Горизонт

Видимая кривая, отделяющая землю от неба

Кривизну горизонта легко увидеть на этой фотографии 2008 года, сделанной с космического корабля "Шаттл" на высоте 226 км (140 миль).

Горизонт — это видимая кривая, которая отделяет поверхность небесного тела от его неба , если смотреть с точки зрения наблюдателя, находящегося на поверхности соответствующего тела или вблизи нее . Эта кривая разделяет все направления обзора в зависимости от того, пересекает ли она поверхность соответствующего тела или нет.

Истинный горизонт — это теоретическая линия, которую можно наблюдать с какой-либо степенью точности только тогда, когда она лежит вдоль относительно гладкой поверхности, такой как поверхность земного океана . Во многих местах эта линия скрыта ландшафтом , а на Земле она также может быть скрыта формами жизни, такими как деревья, и/или человеческими конструкциями, такими как здания. Получающееся в результате пересечение таких препятствий с небом называется видимым горизонтом . На Земле, если смотреть на море с берега, часть моря, ближайшая к горизонту, называется дальней . ^[1]

Истинный горизонт окружает наблюдателя, и обычно предполагается, что он представляет собой круг, нарисованный на поверхности идеально сферической модели соответствующего небесного тела, т. е. небольшой круг локальной соприкасающейся сферы . По отношению к Земле центр истинного горизонта находится ниже наблюдателя и ниже уровня моря . Его радиус или горизонтальное расстояние от наблюдателя незначительно меняется изо дня в день из-за атмосферной рефракции, на которую сильно влияют погодные условия. Кроме того, чем выше глаза наблюдателя от уровня моря, тем дальше от наблюдателя находится горизонт. Например, в стандартных атмосферных условиях для наблюдателя, уровень глаз которого находится над уровнем моря на 1,70 метра (5 футов 7 дюймов), горизонт находится на расстоянии около 4,7 км (2,9 мили). ^[2] При наблюдении с очень высоких точек, таких как космическая станция , горизонт находится намного дальше и охватывает гораздо большую площадь поверхности Земли. В этом случае горизонт больше не будет идеальным кругом или даже плоской кривой , такой как эллипс, особенно когда наблюдатель находится над экватором, поскольку поверхность Земли лучше моделировать как сплющенный эллипсоид , чем как сферу.

Этимология

Слово горизонт происходит от греческого ὁρίζων κύκλος ( horízōn kýklos ) «разделяющий круг», ^[3] где ὁρίζων происходит от глагола ὁρίζω ( horizō ) «разделять, отделять», ^[4] который, в свою очередь, происходит от ὅρος ( hóros ) 'граница, ориентир'. ^[5]

Внешний вид и использование

Вид на океан с двумя кораблями: один на переднем плане и один слева от него на горизонте.

Исторически расстояние до видимого горизонта издавна имело жизненно важное значение для выживания и успешной навигации, особенно на море, поскольку оно определяло максимальную дальность обзора и, следовательно, связи наблюдателя со всеми очевидными последствиями для безопасности и передачи информации, которые это подразумевается диапазон. Это значение уменьшилось с развитием радио и телеграфа , но даже сегодня, при управлении самолетом по правилам визуального полета , для управления самолетом используется метод, называемый полетом по пространству , где пилот использует визуальное соотношение между носом самолета и горизонт для управления самолетом. Пилоты также могут сохранять пространственную ориентацию , ориентируясь на горизонт.

Во многих контекстах, особенно в перспективном рисовании , кривизна Земли не принимается во внимание, и горизонт считается теоретической линией, к которой сходятся точки на любой горизонтальной плоскости (при проецировании на картинную плоскость) по мере увеличения их расстояния от наблюдателя. Для наблюдателей, находящихся на уровне моря, разница между этим геометрическим горизонтом (который предполагает идеально плоскую бесконечную плоскость земли) и истинным горизонтом (который предполагает сферическую поверхность Земли ) незаметна невооруженным глазом. Однако для человека, находящегося на холме высотой 1000 м (3300 футов) с видом на море, истинный горизонт будет примерно на градус ниже горизонтальной линии.

В астрономии горизонт — это горизонтальная плоскость глазами наблюдателя. Это фундаментальная плоскость горизонтальной системы координат , место расположения точек, высота которых равна нулю. Хотя во многом он похож на геометрический горизонт, в этом контексте горизонт можно рассматривать как плоскость в пространстве, а не линию на картинной плоскости.

