Матрица плотности

Матрица, описывающая квантовую систему в чистом или смешанном состоянии

В квантовой механике матрица плотности (или оператор плотности ) — это матрица , которая описывает ансамбль ^[1] физических систем как квантовые состояния (даже если ансамбль содержит только одну систему). Она позволяет вычислять вероятности результатов любых измерений, выполняемых над системами ансамбля, используя правило Борна . Это обобщение более обычных векторов состояния или волновых функций : в то время как они могут представлять только чистые состояния , матрицы плотности могут также представлять смешанные ансамбли (иногда неоднозначно называемые смешанными состояниями ). Смешанные ансамбли возникают в квантовой механике в двух различных ситуациях:

1. когда приготовление систем приводит к многочисленным чистым состояниям в ансамбле, и, таким образом, необходимо иметь дело со статистикой возможных приготовлений, и
2. когда требуется описать физическую систему, которая запутана с другой, не описывая их объединенное состояние; этот случай типичен для системы, взаимодействующей с некоторой средой (например, декогеренция ). В этом случае матрица плотности запутанной системы отличается от матрицы плотности ансамбля чистых состояний, которые, будучи объединенными, дали бы те же статистические результаты при измерении.

Таким образом, матрицы плотности являются важнейшими инструментами в областях квантовой механики, имеющих дело со смешанными ансамблями, такими как квантовая статистическая механика , открытые квантовые системы и квантовая информация .

Определение и мотивация

Матрица плотности — это представление линейного оператора, называемого оператором плотности . Матрица плотности получается из оператора плотности выбором ортонормированного базиса в базовом пространстве. ^[2] На практике термины матрица плотности и оператор плотности часто используются взаимозаменяемо.

Выберите базис с состояниями , в двумерном гильбертовом пространстве , тогда оператор плотности будет представлен матрицей , где диагональные элементы являются действительными числами , сумма которых равна единице (также называемыми популяциями двух состояний , ). Недиагональные элементы являются комплексно сопряженными друг другу (также называемыми когерентностями); они ограничены по величине требованием быть положительным полуопределенным оператором , см. ниже. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ $${\displaystyle (\rho _{ij})=\left({\begin{matrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}p_{0}&\rho _{01}\\\rho _{01}^{*}&p_{1}\end{matrix}}\right)}$$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle (\rho _{ij})}$

Оператор плотности — это положительно полуопределенный , самосопряженный оператор следа один , действующий в гильбертовом пространстве системы. ^{[3] [4] [5]} Это определение можно мотивировать, рассматривая ситуацию, когда каждое чистое состояние подготовлено с вероятностью , описывающей ансамбль чистых состояний. Вероятность получения проективного результата измерения при использовании проекторов задается выражением ^{[6] : 99} , что делает оператор плотности , определяемым как удобное представление для состояния этого ансамбля. Легко проверить, что этот оператор является положительно полуопределенным, самосопряженным и имеет след один. Наоборот, из спектральной теоремы следует , что каждый оператор с этими свойствами может быть записан как для некоторых состояний и коэффициентов , которые неотрицательны и в сумме дают единицу. ^{[7] [6] : 102} Однако это представление не будет единственным, как показывает теорема Шредингера–HJW . ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Pi _{m}}$ $${\displaystyle p(m)=\sum _{j}p_{j}\left\langle \psi _{j}\right|\Pi _{m}\left|\psi _{j}\right\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|\right)\right],}$$ $${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|,}$$ ${\textstyle \sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|}$ ${\displaystyle \left|\psi _{j}\right\rangle }$ ${\displaystyle p_{j}}$

Другая мотивация для определения операторов плотности исходит из рассмотрения локальных измерений на запутанных состояниях. Пусть будет чистым запутанным состоянием в составном гильбертовом пространстве . Вероятность получения результата измерения при измерении проекторов только на гильбертовом пространстве определяется выражением ^{[6] : 107} , где обозначает частичный след по гильбертовому пространству . Это делает оператор удобным инструментом для вычисления вероятностей этих локальных измерений. Он известен как приведенная матрица плотности на подсистеме 1. Легко проверить, что этот оператор обладает всеми свойствами оператора плотности. Наоборот, теорема Шредингера–HJW подразумевает, что все операторы плотности можно записать в виде для некоторого состояния . ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Pi _{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$ $${\displaystyle p(m)=\left\langle \Psi \right|\left(\Pi _{m}\otimes I\right)\left|\Psi \right\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\right)\right],}$$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ $${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$ ${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }$

