Волна материи

Квантово-механические волны, описывающие материю

Волны материи являются центральной частью теории квантовой механики , являясь половиной корпускулярно-волнового дуализма . Вся материя демонстрирует волновое поведение. Например, пучок электронов может дифрагировать точно так же, как луч света или волна на воде.

Концепция о том, что материя ведет себя как волна, была предложена французским физиком Луи де Бройлем ( / d ə ˈ br ɔɪ / ) в 1924 году, поэтому волны материи также известны как волны де Бройля .

Длина волны де Бройля — это длина волны λ , связанная с частицей с импульсом p через постоянную Планка h :

$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}$$

Волновое поведение материи было впервые экспериментально продемонстрировано Джорджем Пэджетом Томсоном и Александром Ридом в эксперименте по дифракции пропускания ^[1] и независимо в эксперименте Дэвиссона-Гермера ^{[2] [3]} с использованием электронов; и это также было подтверждено для других элементарных частиц , нейтральных атомов и молекул .

Введение

Фон

В конце 19 века считалось, что свет состоит из волн электромагнитных полей, которые распространяются согласно уравнениям Максвелла , а материя считалась состоящей из локализованных частиц (см. историю волнового и корпускулярного дуализма ). В 1900 году это разделение было поставлено под сомнение, когда, исследуя теорию излучения черного тела , Макс Планк предположил, что тепловая энергия колеблющихся атомов делится на дискретные части, или кванты. ^[4] Расширяя исследование Планка в нескольких направлениях, включая его связь с фотоэлектрическим эффектом , Альберт Эйнштейн в 1905 году предположил, что свет также распространяется и поглощается в квантах, ^{[5] :87,} которые теперь называются фотонами . Эти кванты будут иметь энергию, определяемую соотношением Планка-Эйнштейна :

$${\displaystyle E=h\nu }$$

${\displaystyle \mathbf {p} }$

$${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|=p={\frac {E}{c}}={\frac {h}{\lambda }},}$$

νгреческая буква nuλгреческая буква лямбдачастотудлину волныch — постоянную^[6]f^{[5] :89}КомптономО.В. Ричардсоном ^[7][8]постоянной ПланкаРобертом Милликеном ^[9].

Гипотеза де Бройля

Распространение волн де Бройля в одном измерении – действительная часть комплексной амплитуды выделена синим цветом, мнимая часть – зеленым. Вероятность (показанная как непрозрачность цвета ) обнаружения частицы в данной точке x распределена по форме волны; нет определенного положения частицы. Когда амплитуда увеличивается выше нуля , наклон уменьшается, поэтому амплитуда снова уменьшается, и наоборот. В результате получается переменная амплитуда: волна. Вверху: плоская волна . Внизу: волновой пакет .

Когда я задумал первые основные идеи волновой механики в 1923–1924 годах, я руководствовался целью осуществить реальный физический синтез, справедливый для всех частиц, сосуществования волны и корпускулярных аспектов, которые Эйнштейн ввел для фотонов. в своей теории квантов света в 1905 году.

-  де Бройль ^[10]

Де Бройль в своей докторской диссертации 1924 года ^[11] предположил, что так же, как свет обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами, электроны также обладают волновыми свойствами. Его диссертация началась с гипотезы, «что каждой порции энергии с собственной массой m ₀ можно связать периодическое явление с частотой ν ₀ , так что можно найти: hν ₀ = m ₀ c ² . Частота ν ₀ равна быть измерена, конечно, в системе покоя энергетического пакета. Эта гипотеза является основой нашей теории». ^{[12] [11] : 8  [13] [14] [15] [16]} (Эта частота также известна как частота Комптона .)

Чтобы найти длину волны , эквивалентную движущемуся телу, де Бройль ^{[5] :214} установил полную энергию из специальной теории относительности для этого тела равной hν :

$${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=h\nu }$$

(Современная физика больше не использует эту форму полной энергии; соотношение энергия-импульс оказалось более полезным.) Де Бройль отождествил скорость частицы v со скоростью группы волн в свободном пространстве:

$${\displaystyle v_{\text{g}}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {d\nu }{d(1/\lambda )}}}$$

(Современное определение групповой скорости использует угловую частоту ω и волновое число k ). Применяя дифференциалы к уравнению энергии и определяя релятивистский импульс :

$${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

затем интегрируя, де Бройль пришел к своей формуле для связи между длиной волны λ , связанной с электроном , и модулем его импульса p через постоянную Планка h : ^[17 ]

$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}$$

Это фундаментальное соотношение теории.

-  Луи де Бройль, Нобелевская лекция 1929 г. ^[18]

Волновое уравнение Шрёдингера (материи)

Развивая идеи де Бройля, физик Питер Дебай сделал небрежное замечание, что, если частицы ведут себя как волны, они должны удовлетворять некоторому волновому уравнению. Вдохновленный замечанием Дебая, Эрвин Шредингер решил найти правильное трехмерное волновое уравнение для электрона. Он руководствовался аналогией Уильяма Роуэна Гамильтона между механикой и оптикой (см. Оптико-механическую аналогию Гамильтона ), закодированной в наблюдении, что нулевой предел оптики напоминает механическую систему — траектории световых лучей становятся острыми следами, подчиняющимися Принцип Ферма , аналог принципа наименьшего действия . ^[19]

В 1926 году Шредингер опубликовал волновое уравнение, которое теперь носит его имя [ ^20] – материальный волновой аналог уравнений Максвелла – и использовал его для получения энергетического спектра водорода . Частоты решений нерелятивистского уравнения Шредингера отличаются от волн де Бройля комптоновской частотой, поскольку энергия, соответствующая массе покоя частицы, не входит в состав нерелятивистского уравнения Шредингера. Уравнение Шрёдингера описывает временную эволюцию волновой функции — функции, которая присваивает комплексное число каждой точке пространства. Шрёдингер пытался интерпретировать квадрат модуля волновой функции как плотность заряда. Однако этот подход не увенчался успехом. ^{[21] [22] [23]} Макс Борн предположил, что квадрат модуля волновой функции вместо этого является плотностью вероятности , успешное предложение, теперь известное как правило Борна . ^[21]

Плотность вероятности в пространстве положений первоначально гауссовского состояния, движущегося в одном измерении с минимально неопределенным постоянным импульсом в свободном пространстве.

