Цифры майя являются примером системы счисления с основанием 20.
Двадцатеричная ( / v ɪ ˈ dʒ ɛ s ɪ m əl / vij- ESS -im-əl ) или система счисления с основанием 20 ( base-score ) основана на числе двадцать (так же, как десятичная система счисления основана на числе десять ). Вигезимальная система счисления происходит от латинского прилагательного vicesimus , что означает «двадцатый».
Места
В двадцатеричной системе используются двадцать отдельных цифр (или цифровых символов), на десять больше, чем в десятичной системе. Один из современных методов поиска дополнительных необходимых символов — записать десять как букву A или A 20 , где 20 означает основание 20 , записать девятнадцать как J 20 , а числа между ними — соответствующими буквами алфавита. Это похоже на распространенную в компьютерных науках практику записи шестнадцатеричных чисел свыше 9 буквами «A–F». Другой менее распространенный метод пропускает букву «I», чтобы избежать путаницы между I 20 как восемнадцатью и одним , так что число восемнадцать записывается как J 20 , а девятнадцать — как K 20 . Число двадцать записывается как 10 20 .
Согласно этой нотации:
20 20 эквивалентно сорока в десятичной системе счисления = (2 × 20 1 ) + (0 × 20 0 )
D0 20 эквивалентно двумстам шестидесяти в десятичной системе = (13 × 20 1 ) + (0 × 20 0 )
В остальной части этой статьи ниже числа выражены в десятичной системе счисления, если не указано иное. Например, 10 означает десять , 20 означает двадцать . Числа в двадцатеричной системе счисления используют соглашение, что I означает восемнадцать, а J означает девятнадцать.
Дроби
Так как 20 делится на два и пять и является смежным с 21, произведением трех и семи, таким образом охватывая первые четыре простых числа, многие двадцатеричные дроби имеют простые представления, как конечные, так и повторяющиеся (хотя терции сложнее, чем в десятичной, повторяя две цифры вместо одной). В десятичной дроби деление на три дважды (девятые) дает только однозначные периоды ( 1/9 = 0,1111.... например), потому что 9 — это число меньше десяти. Однако 21, число, соседнее с 20, которое делится на 3, не делится на 9. Девятки в двадцатеричной системе имеют шестизначные периоды. Поскольку 20 имеет те же простые множители, что и 10 (два и пять), дробь будет заканчиваться десятичной дробью тогда и только тогда, когда она заканчивается двадцатеричной.
Циклические числа
Разложение числа двадцать на простые множители равно 2 2 × 5, поэтому оно не является совершенной степенью . Однако его бесквадратная часть, 5, сравнима с 1 (mod 4). Таким образом, согласно гипотезе Артина о примитивных корнях , у двадцатеричной системы счисления бесконечно много циклических простых чисел, но доля циклических простых чисел не обязательно составляет ~37,395%. Программа UnrealScript, вычисляющая длины повторяющихся периодов различных дробей в заданном наборе оснований, обнаружила, что из первых 15 456 простых чисел ~39,344% являются циклическими в двадцатеричной системе счисления.
Реальные цифры
Использовать
В нескольких европейских языках, таких как французский и датский , число 20 используется в качестве основы, по крайней мере, в отношении лингвистической структуры названий некоторых чисел (хотя последовательная двадцатеричная система, основанная на степенях 20, 400, 8000 и т. д., обычно не используется).
Пятерично-двадцатеричный
Многие культуры, использующие двадцатеричную систему, считают от пяти до двадцати, а затем аналогичным образом считают двадцатки. Такая система называется лингвистами пятерично-двадцатеричной . Примерами служат гренландские , инупиакские , кактовикские , майяские , нунивакские куп'игские и юпикские цифры. [1] [2] [3]
Африка
Двадцатеричные системы распространены в Африке, например, в Йоруба . [4] Хотя систему счисления Йоруба можно считать двадцатеричной, она сложна. [ необходимо дальнейшее объяснение ]
Америка
Двадцать — основа в системах исчисления майя и ацтеков . Майя используют следующие названия для степеней числа двадцать: kal (20), bak (20 2 = 400), pic (20 3 = 8 000), calab (20 4 = 160 000), kinchil (20 5 = 3 200 000) и alau (20 6 = 64 000 000). См. цифры майя и календарь майя , язык науатль .