Чистые и смешанные состояния

Чистое квантовое состояние — это состояние, которое не может быть записано как вероятностная смесь или выпуклая комбинация других квантовых состояний. ^[5] Существует несколько эквивалентных характеристик чистых состояний на языке операторов плотности. ^{[8] : 73} Оператор плотности представляет чистое состояние тогда и только тогда, когда:

• его можно записать как внешнее произведение вектора состояния на самого себя, то есть, ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |.}$$
• это проекция , в частности, первого ранга .
• он идемпотентен , т.е. $${\displaystyle \rho =\rho ^{2}.}$$
• он имеет чистоту один, то есть, $${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})=1.}$$

Важно подчеркнуть разницу между вероятностной смесью (т.е. ансамблем) квантовых состояний и суперпозицией двух состояний. Если ансамбль готов иметь половину своих систем в состоянии , а другую половину в , его можно описать матрицей плотности: ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}$

где и предполагаются ортогональными и размерностью 2 для простоты. С другой стороны, квантовая суперпозиция этих двух состояний с равными амплитудами вероятности приводит к чистому состоянию с матрицей плотности ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}},}$

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}.}$

В отличие от вероятностной смеси, эта суперпозиция может демонстрировать квантовую интерференцию . ^{[6] : 81}

В представлении кубита в виде сферы Блоха каждая точка на единичной сфере представляет чистое состояние. Все остальные матрицы плотности соответствуют точкам внутри.

Геометрически множество операторов плотности является выпуклым множеством , а чистые состояния являются экстремальными точками этого множества. Простейшим случаем является двумерное гильбертово пространство, известное как кубит . Произвольное смешанное состояние для кубита можно записать как линейную комбинацию матриц Паули , которые вместе с единичной матрицей обеспечивают основу для самосопряженных матриц : ^{[9] : 126} ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

где действительные числа — это координаты точки внутри единичного шара и ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Точки с представляют чистые состояния, тогда как смешанные состояния представлены точками внутри. Это известно как сферическая картина Блоха пространства состояний кубита. ${\displaystyle r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}=1}$

Пример: поляризация света

Лампочка накаливания  (1) излучает совершенно случайные поляризованные фотоны  (2) со смешанной матрицей плотности состояний:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{bmatrix}}}$.

После прохождения через вертикальный поляризатор  (3) все оставшиеся фотоны поляризуются вертикально  (4) и имеют матрицу плотности чистого состояния:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}}$.

Примером чистых и смешанных состояний является поляризация света . Отдельный фотон можно описать как имеющий правую или левую круговую поляризацию , описываемую ортогональными квантовыми состояниями и или суперпозицией двух: он может находиться в любом состоянии (с ), соответствующем линейной , круговой или эллиптической поляризации . Рассмотрим теперь вертикально поляризованный фотон, описываемый состоянием . Если мы пропустим его через круговой поляризатор , который пропускает либо только поляризованный свет, либо только поляризованный свет, половина фотонов поглощается в обоих случаях. Это может создать впечатление , что половина фотонов находится в состоянии , а другая половина — в состоянии , но это неверно: если мы пройдем через линейный поляризатор, поглощения вообще не будет, но если мы пройдем либо состояние , либо половина фотонов поглощается. ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$ ${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle =(|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle (|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$