В следующем, 1927 году, К. Г. Дарвин (внук знаменитого биолога ) исследовал уравнение Шрёдингера в нескольких идеализированных сценариях. ^[24] Для несвязанного электрона в свободном пространстве он рассчитал распространение волны, приняв исходный гауссов волновой пакет . Дарвин показал, что через некоторое время положение пакета, движущегося со скоростью , будет ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+(ht/2\pi \sigma m)^{2}}}}$$

соотношению неопределенности Гейзенберга. ${\displaystyle \sigma }$

Экспериментальное подтверждение

Впервые экспериментально было подтверждено возникновение волн материи в дифракционном эксперименте Джорджа Пэджета Томсона и Александра Рида ^[1] и эксперименте Дэвиссона - Гермера ^{[2] [3]} для электронов.

Для других элементарных частиц подтверждена гипотеза де Бройля и существование волн материи, показано, что нейтральные атомы и даже молекулы имеют волнообразную форму. ^[25]

Первые картины интерференции электронных волн, непосредственно демонстрирующие корпускулярно-волновой дуализм, использовали электронные бипризмы ^{[26] [27]} (по сути, проволоку, помещенную в электронный микроскоп) и измеряли одиночные электроны, создавая дифракционную картину. Недавно был показан фильм , точная копия знаменитого эксперимента с двумя щелями ^{[28] : 260  с использованием электронов через физические отверстия. [29]}

Картина дифракции двойной щели волны материи строит электрон за электроном. Каждая белая точка представляет собой один электрон, попавший в детектор; при статистически большом количестве электронов появляются интерференционные полосы. ^[29]

Электроны

В 1927 году в Bell Labs Клинтон Дэвиссон и Лестер Гермер выпустили медленно движущиеся электроны по мишени из кристаллического никеля . ^{[2] [3]} Была измерена интенсивность дифрагированных электронов, и было установлено, что она имеет угловую зависимость, аналогичную дифракционной картине , предсказанной Брэггом для рентгеновских лучей . В то же время Джордж Пейджет Томсон и Александр Рид из Абердинского университета независимо запускали электронами тонкую целлулоидную фольгу, а затем и металлические пленки, наблюдая кольца, которые можно интерпретировать аналогичным образом. ^[1] (Александр Рид, который был аспирантом Томсона, провел первые эксперименты, но вскоре погиб в аварии на мотоцикле ^[30] и редко упоминается.) До принятия гипотезы де Бройля дифракция была свойством, которое Считается, что его проявляют только волны. Поэтому наличие каких-либо эффектов дифракции на веществе свидетельствует о волновой природе вещества. ^[31] Интерпретация волн материи была положена на прочную основу в 1928 году Гансом Бете , ^[32] который решил уравнение Шрёдингера , ^[20] показав, как это может объяснить экспериментальные результаты. Его подход аналогичен тому, что используется в современных подходах к дифракции электронов . ^{[33] [34]}

Это был решающий результат в развитии квантовой механики . Подобно тому, как фотоэлектрический эффект продемонстрировал корпускулярную природу света, эти эксперименты показали волновую природу материи.

Нейтроны

Нейтроны , производимые в ядерных реакторах с кинетической энергией около1 МэВ , термализовать примерно до0,025 эВ при рассеянии на легких атомах. Результирующая длина волны де Бройля (около180  часов ) соответствует межатомному расстоянию. В 1944 году Эрнест О. Воллан , получивший опыт работы в области рассеяния рентгеновских лучей в своей докторской работе ^[35] под руководством Артура Комптона , осознал потенциал применения тепловых нейтронов из недавно введенного в эксплуатацию ядерного реактора Х-10 в кристаллографии . Вместе с Клиффордом Г. Шуллом они разработали ^[36] дифракцию нейтронов на протяжении 1940-х годов. В 1970-х годах нейтронный интерферометр продемонстрировал действие гравитации в отношении корпускулярно-волнового дуализма в нейтронном интерферометре. ^[37]

Атомы

Интерференцию волн атомной материи впервые наблюдали Иммануил Эстерманн и Отто Штерн в 1930 году, когда луч Na дифрагировал от поверхности NaCl. ^[38] Короткая длина волны де Бройля атомов препятствовала прогрессу в течение многих лет, пока два технологических прорыва не возродили интерес: микролитография , позволяющая создавать точные небольшие устройства, и лазерное охлаждение , позволяющее замедлять атомы, увеличивая их длину волны де Бройля. ^[39]

Достижения в области лазерного охлаждения позволили охладить нейтральные атомы до температур нанокельвина. При этих температурах длины волн де Бройля достигают микрометрового диапазона. Используя брэгговскую дифракцию атомов и метод интерферометрии Рамсея, длина волны де Бройля холодных атомов натрия была точно измерена и оказалась согласующейся с температурой, измеренной другим методом. ^[40]

Молекулы

Недавние эксперименты подтверждают эти соотношения для молекул и даже макромолекул , которые в противном случае можно было бы считать слишком большими, чтобы подвергаться квантово-механическим эффектам. В 1999 году исследовательская группа в Вене продемонстрировала дифракцию молекул размером с фуллерен . ^[41] Исследователи рассчитали длину волны де Бройля наиболее вероятной скорости C ₆₀ как14:  5 . Более поздние эксперименты доказывают квантовую природу молекул, состоящих из 810 атомов и массой10 123  Да . ^[42] С 2019 года это было перенесено на молекулы25 000  Да . ^[43]

В этих экспериментах построение таких интерференционных картин можно было зарегистрировать в реальном времени и с чувствительностью к одной молекуле. ^[44] Большие молекулы уже настолько сложны, что дают экспериментальный доступ к некоторым аспектам квантово-классического интерфейса, то есть к определенным механизмам декогеренции . ^{[45] [46]}

Путешествующие волны материи

Волны имеют более сложные представления о скорости , чем твердые объекты. Самый простой подход — сосредоточиться на описании в терминах плоских волн материи для свободной частицы , то есть волновой функции, описываемой уравнением

