Теория винтов представляет собой алгебраический расчет пар векторов , таких как угловая и линейная скорость , или сил и моментов , которые возникают в кинематике и динамике твердых тел . [1] [2]
Теория винта обеспечивает математическую формулировку геометрии линий , которая является центральной в динамике твердого тела , где линии образуют оси пространственного движения винта и линии действия сил. Пара векторов, образующих координаты Плюкера линии, определяет единичный винт, а общие винты получаются путем умножения на пару действительных чисел и сложения векторов . [3]
Важные теоремы теории винтов включают в себя: Принцип переноса доказывает, что геометрические вычисления для точек с использованием векторов имеют параллельные геометрические вычисления для линий, полученных путем замены векторов винтами. [4] Теорема Часла доказывает, что любое изменение между двумя положениями твердого объекта может быть выполнено с помощью одного винта. Теорема Пуансо доказывает, что вращение твердого объекта вокруг главной и малой, но не промежуточной, осей стабильно.
Теория винтов является важным инструментом в механике роботов, [5] [6] [7] [8] механическом проектировании, вычислительной геометрии и динамике многих тел . Частично это связано с взаимосвязью между винтами и двойными кватернионами , которые использовались для интерполяции движений твердого тела . [9] На основе теории винтов также разработан эффективный подход к типовому синтезу параллельных механизмов (параллельных манипуляторов или параллельных роботов). [10]
Пространственное смещение твердого тела можно определить вращением вокруг прямой и перемещением вдоль этой же линии, называемымвинтовое движение . Это известно кактеорема Шаля. Шесть параметров, определяющих движение винта, представляют собой четыре независимых компонента вектора Плюкера, который определяет ось винта, вместе с углом поворота вокруг и линейным скольжением вдоль этой линии и образуют пару векторов, называемыхвинтом. Для сравнения, шесть параметров, определяющих пространственное смещение, также могут быть заданы тремяуглами Эйлера, определяющими вращение, и тремя компонентами вектора перемещения.
Винт — это шестимерный вектор, построенный из пары трехмерных векторов, таких как силы и моменты, а также линейная и угловая скорость, которые возникают при исследовании пространственного движения твердого тела. Компоненты винта определяют координаты Плюкера линии в пространстве, а также величины вектора вдоль этой линии и момента вокруг этой линии.
Скрутка — это винт, используемый для представления скорости твердого тела в виде угловой скорости вокруг оси и линейной скорости вдоль этой оси. Все точки тела имеют одинаковую составляющую скорости вдоль оси, однако чем больше расстояние от оси, тем больше скорость в плоскости, перпендикулярной этой оси. Таким образом, геликоидальное поле, образованное векторами скорости в движущемся твердом теле, уплощается по мере удаления точек в радиальном направлении от оси закручивания.
Точки тела, испытывающие постоянное вращательное движение, следуют по спиралям в фиксированной системе отсчета. Если это винтовое движение имеет нулевой шаг, то траектории следуют по кругу, и движение представляет собой чистое вращение. Если движение винта имеет бесконечный шаг, то все траектории представляют собой прямые линии в одном направлении.
Векторы силы и крутящего момента, возникающие при применении законов Ньютона к твердому телу, можно собрать в винт, называемый гаечным ключом . Сила имеет точку приложения и линию действия, поэтому она определяет плюкеровские координаты линии в пространстве и имеет нулевой шаг. С другой стороны, крутящий момент — это чистый момент, который не привязан к линии в пространстве и представляет собой винт с бесконечным шагом. Отношение этих двух величин определяет шаг винта.
Пусть винт — упорядоченная пара.
где S и V — трехмерные действительные векторы. Сумма и разность этих упорядоченных пар вычисляются покомпонентно. Винты часто называют двойными векторами .
Теперь представим упорядоченную пару действительных чисел â = ( a , b ), называемую двойственным скаляром . Пусть сложение и вычитание этих чисел происходит покомпонентно, а умножение определим как
Наконец, представим скалярное и векторное произведения винтов по формулам:
Пусть двойственный скаляр ẑ = ( φ , d ) определяет двойственный угол , тогда определения синуса и косинуса в бесконечной серии дают соотношения
Эти определения позволяют получить следующие результаты:
Типичным примером винта является гаечный ключ , связанный с силой, действующей на твердое тело. Пусть P — точка приложения силы F и пусть P — вектор, помещающий эту точку в фиксированную систему отсчета. Гаечный ключ W = ( F , P × F ) — это винт. Результирующая сила и момент, полученные от всех сил Fi , i = 1,..., n , действующих на твердое тело, представляют собой просто сумму отдельных гаечных ключей Wi , то есть
Обратите внимание, что случай двух равных, но противоположных сил F и − F , действующих в точках A и B соответственно, дает результирующую
Это показывает, что винты вида
можно интерпретировать как чистые моменты.
