Дифференцируемая функция

Математическая функция, производная которой существует

Дифференцируемая функция

В математике дифференцируемая функция одной действительной переменной — это функция , производная которой существует в каждой точке ее области определения . Другими словами, график дифференцируемой функции имеет невертикальную касательную линию в каждой внутренней точке ее области определения. Дифференцируемая функция является гладкой (функция локально хорошо аппроксимируется как линейная функция в каждой внутренней точке) и не содержит никаких изломов, углов или точек возврата .

Если x ₀ является внутренней точкой в ​​области определения функции f , то f называется дифференцируемой в точке x ₀ , если производная существует. Другими словами, график функции f имеет невертикальную касательную в точке ( x ₀ , f ( x ₀ )) . f называется дифференцируемой на U , если она дифференцируема в каждой точке U . f называется непрерывно дифференцируемой , если ее производная также является непрерывной функцией в области определения функции . Вообще говоря, f называется классом , если ее первые производные существуют и непрерывны в области определения функции . ${\displaystyle f'(x_{0})}$ ${\textstyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ ${\textstyle f}$

Для многомерной функции, как показано здесь, ее дифференцируемость является чем-то более сложным, чем существование ее частных производных.

Дифференцируемость действительных функций одной переменной

Функция , определенная на открытом множестве , называется дифференцируемой в точке , если производная ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\in U}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

существует. Это означает, что функция непрерывна в точке a .

Эта функция f называется дифференцируемой на U , если она дифференцируема в каждой точке U. В этом случае производная f является функцией из U в ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Непрерывная функция не обязательно дифференцируема, но дифференцируемая функция обязательно непрерывна (в каждой точке, где она дифференцируема), как показано ниже (в разделе Дифференцируемость и непрерывность). Функция называется непрерывно дифференцируемой, если ее производная также является непрерывной функцией; существуют функции, которые дифференцируемы, но не непрерывно дифференцируемы (пример приведен в разделе Классы дифференцируемости).

Дифференцируемость и непрерывность

Функция абсолютного значения непрерывна (т.е. не имеет разрывов). Она дифференцируема всюду, кроме точки x = 0, где она делает резкий поворот при пересечении оси y .

Точка возврата на графике непрерывной функции. В нуле функция непрерывна, но не дифференцируема.

Если f дифференцируема в точке x ₀ , то f также должна быть непрерывной в точке x ₀ . В частности, любая дифференцируемая функция должна быть непрерывной в каждой точке своей области определения. Обратное не верно : непрерывная функция не обязана быть дифференцируемой. Например, функция с изгибом, точкой возврата или вертикальной касательной может быть непрерывной, но не дифференцируемой в месте аномалии.

Большинство функций, которые встречаются на практике, имеют производные во всех точках или почти в каждой точке. Однако результат Стефана Банаха утверждает, что множество функций, которые имеют производную в некоторой точке, является скудным множеством в пространстве всех непрерывных функций. ^[1] Неформально это означает, что дифференцируемые функции очень нетипичны среди непрерывных функций. Первым известным примером функции, которая непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема, является функция Вейерштрасса .

Классы дифференцируемости

Дифференцируемые функции могут быть локально аппроксимированы линейными функциями.

Функция при и дифференцируема. Однако эта функция не является непрерывно дифференцируемой . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle f(0)=0}$

Говорят, что функция есть ${\textstyle f}$непрерывно дифференцируема , если производнаясуществует и сама является непрерывной функцией. Хотя производная дифференцируемой функции никогда не имеетскачка разрыва, возможно, что производная имеетсущественный разрыв. Например, функция дифференцируема в 0, так как существует. Однако дляправил дифференцированияследует, что не имеет предела, так какТаким образом, этот пример показывает существование функции, которая дифференцируема, но не непрерывно дифференцируема (т.е. производная не является непрерывной функцией). Тем не менее,теорема Дарбуподразумевает, что производная любой функции удовлетворяет заключениютеоремы о промежуточном значении. ${\textstyle f^{\prime }(x)}$ $${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0}$$ ${\displaystyle x\neq 0,}$ $${\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\;,}$$ ${\displaystyle x\to 0.}$

Аналогично тому, как непрерывные функции называются принадлежащими классу, ${\displaystyle C^{0},}$ непрерывно дифференцируемые функции иногда называются принадлежащими классу ${\displaystyle C^{1}}$ . Функция принадлежит классу ${\displaystyle C^{2}}$ , если первая и вторая производные функции существуют и являются непрерывными. В более общем смысле, функция называется принадлежащей классу ${\displaystyle C^{k}}$ , если все первые производные существуют и являются непрерывными. Если производные существуют для всех положительных целых чисел, функция является гладкой или, что эквивалентно, принадлежит классу ${\displaystyle k}$ ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\textstyle n,}$ ${\displaystyle C^{\infty }.}$

Дифференцируемость в высших измерениях

Функция нескольких действительных переменных f : R ^m → R ⁿ называется дифференцируемой в точке x ₀ , если существует линейное отображение J : R ^m → R ⁿ такое, что

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.}$

Если функция дифференцируема в точке x ₀ , то все частные производные существуют в точке x ₀ , а линейное отображение J задается матрицей Якоби , в данном случае матрицей n × m . Подобная формулировка производной более высокой размерности дается фундаментальной леммой об инкременте , найденной в исчислении с одной переменной.

Если все частные производные функции существуют в окрестности точки x0 и непрерывны в точке x0 , _то функция дифференцируема в этой _точке x0 _.

Однако существование частных производных (или даже всех производных по направлению ) не гарантирует, что функция дифференцируема в точке. Например, функция f : R ² → R , определяемая как

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}}$$

не дифференцируема в точке (0, 0) , но все частные производные и производные по направлению существуют в этой точке. Для непрерывного примера функция

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

не дифференцируема в точке (0, 0) , но все частные производные и производные по направлению существуют.

Дифференцируемость в комплексном анализе

В комплексном анализе комплексная дифференцируемость определяется с использованием того же определения, что и действительные функции с одной переменной. Это допускается возможностью деления комплексных чисел . Таким образом, функция называется дифференцируемой при ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle x=a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Хотя это определение выглядит похожим на дифференцируемость действительных функций с одной переменной, однако это более ограничительное условие. Функция , которая является комплексно-дифференцируемой в точке, автоматически дифференцируема в этой точке, если рассматривать ее как функцию . Это происходит потому, что комплексно-дифференцируемость подразумевает, что ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle x=a}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.}$

Однако функция может быть дифференцируемой как функция многих переменных, не будучи при этом комплексно-дифференцируемой. Например, дифференцируема в каждой точке, рассматриваемая как действительная функция двух переменных , но она не комплексно-дифференцируема ни в одной точке, поскольку предел не существует (например, он зависит от угла подхода). ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$ ${\displaystyle f(x,y)=x}$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}}$

Любая функция, комплексно-дифференцируемая в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке. Такая функция обязательно бесконечно дифференцируема и фактически аналитична .

Дифференцируемые функции на многообразиях

Если M — дифференцируемое многообразие , то действительная или комплекснозначная функция f на M называется дифференцируемой в точке p, если она дифференцируема относительно некоторой (или любой) координатной карты, определенной вокруг p . Если M и N — дифференцируемые многообразия, то функция f :  M  →  N называется дифференцируемой в точке p, если она дифференцируема относительно некоторой (или любой) координатной карты, определенной вокруг p и f ( p ).

Смотрите также

• Обобщения производной
• Полудифференцируемость
• Дифференцируемое программирование

Ссылки

1. Банах, С. (1931). «Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen». Студия Матем. 3 (1): 174–179. дои : 10.4064/см-3-1-174-179 .. Цитируется по Hewitt, E; Stromberg, K (1963). Реальный и абстрактный анализ . Springer-Verlag. Теорема 17.8.