят друг в друга при четности, то для получения EDM не обязательно нарушать обращение времени.

Экспериментально наблюдаемые границы электрического дипольного момента нуклона в настоящее время устанавливают строгие ограничения на нарушение симметрии обращения времени в сильных взаимодействиях и их современной теории: квантовой хромодинамики . Затем, используя CPT-инвариантность релятивистской квантовой теории поля , это накладывает строгие ограничения на сильное CP-нарушение .

Экспериментальные ограничения на электрический дипольный момент электрона также накладывают ограничения на теории физики элементарных частиц и их параметров. ^[10]^[11]

Теорема Крамерса

Для T , который является антиунитарным генератором симметрии Z ₂

Т ² = UKUK = UU ^* = U ( U ^T ) ⁻¹ = Φ,

где Φ — диагональная матрица фаз. В результате U ⁼ Φ UT и UT = U Φ , показывая ^, что

U = Ф U Ф.

Это означает, что элементы в Φ равны ±1, в результате чего может быть либо T ² = ±1 . Это характерно для антиунитарности T . Для унитарного оператора, такого как четность , допускается любая фаза.

Далее возьмем гамильтониан, инвариант относительно T . Пусть | а ⟩ и Т | a ⟩ — два квантовых состояния с одинаковой энергией. Теперь, если T ² = −1 , то обнаруживается, что состояния ортогональны: результат, называемый теоремой Крамерса . Отсюда следует, что если T ² = −1 , то состояние имеет двукратное вырождение. Этот результат в нерелятивистской квантовой механике предвещает теорему о спиновой статистике квантовой теории поля .

Квантовые состояния , которые дают унитарное представление обращения времени, т. е. имеют T ² = 1 , характеризуются мультипликативным квантовым числом , иногда называемым T-четностью .

Обращение времени известных динамических законов

Физика элементарных частиц систематизировала основные законы динамики в стандартную модель . Это сформулировано как квантовая теория поля , которая обладает симметрией CPT , т. е. законы инвариантны при одновременной операции обращения времени, четности и зарядового сопряжения . Однако само по себе обращение времени не является симметрией (обычно это называют CP-нарушением ). Есть два возможных источника этой асимметрии: один из-за смешивания разных сортов кварков в их слабых распадах , второй из-за прямого CP-нарушения в сильных взаимодействиях. Первое наблюдается в экспериментах, второе сильно ограничено ненаблюдением ЭДМ нейтрона .

Нарушение обращения времени не связано со вторым законом термодинамики , поскольку из-за сохранения симметрии CPT эффект обращения времени заключается в переименовании частиц в античастицы и наоборот . Таким образом, считается, что второй закон термодинамики возникает в начальных условиях Вселенной.

Обращение времени неинвазивных измерений

Сильные измерения (как классические, так и квантовые), безусловно, вызывают беспокойство, вызывая асимметрию из-за второго закона термодинамики . Однако неинвазивные измерения не должны нарушать эволюцию, поэтому ожидается, что они будут симметричными во времени. Удивительно, но это верно только в классической физике, но не в квантовой физике, даже в термодинамически инвариантном состоянии равновесия. ^[1] Этот тип асимметрии не зависит от симметрии CPT , но еще не подтвержден экспериментально из-за экстремальных условий проверки.