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t},}$$

волновой векторωугловая частотакристаллографииВолновой вектордлину волны λ,частоту fEчастица^[47] ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} |=p}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda ={\frac {2\pi }{|\mathbf {k} |}}={\frac {h}{p}}\\&f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {E}{h}}\end{aligned}}}$$

hпостоянная Планка

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \\&E=\hbar \omega ,\\\end{aligned}}}$$

ħ = h /2 πсоотношением Планка–Эйнштейна

Групповая скорость

В гипотезе де Бройля скорость частицы равна групповой скорости волны вещества. ^{[5] : 214} В изотропных средах или вакууме групповая скорость волны определяется выражением:

$${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\partial \omega (\mathbf {k} )}{\partial \mathbf {k} }}}$$

дисперсионным соотношением

$${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$

групповую скорость волн материи ${\displaystyle m_{0}}$

$${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m_{0}}}}$$

дисперсиейскорость света ${\displaystyle \omega (k)=ck}$ ${\displaystyle c}$

В качестве альтернативы можно использовать релятивистское соотношение дисперсии для волн материи.

$${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,.}$$

$${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\mathbf {k} c^{2}}{\omega }}}$$

Для неизотропных сред вместо этого мы используем форму Энергия-импульс :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\partial \omega }{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (\mathbf {p} /\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial \mathbf {p} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}\right)\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}.\end{aligned}}}$$

Но (см. ниже), поскольку фазовая скорость равна , то ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }=E/\mathbf {p} =c^{2}/\mathbf {v} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}\\&={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} _{\mathrm {p} }}}\\&=\mathbf {v} ,\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mathbf {v} }$

Фазовая скорость

Фазовая скорость в изотропных средах определяется как:

$${\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}}$$

^{[5] : 215}

$${\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {c^{2}}{\mathbf {v_{g}} }}}$$

Таким образом , сверхсветовая ${\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}$ ${\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |=c}$ ${\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |=c}$ ${\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |<c}$ ${\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |>c}$

Для неизотропных сред тогда

$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}={\frac {E/\hbar }{\mathbf {p} /\hbar }}={\frac {E}{\mathbf {p} }}.}$$

Использование релятивистских соотношений для энергии и импульса дает

$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {E}{\mathbf {p} }}={\frac {mc^{2}}{m\mathbf {v} }}={\frac {\gamma m_{0}c^{2}}{\gamma m_{0}\mathbf {v} }}={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} }}.}$$

специальной теории относительностиc ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle |\mathbf {v} |<c}$

$${\displaystyle |\mathbf {v} _{\mathrm {p} }|>c,}$$

c,«Дисперсия (оптика)» .

Специальная теория относительности

Используя две формулы специальной теории относительности : одну для релятивистской энергии массы, другую для релятивистского импульса.

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=mc^{2}=\gamma m_{0}c^{2}\\[1ex]\mathbf {p} &=m\mathbf {v} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda =\,\,{\frac {h}{\gamma m_{0}v}}\,=\,{\frac {h}{m_{0}v}}\,\,\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\[2.38ex]&f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}},\end{aligned}}}$$

Лоренцасвета. ^{[48] ​​[49]} ${\displaystyle v=|\mathbf {v} |}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c}$

Четырехвекторы

Используя четыре-вектора, соотношения де Бройля образуют одно уравнение:

$${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} ,}$$

кадра

$${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}\right)\mathbf {U} ,}$$

• Четырехимпульсный ${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\mathbf {p} }\right)}$
• Четырехволновой вектор ${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\mathbf {k} }\right)}$
• Четырехскоростной ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,{\mathbf {u} })=\gamma (c,v_{\mathrm {g} }{\hat {\mathbf {u} }})}$

Волны общей материи

Предыдущие разделы относятся конкретно к свободным частицам , волновые функции которых представляют собой плоские волны. Существует значительное количество других волн материи, которые можно разделить на три класса: одночастичные волны материи, коллективные волны материи и стоячие волны.

Одночастичные волны материи

Более общее описание волн материи, соответствующих одному типу частиц (например, только одному электрону или нейтрону), будет иметь форму, подобную

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -iE(\mathbf {k} )t/\hbar )}$$

эффективной массы ${\displaystyle u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle m_{ij}^{*}}$

$${\displaystyle {m_{ij}^{*}}^{-1}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$$

$${\displaystyle E(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m^{*}}}}$$

вероятности ^[50]

$${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} )={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}(\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )-\psi (\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi ^{*}(\mathbf {r} )\right)}$$

операторградиента_ оператора кинетического момента^[50] ${\displaystyle \nabla }$

$${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }$$

• Волны Блоха , которые составляют основу большей части зонной структуры , описанной Эшкрофтом и Мермином , а также используются для описания дифракции электронов высоких энергий на твердых телах. ^{[51] [34]}
• Волны с угловым моментом , такие как вихревые пучки электронов . ^[52]
• Затухающие волны , где составляющая волнового вектора в одном направлении является комплексной. Это обычное явление при отражении волн материи, особенно при дифракции скользящего падения .

Коллективные волны материи

Другие классы волн материи включают более одной частицы, поэтому называются коллективными волнами и часто являются квазичастицами . Многие из них встречаются в твердых телах – см. Эшкрофт и Мермин . Примеры включают в себя:

• В твердых телах электронная квазичастица — это электрон , в котором учитываются взаимодействия с другими электронами в твердом теле. Электронная квазичастица имеет тот же заряд и спин , что и «нормальный» ( элементарная частица ) электрон, и, как и нормальный электрон, она является фермионом . Однако его эффективная масса может существенно отличаться от массы обычного электрона. ^[53] Его электрическое поле также изменяется в результате экранирования электрического поля .
• Дырка — это квазичастица, которую можно рассматривать как вакансию электрона в состоянии; он чаще всего используется в контексте пустых состояний в валентной зоне полупроводника . ^[53] Дырка имеет заряд, противоположный электрону.
• Полярон — это квазичастица, в которой электрон взаимодействует с поляризацией соседних атомов.
• Экситон – это пара электрона и дырки, связанных друг с другом .
• Куперова пара — это два электрона, связанных вместе, поэтому они ведут себя как единая волна материи.

