Трансцендентальная функция

Analytic function that does not satisfy a polynomial equation

В математике трансцендентная функция — это аналитическая функция , не удовлетворяющая полиномиальному уравнению, в отличие от алгебраической функции . ^{[1] [2]} Другими словами, трансцендентная функция «трансцендирует» алгебру в том смысле, что ее нельзя выразить алгебраически с использованием конечного количества терминов.

Примеры трансцендентных функций включают показательную функцию , логарифм и тригонометрические функции .

Определение

Формально аналитическая функция f ( z ) одной действительной или комплексной переменной z является трансцендентной, если она алгебраически независима от этой переменной. ^[3] Это можно распространить на функции нескольких переменных .

История

Трансцендентные функции синус и косинус были сведены в таблицы на основе физических измерений в древности, о чем свидетельствуют Греция ( Гиппарх ) и Индия ( джья и коти-джья ). Описывая таблицу аккордов Птолемея , эквивалентную таблице синусов, Олаф Педерсен писал:

Математическое понятие непрерывности как явное понятие неизвестно Птолемею. То, что он фактически рассматривает эти функции как непрерывные, следует из его невысказанного предположения, что можно определить значение зависимой переменной, соответствующее любому значению независимой переменной, с помощью простого процесса линейной интерполяции . ^[4]

Революционное понимание этих круговых функций произошло в 17 веке и было объяснено Леонардом Эйлером в 1748 году в его «Введении в анализ бесконечного» . Эти древние трансцендентные функции стали известны как непрерывные функции благодаря квадратуре прямоугольной гиперболы xy = 1 Грегуара де Сен-Винсента в 1647 году, через два тысячелетия после того, как Архимед создал «Квадратуру параболы» .

Было показано, что площадь под гиперболой обладает масштабирующим свойством постоянной площади при постоянном отношении границ. Описанная таким образом функция гиперболического логарифма имела ограниченное применение до 1748 года, когда Леонард Эйлер связал ее с функциями, в которых константа возводится в переменную степень, например, с экспоненциальной функцией , в которой основание константы равно e . Введя эти трансцендентные функции и отметив свойство биекции , которое влечет за собой обратную функцию , были предоставлены некоторые возможности для алгебраических манипуляций с натуральным логарифмом, даже если он не является алгебраической функцией.

Записана показательная функция . Эйлер отождествил его с бесконечным рядом , где k ! обозначает факториал числа k . ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$

Четные и нечетные члены этого ряда дают суммы, обозначающие cosh( x ) и sinh( x ) , так что эти трансцендентные гиперболические функции можно преобразовать в круговые функции синус и косинус путем введения (−1) ^k в ряд, что приводит к чередованию ряд . После Эйлера математики рассматривают синус и косинус таким образом, чтобы связать трансцендентность с логарифмами и показательными функциями, часто с помощью формулы Эйлера в арифметике комплексных чисел . ${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x.}$

Примеры

Пусть c — положительная константа. Следующие функции являются трансцендентными:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(x)&=x^{\pi }\\[2pt]f_{2}(x)&=c^{x}\\[2pt]f_{3}(x)&=x^{x}\\f_{4}(x)&=x^{\frac {1}{x}}={\sqrt[{x}]{x}}\\[2pt]f_{5}(x)&=\log _{c}x\\[2pt]f_{6}(x)&=\sin {x}\end{aligned}}}$$

Для второй функции , если мы приравняем основание натурального логарифма , то получим, что это трансцендентная функция. Аналогично, если мы приравняем in , то получим, что (т. е. натуральный логарифм ) является трансцендентной функцией. ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f_{5}(x)}$ ${\displaystyle f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x}$

Алгебраические и трансцендентные функции

Наиболее знакомыми трансцендентными функциями являются логарифм , экспонента (с любым нетривиальным основанием), тригонометрические и гиперболические функции , а также обратные всем им. Менее известны специальные функции анализа , такие как гамма- , эллиптическая и дзета-функции , которые все являются трансцендентными. Обобщенные гипергеометрические функции и функции Бесселя в общем случае трансцендентны, но алгебраичны для некоторых специальных значений параметров.

Функция, не являющаяся трансцендентной, является алгебраической . Простыми примерами алгебраических функций являются рациональные функции и функция квадратного корня , но в целом алгебраические функции не могут быть определены как конечные формулы элементарных функций. ^[5]

Неопределенный интеграл многих алгебраических функций трансцендентен. Например, функция логарифма возникла из обратной функции при попытке найти площадь гиперболического сектора .

Дифференциальная алгебра исследует, как при интегрировании часто создаются функции, алгебраически независимые от некоторого класса, например, когда в качестве переменных берутся полиномы с тригонометрическими функциями.

Трансцендентно-трансцендентные функции

Большинство известных трансцендентных функций, включая специальные функции математической физики, являются решениями алгебраических дифференциальных уравнений . Те, которые не являются такими, как гамма- и дзета- функции, называются трансцендентно-трансцендентными или гипертрансцендентными функциями. ^[6]

Исключительный набор

Если f — алгебраическая функция и алгебраическое число , то f ( α ) также является алгебраическим числом. Обратное неверно: существуют целые трансцендентные функции f такие, что f ( α ) — алгебраическое число для любого алгебраического α . ^[7] Для данной трансцендентной функции множество алгебраических чисел, дающих алгебраические результаты, называется исключительным множеством этой функции. ^{[8] [9]} Формально это определяется следующим образом: ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\mathcal {E}}(f)=\left\{\alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}\,:\,f(\alpha )\in {\overline {\mathbb {Q} }}\right\}.}$$

