Полунепрерывность

Свойство функций, которое слабее непрерывности

В математическом анализе полунепрерывность (или полунепрерывность ) — свойство расширенных вещественных функций , которое слабее непрерывности . Расширенная вещественная функция является полунепрерывной сверху (соответственно снизу ) в точке, если, грубо говоря, значения функции для аргументов вблизи не намного выше (соответственно ниже), чем ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она полунепрерывна как сверху, так и снизу. Если мы возьмем непрерывную функцию и увеличим ее значение в определенной точке до для некоторого , то результат будет полунепрерывен сверху; если мы уменьшим ее значение до , то результат будет полунепрерывен снизу. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)+c}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-c}$

Полунепрерывная сверху функция, которая не является полунепрерывной снизу. Сплошная синяя точка обозначает ${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Полунепрерывная снизу функция, которая не является полунепрерывной сверху. Сплошная синяя точка обозначает ${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Понятие полунепрерывной сверху и снизу функции впервые было введено и изучено Рене Бэром в его диссертации в 1899 году. ^[1]

Определения

Предположим, что представляет собой топологическое пространство и является функцией со значениями в расширенных действительных числах . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}=[-\infty ,\infty ]}$

Верхняя полунепрерывность

Функция называется полунепрерывной сверху в точке , если для каждого действительного числа существует окрестность такая , что для всех . ^[2] Эквивалентно, является полунепрерывной сверху в тогда и только тогда, когда , где lim sup — верхний предел функции в точке ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)<y}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Если - метрическое пространство с функцией расстояния , и это также можно переформулировать с помощью -формулировки , аналогичной определению непрерывной функции . А именно, для каждого существует такое, что всякий раз, когда ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle f(x)<f(x_{0})+\varepsilon }$ ${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

Функция называется полунепрерывной сверху , если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ^[2] ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

(1) Функция полунепрерывна сверху в каждой точке своей области определения .

(2) Для каждого множество открыто в , где . ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}([-\infty ,y))=\{x\in X:f(x)<y\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [-\infty ,y)=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t<y\}}$

( 3 ) Для каждого множество - суперуровня замкнуто в . ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f^{-1}([y,\infty ))=\{x\in X:f(x)\geq y\}}$ ${\displaystyle X}$

(4) Подпись закрыта . ${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\leq f(x)\}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) Функция непрерывна, когда область значений имеет топологию левого порядка . Это просто переформулировка условия (2), поскольку топология левого порядка генерируется всеми интервалами . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [-\infty ,y)}$

Нижняя полунепрерывность

Функция называется полунепрерывной снизу в точке , если для каждого действительного числа существует окрестность такая , что для всех . Эквивалентно, является полунепрерывной снизу в тогда и только тогда, когда где нижний предел функции в точке ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)>y}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$$ ${\displaystyle \liminf }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Если — метрическое пространство с функцией расстояния , и это можно переформулировать следующим образом: для каждого существует такое, что всякий раз, когда ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle f(x)>f(x_{0})-\varepsilon }$ ${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

Функция называется полунепрерывной снизу, если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

(1) Функция полунепрерывна снизу в каждой точке своей области определения .

(2) Для каждого множество открыто в , где . ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}((y,\infty ])=\{x\in X:f(x)>y\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (y,\infty ]=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t>y\}}$

( 3 ) Для каждого множество - подуровней замкнуто в . ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,y])=\{x\in X:f(x)\leq y\}}$ ${\displaystyle X}$

(4) Эпиграф закрыт в . ^{[3] : 207} ${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) Функция непрерывна, когда кодомену задана правильная топология порядка . Это просто переформулировка условия (2), поскольку правильная топология порядка генерируется всеми интервалами . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle (y,\infty ]}$

Примеры

Рассмотрим функцию , кусочно заданную формулой: Эта функция полунепрерывна сверху в точке , но не полунепрерывна снизу. ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x_{0}=0,}$

Функция floor , которая возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное заданному вещественному числу, является везде полунепрерывной сверху. Аналогично, функция ceiling является полунепрерывной снизу. ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor ,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil }$

Полунепрерывность сверху и снизу не имеет никакого отношения к непрерывности слева или справа для функций действительной переменной. Полунепрерывность определяется в терминах упорядочения в области определения функций, а не в области определения. ^[4] Например, функция полунепрерывна сверху при , в то время как пределы функции слева или справа в нуле даже не существуют. $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\mbox{if }}x\neq 0,\\1&{\mbox{if }}x=0,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=0}$

Если — евклидово пространство (или, в более общем смысле, метрическое пространство) и — пространство кривых в (с супремум-расстоянием ), то функционал длины , который назначает каждой кривой ее длину, является полунепрерывным снизу. ^[5] В качестве примера рассмотрим аппроксимацию диагонали единичного квадрата лестницей снизу. Лестница всегда имеет длину 2, тогда как диагональная линия имеет только длину . ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma =C([0,1],X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{\Gamma }(\alpha ,\beta )=\sup\{d_{X}(\alpha (t),\beta (t)):t\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle L:\Gamma \to [0,+\infty ],}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L(\alpha ),}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Пусть — пространство меры, а обозначим множество положительных измеримых функций, наделенных топологией сходимости по мере относительно Тогда по лемме Фату интеграл, рассматриваемый как оператор из в , является полунепрерывным снизу. ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$

Теорема Тонелли в функциональном анализе характеризует слабую полунепрерывность снизу нелинейных функционалов на пространствах L p через выпуклость другой функции.

Характеристики

Если не указано иное, все функции ниже относятся к топологическому пространству и расширенным действительным числам. Некоторые результаты справедливы для полунепрерывности в определенной точке, но для краткости они сформулированы только для полунепрерывности во всей области. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ].}$

• Функция непрерывна тогда и только тогда , когда она полунепрерывна как сверху, так и снизу. ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$
• Характеристическая функция или индикаторная функция множества (определяемая с помощью if и if ) является полунепрерывной сверху тогда и только тогда, когда является замкнутым множеством . Она является полунепрерывной снизу тогда и только тогда, когда является открытым множеством . ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\notin A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• В области выпуклого анализа характеристическая функция множества определяется по-разному, как если и если . При таком определении характеристическая функция любого замкнутого множества является полунепрерывной снизу, а характеристическая функция любого открытого множества является полунепрерывной сверху. ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \chi _{A}(x)=0}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle \chi _{A}(x)=\infty }$ ${\displaystyle x\notin A}$

Бинарные операции над полунепрерывными функциями

Позволять . ${\displaystyle f,g:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

• Если и полунепрерывны снизу, то сумма полунепрерывна снизу ^[6] (при условии, что сумма корректно определена, т.е. не является неопределенной формой ). То же самое справедливо и для полунепрерывных сверху функций. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle -\infty +\infty }$
• Если и полунепрерывны снизу и неотрицательны, то функция произведения полунепрерывна снизу. Соответствующий результат справедлив для полунепрерывных сверху функций. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle fg}$
• Функция полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда она полунепрерывна сверху. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -f}$
• Если и полунепрерывны сверху и не убывает , то композиция полунепрерывна сверху. С другой стороны, если не не убывает, то может не быть полунепрерывна сверху. ^[7] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ g}$
• Если и полунепрерывны снизу, то их (поточечный) максимум и минимум (определяемые и ) также полунепрерывны снизу. Следовательно, множество всех полунепрерывных снизу функций из в (или в ) образует решетку . Соответствующие утверждения справедливы и для полунепрерывных сверху функций. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x\mapsto \max\{f(x),g(x)\}}$ ${\displaystyle x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Оптимизация полунепрерывных функций

• (Поточечный) супремум произвольного семейства полунепрерывных снизу функций (определяемого как ) является полунепрерывным снизу. ^[8] ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f(x)=\sup\{f_{i}(x):i\in I\}}$

В частности, предел монотонно возрастающей последовательности непрерывных функций является полунепрерывным снизу. (Теорема Бэра ниже обеспечивает частичное обращение.) Предельная функция будет полунепрерывной снизу только в общем случае, а не непрерывной. Примером служат функции, определенные для для ${\displaystyle f_{1}\leq f_{2}\leq f_{3}\leq \cdots }$ ${\displaystyle f_{n}(x)=1-(1-x)^{n}}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots .}$

Аналогично, нижняя грань произвольного семейства полунепрерывных сверху функций является полунепрерывной сверху. А предел монотонно убывающей последовательности непрерывных функций является полунепрерывной сверху.

• Если — компактное пространство (например, замкнутый ограниченный интервал ) и полунепрерывно сверху, то достигает максимума на . Если полунепрерывно снизу на , то достигает минимума на ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f:C\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C.}$

( Доказательство для случая полунепрерывности сверху : По условию (5) в определении, является непрерывным, когда задана топология левого порядка. Поэтому его образ компактен в этой топологии. И компактные множества в этой топологии — это в точности множества с максимумом. Альтернативное доказательство см. в статье о теореме об экстремальном значении .) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f(C)}$

Другие свойства

• ( Теорема Бэра ) ^{[примечание 1]} Пусть — метрическое пространство . Каждая полунепрерывная снизу функция является пределом поточечно возрастающей последовательности расширенных непрерывных вещественных функций на В частности, существует последовательность непрерывных функций такая, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

$${\displaystyle f_{i}(x)\leq f_{i+1}(x)\quad \forall x\in X,\ \forall i=0,1,2,\dots }$$и

$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f_{i}(x)=f(x)\quad \forall x\in X.}$$

Если не принимает значение , то непрерывные функции можно считать действительными. ^{[9] [10]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -\infty }$

Кроме того, каждая полунепрерывная сверху функция является пределом монотонно убывающей последовательности расширенных непрерывных действительных функций, если не принимает значения, то непрерывные функции можно считать действительными. ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty ,}$

• Любая полунепрерывная сверху функция на произвольном топологическом пространстве локально постоянна на некотором плотном открытом подмножестве ${\displaystyle f:X\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

• Если топологическое пространство последовательно , ​​то является полунепрерывным сверху тогда и только тогда, когда оно является последовательно полунепрерывным сверху, то есть, если для любой и любой последовательности , которая сходится к , выполняется . Эквивалентно, в последовательном пространстве является полунепрерывным сверху тогда и только тогда, когда его множества суперуровня последовательно замкнуты для всех . В общем случае полунепрерывные сверху функции являются последовательно полунепрерывными сверху, но обратное может быть ложным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n}\subset X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f(x_{n})\leqslant f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{\,x\in X\,|\,f(x)\geqslant y\,\}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$

Полунепрерывность многозначных функций

Для функций со значениями множества определены несколько понятий полунепрерывности, а именно верхняя , нижняя , внешняя и внутренняя полунепрерывность, а также верхняя и нижняя полунепрерывность . Функция со значениями множества из множества в множество записывается Для каждого функция определяет множество Прообраз множества под определяется как То есть, это множество, которое содержит каждую точку из , такую ​​что не является дизъюнктным с . ^[11] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F:A\rightrightarrows B.}$ ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(x)\subset B.}$ ${\displaystyle S\subset B}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F^{-1}(S):=\{x\in A:F(x)\cap S\neq \varnothing \}.}$$ ${\displaystyle F^{-1}(S)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle S}$

Верхняя и нижняя полунепрерывность

Множественно-значное отображение является полунепрерывным сверху в , если для каждого открытого множества такого, что , существует окрестность такая , что ^{[11] : Определение 2.1} ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F(x)\subset U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F(V)\subset U.}$

Множественно-значное отображение является полунепрерывным снизу в , если для каждого открытого множества такого, что существует окрестность такого , что ^{[11] : Определение 2.2} ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in F^{-1}(U),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V\subset F^{-1}(U).}$

Верхняя и нижняя многозначная полунепрерывность также определяются более общим образом для многозначных отображений между топологическими пространствами путем замены и в приведенных выше определениях на произвольные топологические пространства. ^[11] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Обратите внимание, что нет прямого соответствия между однозначной нижней и верхней полунепрерывностью и многозначной нижней и верхней полунепрерывностью. Полунепрерывная сверху однозначная функция не обязательно является полунепрерывной сверху, если рассматривать ее как многозначное отображение. ^{[11] : 18} Например, функция, определенная как , является полунепрерывной сверху в однозначном смысле, но многозначное отображение не является полунепрерывным сверху в многозначном смысле. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x\mapsto F(x):=\{f(x)\}}$

Внутренняя и внешняя полунепрерывность

Функция со множеством значений называется внутренне полунепрерывной в , если для любой и каждой сходящейся последовательности в такой, что , существует последовательность в такая, что и для всех достаточно больших ^{[12] [примечание 2]} ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in F(x)}$ ${\displaystyle (x_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x_{i}\to x}$ ${\displaystyle (y_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle y_{i}\to y}$ ${\displaystyle y_{i}\in F\left(x_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$

Функция со множеством значений называется внешне полунепрерывной в , если для каждой сходящейся последовательности в , такой что и для каждой сходящейся последовательности в , такой что для каждого последовательность сходится к точке в (то есть, ). ^[12] ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x_{i}\to x}$ ${\displaystyle (y_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle y_{i}\in F(x_{i})}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle (y_{i})}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }y_{i}\in F(x)}$

Смотрите также

• Направленная непрерывность  – математическая функция без резких изменений.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Теорема вставки Катетова–Тонга  – О существовании непрерывной функции между полунепрерывными верхней и нижней границами
• Геминепрерывность  – полунепрерывность для многозначных функций
• Càdlàg  – Правая непрерывная функция с левыми пределами

Примечания

1. Результат был доказан Рене Бэром в 1904 году для действительнозначной функции, определенной на . Он был распространен на метрические пространства Гансом Ханом в 1917 году, а Хинг Тонг показал в 1952 году, что наиболее общим классом пространств, где теорема верна, является класс совершенно нормальных пространств . (См. Engelking, Exercise 1.7.15(c), p. 62 для подробностей и конкретных ссылок.) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
2. В частности, существует такое, что для любого натурального числа . Необходимость рассмотрения только хвоста возникает из того факта, что при малых значениях множество может быть пустым. ${\displaystyle i_{0}\geq 0}$ ${\displaystyle y_{i}\in F(x_{i})}$ ${\displaystyle i\geq i_{0},}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle F(x_{i})}$

Ссылки

1. Верри, Матье. «История математики - Рене Бэр».
2. Stromberg, стр. 132, Упражнение 4
3. Курдила, А. Дж., Забаранкин, М. (2005). «Выпуклый функциональный анализ». Нижние полунепрерывные функционалы. Системы и управление: основы и приложения (1-е изд.). Birkhäuser-Verlag. стр. 205–219. doi :10.1007/3-7643-7357-1_7. ISBN 978-3-7643-2198-7.
4. Уиллард, стр. 49, задача 7К
5. Giaquinta, Mariano (2007). Математический анализ: линейные и метрические структуры и непрерывность. Giuseppe Modica (1-е изд.). Boston: Birkhäuser. Теорема 11.3, стр.396. ISBN 978-0-8176-4514-4. OCLC  213079540.
6. Путерман, Мартин Л. (2005). Марковские процессы принятия решений. Дискретное стохастическое динамическое программирование . Wiley-Interscience. С. 602. ISBN 978-0-471-72782-8.
7. Мур, Джеймс С. (1999). Математические методы экономической теории . Берлин: Springer. С. 143. ISBN 9783540662358.
8. «Показать, что супремум любого набора полунепрерывных снизу функций является полунепрерывным снизу».
9. Стромберг, стр. 132, Упражнение 4(g)
10. «Покажите, что полунепрерывная снизу функция является супремумом возрастающей последовательности непрерывных функций».
11. Freeman, RA, Kokotović, P. (1996). Надежное нелинейное проектирование управления. Birkhäuser Boston. doi :10.1007/978-0-8176-4759-9. ISBN 978-0-8176-4758-2..
12. Goebel, RK (январь 2024 г.). «Множественно-значный, выпуклый и негладкий анализ в динамике и управлении: введение». Глава 2: Сходимость множеств и многозначные отображения. Другие названия в прикладной математике. Общество промышленной и прикладной математики. стр. 21–36. doi :10.1137/1.9781611977981.ch2. ISBN 978-1-61197-797-4.

Библиография

• Бенешова, Б.; Кружик, М. (2017). «Слабая нижняя полунепрерывность интегральных функционалов и ее применение». Обзор SIAM . 59 (4): 703–766. arXiv : 1601.00390 . doi : 10.1137/16M1060947. S2CID  119668631.
• Бурбаки, Николас (1998). Элементы математики: Общая топология, 1–4 . Springer. ISBN 0-201-00636-7.
• Бурбаки, Николас (1998). Элементы математики: Общая топология, 5–10 . Springer. ISBN 3-540-64563-2.
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
• Гельбаум, Бернард Р.; Олмстед, Джон МХ (2003). Контрпримеры в анализе . Dover Publications. ISBN 0-486-42875-3.
• Хайерс, Дональд Х.; Исак, Джордж; Рассиас, Фемистокл М. (1997). Темы нелинейного анализа и приложений . World Scientific. ISBN 981-02-2534-2.
• Штромберг, Карл (1981). Введение в классический вещественный анализ . Уодсворт. ISBN 978-0-534-98012-2.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• Zălinescu, Constantin (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – через Интернет-архив .