Расстояние до горизонта

Без учета влияния атмосферной рефракции расстояние до истинного горизонта от наблюдателя, находящегося вблизи поверхности Земли, составляет около ^[2]

${\displaystyle d\approx {\sqrt {2\,h\,R}}\,,}$

где h — высота над уровнем моря, а R — радиус Земли .

Выражение можно упростить как:

${\displaystyle d\approx k{\sqrt {h}}\,,}$

где константа равна k =3,57 км/м ^½ =1,22 мили/фута ^½ . В этом уравнении предполагается, что поверхность Земли имеет идеально сферическую форму с R , равным примерно 6371 километру (3959 миль).

Примеры

Предполагая отсутствие атмосферной рефракции и сферическую Землю с радиусом R = 6371 километр (3959 миль):

• Для наблюдателя, стоящего на земле с высотой h = 1,70 метра (5 футов 7 дюймов), горизонт находится на расстоянии 4,7 километра (2,9 мили).
• Для наблюдателя, стоящего на земле с высотой h = 2 метра (6 футов 7 дюймов), горизонт находится на расстоянии 5 километров (3,1 мили).
• Для наблюдателя, стоящего на холме или башне на высоте 30 метров (98 футов) над уровнем моря, горизонт находится на расстоянии 19,6 километров (12,2 мили).
• Для наблюдателя, стоящего на холме или башне на высоте 100 метров (330 футов) над уровнем моря, горизонт находится на расстоянии 36 километров (22 мили).
• Для наблюдателя, стоящего на крыше Бурдж-Халифа , на высоте 828 метров (2717 футов) от земли и примерно 834 метра (2736 футов) над уровнем моря, горизонт находится на расстоянии 103 километров (64 мили).
• Для наблюдателя на вершине Эвереста (высота 8848 метров (29029 футов)) горизонт находится на расстоянии 336 километров (209 миль).
• Для наблюдателя на борту коммерческого пассажирского самолета, летящего на типичной высоте 35 000 футов (11 000 м), горизонт находится на расстоянии 369 километров (229 миль).
• Для пилота U-2 , летящего с практическим потолком 21 000 метров (69 000 футов), горизонт находится на расстоянии 517 километров (321 миль).

Другие планеты

На планетах земной группы и других твердых небесных телах с незначительными атмосферными эффектами расстояние до горизонта для «стандартного наблюдателя» варьируется как квадратный корень из радиуса планеты. Так, горизонт на Меркурии находится на 62% дальше от наблюдателя, чем на Земле, на Марсе — 73%, на Луне — 52%, на Мимасе — 18% и так далее.

Вывод

Геометрические основы расчета расстояния до горизонта, теорема о касательной-секущей

Геометрическое расстояние до горизонта, теорема Пифагора

Три типа горизонта

Если предположить, что Земля представляет собой безликую сферу (а не сплюснутый сфероид ) без атмосферной рефракции, то расстояние до горизонта можно легко вычислить. ^[6]

Теорема о касательном секущем утверждает, что

${\displaystyle \mathrm {OC} ^{2}=\mathrm {OA} \times \mathrm {OB} \,.}$

Сделайте следующие замены:

• d = OC = расстояние до горизонта
• D = AB = диаметр Земли
• h = OB = высота наблюдателя над уровнем моря
• D+h = OA = диаметр Земли плюс высота наблюдателя над уровнем моря,

где d, D и h измеряются в одних и тех же единицах. Теперь формула становится

${\displaystyle d^{2}=h(D+h)\,\!}$

или

${\displaystyle d={\sqrt {h(D+h)}}={\sqrt {h(2R+h)}}\,,}$

где R — радиус Земли.

Это же уравнение можно вывести и с помощью теоремы Пифагора . На горизонте луч зрения касается Земли и перпендикулярен радиусу Земли. В результате получается прямоугольный треугольник, в котором сумма радиуса и высоты является гипотенузой. С

• d = расстояние до горизонта
• h = высота наблюдателя над уровнем моря
• R = радиус Земли

обращение ко второму рисунку справа приводит к следующему:

${\displaystyle (R+h)^{2}=R^{2}+d^{2}\,\!}$

${\displaystyle R^{2}+2Rh+h^{2}=R^{2}+d^{2}\,\!}$

${\displaystyle d={\sqrt {h(2R+h)}}\,.}$

Точную формулу, приведенную выше, можно расширить как:

${\displaystyle d={\sqrt {2Rh+h^{2}}}\,,}$

где R — радиус Земли ( R и h должны быть в одних и тех же единицах измерения). Например, если спутник находится на высоте 2000 км, расстояние до горизонта составит 5430 километров (3370 миль); Если пренебречь вторым членом в скобках, то расстояние составит 5048 километров (3137 миль), что составляет ошибку 7%.