Стоячие волны материи

Некоторые траектории частицы в ящике по законам классической механики Ньютона (А) и волны материи (Б–F). В (B–F) горизонтальная ось — это положение, а вертикальная ось — действительная (синяя) и мнимая часть (красная) волновой функции . Состояния (B,C,D) являются собственными энергетическими состояниями , а (E,F) — нет.

Третий класс — это волны материи, которые имеют волновой вектор, длину волны и меняются со временем, но имеют нулевую групповую скорость или поток вероятности . Простейшим из них, аналогичным обозначениям выше, будет

$${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$$

в ящикекольцеусловию Бора-Зоммерфельда^[54]атомные орбиталимолекулярные орбитали^{[55] [56] [57]}

Волны материи против электромагнитных волн (света)

Шредингер применил оптико-механическую аналогию Гамильтона для разработки своей волновой механики для субатомных частиц ^{[58] : xi} Следовательно, волновые решения уравнения Шредингера имеют много общих свойств с результатами оптики световых волн . В частности, формула дифракции Кирхгофа хорошо работает для электронной оптики ^{[28] :745} и для атомной оптики . ^[59] Приближение работает хорошо, пока электрические поля изменяются медленнее, чем длина волны де Бройля. Макроскопическая аппаратура удовлетворяет этому условию; медленные электроны, движущиеся в твердых телах, этого не делают.

Помимо уравнений движения, другие аспекты волновой оптики материи отличаются от соответствующих случаев световой оптики.

Чувствительность волн материи к состоянию окружающей среды. Многие примеры дифракции электромагнитного (света) происходят в воздухе во многих условиях окружающей среды. Очевидно, видимый свет слабо взаимодействует с молекулами воздуха. Напротив, сильно взаимодействующие частицы, такие как медленные электроны и молекулы, требуют вакуума: волновые свойства материи быстро исчезают, когда они подвергаются воздействию даже низкого давления газа. ^[60] С помощью специального оборудования высокоскоростные электроны можно использовать для изучения жидкостей и газов . Нейтроны, важное исключение, взаимодействуют главным образом посредством столкновений с ядрами и, таким образом, перемещаются в воздухе на несколько сотен футов. ^[61]

Дисперсия. Световые волны всех частот движутся с одинаковой скоростью света , в то время как скорость материальных волн сильно зависит от частоты. Связь между частотой (пропорциональной энергии) и волновым числом или скоростью (пропорциональной импульсу) называется дисперсионным соотношением . Световые волны в вакууме имеют линейную дисперсионную зависимость между частотами: . Для волн материи соотношение нелинейное: ${\displaystyle \omega =ck}$

$${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$

уравнение дисперсии волн материиволновых пакетов волн материи ${\displaystyle k=1/\lambda }$ ${\displaystyle \hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}}$

Когерентность. Видимость дифракционных особенностей при использовании подхода оптической теории зависит от когерентности луча ^[28] , что на квантовом уровне эквивалентно подходу матрицы плотности . ^{[62] [63]} Как и в случае со светом, поперечная когерентность (поперек направления распространения) может быть увеличена за счет коллимации . Электронно-оптические системы используют стабилизированное высокое напряжение для обеспечения узкого разброса энергии в сочетании с коллимирующими (параллельными) линзами и остроконечными источниками накаливания для достижения хорошей когерентности. ^[64] Поскольку свет на всех частотах движется с одинаковой скоростью, продольная и временная когерентность связаны; в волнах материи они независимы. Например, для атомов выбор скорости (энергии) контролирует продольную когерентность, а пульсация или прерывание контролирует временную когерентность. ^{[59] : 154}

Волны материи оптической формы Оптическое манипулирование материей играет решающую роль в оптике волн материи: «Световые волны могут действовать как преломляющие, отражающие и поглощающие структуры для волн материи, точно так же, как стекло взаимодействует со световыми волнами». ^[65] Передача импульса лазерного света может охлаждать частицы вещества и изменять внутреннее состояние возбуждения атомов. ^[66]

Эксперименты с несколькими частицами В то время как одночастичные оптические уравнения в свободном пространстве и волновые уравнения материи идентичны, многочастичные системы, такие как эксперименты по совпадению, — нет. ^[67]

Применение волн материи

В следующих подразделах представлены ссылки на страницы, описывающие применение волн материи в качестве зондов материалов или фундаментальных квантовых свойств . В большинстве случаев они включают в себя некий метод создания бегущих волн материи, которые изначально имеют простую форму , а затем используют их для исследования материалов. ${\displaystyle \exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t)}$

Как показано в таблице ниже, масса волны материи варьируется более 6 порядков , а энергия - более 9 порядков, но все длины волн находятся в пикометровом диапазоне, что сравнимо с расстоянием между атомами. ( Диаметр атомов варьируется от 62 до 520 пм, а типичная длина одинарной связи углерод-углерод составляет 154 пм.) Для достижения более длинных волн требуются специальные методы, такие как лазерное охлаждение, для достижения более низких энергий; Более короткие длины волн затрудняют различение дифракционных эффектов. ^[39] Поэтому многие приложения сосредоточены на материальных структурах параллельно с применением электромагнитных волн, особенно рентгеновских лучей . В отличие от света, волновые частицы материи могут иметь массу , электрический заряд , магнитные моменты и внутреннюю структуру, что создает новые проблемы и возможности.

Электроны

Картины электронной дифракции возникают, когда энергичные электроны отражаются или проникают в упорядоченные твердые тела; анализ закономерностей приводит к моделям расположения атомов в твердых телах.

Они используются для получения изображений от микронного до атомного масштаба с помощью электронных микроскопов , при просвечивании , с помощью сканирования и для поверхностей при низких энергиях .

Измерения энергии, которую они теряют в спектроскопии потерь энергии электронов, дают информацию о химии и электронной структуре материалов. Пучки электронов также приводят к характеристическому рентгеновскому излучению в энергодисперсионной спектроскопии , которое может предоставить информацию о химическом составе на наноуровне.

Квантовое туннелирование объясняет, как электроны покидают металлы в электростатическом поле при энергиях, меньших, чем позволяют классические предсказания: волна материи проникает через барьер работы выхода в металле.

Сканирующий туннельный микроскоп использует квантовое туннелирование для получения изображений верхнего атомного слоя твердых поверхностей.

Электронная голография , волновой аналог оптической голографии , исследует электрические и магнитные поля в тонких пленках.