Неполяризованный свет (такой как свет от лампы накаливания ) не может быть описан как любое состояние формы (линейная, круговая или эллиптическая поляризация). В отличие от поляризованного света, он проходит через поляризатор с 50% потерей интенсивности независимо от ориентации поляризатора; и его нельзя сделать поляризованным, пропустив его через любую волновую пластину . Однако неполяризованный свет можно описать как статистический ансамбль, например, как каждый фотон, имеющий либо поляризацию, либо поляризацию с вероятностью 1/2. Такое же поведение имело бы место, если бы каждый фотон имел либо вертикальную поляризацию , либо горизонтальную поляризацию с вероятностью 1/2. Эти два ансамбля полностью неразличимы экспериментально, и поэтому они считаются одним и тем же смешанным состоянием. Для этого примера неполяризованного света оператор плотности равен ^{[8] : 75} ${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {H} \rangle }$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\frac {1}{2}}|\mathrm {H} \rangle \langle \mathrm {H} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {V} \rangle \langle \mathrm {V} |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Существуют также другие способы получения неполяризованного света: одна возможность заключается в том, чтобы ввести неопределенность в подготовку фотона, например, пропуская его через двупреломляющий кристалл с шероховатой поверхностью, так что немного разные части светового луча приобретают разные поляризации. Другая возможность заключается в использовании запутанных состояний: радиоактивный распад может испускать два фотона, движущихся в противоположных направлениях, в квантовом состоянии . Совместное состояние двух фотонов вместе является чистым, но матрица плотности для каждого фотона в отдельности, найденная путем взятия частичного следа совместной матрицы плотности, полностью смешана. ^{[6] : 106} ${\displaystyle (|\mathrm {R} ,\mathrm {L} \rangle +|\mathrm {L} ,\mathrm {R} \rangle )/{\sqrt {2}}}$

Эквивалентные ансамбли и очистки

Заданный оператор плотности не определяет однозначно, какой ансамбль чистых состояний его порождает; в общем случае существует бесконечно много различных ансамблей, порождающих одну и ту же матрицу плотности. ^[10] Их нельзя различить никаким измерением. ^[11] Эквивалентные ансамбли можно полностью охарактеризовать: пусть будет ансамблем. Тогда для любой комплексной матрицы такой, что ( частичная изометрия ), ансамбль, определяемый как ${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$ ${\displaystyle \{q_{i},|\varphi _{i}\rangle \}}$

${\displaystyle {\sqrt {q_{i}}}\left|\varphi _{i}\right\rangle =\sum _{j}U_{ij}{\sqrt {p_{j}}}\left|\psi _{j}\right\rangle }$

приведет к возникновению того же оператора плотности, и все эквивалентные ансамбли имеют эту форму.

Тесно связанный факт заключается в том, что заданный оператор плотности имеет бесконечно много различных очисток , которые являются чистыми состояниями, которые генерируют оператор плотности, когда берется частичный след. Пусть

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$

оператор плотности, генерируемый ансамблем , с состояниями, не обязательно ортогональными. Тогда для всех частичных изометрий мы имеем, что ${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$ ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{j}{\sqrt {p_{j}}}|\psi _{j}\rangle U|a_{j}\rangle }$

является очищением , где — ортогональный базис, и, кроме того, все очищения имеют эту форму. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle |a_{j}\rangle }$ ${\displaystyle \rho }$

Измерение

Пусть будет наблюдаемой системой, и предположим, что ансамбль находится в смешанном состоянии, так что каждое из чистых состояний происходит с вероятностью . Тогда соответствующий оператор плотности равен ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle }$ ${\displaystyle p_{j}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|.}$

Ожидаемое значение измерения можно рассчитать, исходя из случая чистых состояний:

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|A|\psi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\operatorname {tr} \left(|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} \left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} (\rho A),}$

где обозначает след . Таким образом, знакомое выражение для чистых состояний заменяется на ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (\rho A)}$

для смешанных состояний. ^{[8] : 73}

Более того, если имеет спектральное разрешение ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i}a_{i}P_{i},}$

где — оператор проекции в собственное пространство, соответствующее собственному значению , оператор плотности после измерения задается выражением ^{[12] [13]} ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \rho _{i}'={\frac {P_{i}\rho P_{i}}{\operatorname {tr} \left[\rho P_{i}\right]}}}$

когда получен результат i . В случае, когда результат измерения неизвестен, ансамбль вместо этого описывается как

${\displaystyle \;\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i}.}$

Если предположить, что вероятности результатов измерений являются линейными функциями проекторов , то они должны быть заданы следом проектора с оператором плотности. Теорема Глисона показывает, что в гильбертовых пространствах размерности 3 или больше предположение о линейности можно заменить предположением о неконтекстуальности . ^[14] Это ограничение на размерность можно снять, предположив неконтекстуальность также и для POVM , ^{[15] [16],} но это было подвергнуто критике как физически немотивированное. ^[17] ${\displaystyle P_{i}}$