В языках инуитов-юпик-унангакс используется система счисления с основанием 20. В 1994 году студенты-инуиты в Кактовике, Аляска , придумали систему счисления кактовик с основанием 20 , чтобы лучше представлять свой язык. До того, как это изобретение привело к возрождению, цифры инуитов выходили из употребления. [5] Цифры кактовик:
Азия
Дзонг-кэ , национальный язык Бутана , имеет полную двадцатеричную систему с числами для степеней 20, 400, 8000 и 160 000.
Атонг , язык, на котором говорят в горах Южного Гаро в штате Мегхалая, на северо-востоке Индии, и в прилегающих районах Бангладеш, имеет полную двадцатеричную систему счисления, которая в настоящее время считается архаичной. [6]
В сантали , языке мунда в Индии , «пятьдесят» выражается фразой bār isī gäl , буквально «двадцать десять». [7] Аналогично, в дидеи , другом языке мунда, на котором говорят в Индии, сложные числа являются десятичными до 19 и десятично-двадцатеричными до 399. [8]
Система счисления Бурушаски имеет основание 20. Например, 20 алтарь, 40 альто-алтарь (2 раза по 20), 60 иски-алтарь (3 раза по 20) и т. д.
В Восточной Азии язык айнов также использует систему счета, основанную на числе 20. « hotnep » — 20, « wanpe etu hotnep » (еще десять до двух двадцатых) — 30 , « tu hotnep » (две двадцатки) — 40, « ashikne hotnep » (пять двадцаток) — 100. Вычитание также широко используется, например, « shinepesanpe » (еще один до десяти) — 9. [ требуется цитата ]
В чукотском языке используется двадцатеричная система счисления. [9]
Океания
Существуют некоторые свидетельства использования двадцатеричной системы счисления в языке маори Новой Зеландии, например, в терминах Te Hokowhitu a Tu, обозначающих военный отряд (буквально «семь двадцаток Ту») и Tama-hokotahi , обозначающих великого воина («один человек, равный двадцати»).
Кавказ
Двадцать ( оци , ოცი ) используется в качестве базового числа в грузинском языке для чисел от 30 до 99. Например, 31 ( оцдатертмети , ოცდათერთმეტი ) буквально означает « двадцать одиннадцать» . Число 67 ( самоцдашвиди , სამოცდაშვიდი ) произносится как «три двадцать семь».
Двадцать ( vingt ) используется в качестве базовой числительной во французских названиях чисел от 70 до 99, за исключением французского языка Бельгии , Швейцарии , Демократической Республики Конго , Руанды , долины Аоста и Нормандских островов . Например, quatre-vingts , французское слово для « 80 », буквально означает «четыре двадцатых»; soixante-dix , слово для « 70 », буквально означает «шестьдесят десять»; soixante-quinze (« 75 ») буквально означает «шестьдесят пятнадцать»; quatre-vingt-sept (« 87 ») буквально означает «четыре двадцатых семь»; quatre-vingt-dix (« 90 ») буквально означает «четыре двадцатых десять»; и quatre-vingt-seize (« 96 ») буквально означает «четыре двадцатых шестнадцать». Однако во французском языке Бельгии, Швейцарии, Демократической Республики Конго, Руанды, долины Аоста и Нормандских островов числа 70 и 90 обычно имеют названия septante и nonante . Таким образом, год 1996 в парижском французском языке — mille neuf cent quatre-vingt-seize , но в бельгийском французском — mille neuf cent nonante-six . В Швейцарии «80» может быть quatre-vingts (Женева, Невшатель, Юра) или huitante (Во, Вале, Фрибур).
Двадцать ( tyve ) используется в качестве базового числа в датских названиях десятков от 50 до 90. Например, tres (сокращение от tresindstyve ) означает 3 раза по 20, т. е. 60. Однако датские числительные не являются двадцатеричными, поскольку только названия некоторых десятков этимологически образованы двадцатеричным способом. В отличие от, например, французского quatre-vingt-seize , единицы идут только от нуля до девяти между каждым десятком, что является определяющей чертой десятичной системы. Подробности см. в разделе Датские числительные .
Двадцать ( ugent ) используется в качестве основы для чисел от 40 до 49 и от 60 до 99 на бретонском языке. Например, daou-ugent означает 2 раза по 20, т. е. 40 , а triwec'h ha pevar-ugent (буквально «три-шесть и четыре-двадцать») означает 3×6 + 4×20, т. е. 98. Однако 30 — это tregont , а не * dek ha ugent («десять и двадцать»), а 50 — это hanter-kant («полсотни»).
