функтор Tor

Construction in homological algebra

В математике функторы Tor являются производными функторами тензорного произведения модулей над кольцом . Наряду с функтором Ext , Tor является одним из центральных понятий гомологической алгебры , в которой идеи алгебраической топологии используются для построения инвариантов алгебраических структур. Гомологии групп , алгебр Ли и ассоциативных алгебр могут быть определены в терминах Tor. Название происходит от соотношения между первой группой Tor Tor ₁ и подгруппой кручения абелевой группы .

В частном случае абелевых групп Tor был введен Эдуардом Чехом (1935) и назван Самуэлем Эйленбергом около 1950 года . ^[1] Впервые он был применен к теореме Кюннета и теореме об универсальном коэффициенте в топологии. Для модулей над любым кольцом Tor был определен Анри Картаном и Эйленбергом в их книге 1956 года «Гомологическая алгебра» . ^[2]

Определение

Пусть R — кольцо . Обозначим через R -Mod категорию левых R -модулей , а через Mod- R — категорию правых R -модулей. (Если R коммутативно , то эти две категории можно отождествить.) Для фиксированного левого R -модуля B пусть для A в Mod- R . Это точный справа функтор из Mod- R в категорию абелевых групп Ab, и поэтому он имеет левые производные функторы . Группы Tor — это абелевы группы, определяемые для целого числа i . По определению это означает: взять любую проективную резольвенту и удалить A , и сформировать цепной комплекс : ${\displaystyle T(A)=A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle L_{i}T}$ $${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=(L_{i}T)(A),}$$ $${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$$ $${\displaystyle \cdots \to P_{2}\otimes _{R}B\to P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B\to 0}$$

Для каждого целого числа i группа является гомологией этого комплекса в позиции i . Она равна нулю для отрицательного i. Более того, является коядром отображения , которое изоморфно . ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{R}(A,B)}$ ${\displaystyle P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

В качестве альтернативы можно определить Tor, зафиксировав A и взяв левые производные функторы правого точного функтора G ( B ) = A ⊗ _R B . То есть, тензор A с проективным разрешением B и взять гомологии. Картан и Эйленберг показали, что эти конструкции не зависят от выбора проективного разрешения, и что обе конструкции дают одни и те же группы Tor. ^[3] Более того, для фиксированного кольца R , Tor является функтором по каждой переменной (от R -модулей до абелевых групп).

Для коммутативного кольца R и R -модулей A и B , Tor^Р
_я( A , B ) является R -модулем (используя то, что A ⊗ _R B является R -модулем в этом случае). Для некоммутативного кольца R , Tor^Р
_я( A , B ) — это всего лишь абелева группа, в общем случае. Если R — алгебра над кольцом S (что означает, в частности, что S коммутативно), то Tor^Р
_я( A , B ) является по крайней мере S -модулем.

Характеристики

Вот некоторые основные свойства и вычисления групп Tor. ^[4]

• Тор^Р
  ₀( A , B ) ≅ A ⊗ _R B для любого правого R -модуля A и левого R -модуля B .
• Тор^Р
  _я( A , B ) = 0 для всех i > 0, если либо A , либо B являются плоскими (например, свободными ) как R -модули. Фактически, можно вычислить Tor, используя плоскую резолюцию либо A , либо B ; это более общее, чем проективная (или свободная) резолюция. ^[5]
• Существуют обратные утверждения к предыдущему утверждению:
  • Если Тор^Р
    ₁( A , B ) = 0 для всех B , тогда A является плоским (и, следовательно, Tor^Р
    _я( А , В ) = 0 для всех i > 0).
  • Если Тор^Р
    ₁( A , B ) = 0 для всех A , тогда B плоский (и, следовательно, Tor^Р
    _я( А , В ) = 0 для всех i > 0).
• В силу общих свойств производных функторов , каждая короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 правых R -модулей индуцирует длинную точную последовательность вида ^[6] для любого левого R -модуля B. Аналогичная точная последовательность верна и для Tor относительно второй переменной. $${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Tor} _{2}^{R}(M,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(K,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(L,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,B)\to K\otimes _{R}B\to L\otimes _{R}B\to M\otimes _{R}B\to 0,}$$
• Симметрия: для коммутативного кольца R существует естественный изоморфизм Tor^Р
  _я( А , Б ) ≅ Тор^Р
  _я( B , A ). ^[7] (Для коммутативного R нет необходимости различать левые и правые R -модули.)
• Если R — коммутативное кольцо и u в R не является делителем нуля , то для любого R -модуля B , где — u -торсионная подгруппа B. Это объясняет название Tor. Если рассматривать R как кольцо целых чисел, то это вычисление можно использовать для вычисления для любой конечно порожденной абелевой группы A. $${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B/uB&i=0\\B[u]&i=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle B[u]=\{x\in B:ux=0\}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(A,B)}$
• Обобщая предыдущий пример, можно вычислить группы Tor, включающие фактор-группу коммутативного кольца по любой регулярной последовательности , используя комплекс Кошуля . ^[8] Например, если R — кольцо многочленов k [ x ₁ , ..., x _n ] над полем k , то — внешняя алгебра над k с n образующими в Tor ₁ . ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} }(A,B)=0}$для всех i ≥ 2. Причина: каждая абелева группа A имеет свободную резольвенту длины 1, поскольку каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой.
• Обобщая предыдущий пример, для всех i ≥ 2, если $R$ — область главных идеалов (PID). Причина: каждый модуль A над PID имеет свободную резольвенту длины 1, поскольку каждый подмодуль свободного модуля над PID свободен. ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=0}$
• Для любого кольца R Tor сохраняет прямые суммы (возможно, бесконечные) и отфильтрованные копределы по каждой переменной. ^[9] Например, в первой переменной это говорит о том, что $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \bigoplus _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\varinjlim _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \varinjlim _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\end{aligned}}}$$
• Изменение плоской базы: для коммутативной плоской R -алгебры T , R -модулей A и B , и целого числа i , ^[10] Отсюда следует, что Tor коммутирует с локализацией . То есть для мультипликативно замкнутого множества S в R , $${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)\otimes _{R}T\cong \mathrm {Tor} _{i}^{T}(A\otimes _{R}T,B\otimes _{R}T).}$$ $${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)\cong \operatorname {Tor} _{i}^{S^{-1}R}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$$
• Для коммутативного кольца R и коммутативных R -алгебр A и B , Tor^Р
  _*( A , B ) имеет структуру градуированно-коммутативной алгебры над R. Более того, элементы нечетной степени в алгебре Tor имеют квадратный ноль, и существуют операции разделения степеней над элементами положительной четной степени. ^[11]