Нейтроны

Дифракция нейтронов дополняет дифракцию рентгеновских лучей за счет различных сечений рассеяния и чувствительности к магнетизму.

Малоугловое рассеяние нейтронов позволяет получить структуру неупорядоченных систем, чувствительную к легким элементам, изотопам и магнитным моментам.

Нейтронная рефлектометрия — это нейтронографический метод измерения структуры тонких пленок.

Нейтральные атомы

Атомные интерферометры , подобно оптическим интерферометрам , измеряют разницу фаз между волнами атомной материи на разных путях.

Атомная оптика имитирует многие светооптические устройства, в том числе зеркала , зональные пластины фокусировки атомов.

Сканирующая гелиевая микроскопия использует волны атомов гелия для неразрушающего изображения твердых структур.

Квантовое отражение использует поведение волн материи для объяснения атомного отражения под углом скольжения, которое лежит в основе некоторых атомных зеркал .

Измерения квантовой декогеренции основаны на интерференции волн атома Rb.

Молекулы

Квантовая суперпозиция , обнаруженная путем интерференции волн материи от больших молекул, исследует пределы корпускулярно-волнового дуализма и квантовой макроскопичности. ^{[76] [77]}

Интерферометры материи-волны генерируют наноструктуры на молекулярных пучках, которые можно считывать с нанометровой точностью и, следовательно, использовать для высокочувствительных измерений сил, из которых можно вывести множество свойств индивидуальных сложных молекул. ^[78]

Смотрите также

• Модель Бора
• Комптоновская длина волны
• Волна Фарадея
• Эффект Капицы-Дирака
• Волновые часы материи
• Уравнение Шрёдингера
• Теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера
• Термическая длина волны де Бройля
• Теория де Бройля – Бома