Чтобы определить поворот твердого тела, мы должны рассмотреть его движение, определяемое параметризованным набором пространственных смещений, D(t)=([A(t)], d (t)), где [A] — матрица вращения, а d — вектор перемещения. Это приводит к тому, что точка p , которая зафиксирована в координатах движущегося тела, следует по кривой P (t) в фиксированной системе отсчета, заданной формулой:
Скорость P равна
где v — скорость начала движущейся системы отсчета, то есть d d /dt. Теперь подставьте p = [ A T ]( P − d ) в это уравнение, чтобы получить:
где [Ω] = [d A /d t ][ A T ] — матрица угловой скорости, а ω — вектор угловой скорости.
Винт
это поворот движущегося тела. Вектор V = v + d × ω — это скорость точки тела, соответствующей началу координат фиксированной системы отсчёта.
Есть два важных особых случая: (i) когда d постоянно, то есть v = 0, тогда поворот представляет собой чистое вращение вокруг прямой, тогда поворот
и (ii) когда [Ω] = 0, то есть тело не вращается, а только скользит в направлении v , тогда поворот представляет собой чистое скольжение, определяемое формулой
Для вращательного соединения пусть ось вращения проходит через точку q и направлена вдоль вектора ω , тогда скручивание соединения определяется выражением
Для призматического соединения пусть вектор v определяет направление скольжения, тогда поворот соединения определяется выражением
Преобразования координат винтов легко понять, если начать с преобразований координат вектора Плюккера линии, которые, в свою очередь, получаются из преобразований координат точек на линии.
Пусть смещение тела определяется формулой D = ([ A ], d ), где [ A ] — матрица вращения, а d — вектор перемещения. Рассмотрим линию в теле, определяемую двумя точками p и q , которая имеет координаты Плюкера :
тогда в фиксированной системе отсчета мы имеем преобразованные координаты точки P = [ A ] p + d и Q = [ A ] q + d , которые дают результат.
Таким образом, пространственное смещение определяет преобразование координат Плюккера линий, заданных формулой
Матрица [ D ] является кососимметричной матрицей, которая выполняет операцию векторного произведения, то есть [ D ] y = d × y .
Матрица 6×6, полученная в результате пространственного смещения D = ([ A ], d ), может быть собрана в двойственную матрицу
который воздействует на винт s = ( s . v ), чтобы получить,
Двойственная матрица [ Â ] = ([ A ], [ DA ]) имеет определитель 1 и называется двойственной ортогональной матрицей .
Рассмотрим движение твердого тела, определяемое параметризованным однородным преобразованием 4x4:
Это обозначение не делает различия между P = ( X , Y , Z , 1) и P = ( X , Y , Z ), что, надеюсь, ясно из контекста.
Скорость этого движения определяется путем вычисления скорости траекторий точек тела:
Точка обозначает производную по времени, а поскольку p постоянно, ее производная равна нулю.
Подставьте обратное преобразование для p в уравнение скорости, чтобы получить скорость P , действуя на его траектории P ( t ), то есть
где
Напомним, что [Ω] — матрица угловой скорости. Матрица [ S ] является элементом алгебры Ли se(3) группы Ли SE(3) однородных преобразований. Компоненты [ S ] являются компонентами скручивающего винта, и по этой причине [ S ] также часто называют скручиванием.
Из определения матрицы [ S ] мы можем сформулировать обыкновенное дифференциальное уравнение:
и запросите движение [ T ( t )], которое имеет постоянную матрицу поворота [ S ]. Решением является матричная экспонента
Эту формулировку можно обобщить так, что при наличии начальной конфигурации g (0) в SE( n ) и повороте ξ в se( n ) однородное преобразование в новое местоположение и ориентацию можно вычислить по формуле:
где θ представляет параметры преобразования.
В геометрии преобразований элементарным понятием преобразования является отражение (математика) . При плоских преобразованиях сдвиг достигается отражением в параллельных прямых, а вращение — отражением в паре пересекающихся прямых. Чтобы произвести винтовое преобразование на основе подобных концепций, необходимо использовать плоскости в пространстве : параллельные плоскости должны быть перпендикулярны оси винта , которая является линией пересечения пересекающихся плоскостей, генерирующих вращение винта. Таким образом, четыре отражения в плоскостях приводят к винтовому преобразованию. Традиция инверсной геометрии заимствует некоторые идеи проективной геометрии и дает язык преобразований, не зависящий от аналитической геометрии .
Сочетание перемещения с вращением, вызванное винтовым смещением, можно проиллюстрировать экспоненциальным отображением .
Поскольку ε 2 = 0 для двойственных чисел , exp( aε ) = 1 + aε , все остальные члены экспоненциального ряда обращаются в нуль.
Пусть F = {1 + εr : r ∈ H }, ε 2 = 0. Заметим, что F устойчив при вращении q → p −1 qp и при сдвиге (1 + εr )(1 + εs ) = 1 + ε ( r + s ) для любых векторных кватернионов r и s .F — 3-плоскость в восьмимерном пространстве двойственных кватернионов . Эта 3-плоскость F представляет пространство , а построенная гомография , ограниченная F , представляет собой винтовое смещение пространства .
Пусть a — половина угла желаемого поворота вокруг оси r , а br — половина смещения на оси винта . Тогда сформулируйте z = exp(( a + bε ) r ) и z* = exp(( a − bε ) r ). Теперь гомография
Обратное значение для z * равно
итак, гомография переводит q в
Теперь для любого вектора кватернионов p , p * = − p , пусть q = 1 + pε ∈ F , где выполняются требуемые поворот и сдвиг.
Очевидно, группа единиц кольца двойственных кватернионов является группой Ли . Подгруппа имеет алгебру Ли , порожденную параметрами ar и bs , где a , b ∈ R и r , s ∈ H. Эти шесть параметров образуют подгруппу единиц — сферу единиц. Конечно, сюда входят F и 3 -сфера версоров .
Рассмотрим совокупность сил F 1 , F 2 ... F n , действующих на точки X 1 , X 2 ... X n в твердом теле. Траектории X i , i = 1,..., n определяются движением твердого тела с вращением [ A ( t )] и перемещением d ( t ) опорной точки в теле, определяемым формулой
где x i — координаты движущегося тела.
Скорость каждой точки X i равна
где ω — вектор угловой скорости, а v — производная от d ( t ).
Работа сил на перемещение δ r i = v i δt каждой точки определяется выражением
Определим скорости каждой точки через поворот движущегося тела, чтобы получить
Разверните это уравнение и соберите коэффициенты ω и v , чтобы получить
Введем поворот движущегося тела и действующий на него рывок, заданный формулой
тогда работа принимает форму
Матрица 6×6 [Π] используется для упрощения расчета работы с помощью винтов, так что
где
и [I] — единичная матрица 3×3.
Если виртуальная работа ключа при скручивании равна нулю, то силы и крутящий момент ключа являются силами ограничения относительно скручивания. Говорят, что действие гаечного ключа и поворота взаимно взаимно, то есть, если
тогда винты W и T взаимны.
При исследовании робототехнических систем компоненты скручивания часто переставляются, чтобы исключить необходимость использования матрицы 6×6 [Π] при расчете работы. [4] В этом случае поворот определяется как
поэтому расчет работы принимает вид
В этом случае, если
тогда ключ W обратен повороту T.
Математическая основа была разработана сэром Робертом Ставеллом Боллом в 1876 году для применения в кинематике и статике механизмов (механике твердого тела). [3]
Феликс Кляйн рассматривал теорию винтов как применение эллиптической геометрии и своей Эрлангенской программы . [11] Он также разработал эллиптическую геометрию и новый взгляд на евклидову геометрию с метрикой Кэли-Клейна . Использование симметричной матрицы для коники и метрики фон Штаудта , примененной к винтам, было описано Харви Липкиным. [12] Среди других выдающихся авторов — Юлиус Плюкер , У. К. Клиффорд , Ф. М. Диментберг, Кеннет Х. Хант , Дж. Р. Филлипс. [13]
Идея гомографии в геометрии преобразований была выдвинута Софусом Ли более века назад. Еще раньше Уильям Роуэн Гамильтон представил версорную форму единичных кватернионов как exp( ar )= cos a + r sin a . Идея также содержится в формуле Эйлера, параметризующей единичный круг в комплексной плоскости .
Уильям Кингдон Клиффорд инициировал использование двойных кватернионов для кинематики , за ним последовали Александр Котельников , Эдуард Стью ( Geometrie der Dynamen ) и Вильгельм Блашке . Однако точка зрения Софуса Ли повторилась. [14] В 1940 году Джулиан Кулидж описал использование двойных кватернионов для винтовых смещений на странице 261 книги « История геометрических методов ». Он отмечает вклад Артура Бухгейма в 1885 году . [15] Кулидж основывал свое описание просто на инструментах, которые Гамильтон использовал для реальных кватернионов.