Приближение

Графики расстояний до истинного горизонта на Земле для заданной высоты h . s — вдоль поверхности Земли, d — расстояние по прямой, а ~d — приблизительное расстояние по прямой, предполагая, что h << радиус Земли, 6371 км. На изображении SVG наведите указатель мыши на график, чтобы выделить его.

Если наблюдатель находится близко к поверхности Земли, то можно пренебречь h в члене (2 R + h ) , и формула принимает вид:

${\displaystyle d={\sqrt {2Rh}}\,.}$

Используя километры для d и R и метры для h и приняв радиус Земли равным 6371 км, расстояние до горизонта составит

${\displaystyle d\approx {\sqrt {2\cdot 6371\cdot {h/1000}}}\approx 3.570{\sqrt {h}}\,}$.

Используя британские единицы измерения , где d и R выражаются в статутных милях (обычно используемых на суше), а h в футах, расстояние до горизонта равно

${\displaystyle d\approx {\sqrt {2\cdot 3963\cdot {h/5280}}}\approx {\sqrt {1.5h}}\approx 1.22{\sqrt {h}}}$.

Если d указано в морских милях , а h в футах, постоянный коэффициент составляет около 1,06, что достаточно близко к 1, поэтому его часто игнорируют, давая:

${\displaystyle d\approx {\sqrt {h}}}$

Эти формулы можно использовать, когда h намного меньше радиуса Земли (6371 км или 3959 миль), включая все виды с любых вершин гор, самолетов или высотных воздушных шаров. При заданных константах точность как метрической, так и британской формулы составляет 1% (о том, как добиться большей точности, см. в следующем разделе). Если h является значимым по отношению к R , как и в случае с большинством спутников, то приближение уже недействительно и требуется точная формула.

Сопутствующие меры

Расстояние дуги

Другое соотношение включает расстояние s по большому кругу вдоль дуги над искривленной поверхностью Земли до горизонта; это более непосредственно сравнимо с географическим расстоянием на карте.

Его можно сформулировать через γ в радианах :

${\displaystyle s=R\gamma \,;}$

затем

${\displaystyle \cos \gamma =\cos {\frac {s}{R}}={\frac {R}{R+h}}\,.}$

Решение для s дает

${\displaystyle s=R\cos ^{-1}{\frac {R}{R+h}}\,.}$

Расстояние s также можно выразить через расстояние d прямой видимости ; из второго рисунка справа,

${\displaystyle \tan \gamma ={\frac {d}{R}}\,;}$

замена γ и перестановка дает

${\displaystyle s=R\tan ^{-1}{\frac {d}{R}}\,.}$

Расстояния d и s почти одинаковы, когда высота объекта пренебрежимо мала по сравнению с радиусом (т. е. h  ≪  R ).

Зенитный угол

Максимальный зенитный угол для наблюдателя, находящегося на возвышении, в однородной сферической атмосфере

Когда наблюдатель поднят, зенитный угол горизонта может превышать 90°. Максимальный видимый зенитный угол возникает, когда луч касается поверхности Земли; из треугольника OCG на рисунке справа,

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {R}{R+h}}}$

где – высота наблюдателя над поверхностью, – угол наклона горизонта. Он связан с зенитным углом горизонта следующим образом: ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z=\gamma +90{}^{\circ }}$

Для неотрицательной высоты угол всегда ≥ 90°. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle z}$

Объекты над горизонтом

Геометрическое расстояние до горизонта

Чтобы вычислить наибольшее расстояние D _BL , на котором наблюдатель B может видеть верхнюю часть объекта L над горизонтом, просто сложите расстояния до горизонта от каждой из двух точек:

Д _БЛ = Д _Б + Д _Л

Например, для наблюдателя B ростом h _B =1,70 м, стоящего на земле, горизонт находится на расстоянии D _B =4,65 км. Для башни высотой h _L =100 м расстояние до горизонта составляет D _L =35,7 км. Таким образом, наблюдатель на пляже может видеть вершину башни, если она находится на расстоянии не более D _BL = 40,35 км. И наоборот, если наблюдатель на лодке ( h _B = 1,7  м) может видеть только верхушки деревьев на близлежащем берегу ( h _L = 10  м), то деревья, вероятно, находятся на расстоянии примерно D _BL = 16 км.