Рекомендации

1. Томсон, врач общей практики; Рид, А. (1927). «Дифракция катодных лучей на тонкой пленке». Природа . 119 (3007): 890. Бибкод : 1927Natur.119Q.890T. дои : 10.1038/119890a0 . ISSN  0028-0836. S2CID  4122313.
2. Дэвиссон, К.; Гермер, Л.Х. (1927). «Дифракция электронов на кристалле никеля». Физический обзор . 30 (6): 705–740. Бибкод : 1927PhRv...30..705D. дои : 10.1103/physrev.30.705 . ISSN  0031-899X.
3. Дэвиссон, CJ; Гермер, Л.Х. (1928). «Отражение электронов кристаллом никеля». Труды Национальной академии наук . 14 (4): 317–322. Бибкод : 1928PNAS...14..317D. дои : 10.1073/pnas.14.4.317 . ISSN  0027-8424. ПМЦ 1085484 . ПМИД  16587341. 
4. Краг, Хельге (1 декабря 2000 г.). «Макс Планк: сопротивляющийся революционер». Мир физики . Проверено 19 мая 2023 г.
5. Уиттакер, сэр Эдмунд (1 января 1989 г.). История теорий эфира и электричества . Том. 2. Публикации Courier Dover. ISBN 0-486-26126-3.
6. Эйнштейн, А. (1917). Zur Quantentheorie der Strahlung, Physicalische Zeitschrift 18 : 121–128. Переведено Тер Хааром, Д. (1967). Старая квантовая теория . Пергамон Пресс . стр. 167–183. LCCN  66029628.
7. Ричардсон, Огайо; Комптон, Карл Т. (17 мая 1912 г.). «Фотоэлектрический эффект». Наука . Американская ассоциация содействия развитию науки (AAAS). 35 (907): 783–784. Бибкод : 1912Sci....35..783R. дои : 10.1126/science.35.907.783. ISSN  0036-8075. ПМИД  17792421.
8. Хьюз, A. Ll. «XXXIII. Фотоэлектрический эффект некоторых соединений». Философский журнал и журнал науки Лондона, Эдинбурга и Дублина 24.141 (1912): 380–390.
9. Милликен, Р. (1916). «Прямое фотоэлектрическое определение планковской буквы «h»». Физический обзор . 7 (3): 355–388. Бибкод : 1916PhRv....7..355M. дои : 10.1103/PhysRev.7.355 .
10. де Бройль, Луи (1970). «Реинтерпретация волновой механики». Основы физики . 1 (1): 5–15. Бибкод : 1970FoPh....1....5D. дои : 10.1007/BF00708650. S2CID  122931010.
11. де Бройль, Луи Виктор. «К теории квантов» (PDF) . Основание Луи де Бройля (английский перевод А.Ф. Краклауэра, ред. 2004 г.) . Проверено 25 февраля 2023 г.
12. де Бройль, Л. (1923). «Волны и кванты». Природа . 112 (2815): 540. Бибкод : 1923Natur.112..540D. дои : 10.1038/112540a0 . S2CID  4082518.
13. Medicus, HA (1974). «Пятьдесят лет волн материи». Физика сегодня . 27 (2): 38–45. Бибкод : 1974PhT....27b..38M. дои : 10.1063/1.3128444.
14. Маккиннон, Э. (1976). Диссертация де Бройля: критическая ретроспектива, Am. Дж. Физ. 44: 1047–1055.
15. Эспиноза, JM (1982). «Физические свойства фазовых волн де Бройля». Являюсь. Дж. Физ . 50 (4): 357–362. Бибкод : 1982AmJPh..50..357E. дои : 10.1119/1.12844.
16. Браун, HR; Мартинс (1984). «Релятивистские фазовые волны и волновые группы де Бройля». Являюсь. Дж. Физ . 52 (12): 1130–1140. Бибкод : 1984AmJPh..52.1130B. дои : 10.1119/1.13743. Архивировано из оригинала 29 июля 2020 года . Проверено 16 декабря 2019 г.
17. МакЭвой, JP; Сарате, Оскар (2004). Введение в квантовую теорию . Тотемные книги. стр. 110–114. ISBN 978-1-84046-577-8.
18. Луи де Бройль - Нобелевская лекция. Нобелевская премия.org. Нобелевская премия AB 2023. Пт. 2 июня 2023 г. <https://www.nobelprize.org/prizes/physicals/1929/broglie/lecture/>
19. Шредингер, Э. (1984). Собранные бумаги . Фридрих Видег и Зон. ISBN 978-3-7001-0573-2.См. введение к первой статье 1926 года.
20. Шрёдингер, Э. (1926). «Волновая теория механики атомов и молекул». Физический обзор . 28 (6): 1049–1070. Бибкод : 1926PhRv...28.1049S. дои : 10.1103/PhysRev.28.1049. ISSN  0031-899X.
21. Мур, WJ (1992). Шрёдингер: Жизнь и мысль . Издательство Кембриджского университета . стр. 219–220. ISBN 978-0-521-43767-7.
22. Джаммер, Макс (1974). Философия квантовой механики: интерпретации квантовой механики в исторической перспективе . Уайли-Интерсайенс. стр. 24–25. ISBN 978-0-471-43958-5.
23. Карам, Рикардо (июнь 2020 г.). «Оригинальная борьба Шрёдингера со сложной волновой функцией». Американский журнал физики . 88 (6): 433–438. Бибкод : 2020AmJPh..88..433K. дои : 10.1119/10.0000852. ISSN  0002-9505. S2CID  219513834.
24. Дарвин, Чарльз Гальтон. «Свободное движение в волновой механике». Труды Лондонского королевского общества. Серия А, содержащая статьи математического и физического характера 117.776 (1927): 258–293.
25. Арндт, Маркус; Хорнбергер, Клаус (апрель 2014 г.). «Проверка пределов квантово-механических суперпозиций». Физика природы . 10 (4): 271–277. arXiv : 1410.0270 . дои : 10.1038/nphys2863. ISSN  1745-2473. S2CID  56438353.
26. Мерли, П.Г., Г.Ф. Миссироли и Дж. Поцци. «О статистическом аспекте явлений электронной интерференции». Американский журнал физики 44 (1976): 306.
27. Тономура, А.; Эндо, Дж.; Мацуда, Т.; Кавасаки, Т.; Эзава, Х. (1989). «Демонстрация одноэлектронного накопления интерференционной картины». Американский журнал физики . Американская ассоциация учителей физики (AAPT). 57 (2): 117–120. Бибкод : 1989AmJPh..57..117T. дои : 10.1119/1.16104. ISSN  0002-9505.
28. Борн, М .; Вольф, Э. (1999). Принципы оптики . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-64222-4.
29. Бах, Роджер; Папа, Дамиан; Лиу, Си-Хван; Бателаан, Герман (13 марта 2013 г.). «Управляемая дифракция электронов на двух щелях». Новый журнал физики . Издательство ИОП. 15 (3): 033018. arXiv : 1210.6243 . Бибкод : 2013NJPh...15c3018B. дои : 10.1088/1367-2630/15/3/033018. ISSN  1367-2630. S2CID  832961.
30. Наварро, Хауме (2010). «Дифракция электронов через Томсона: ранние ответы на квантовую физику в Великобритании». Британский журнал истории науки . 43 (2): 245–275. дои : 10.1017/S0007087410000026. ISSN  0007-0874. S2CID  171025814.
31. Мауро Дардо, Нобелевские лауреаты и физика двадцатого века , Cambridge University Press, 2004, стр. 156–157.
32. Бете, Х. (1928). «Теория дер Beugung von Elektronen an Kristallen». Аннален дер Физик (на немецком языке). 392 (17): 55–129. Бибкод : 1928АнП...392...55Б. дои : 10.1002/andp.19283921704.