Энтропия

Энтропия фон Неймана смеси может быть выражена через собственные значения или через след и логарифм оператора плотности . Поскольку — положительно полуопределенный оператор, он имеет спектральное разложение , такое что , где — ортонормированные векторы, , и . Тогда энтропия квантовой системы с матрицей плотности равна ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho =\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}|\varphi _{i}\rangle \langle \varphi _{i}|}$ ${\displaystyle |\varphi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \lambda _{i}=1}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S=-\sum _{i}\lambda _{i}\ln \lambda _{i}=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ).}$

Это определение подразумевает, что энтропия фон Неймана любого чистого состояния равна нулю. ^{[18] : 217} Если — состояния, имеющие опору на ортогональных подпространствах, то энтропия фон Неймана выпуклой комбинации этих состояний, ${\displaystyle \rho _{i}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i},}$

задается энтропией фон Неймана состояний и энтропией Шеннона распределения вероятностей : ${\displaystyle \rho _{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle S(\rho )=H(p_{i})+\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}).}$

Когда состояния не имеют ортогональных носителей, сумма в правой части строго больше энтропии фон Неймана выпуклой комбинации . ^{[6] : 518} ${\displaystyle \rho _{i}}$ ${\displaystyle \rho }$

При наличии оператора плотности и проективного измерения, как в предыдущем разделе, состояние, определяемое выпуклой комбинацией ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho '}$

${\displaystyle \rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i},}$

что можно интерпретировать как состояние, полученное в результате выполнения измерения, но без записи того, какой результат имел место, ^{[9] : 159} имеет энтропию фон Неймана больше, чем у , за исключением случая . Однако возможно, что полученное в результате обобщенного измерения, или POVM , имеет энтропию фон Неймана меньше, чем . ^{[6] : 514} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho =\rho '}$ ${\displaystyle \rho '}$ ${\displaystyle \rho }$

Уравнение фон Неймана для временной эволюции

Так же, как уравнение Шредингера описывает, как чистые состояния развиваются во времени, уравнение фон Неймана (также известное как уравнение Лиувилля–фон Неймана ) описывает, как оператор плотности развивается во времени. Уравнение фон Неймана гласит, что ^{[19] [20] [21]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {\operatorname {d} \rho }{\operatorname {d} t}}=[H,\rho ]~,}$

где скобки обозначают коммутатор .

Это уравнение справедливо только тогда, когда оператор плотности рассматривается как находящийся в картине Шредингера , хотя на первый взгляд это уравнение имитирует уравнение движения Гейзенберга в картине Гейзенберга , с существенной разницей в знаках:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\operatorname {d} A^{(\mathrm {H} )}}{\operatorname {d} t}}=-\left[H,A^{(\mathrm {H} )}\right]~,}$

где — некоторый оператор картины Гейзенберга ; но в этой картине матрица плотности не зависит от времени , а относительный знак гарантирует, что производная по времени ожидаемого значения получится такой же, как в картине Шредингера . ^[5] ${\displaystyle A^{(\mathrm {H} )}(t)}$ ${\displaystyle \langle A\rangle }$

Если гамильтониан не зависит от времени, уравнение фон Неймана можно легко решить, получив

${\displaystyle \rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }.}$

Для более общего гамильтониана, если — пропагатор волновой функции на некотором интервале, то временная эволюция матрицы плотности на том же интервале задается выражением ${\displaystyle G(t)}$

${\displaystyle \rho (t)=G(t)\rho (0)G(t)^{\dagger }.}$

Функции Вигнера и классические аналогии

Оператор матрицы плотности может быть также реализован в фазовом пространстве . Под отображением Вигнера матрица плотности преобразуется в эквивалентную функцию Вигнера ,

${\displaystyle W(x,p)\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy.}$

Уравнение для временной эволюции функции Вигнера, известное как уравнение Мойала , представляет собой преобразование Вигнера приведенного выше уравнения фон Неймана:

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(x,p,t),H(x,p)\}\},}$

где — гамильтониан, а — скобка Мойала , преобразование квантового коммутатора . ${\displaystyle H(x,p)}$ ${\displaystyle \{\{\cdot ,\cdot \}\}}$

Уравнение эволюции для функции Вигнера тогда аналогично уравнению ее классического предела, уравнению Лиувилля классической физики . В пределе исчезающей постоянной Планка сводится к классической функции плотности вероятности Лиувилля в фазовом пространстве . ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle W(x,p,t)}$

Примеры приложений

Матрицы плотности являются основным инструментом квантовой механики и появляются по крайней мере иногда почти в любом типе квантово-механических вычислений. Некоторые конкретные примеры, где матрицы плотности особенно полезны и распространены, следующие:

• Статистическая механика использует матрицы плотности, в первую очередь для выражения идеи о том, что система готовится при ненулевой температуре. Построение матрицы плотности с использованием канонического ансамбля дает результат в виде , где — обратная температура , а — гамильтониан системы. Условие нормировки, при котором след равен 1, определяет функцию распределения как . Если число частиц, вовлеченных в систему, само по себе не определено, то можно применить большой канонический ансамбль , в котором состояния, суммируемые для создания матрицы плотности, берутся из пространства Фока . ^{[22] : 174} ${\displaystyle \rho =\exp(-\beta H)/Z(\beta )}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle (k_{\rm {B}}T)^{-1}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Z(\beta )=\mathrm {tr} \exp(-\beta H)}$
• Квантовая теория декогеренции обычно включает неизолированные квантовые системы, развивающие запутанность с другими системами, включая измерительные приборы. Матрицы плотности значительно облегчают описание процесса и расчет его последствий. Квантовая декогеренция объясняет, почему система, взаимодействующая с окружающей средой, переходит из чистого состояния, демонстрируя суперпозиции, в смешанное состояние, некогерентную комбинацию классических альтернатив. Этот переход принципиально обратим, поскольку объединенное состояние системы и окружающей среды по-прежнему чистое, но для всех практических целей необратим, поскольку окружающая среда является очень большой и сложной квантовой системой, и невозможно обратить их взаимодействие. Таким образом, декогеренция очень важна для объяснения классического предела квантовой механики, но не может объяснить коллапс волновой функции, поскольку все классические альтернативы по-прежнему присутствуют в смешанном состоянии, и коллапс волновой функции выбирает только одну из них. ^[23]
• Аналогично, в квантовых вычислениях , квантовой теории информации , открытых квантовых системах и других областях, где подготовка состояния шумная и может возникнуть декогеренция, часто используются матрицы плотности. Шум часто моделируется через деполяризующий канал или канал затухания амплитуды . Квантовая томография — это процесс, с помощью которого, учитывая набор данных, представляющих результаты квантовых измерений, вычисляется матрица плотности, согласующаяся с этими результатами измерений. ^{[24] [25]}
• При анализе системы со многими электронами, такой как атом или молекула , несовершенным, но полезным первым приближением является рассмотрение электронов как некоррелированных или имеющих каждый независимую одночастичную волновую функцию. Это обычная отправная точка при построении определителя Слейтера в методе Хартри–Фока . Если есть электроны, заполняющие одночастичные волновые функции , то совокупность электронов можно охарактеризовать матрицей плотности . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{N}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

C*-алгебраическая формулировка состояний

В настоящее время общепризнано, что описание квантовой механики, в котором все самосопряженные операторы представляют наблюдаемые, несостоятельно. ^{[26] [27]} По этой причине наблюдаемые отождествляются с элементами абстрактной C*-алгебры A (то есть алгебры без выделенного представления в виде алгебры операторов), а состояния являются положительными линейными функционалами на A. Однако, используя конструкцию GNS , мы можем восстановить гильбертовы пространства, которые реализуют A как подалгебру операторов.

Геометрически чистое состояние на C*-алгебре A — это состояние , являющееся крайней точкой множества всех состояний на A. По свойствам конструкции GNS эти состояния соответствуют неприводимым представлениям A.

Состояния C*-алгебры компактных операторов K ( H ) в точности соответствуют операторам плотности, и поэтому чистые состояния K ( H ) являются в точности чистыми состояниями в смысле квантовой механики.