Ссылаясь на рисунок справа и используя приведенное выше приближение, вершина маяка будет видна наблюдателю в «вороньем гнезде» на вершине мачты лодки, если

${\displaystyle D_{\mathrm {BL} }<3.57\,({\sqrt {h_{\mathrm {B} }}}+{\sqrt {h_{\mathrm {L} }}})\,,}$

где D _BL — в километрах, а h _B и h _L — в метрах.

Вид на залив шириной 20 км на побережье Испании. Обратите внимание на кривизну Земли, скрывающую основания зданий на дальнем берегу.

Корабль уходит за горизонт

В качестве другого примера предположим, что наблюдатель, чьи глаза находятся на расстоянии двух метров над уровнем земли, использует бинокль, чтобы посмотреть на отдаленное здание, которое, как он знает, состоит из тридцати этажей , каждый из которых имеет высоту 3,5 метра. Он подсчитывает этажи, которые видит, и обнаруживает, что их всего десять. Вот и двадцать этажей или 70 метров здания скрыты от него кривизной Земли. Отсюда он может вычислить свое расстояние от здания:

${\displaystyle D\approx 3.57({\sqrt {2}}+{\sqrt {70}})}$

что составляет около 35 километров.

Аналогично можно вычислить, какая часть удаленного объекта видна над горизонтом. Предположим, глаз наблюдателя находится на высоте 10 метров над уровнем моря, и он наблюдает за кораблем, находящимся на расстоянии 20 км. Его горизонт:

${\displaystyle 3.57{\sqrt {10}}}$

километрах от него, что составляет примерно 11,3 километра. Корабль находится еще в 8,7 км. Высота точки на корабле, которая только видна наблюдателю, определяется по формуле:

${\displaystyle h\approx \left({\frac {8.7}{3.57}}\right)^{2}}$

что составляет почти ровно шесть метров. Таким образом, наблюдатель может видеть ту часть корабля, которая находится более чем на шесть метров над уровнем воды. Та часть корабля, которая находится ниже этой высоты, скрыта от него кривизной Земли. Говорят, что в этой ситуации корабль потерпел крушение .

Эффект атмосферной рефракции

Из-за атмосферной рефракции расстояние до видимого горизонта больше, чем расстояние, основанное на простом геометрическом расчете. Если поверхность земли (или воды) холоднее воздуха над ней, вблизи поверхности образуется холодный плотный слой воздуха, в результате чего свет преломляется вниз при своем движении и, следовательно, в некоторой степени огибает поверхность. кривизна Земли. Обратное происходит, если земля горячее воздуха над ней, как это часто бывает в пустынях, создавая миражи . В качестве приблизительной компенсации рефракции геодезисты, измеряющие расстояния более 100 метров, вычитают 14% из рассчитанной ошибки кривизны и обеспечивают, чтобы линия обзора находилась на расстоянии не менее 1,5 метров от земли, чтобы уменьшить случайные ошибки, вызванные рефракцией.

Типичный пустынный горизонт

Если бы Земля была безвоздушным миром, как Луна, приведенные выше расчеты были бы точными. Однако на Земле есть воздушная атмосфера , плотность и показатель преломления которой значительно изменяются в зависимости от температуры и давления. Из-за этого воздух в разной степени преломляет свет, влияя на внешний вид горизонта. Обычно плотность воздуха над поверхностью Земли больше, чем его плотность на больших высотах. Это делает его показатель преломления выше у поверхности, чем на больших высотах, что приводит к тому, что свет, движущийся примерно горизонтально, преломляется вниз. ^[7] Это делает фактическое расстояние до горизонта больше, чем расстояние, рассчитанное по геометрическим формулам. При стандартных атмосферных условиях разница составляет около 8%. Это изменяет коэффициент 3,57 в метрических формулах, использованных выше, примерно до 3,86. ^[2] Например, если наблюдатель стоит на берегу моря, его глаза находятся на высоте 1,70 м над уровнем моря, то, согласно простым геометрическим формулам, приведенным над горизонтом, оно должно находиться на расстоянии 4,7 км. На самом деле атмосферная рефракция позволяет наблюдателю видеть на 300 метров дальше, отодвигая истинный горизонт на 5 км от наблюдателя.