Важные особые случаи

• Групповая гомология определяется следующим образом: где G — группа, M — представление G над целыми числами, а — групповое кольцо G. ${\displaystyle H_{*}(G,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$
• Для алгебры A над полем k и A - бимодуля M гомологии Хохшильда определяются формулой $${\displaystyle HH_{*}(A,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}(A,M).}$$
• Гомологии алгебры Ли определяются соотношением , где — алгебра Ли над коммутативным кольцом R , M — -модуль, а — универсальная обертывающая алгебра . ${\displaystyle H_{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Tor} _{*}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$
• Для коммутативного кольца R с гомоморфизмом на поле k , является градуированно-коммутативной алгеброй Хопфа над k . ^[12] (Если R является нётеровым локальным кольцом с полем вычетов k , то двойственная алгебра Хопфа к является Ext ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$^*
  _Р( k , k ).) Как алгебра, является свободной градуированно-коммутативной разделенной степенной алгеброй на градуированном векторном пространстве π _* ( R ). ^[13] Когда k имеет нулевую характеристику , π _* ( R ) можно отождествить с гомологией Андре-Квиллена D _* ( k / R , k ). ^[14] ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$

Смотрите также

• Плоский морфизм
• Формула пересечения Серра
• Производное тензорное произведение
• Спектральная последовательность Эйленберга–Мура

Примечания

1. Вайбель (1999).
2. Картан и Эйленберг (1956), раздел VI.1.
3. Вайбель (1994), раздел 2.4 и теорема 2.7.2.
4. Вайбель (1994), главы 2 и 3.
5. Вайбель (1994), Лемма 3.2.8.
6. Вейбель (1994), Определение 2.1.1.
7. Weibel (1994), Замечание в разделе 3.1.
8. Вайбель (1994), раздел 4.5.
9. Вайбель (1994), Следствие 2.6.17.
10. Вайбель (1994), Следствие 3.2.10.
11. Аврамов и Гальперин (1986), раздел 2.16; Проект Stacks, тег 09PQ.
12. Аврамов и Гальперин (1986), раздел 4.7.
13. Гулликсен и Левин (1969), Теорема 2.3.5; Сёдин (1980), Теорема 1.
14. Квиллен (1970), раздел 7.

Ссылки

• Аврамов, Лучезар ; Гальперин, Стивен (1986), «Сквозь зеркало: словарь между рациональной теорией гомотопии и локальной алгеброй», в J.-E. Roos (ред.), Алгебра, алгебраическая топология и их взаимодействие (Стокгольм, 1983) , Lecture Notes in Mathematics, т. 1183, Springer Nature , стр. 1–27, doi :10.1007/BFb0075446, ISBN 978-3-540-16453-1, МР  0846435
• Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1999) [1956], Гомологическая алгебра , Принстон: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2, МР  0077480
• Чех, Эдуард (1935), «Les groupes de Betti d'un complexe infini» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 25 : 33–44, doi : 10.4064/fm-25-1-33-44 , JFM  61.0609.02
• Гулликсен, Тор; Левин, Герсон (1969), Гомологии локальных колец , Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics, т. 20, Университет Квинс, MR  0262227
• Куиллен, Дэниел (1970), «О (ко)гомологиях коммутативных колец», Приложения категорической алгебры , Proc. Symp. Pure Mat., т. 17, Американское математическое общество , стр. 65–87, MR  0257068
• Сьёдин, Гуннар (1980), «Алгебры Хопфа и дифференцирования», Journal of Algebra , 64 : 218–229, doi : 10.1016/0021-8693(80)90143-X , MR  0575792
• Weibel, Charles A. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.
• Вайбель, Чарльз (1999), «История гомологической алгебры», История топологии (PDF) , Амстердам: Северная Голландия, стр. 797–836, MR  1721123

Внешние ссылки

• Авторы проекта «Стеки», проект «Стеки»