Можно считать, что C*-алгебраическая формулировка включает как классические, так и квантовые системы. Когда система классическая, алгебра наблюдаемых становится абелевой C*-алгеброй. В этом случае состояния становятся вероятностными мерами.

История

Формализм операторов плотности и матриц был введен в 1927 году Джоном фон Нейманом ^[28] и независимо, но менее систематически, Львом Ландау ^[29] и позднее в 1946 году Феликсом Блохом . ^[30] Фон Нейман ввел матрицу плотности для разработки как квантовой статистической механики, так и теории квантовых измерений. Само название матрица плотности относится к ее классическому соответствию фазово -пространственной вероятностной мере (распределение вероятностей положения и импульса) в классической статистической механике , которая была введена Вигнером в 1932 году. ^[3]

Напротив, мотивацией, вдохновившей Ландау, была невозможность описания подсистемы составной квантовой системы вектором состояния. ^[29]

Смотрите также

• Атомный электронный переход
• Теория функционала плотности
• Отношения Грина–Кубо
• Функция Грина (теория многих тел)
• Уравнение Линдблада
• Распределение квазивероятности Вигнера

Примечания и ссылки

1. Шанкар, Рамамурти (2014). Принципы квантовой механики (2-е изд., [19-е исправленное издание] изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-306-44790-7.
2. Баллентайн, Лесли (2009). «Матрица плотности». Компендиум квантовой физики . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 166. doi :10.1007/978-3-540-70626-7_51. ISBN 978-3-540-70622-9.
3. Fano, U. (1957). «Описание состояний в квантовой механике с помощью матрицы плотности и операторных методов». Reviews of Modern Physics . 29 (1): 74–93. Bibcode : 1957RvMP...29...74F. doi : 10.1103/RevModPhys.29.74.
4. Холево, Александр С. (2001). Статистическая структура квантовой теории . Конспект лекций по физике. Springer. ISBN 3-540-42082-7. OCLC  318268606.
5. Hall, Brian C. (2013). «Системы и подсистемы, множественные частицы». Квантовая теория для математиков . Выпускные тексты по математике. Том 267. С. 419–440. doi :10.1007/978-1-4614-7116-5_19. ISBN 978-1-4614-7115-8.
6. Нильсен, Майкл; Чуан, Айзек (2000), Квантовые вычисления и квантовая информация , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63503-5.
7. Дэвидсон, Эрнест Рой (1976). Редуцированные матрицы плотности в квантовой химии . Academic Press , Лондон.
8. Перес, Эшер (1995). Квантовая теория: концепции и методы . Kluwer. ISBN 978-0-7923-3632-7. OCLC  901395752.
9. Wilde, Mark M. (2017). Квантовая теория информации (2-е изд.). Cambridge University Press. arXiv : 1106.1445 . doi :10.1017/9781316809976.001. ISBN 978-1-107-17616-4. OCLC  973404322. S2CID  2515538.
10. Киркпатрик, КА (февраль 2006 г.). «Теорема Шредингера-HJW». Foundations of Physics Letters . 19 (1): 95–102. arXiv : quant-ph/0305068 . Bibcode : 2006FoPhL..19...95K. doi : 10.1007/s10702-006-1852-1. ISSN  0894-9875. S2CID  15995449.
11. Окс, Вильгельм (1981-11-01). «Некоторые комментарии о концепции состояния в квантовой механике». Erkenntnis . 16 (3): 339–356. doi :10.1007/BF00211375. ISSN  1572-8420. S2CID  119980948.
12. Людерс, Герхарт (1950). «Über die Zustandsänderung durch den Messprozeß». Аннален дер Физик . 443 (5–8): 322. Бибкод : 1950АнП...443..322Л. дои : 10.1002/andp.19504430510.Перевод KA Kirkpatrick как Lüders, Gerhart (2006-04-03). «Относительно изменения состояния в результате процесса измерения». Annalen der Physik . 15 (9): 663–670. arXiv : quant-ph/0403007 . Bibcode : 2006AnP...518..663L. doi : 10.1002/andp.200610207. S2CID  119103479.