Эта поправка может применяться и часто применяется как довольно хорошее приближение, когда атмосферные условия близки к стандартным . Когда условия необычны, это приближение не работает. На рефракцию сильно влияют температурные градиенты, которые могут значительно меняться изо дня в день, особенно над водой. В крайних случаях, обычно весной, когда теплый воздух перекрывает холодную воду, рефракция может позволить свету следовать за поверхностью Земли на сотни километров. Противоположные условия возникают, например, в пустынях, где поверхность очень горячая, поэтому горячий воздух с низкой плотностью находится ниже более холодного воздуха. Это приводит к преломлению света вверх, вызывая эффекты миража , которые делают концепцию горизонта несколько бессмысленной. Поэтому расчетные значения эффектов рефракции в необычных условиях являются приблизительными. ^[2] Тем не менее, были предприняты попытки рассчитать их более точно, чем простое приближение, описанное выше.

За пределами зрительного диапазона длин волн рефракция будет другой. Для радара (например, для длин волн от 300 до 3 мм, т.е. частот от 1 до 100 ГГц) радиус Земли можно умножить на 4/3, чтобы получить эффективный радиус, дающий коэффициент 4,12 в метрической формуле, т.е. горизонт радара будет равен 15% за геометрическим горизонтом или 7% за визуальным. Коэффициент 4/3 не является точным, так как в визуальном случае рефракция зависит от атмосферных условий.

Метод интеграции — Свир

Если известен профиль плотности атмосферы, расстояние d до горизонта определяется выражением ^[8]

${\displaystyle d={{R}_{\text{E}}}\left(\psi +\delta \right)\,,}$

где R _E — радиус Земли, ψ — угол наклона горизонта, а δ — рефракция горизонта. Провал определяется достаточно просто из

${\displaystyle \cos \psi ={\frac {{R}_{\text{E}}{\mu }_{0}}{\left({{R}_{\text{E}}}+h\right)\mu }}\,,}$

где h — высота наблюдателя над Землей, μ — показатель преломления воздуха на высоте наблюдателя, а μ ₀ — показатель преломления воздуха у поверхности Земли.

Рефракцию необходимо найти интегрированием

${\displaystyle \delta =-\int _{0}^{h}{\tan \phi {\frac {{\text{d}}\mu }{\mu }}}\,,}$

где - угол между лучом и линией, проходящей через центр Земли. Углы ψ и связаны соотношением ${\displaystyle \phi \,\!}$ ${\displaystyle \phi \,\!}$

${\displaystyle \phi =90{}^{\circ }-\psi \,.}$

Простой метод — Янга

Гораздо более простой подход, который дает по существу те же результаты, что и описанное выше приближение первого порядка, использует геометрическую модель, но использует радиус R' = 7/6 R _E . Тогда расстояние до горизонта составит ^[2]

${\displaystyle d={\sqrt {2R^{\prime }h}}\,.}$

Принимая радиус Земли равным 6371 км, d в км и h в м,

${\displaystyle d\approx 3.86{\sqrt {h}}\,;}$

где d в милях и h в футах,

${\displaystyle d\approx 1.32{\sqrt {h}}\,.}$

В случае радара обычно R' = 4/3 R _E , что дает ( d в км и h в м)

${\displaystyle d\approx 4.12{\sqrt {h}}\,;}$

Результаты метода Янга весьма близки к результатам метода Свира и достаточно точны для многих целей.

Точки схода

Две точки на горизонте находятся на пересечении линий, продолжающих сегменты, представляющие края здания на переднем плане. Линия горизонта здесь совпадает с линией вверху дверей и окон.

Горизонт — ключевая особенность картинной плоскости в науке о графической перспективе . Предполагая, что плоскость изображения расположена вертикально относительно земли, а P — это перпендикулярная проекция точки глаза O на плоскость изображения, горизонт определяется как горизонтальная линия, проходящая через P . Точка P — это точка схода линий, перпендикулярных картинке. Если S — еще одна точка на горизонте, то это точка схода для всех линий , параллельных OS . Но Брук Тейлор (1719) указал, что плоскость горизонта, определяемая О , и горизонт аналогичны любой другой плоскости :

Термин «Горизонтальная линия», например, способен ограничить представления учащегося плоскостью горизонта и заставить его вообразить, что этот план обладает некоторыми особыми привилегиями, которые делают фигуры на нем более простыми и удобными. быть описанным с помощью этой Горизонтальной линии, чем фигуры на любой другой плоскости;… Но в этой Книге я не делаю различия между плоскостью горизонта и любой другой плоскостью вообще… ^{[9] [10]}

Своеобразная геометрия перспективы, когда параллельные линии сходятся на расстоянии, стимулировала развитие проективной геометрии , которая постулирует точку в бесконечности , где сходятся параллельные линии. В своей книге «Геометрия искусства» (2007) Кирсти Андерсен описала эволюцию перспективного рисунка и науки до 1800 года, отметив, что точки схода не обязательно должны быть на горизонте. В главе под названием «Горизонт» Джон Стиллвелл рассказал, как проективная геометрия привела к геометрии инцидентности — современному абстрактному исследованию пересечения прямых. Стиллвелл также затронул основы математики в разделе «Каковы законы алгебры?» «Алгебра точек», первоначально данная Карлом фон Штаудтом для вывода аксиом поля , была деконструирована в двадцатом веке, открыв большое разнообразие математических возможностей. Стиллвелл заявляет

Это открытие, сделанное 100 лет назад, похоже, способно перевернуть математику с ног на голову, хотя оно еще не полностью усвоено математическим сообществом. Это не только бросает вызов тенденции превращения геометрии в алгебру, но и предполагает, что и геометрия, и алгебра имеют более простую основу, чем считалось ранее. ^[11]

Смотрите также

• Воздушное ландшафтное искусство
• Атмосферная рефракция
• Рассвет
• Сумерки
• Горизонтальный и вертикальный
• Пейзаж
  • Ландшафтное искусство
• Конечность
  • Потемнение конечностей
  • Лунный лимб
• Радарный горизонт
• Радиогоризонт
• Секстант
• Горизонт

Рекомендации

1. "Оффлайн". Третий новый международный словарь Вебстера (Полное издание).Произносится как «Хор-и-зон».
2. Янг, Эндрю Т. «Расстояние до горизонта». Сайт Green Flash (разделы: Астрономическая рефракция, Группировка горизонтов) . Факультет астрономии государственного университета Сан-Диего. Архивировано из оригинала 18 октября 2003 года . Проверено 16 апреля 2011 г.
3. Лидделл, Генри Джордж; Скотт, Роберт. «ὁρίζων». Греко-английский лексикон . Цифровая библиотека Персея . Архивировано из оригинала 5 июня 2011 года . Проверено 19 апреля 2011 г.
4. Лидделл, Генри Джордж; Скотт, Роберт. «ὁρίζω». Греко-английский лексикон . Цифровая библиотека Персея . Архивировано из оригинала 5 июня 2011 года . Проверено 19 апреля 2011 г.
5. Лидделл, Генри Джордж; Скотт, Роберт. «ὅρος». Греко-английский лексикон . Цифровая библиотека Персея. Архивировано из оригинала 5 июня 2011 года . Проверено 19 апреля 2011 г.
6. Плейт, Фил (15 января 2009 г.). «Как далеко горизонт?». Обнаружить . Плохая астрономия. Kalmbach Publishing Co. Архивировано из оригинала 29 марта 2017 года . Проверено 28 марта 2017 г.
7. Проктор, Ричард Энтони; Рэньярд, Артур Каупер (1892). Старая и новая астрономия. Лонгманс, Грин и компания. стр. 73.
8. Свир, Джон (1938). «Путь луча света, касающегося поверхности Земли». Журнал Оптического общества Америки . 28 (9): 327–329. Бибкод : 1938JOSA...28..327S. дои : 10.1364/JOSA.28.000327.
9. Тейлор, Брук. Новые принципы перспективы . п. 1719.
10. Андерсон, Кирсти (1991). «Работа Брука Тейлора о линейной перспективе». Спрингер. п. 151. ИСБН 0-387-97486-5.
11. Стиллвелл, Джон (2006). «Тоска к невозможному» . Горизонт . AK Peters, Ltd., стр. 47–76. ISBN 1-56881-254-Х.

дальнейшее чтение

• Янг, Эндрю Т. «Падение горизонта». Сайт Green Flash (разделы: Астрономическая рефракция, Группировка горизонтов) . Факультет астрономии Государственного университета Сан-Диего . Проверено 16 апреля 2011 г.