Двадцать ( ugain ) используется в качестве основы для чисел до 50 ( deg a deugain ) и от 60 до 100 ( cant ), хотя с 1940-х годов десятичная система счисления стала более предпочтительной. Однако, двадцатеричная система используется исключительно для порядковых числительных и по-прежнему требуется для указания времени, денег, а также для измерения веса и мер. Deugain означает «две двадцатки», т. е. 40, trigain означает «три двадцатки», т. е. 60 и т. д. dau ar bymtheg a deugain означает 57 (дважды пятнадцать и сорок). Как и в бретонском языке, 50 — hanner cant («полсотни»). До изъятия из обращения papur chweugain (банкнота в шестьсот) было прозвищем десятишиллинговой (120 пенсов) купюры; поскольку 120 пенсов = полфунта стерлингов, термин chweugain по-прежнему используется для обозначения 50 пенсов в современном валлийском языке, а такие фразы, как pisin chweugain («монета в 50 пенсов»), также не являются редкостью.
Двадцать ( fichead ) традиционно используется в качестве базового числа в шотландском гэльском языке , где deich ar fhichead или fichead 'sa deich равно 30 (десять больше двадцати или двадцать и десять), dà fhichead 40 (две двадцатки), dà fhichead 'sa deich 50 (два двадцать и десять) / лет-хеуд 50 (полсотни), трификхед 60 (три двадцатки) и так далее до наоидх фикхед 180 (девять двадцаток). В наши дни в школах преподают десятичную систему счисления, но многие люди, особенно старшего возраста, до сих пор используют ее.
Двадцать ( feed ) традиционно используется в качестве основы числа в мэнском гэльском , при этом jeih как feed означает 30 (десять и двадцать), daeed 40 (двадцать), jeih как daeed 50 (десять и две двадцатки), tree feed 60 (три двадцать) и т. д. Существует также десятичная система, использующая следующие десятки: jeih (десять), feed (двадцать), treead (тридцать), daeed (сорок), queigad (пятьдесят), sheyad (шестьдесят), shiagtad (семьдесят), hoghtad (восемьдесят) и nuyad (девяносто).
Двадцать ( njëzet ) используется в качестве основы числа в албанском языке . Слово для 40 ( dyzet ) означает «дважды по 20». Арбереши в Италии могут использовать trizetë для 60. Раньше katërzetë также использовалось для 80. Сегодня албанцы-чамы в Греции используют все числа zet . В основном, 20 означает 1 zet , 40 означает 2 zet , 60 означает 3 zet и 80 означает 4 zet . Албанский язык является единственным языком на Балканах, который сохранил элементы двадцатеричной системы счисления бок о бок с десятичной системой. Существование двух систем в албанском языке отражает вклад доиндоевропейских народов Балкан в формирование палеобалканских индоевропейских племен и их языка. [10]
Двадцать ( hogei ) используется в качестве базового числа в баскском языке для чисел до 100 ( ehun ). Слова для 40 ( berrogei ), 60 ( hirurogei ) и 80 ( laurogei ) означают «двадцать», «тридцать» и «четырехдесять» соответственно. Например, число 75 называется hirurogeita hamabost , буквально «тридцать-и-десять-десять». Баскский националист Сабино Арана предложил систему двадцатеричных цифр, чтобы соответствовать разговорному языку, [11] и, в качестве альтернативы, реформу разговорного языка, чтобы сделать его десятеричным, [12] но оба варианта в основном забыты. [13]
Двадцать ( dwisti или dwujsti ) используется в качестве базового числа в резианском диалекте trïkrat dwisti (3×20), 70 — trïkrat dwisti nu desat (3×20 + 10), 80 — štirikrat dwisti (4×20) и 90 — штирикрат двисти ну десат (4×20 + 10). [14] [15]
В валютной системе £sd (использовавшейся в Соединенном Королевстве до 1971 года) фунт стоил 20 шиллингов (стоимостью 12 пенсов каждый) . В соответствии с десятичной системой, введенной в 1971 году (1 фунт равен 100 новым пенсам вместо 240 пенсов в старой системе), шиллинговые монеты, все еще находящиеся в обращении, были переоценены в 5 пенсов (больше их не чеканили, а шиллинговая монета была изъята из обращения в 1990 году).
В английском языке название количественного числительного 20 чаще всего формулируется со словом «двадцать». Счет по счету использовался исторически; например, знаменитое начало Геттисбергской речи «Четыре счета и семь лет назад...» относится к подписанию Декларации независимости в 1776 году, 87 лет назад. В Библии короля Якова термин счет используется более 130 раз, хотя один счет всегда выражается как «двадцать». Счет до сих пор иногда используется для обозначения групп по 20 человек аналогично использованию дюжины для количественного обозначения групп по 12 человек.
В других языках есть термины, похожие на score , например, в датском и норвежском snes .
В регионах, где более существенные аспекты бриттских кельтских языков не сохранились в современных диалектах, системы подсчета овец, которые являются двадцатеричными, сохранились до наших дней. См. Yan Tan Tethera .
Программные приложения
Open Location Code использует версию 20-ричной системы счисления, безопасную для слов, для своих геокодов . Символы в этом алфавите были выбраны так, чтобы избежать случайного формирования слов. Разработчики оценили все возможные наборы из 20 букв на 30 различных языках на предмет вероятности формирования слов и выбрали набор, который образовывал как можно меньше узнаваемых слов. [16] Алфавит также предназначен для уменьшения опечаток за счет избегания визуально похожих цифр и нечувствителен к регистру.
Связанные наблюдения
Среди кратных 10 чисел , 20 описывается особым образом в некоторых языках. Например, испанские слова treinta ( 30 ) и cuarenta (40) состоят из " tre(3)+inta (10 раз)", " cuar(4)+enta (10 раз)", но слово veinte ( 20 ) в настоящее время не связано ни с одним словом, означающим "два" (хотя исторически это так [17] ). Аналогично, в семитских языках , таких как арабский и иврит, числа 30, 40 ... 90 выражаются морфологически множественными формами слов для чисел 3, 4 ... 9, но число 20 выражается морфологически множественной формой слова для 10. В японском языке есть специальное слово (hatachi) для 20 лет (возраста) и для 20-го дня месяца (hatsuka).
В некоторых языках (например, английском, славянских языках и немецком) названия двузначных чисел от 11 до 19 состоят из одного слова, но названия двузначных чисел от 21 и далее состоят из двух слов. Так, например, английские слова eleven ( 11 ), two ( 12 ), thirteen ( 13 ) и т. д., в отличие от twenty -one ( 21 ), twenty -two ( 22 ), twenty -three ( 23 ) и т. д. Во французском это верно до 16. В ряде других языков (например, иврите ) названия чисел от 11 до 19 содержат два слова, но одно из этих слов является особой «teen» формой, которая отличается от обычной формы слова для числа 10, и на самом деле она может встречаться только в этих названиях чисел 11–19.
Кантонский диалект [18] и китайцы У часто используют одинарную единицу廿(кантонский yàh , шанхайский nyae или ne , мандаринский niàn ) для двадцати, в дополнение к полностью десятичной二十(кантонский yìh sàhp , шанхайский el sah , мандаринский èr shí ), которая буквально означает «два десятка». Существуют эквиваленты для 30 и 40 (卅и卌соответственно: мандаринские sà и xì ), но они используются реже. Это исторический остаток двадцатеричной системы. [ необходима цитата ]
Хотя кхмерские цифры представляли собой десятичную позиционную систему счисления по крайней мере с VII века, в древнекхмерском языке , или ангкорском кхмерском языке, также имелись отдельные символы для чисел 10, 20 и 100. Каждое кратное 20 или 100 требовало бы дополнительного штриха над символом, поэтому число 47 было образовано с использованием символа 20 с дополнительным верхним штрихом, за которым следовал символ для числа 7. Это говорит о том, что разговорный ангкорский кхмерский язык использовал двадцатеричную систему.
В тайском языке для числа 20 используется термин ยี่สิบ ( yi sip ). Другие кратные десяти состоят из основного числа, за которым следует слово для обозначения десяти, например, สามสิบ ( sam sip ), буквально три десятки, для обозначения тридцати. Йи в йи сип отличается от числа два в других позициях, которое равно สอง ( song ). Тем не менее, йи сип — это заимствованное слово из китайского языка.
Лаосский язык аналогичным образом образует кратные десяти, помещая базовое число перед словом ten, так что ສາມສິບ ( sam sip ), буквально три десятка, для тридцати. Исключением является двадцать, для которого используется слово ຊາວ ( xao ). ( ซาว sao также используется в северо-восточных и северных диалектах тайского языка, но не в стандартном тайском.)
^ Nykl, Alois Richard (сентябрь 1926 г.). «Пятерично-двадцатеричная система счета в Европе, Азии и Америке». Language . 2 (3): 165–173. doi :10.2307/408742. JSTOR 408742. OCLC 50709582 – через Google Books . стр. 165: Студент, изучающий языки американских индейцев, естественным образом стремится исследовать широко распространенное использование пятерично-двадцатеричной системы счета, которую он встречает на всей территории от Аляски вдоль побережья Тихого океана до Ориноко и Амазонки.
^ Иллс, Уолтер Кросби (14 октября 2004 г.). «Системы счисления североамериканских индейцев». В Андерсон, Марлоу; Кац, Виктор; Уилсон, Робин (ред.). Шерлок Холмс в Вавилоне: и другие рассказы о математической истории . Математическая ассоциация Америки . стр. 89. ISBN978-0-88385-546-1– через Google Books . Пятерично-двадцатеричная . Это наиболее часто встречающееся число. Гренландские эскимосы говорят «другая рука два» вместо 7, «первая нога два» вместо 12, «другая нога два» вместо 17 и похожие комбинации для 20, «человек закончился». Уналит также пятеричен до двадцати, что означает «человек завершен». ...
^ Chrisomalis 2010, стр. 200: «Раннее возникновение штриховой и точечной нумерации наряду со среднеформационными мезоамериканскими письменностями, пятерично-двадцатеричная структура системы и общее увеличение частоты и сложности числовых выражений с течением времени указывают на ее самобытное развитие».
^ Заславский, Клаудия (1970). «Математика народа йоруба и их соседей в Южной Нигерии». Двухгодичный колледж математики. Журнал . 1 (2): 76–99. JSTOR 3027363. S2CID 163816234.
^ Бартли, У. Кларк (январь–февраль 1997 г.). «Making the Old Way Count» (PDF) . Sharing Our Pathways . 2 (1): 12–13 . Получено 27 февраля 2017 г. .
^ ван Брейгель, Сейно. «11». Грамматика Атонга . Брилл.
^ Гвозданович, Ядранка (1999). Типы цифр и их изменения во всем мире . п. 223.
^ Чаттерджи, Сухас. 1963. О существительных, местоимениях, числительных и указательных знаках Didei. Чикаго: mimeo., 1963. (см. Библиографию Мунда на факультете лингвистики Гавайского университета)
^ Комри, Бернард (2011). "Типология систем счисления. Типы счисления и изменения во всем мире" (PDF) . Тенденции в лингвистике . Исследования и монографии. 118 . Архивировано из оригинала (PDF) 2021-06-22.
^ Демирадж, Шабан (2006). Происхождение албанцев: лингвистически исследовано. Тирана: Академия наук Албании. п. 43. ИСБН978-99943-817-1-5.
↑ Публикации в 1.ª эпохи «Euzkadi»: Revista de Ciencias, Bellas Artes y Letras de Bilbao por Arana-Goiri'taŕ Sabin : 1901, Публикации в 1 эпохе «Euskadi»: revista de Ciencias, Bellas Искусство и литература Бильбао пор Арана-Гойри'ттарр Сабин: 1901, Сабино Арана , 1908, Бильбао, Элекспуру Херманос. 102–112
^ Artículos ... , Сабино Арана, 112–118.
^ Efemérides Vascas y Reforma d ela Numeración Euzkérica , Сабино Арана , Biblioteca de la Gran Enciclopedia Vasca, Бильбао, 1969. Извлечено из журнала Euskal-Erria , 1880 и 1881.
^ Фран Рамовш, Характеристика словенской наречи в Рези в: Časopis za slovenski jezik, književnost in zgodovino, № 4, 1928, страницы: 107-121 [1]
^ "dLib.si - ЛЮДЬЕ ОБ ТЕРУ VI" . www.dlib.si. Проверено 13 февраля 2022 г.
^ «Открытый код местоположения: стандарт с открытым исходным кодом для адресов, независимый от номеров зданий и названий улиц». github.com . Получено 25 августа 2020 г. .
Карл Меннингер : Числовые слова и числовые символы: культурная история чисел ; перевод Пола Бронера с пересмотренного немецкого издания. Кембридж, Массачусетс: MIT Press, 1969 (также доступно в мягкой обложке: Нью-Йорк: Дувр, 1992 ISBN 0-486-27096-3 )
Леви Леонард Конант: Концепция числа: ее происхождение и развитие ; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Macmillan & Co, 1931. Проект Гутенберг Электронная книга
Найдите значение слова «двадцатеричная» в Викисловаре, бесплатном словаре.