33. Джон М., Коули (1995). Дифракционная физика . Эльзевир. ISBN 0-444-82218-6. ОСЛК  247191522.
34. Пэн, Л.-М.; Дударев С.Л.; Уилан, MJ (2011). Дифракция и микроскопия быстрых электронов . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-960224-7. ОКЛК  656767858.
35. Снелл, АХ; Уилкинсон, МК; Келер, WC (1984). «Эрнест Омар Воллан». Физика сегодня . 37 (11): 120. Бибкод :1984ФТ....37к.120С. дои : 10.1063/1.2915947 .
36. Шулл, CG (1997). «Раннее развитие рассеяния нейтронов» (PDF) . В Экспонг, Г. (ред.). Нобелевские лекции по физике 1991–1995 гг . Мировое научное издательство . стр. 145–154. Архивировано из оригинала (PDF) 19 мая 2017 года.
37. Колелла, Р.; Оверхаузер, AW; Вернер, С.А. (1975). «Наблюдение гравитационно-индуцированной квантовой интерференции» (PDF) . Письма о физических отзывах . 34 (23): 1472–1474. Бибкод : 1975PhRvL..34.1472C. doi : 10.1103/PhysRevLett.34.1472.
38. Эстерманн, И.; Стерн, Отто (1930). «Beugung von Molekularstrahlen». З. Физ . 61 (1–2): 95. Бибкод : 1930ZPhy...61...95E. дои : 10.1007/bf01340293. S2CID  121757478.
39. Адамс, CS; Сигел, М; Млынек, Дж (1994). «Атомная оптика». Отчеты по физике . Эльзевир Б.В. 240 (3): 143–210. Бибкод : 1994PhR...240..143A. дои : 10.1016/0370-1573(94)90066-3 . ISSN  0370-1573.
40. Пьер Кладе; Чанхён Рю; Ананд Раманатан; Кристиан Хелмерсон; Уильям Д. Филлипс (2008). «Наблюдение двумерного бозе-газа: от термического к квазиконденсату и сверхтекучему». Письма о физических отзывах . 102 (17): 170401. arXiv : 0805.3519 . Бибкод : 2009PhRvL.102q0401C. doi : 10.1103/PhysRevLett.102.170401. PMID  19518764. S2CID  19465661.
41. Арндт, М.; О. Наирз; Дж. Восс-Андре ; К. Келлер; Г. ван дер Зув; А. Цайлингер (14 октября 1999 г.). «Волново-частичный дуализм C ₆₀ ». Природа . 401 (6754): 680–682. Бибкод : 1999Natur.401..680A. дои : 10.1038/44348. PMID  18494170. S2CID  4424892.
42. Эйбенбергер, Сандра; Герлих, Стефан; Арндт, Маркус; Мэр Марсель; Тюксен, Йенс (14 августа 2013 г.). «Материйно-волновая интерференция частиц, выбранных из молекулярной библиотеки с массами, превышающими10 000  а.е.м. ». Физическая химия Химическая физика . 15 (35): 14696–700. arXiv : 1310.8343 . Bibcode : 2013PCCP...1514696E. doi : 10.1039/c3cp51500a. ISSN  1463-9084. PMID  2390071 0. S2CID  3944699.
43. «2000 атомов одновременно в двух местах: новый рекорд в квантовой суперпозиции». физ.орг . Проверено 25 сентября 2019 г.
44. Юффманн, Томас; и другие. (25 марта 2012 г.). «Визуализация квантовой интерференции одиночных молекул в реальном времени». Природные нанотехнологии . 7 (5): 297–300. arXiv : 1402.1867 . Бибкод : 2012NatNa...7..297J. дои : 10.1038/nnano.2012.34. PMID  22447163. S2CID  5918772.
45. Хорнбергер, Клаус; Стефан Уттенталер; Бьёрн Брезгер; Люсия Хакермюллер; Маркус Арндт; Антон Цайлингер (2003). «Наблюдение столкновительной декогеренции в интерферометрии». Физ. Преподобный Летт . 90 (16): 160401. arXiv : quant-ph/0303093 . Бибкод : 2003PhRvL..90p0401H. doi : 10.1103/PhysRevLett.90.160401. PMID  12731960. S2CID  31057272.
46. Хакермюллер, Люсия; Клаус Хорнбергер; Бьёрн Брезгер; Антон Цайлингер; Маркус Арндт (2004). «Декогерентность волн материи путем теплового излучения излучения». Природа . 427 (6976): 711–714. arXiv : Quant-ph/0402146 . Бибкод : 2004Natur.427..711H. дои : 10.1038/nature02276. PMID  14973478. S2CID  3482856.
47. Резник, Р.; Айсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-87373-0.
48. Холден, Алан (1971). Стационарные состояния . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-501497-6.
49. Уильямс, WSC (2002). Знакомство со специальной теорией относительности , Тейлор и Фрэнсис, Лондон, ISBN 0-415-27761-2 , стр. 192. 
50. Шифф, Леонард И. (1987). Квантовая механика . Международная серия по чистой и прикладной физике (3-е изд., 24-е печатное изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-085643-1.
51. Метерелл, AJ (1972). Электронная микроскопия в материаловедении . Комиссия Европейских Сообществ. стр. 397–552.
52. Вербек, Дж.; Тиан, Х.; Шатшнайдер, П. (2010). «Производство и применение электронных вихревых пучков». Природа . 467 (7313): 301–304. Бибкод : 2010Natur.467..301V. дои : 10.1038/nature09366. ISSN  1476-4687. PMID  20844532. S2CID  2970408.
53. Эфтимиос Каширас (9 января 2003 г.). Атомная и электронная структура твердых тел. Издательство Кембриджского университета. стр. 65–69. ISBN 978-0-521-52339-4.
54. Джаммер, Макс (1989). Концептуальное развитие квантовой механики . История современной физики (2-е изд.). Лос-Анджелес (Калифорния): Издательство Thomas. ISBN 978-0-88318-617-6.
55. Малликен, Роберт С. (1932). «Электронная структура многоатомных молекул и валентность. II. Общие соображения». Физический обзор . 41 (1): 49–71. Бибкод : 1932PhRv...41...49M. дои : 10.1103/PhysRev.41.49.
56. Гриффитс, Дэвид Дж. (1995). Введение в квантовую механику . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл. ISBN 978-0-13-124405-4.
57. Левин, Ира Н. (2000). Квантовая химия (5-е изд.). Река Аппер-Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-685512-5.
58. Шредингер, Эрвин (2001). Сборник статей по волновой механике: вместе с четырьмя лекциями по волновой механике . Перевод Ширера, Дж. Ф.; Динс, Уинифред Маргарет (Третье (дополненное) издание, изд. Нью-Йорка, 1982 г.). Провиденс, Род-Айленд: Издательство AMS Chelsea, Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3524-1.
59. Адамс, CS; Сигел, М; Млынек, Дж. (1 мая 1994 г.). «Атомная оптика». Отчеты по физике . 240 (3): 143–210. Бибкод : 1994PhR...240..143A. дои : 10.1016/0370-1573(94)90066-3 .
60. Шлоссауэр, Максимилиан (1 октября 2019 г.). «Квантовая декогеренция». Отчеты по физике . 831 : 1–57. arXiv : 1911.06282 . Бибкод : 2019PhR...831....1S. doi :10.1016/j.physrep.2019.10.001. S2CID  208006050.
61. Пинн, Роджер (1 июля 1990 г.). «Рассеяние нейтронов. Учебное пособие» (PDF) . Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 24 июня 2023 г.