Во многих случаях исключительный набор довольно мал. Например, это было доказано Линдеманном в 1882 году. В частности, exp(1) = e трансцендентно. Кроме того, поскольку exp( iπ ) = −1 является алгебраическим, мы знаем, что iπ не может быть алгебраическим. Поскольку i алгебраическое число, это означает, что π — трансцендентное число . ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\exp )=\{0\},}$

В общем, нахождение исключительного множества функции — сложная задача, но если его можно вычислить, то это часто может привести к результатам в трансцендентной теории чисел . Вот еще несколько известных исключительных наборов:

• j -инвариант Клейна
  $${\displaystyle {\mathcal {E}}(j)=\left\{\alpha \in {\mathcal {H}}\,:\,[\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]=2\right\},}$$
  где – верхняя полуплоскость , – степень числового поля. Этот результат принадлежит Теодору Шнайдеру . ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha ).}$
• Показательная функция по основанию 2:
  $${\displaystyle {\mathcal {E}}(2^{x})=\mathbb {Q} ,}$$
  Этот результат является следствием теоремы Гельфонда-Шнайдера , которая утверждает, что если алгебраично, алгебраично и иррационально, то оно трансцендентно. Таким образом, функцию 2 ^x можно заменить на c ^x для любого алгебраического c, не равного 0 или 1. Действительно, мы имеем: ${\displaystyle \alpha \neq 0,1}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$
  $${\displaystyle {\mathcal {E}}(x^{x})={\mathcal {E}}\left(x^{\frac {1}{x}}\right)=\mathbb {Q} \setminus \{0\}.}$$
• Следствием гипотезы Шануэля в теории трансцендентных чисел было бы то, что ${\displaystyle {\mathcal {E}}\left(e^{e^{x}}\right)=\emptyset .}$
• Функция с пустым исключительным множеством, не требующая предположения гипотезы Шануэля, равна ${\displaystyle f(x)=\exp(1+\pi x).}$

Хотя вычислить исключительный набор для данной функции непросто, известно, что для любого подмножества алгебраических чисел, скажем, A , существует трансцендентная функция, исключительным набором которой является A. ^[11] Подмножество не обязательно должно быть собственным, то есть A может быть множеством алгебраических чисел. Это напрямую подразумевает, что существуют трансцендентные функции, которые производят трансцендентные числа только тогда, когда заданы трансцендентные числа. Алекс Уилки также доказал, что существуют трансцендентные функции, для которых не существуют логические доказательства их трансцендентности первого порядка, предоставив примерную аналитическую функцию . ^[12]

Размерный анализ

В анализе размерностей трансцендентные функции примечательны тем, что они имеют смысл только тогда, когда их аргумент безразмерен ( возможно, после алгебраической редукции). Из-за этого трансцендентные функции могут быть легко обнаруживаемым источником размерных ошибок. Например, log(5 метров) — бессмысленное выражение, в отличие от log(5 метров / 3 метра) или log(3) метров . Можно попытаться применить логарифмическое тождество, чтобы получить log(5) + log(meters) , что подчеркивает проблему: применение неалгебраической операции к измерению приводит к бессмысленным результатам.

Смотрите также

• Сложная функция
• Функция (математика)
• Обобщенная функция
• Список специальных функций и эпонимов
• Список типов функций
• Рациональная функция
• Специальные функции

Рекомендации

1. Таунсенд, EJ (1915). Функции комплексной переменной . Х. Холт. п. 300. ОСЛК  608083625.
2. Хазевинкель, Мишель (1993). Энциклопедия математики . Том. 9. С. 236.
3. Вальдшмидт, М. (2000). Диофантова аппроксимация на линейных алгебраических группах. Спрингер. ISBN 978-3-662-11569-5.
4. Педерсен, Олаф (1974). Обзор Альмагеста . Издательство Оденсе Университета . п. 84. ИСБН 87-7492-087-1.
5. см. Теорема Абеля – Руффини
6. Рубель, Ли А. (ноябрь 1989 г.). «Обзор трансцендентно-трансцендентных функций». Американский математический ежемесячник . 96 (9): 777–788. дои : 10.1080/00029890.1989.11972282. JSTOR  2324840.
7. ван дер Портен, AJ (1968). «Трансцендентные целые функции, отображающие каждое поле алгебраических чисел в себя». Дж. Аустрал. Математика. Соц . 8 (2): 192–8. дои : 10.1017/S144678870000522X . S2CID  121788380.
8. Маркес, Д.; Лима, ФМС (2010). «Некоторые трансцендентные функции, которые дают трансцендентные значения для каждой алгебраической записи». arXiv : 1004.1668v1 [math.NT].
9. Арчинард, Н. (2003). «Исключительные множества гипергеометрических рядов». Журнал теории чисел . 101 (2): 244–269. дои : 10.1016/S0022-314X(03)00042-8.
10. Шнайдер, Т. (1937). «Арифметическая интегральная эллиптическая арифметика». Математика. Аннален . 113 : 1–13. дои : 10.1007/BF01571618. S2CID  121073687.
11. Вальдшмидт, М. (2009). «Вспомогательные функции в трансцендентной теории чисел». Журнал Рамануджана . 20 (3): 341–373. arXiv : 0908.4024 . doi : 10.1007/s11139-009-9204-y. S2CID  122797406.
12. Уилки, AJ (1998). «Алгебраически консервативная трансцендентная функция». Препринты Парижа VII . 66.

Внешние ссылки

• Определение «Трансцендентной функции» в математической энциклопедии.