13. Буш, Пол ; Лахти, Пекка (2009), Гринбергер, Дэниел; Хентшель, Клаус; Вайнерт, Фридель (ред.), «Правило Людерса», Сборник квантовой физики , Springer Berlin Heidelberg, стр. 356–358, doi : 10.1007/978-3-540-70626-7_110, ISBN 978-3-540-70622-9
14. Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства». Indiana University Mathematics Journal . 6 (4): 885–893. doi : 10.1512/iumj.1957.6.56050 . MR  0096113.
15. Буш, Пол (2003). «Квантовые состояния и обобщенные наблюдаемые: простое доказательство теоремы Глисона». Physical Review Letters . 91 (12): 120403. arXiv : quant-ph/9909073 . Bibcode : 2003PhRvL..91l0403B. doi : 10.1103/PhysRevLett.91.120403. PMID  14525351. S2CID  2168715.
16. Кейвс, Карлтон М .; Фукс, Кристофер А.; Манн, Киран К.; Ренес, Джозеф М. (2004). «Выводы типа Глисона правила квантовой вероятности для обобщенных измерений». Основы физики . 34 (2): 193–209. arXiv : quant-ph/0306179 . Bibcode : 2004FoPh...34..193C. doi : 10.1023/B:FOOP.0000019581.00318.a5. S2CID  18132256.
17. Анджей Грудка; Павел Куржинский (2008). «Есть ли контекстуальность для одного кубита?». Physical Review Letters . 100 (16): 160401. arXiv : 0705.0181 . Bibcode : 2008PhRvL.100p0401G. doi : 10.1103/PhysRevLett.100.160401. PMID  18518167. S2CID  13251108.
18. Риффель, Элеанор Г.; Полак, Вольфганг Х. (2011-03-04). Квантовые вычисления: Нежное введение . MIT Press. ISBN 978-0-262-01506-6.
19. Брейер, Хайнц; Петруччионе, Франческо (2002), Теория открытых квантовых систем, Oxford University Press, стр. 110, ISBN 978-0-19-852063-4
20. Швабль, Франц (2002), Статистическая механика, Springer, стр. 16, ISBN 978-3-540-43163-3
21. Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В. (2008), Классическая механика и теория относительности , World Scientific, стр. 175–179, ISBN 978-981-283-251-1
22. Кардар, Мехран (2007). Статистическая физика частиц . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-87342-0. OCLC  860391091.
23. Шлосшауэр, М. (2019). «Квантовая декогеренция». Physics Reports . 831 : 1–57. arXiv : 1911.06282 . Bibcode : 2019PhR...831....1S. doi : 10.1016/j.physrep.2019.10.001. S2CID  208006050.
24. Гранад, Кристофер; Комбс, Джошуа; Кори, Д.Г. (2016-01-01). "Практическая байесовская томография". New Journal of Physics . 18 (3): 033024. arXiv : 1509.03770 . Bibcode : 2016NJPh...18c3024G. doi : 10.1088/1367-2630/18/3/033024. ISSN  1367-2630. S2CID  88521187.
25. Ardila, Luis; Heyl, Markus; Eckardt, André (28 декабря 2018 г.). «Измерение матрицы плотности отдельных частиц для фермионов и жестких бозонов в оптической решетке». Physical Review Letters . 121 (260401): 6. arXiv : 1806.08171 . Bibcode :2018PhRvL.121z0401P. doi :10.1103/PhysRevLett.121.260401. PMID  30636128. S2CID  51684413.
26. См. приложение, Mackey, George Whitelaw (1963), Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , Dover Books on Mathematics, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43517-6
27. Эмч, Джерард Г. (1972), Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля , Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-23900-0
28. фон Нейман, Джон (1927), «Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik», Göttinger Nachrichten , 1 : 245–272
29. "Проблема затухания в волновой механике (1927)". Сборник трудов Л. Д. Ландау . 1965. С. 8–18. doi :10.1016/B978-0-08-010586-4.50007-9. ISBN 978-0-08-010586-4.
30. Фано, Уго (1995). «Матрицы плотности как векторы поляризации». Rendiconti Lincei . 6 (2): 123–130. doi :10.1007/BF03001661. S2CID  128081459.