62. Фано, У. (1957). «Описание состояний в квантовой механике с помощью матрицы плотности и операторных методов». Обзоры современной физики . 29 (1): 74–93. doi : 10.1103/RevModPhys.29.74. ISSN  0034-6861.
63. Холл, Брайан К. (2013), «Системы и подсистемы, множественные частицы», Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York, vol. 267, стр. 419–440, номер документа : 10.1007/978-1-4614-7116-5_19, ISBN. 978-1-4614-7115-8, получено 13 августа 2023 г.
64. Хоукс, Питер В.; Хоукс, PW (1972). Электронная оптика и электронная микроскопия . Лондон: Тейлор и Фрэнсис. п. 117. ИСБН 978-0-85066-056-2.
65. Кронин, Александр Д.; Шмидмайер, Йорг; Причард, Дэвид Э. (28 июля 2009 г.). «Оптика и интерферометрия атомов и молекул». Обзоры современной физики . 81 (3): 1051–1129. arXiv : 0712.3703 . Бибкод : 2009RvMP...81.1051C. doi : 10.1103/RevModPhys.81.1051. hdl : 1721.1/52372. ISSN  0034-6861. S2CID  28009912.
66. Акбари, Камран; Ди Джулио, Валерио; Гарсиа Де Абахо, Ф. Хавьер (2022). «Оптическое манипулирование волнами материи». Достижения науки . 8 (42): eabq2659. arXiv : 2203.07257 . Бибкод : 2022SciA....8.2659A. doi : 10.1126/sciadv.abq2659. ПМИД  36260664.
67. Брукнер, Часлав; Цайлингер, Антон (6 октября 1997 г.). «Неэквивалентность между оптикой стационарных материальных волн и оптикой стационарного света». Письма о физических отзывах . 79 (14): 2599–2603. Бибкод : 1997PhRvL..79.2599B. doi : 10.1103/PhysRevLett.79.2599. ISSN  0031-9007.
68. Тономура, Акира; Эндо, Дж.; Мацуда, Т.; Кавасаки, Т.; Эзава, Х. (1989). «Демонстрация одноэлектронного накопления интерференционной картины». Американский журнал физики . 57 (2): 117–120. Бибкод : 1989AmJPh..57..117T. дои : 10.1119/1.16104.
69. Эстерманн, И.; Стерн, О. (1 января 1930 г.). «Beugung von Molekularstrahlen». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 61 (1): 95–125. дои : 10.1007/BF01340293. ISSN  0044-3328. S2CID  121757478.
70. Воллан, Э.О.; Шулл, CG (1948). «Дифракция нейтронов на кристаллических порошках». Физический обзор . Американское физическое общество. 73 (8): 830–841. Бибкод : 1948PhRv...73..830W. doi : 10.1103/PhysRev.73.830. hdl : 2027/mdp.39015086506584 .
71. Московиц, Филип Э.; Гулд, Филипп Л.; Атлас, Сьюзен Р.; Причард, Дэвид Э. (1 августа 1983 г.). «Дифракция атомного пучка излучением стоячей волны». Письма о физических отзывах . 51 (5): 370–373. doi : 10.1103/PhysRevLett.51.370.
72. Гризенти, RE; В. Шёлькопф; Дж. П. Тэннис; Дж. Р. Мэнсон; Т.А. Савас; Генри И. Смит (2000). «Дифракция атомов гелия на пропускающих решетках наноструктур: роль несовершенств». Физический обзор А. 61 (3): 033608. Бибкод : 2000PhRvA..61c3608G. doi :10.1103/PhysRevA.61.033608.
73. Чепмен, Майкл С.; Кристофер Р. Экстром; Трой Д. Хаммонд; Ричард А. Рубинштейн; Йорг Шмидмайер; Стефан Венгер; Дэвид Э. Причард (1995). «Оптика и интерферометрия с молекулами Na ₂ ». Письма о физических отзывах . 74 (24): 4783–4786. Бибкод : 1995PhRvL..74.4783C. doi : 10.1103/PhysRevLett.74.4783. ПМИД  10058598.
74. Брезгер, Б.; Хакермюллер, Л.; Уттенталер, С.; Петшинка, Ю.; Арндт, М.; Цайлингер, А. (февраль 2002 г.). «Материйно-волновой интерферометр для больших молекул» (переиздание) . Письма о физических отзывах . 88 (10): 100404. arXiv : quant-ph/0202158 . Бибкод : 2002PhRvL..88j0404B. doi : 10.1103/PhysRevLett.88.100404. PMID  11909334. S2CID  19793304. Архивировано (PDF) из оригинала 13 августа 2007 г. . Проверено 30 апреля 2007 г.
75. Шаеги, А.; Ризер, П.; Рихтер, Г.; Сезер, У.; Родевальд, Дж. Х.; Гейер, П.; Мартинес, Ти Джей; Арндт, М. (19 марта 2020 г.). «Материйно-волновая интерференция нативного полипептида». Природные коммуникации . 11 (1): 1447. doi : 10.1038/s41467-020-15280-2. ISSN  2041-1723. ПМК 7081299 . ПМИД  32193414. 
76. Фейн, Яаков Ю.; Гейер, Филипп; Цвик, Патрик; Кялка, Филип; Педалино, Себастьян; Мэр Марсель; Герлих, Стефан; Арндт, Маркус (декабрь 2019 г.). «Квантовая суперпозиция молекул за пределами 25 кДа». Физика природы . 15 (12): 1242–1245. дои : 10.1038/s41567-019-0663-9. ISSN  1745-2481. S2CID  256703296.
77. Ниммрихтер, Стефан; Хорнбергер, Клаус (18 апреля 2013 г.). «Макроскопичность состояний механической квантовой суперпозиции». Письма о физических отзывах . 110 (16): 160403. arXiv : 1205.3447 . doi : 10.1103/PhysRevLett.110.160403. PMID  23679586. S2CID  12088376.
78. Герлих, Стефан; Фейн, Яаков Ю.; Шаеги, Армин; Келер, Валентин; Мэр Марсель; Арндт, Маркус (2021), Фридрих, Бретислав; Шмидт-Бёкинг, Хорст (ред.), «Наследие Отто Стерна в квантовой оптике: материальные волны и дефлектометрия», Молекулярные пучки в физике и химии: от новаторских подвигов Отто Стерна до современных подвигов , Чам: Springer International Publishing, стр. 547–573, номер домена : 10.1007/978-3-030-63963-1_24 , ISBN. 978-3-030-63963-1

дальнейшее чтение

• Л. де Бройль, Recherches sur la theorie des quanta (Исследования по квантовой теории), диссертация (Париж), 1924; Л. де Бройль, Анн. Физ. (Париж) 3 , 22 (1925). Английский перевод А.Ф. Краклауэра.
• Бройль, Луи де, Нобелевская лекция о волновой природе электрона, 12, 1929 г.
• Типлер, Пол А. и Ральф А. Ллевеллин (2003). Современная физика . 4-е изд. Нью-Йорк; ISBN WH Freeman and Co. 0-7167-4345-0 . стр. 203–4, 222–3, 236. 
• Зумдал, Стивен С. (2005). Химические принципы (5-е изд.). Бостон: Хоутон Миффлин. ISBN 978-0-618-37206-5.
• В июле 2009 г. появилась обширная обзорная статья «Оптика и интерферометрия атомов и молекул»: https://web.archive.org/web/20110719220930/http://www.atomwave.org/rmparticle/RMPLAO.pdf.
• «Научные статьи, представленные Максу Борну после его выхода на пенсию с кафедры естественной философии Тейта в Эдинбургском университете», 1953 (Оливер и Бойд)

Внешние ссылки

• Боули, Роджер. «Волны де Бройля». Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .