Модуль (математика)

В математике модуль — это обобщение понятия векторного пространства , в котором поле скаляров заменено кольцом . Понятие модуля также обобщает понятие абелевой группы , поскольку абелевы группы — это в точности модули над кольцом целых чисел .

Как и векторное пространство, модуль представляет собой аддитивную абелеву группу, а скалярное умножение является дистрибутивным по операциям сложения между элементами кольца или модуля и совместимо с кольцевым умножением.

Модули очень тесно связаны с теорией представлений групп . Они также являются одним из центральных понятий коммутативной алгебры и гомологической алгебры и широко используются в алгебраической геометрии и алгебраической топологии .

Введение и определение

Мотивация

В векторном пространстве набор скаляров представляет собой поле и действует на векторы путем скалярного умножения при условии соблюдения определенных аксиом, таких как закон распределения . В модуле скаляры должны быть только кольцом , поэтому концепция модуля представляет собой существенное обобщение. В коммутативной алгебре и идеалы , и факторкольца являются модулями, так что многие аргументы об идеалах или факторкольцах можно объединить в один аргумент о модулях. В некоммутативной алгебре различие между левыми идеалами, идеалами и модулями становится более выраженным, хотя некоторые теоретико-кольцевые условия могут быть выражены либо в отношении левых идеалов, либо в отношении левых модулей.

Большая часть теории модулей состоит из распространения как можно большего числа желательных свойств векторных пространств на область модулей над « хорошим » кольцом, таким как область главных идеалов . Однако модули могут быть немного сложнее векторных пространств; например, не все модули имеют базис , и даже для тех, которые имеют базис ( свободные модули ), количество элементов в базисе не обязательно должно быть одинаковым для всех базисов (то есть они не могут иметь уникальный ранг ), если базисное кольцо не удовлетворяет условию инвариантного базисного числа , в отличие от векторных пространств, которые всегда имеют базис (возможно, бесконечный), мощность которого тогда уникальна. (Эти последние два утверждения требуют аксиомы выбора в целом, но не в случае конечномерных векторных пространств или некоторых бесконечномерных векторных пространств с хорошим поведением, таких как пространства Lp . )

Формальное определение

Предположим, что R — кольцо , а 1 — его мультипликативная единица. Левый R -модуль M состоит из абелевой группы ( M , +) и операции · : R × M → M такой, что для всех r , s в R и x , y в M имеем

$r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y$ ,
$(r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x$ ,
$(rs)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)$ ,
$1\cdot x=x.$

Операция · называется скалярным умножением . Часто символ · опускается, но в этой статье мы используем его и оставляем сопоставление для умножения в R. Можно написать _R M , чтобы подчеркнуть, что M — левый R -модуль. Правый R -модуль M _R определяется аналогично через операцию · : M × R → M .

Авторы, не требующие единства колец , опускают условие 4 в приведенном выше определении; они назвали бы определенные выше структуры «единичными левыми R -модулями». В этой статье, в соответствии со словарем теории колец , все кольца и модули считаются унитарными. ^[1]

( R , S ) -бимодуль является абелевой группой вместе с левым скалярным умножением · на элементы из R и правым скалярным умножением ∗ на элементы из S , что делает его одновременно левым R -модулем и правым S -модулем, удовлетворяющее дополнительному условию ( р · Икс ) ∗ s знак равно р ⋅ ( Икс ∗ s ) для всех r в R , x в M и s в S .

Если R коммутативен , то левые R - модули совпадают с правыми R- модулями и называются просто R -модулями.

Примеры

Если K — поле , то K - векторные пространства (векторные пространства над K ) и K -модули идентичны.
Если K — поле, а K [ x ] — кольцо одномерных полиномов , то K [ x ]-модуль M — это K -модуль с дополнительным действием x на M посредством группового гомоморфизма, который коммутирует с действием K на M. М. Другими словами, K [ x ]-модуль — это K -векторное пространство M , объединенное с линейным отображением из M в M. Применение к этому примеру структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов показывает существование рациональных и йордановых канонических форм.
Понятие Z -модуля согласуется с понятием абелевой группы. То есть каждая абелева группа единственным образом является модулем над кольцом целых чисел Z. Для n > 0 пусть n ⋅ x = x + x + ... + x ( n слагаемых), 0 ⋅ x = 0 и (− n ) ⋅ x = −( n ⋅ x ) . Такой модуль не обязательно должен иметь базис — его нет у групп , содержащих элементы кручения . (Например, в группе целых чисел по модулю 3 нельзя найти ни одного элемента, удовлетворяющего определению линейно независимого множества, поскольку, когда целое число, такое как 3 или 6, умножает элемент, результат равен 0. Однако, если конечное поле рассматривается как модуль над тем же конечным полем, взятым в качестве кольца, оно является векторным пространством и имеет базис.)
Десятичные дроби (в том числе отрицательные) образуют модуль над целыми числами. Только синглтоны являются линейно независимыми множествами, но не существует синглтона, который мог бы служить базисом, поэтому модуль не имеет ни базиса, ни ранга.
Если R — любое кольцо, а n — натуральное число , то декартово произведение R ⁿ является одновременно левым и правым R -модулем над R , если мы используем покомпонентные операции. Следовательно, когда n = 1 , R является R -модулем, где скалярное умножение представляет собой просто кольцевое умножение. Случай n = 0 дает тривиальный R -модуль {0}, состоящий только из своего единичного элемента. Модули этого типа называются свободными , и если R имеет инвариантный базисный номер (например, любое коммутативное кольцо или поле), то число n является рангом свободного модуля.
Если M _n ( R ) — кольцо матриц размера n × n над кольцом R , M — M _n ( R )-модуль, а e _i — матрица размера n × n с 1 в ( i , i ) -записи . (и нули в других местах), то e _i M является R -модулем, поскольку re _i m = e _i rm ∈ e _i M . Таким образом, M распадается как прямая сумма R -модулей , M = e ₁M ⊕ ... ⊕ e _n M . Обратно , если M ₀-модуль , то M ₀ ⊕ ⁿ является M _n⁽ R )-модулем. _{В действительности} , категория R -модулей и категория Mn ( R )-модулей эквивалентны . Особый случай состоит в том, что модуль M является просто R как модулем над собой, тогда Rn является Mn ₍ R ) ^{-модулем} .
Если S — непустое множество , M — левый R -модуль, а MS — совокупность всех функций f : S → M , то со сложением и скалярным умножением в MS ^S , заданным поточечно формулой ⁽f + g )( s ) = f ( s ) + g ( s ) и ( rf )( s ) = rf ( s ) , M ^S — левый R -модуль. Случай правого R -модуля аналогичен. В частности, если R коммутативен, то совокупность гомоморфизмов R-модулей h : M → N (см. ниже) является R -модулем ( и фактически подмодулем N ^M ).
Если X — гладкое многообразие , то гладкие функции от X до действительных чисел образуют кольцо C ^∞ ( X ). Набор всех гладких векторных полей , определенных на X , образует модуль над C ^∞ ( X ), как и тензорные поля и дифференциальные формы на X. В более общем смысле, сечения любого векторного расслоения образуют проективный модуль над C ^∞ ( X ), и по теореме Свона каждый проективный модуль изоморфен модулю сечений некоторого векторного расслоения; категория C∞ ⁽X ) -модулей и категория векторных расслоений над X эквивалентны .
Если R — любое кольцо и I — любой левый идеал в R , то I — левый R -модуль, и аналогично правые идеалы в R являются правыми R -модулями.
Если R — кольцо, мы можем определить противоположное кольцо Rop ^, которое имеет тот же базовый набор и ту же операцию сложения, но противоположное умножение: если ab = c в R , то ba = c в Rop ^.Тогда любой левый R -модуль M можно рассматривать как правый модуль над Rop ^, а любой правый модуль над R можно считать левым модулем ^надRop .
Модули над алгеброй Ли — это (ассоциативная алгебра) модули над ее универсальной обертывающей алгеброй .
Если R и S — кольца с кольцевым гомоморфизмом φ : R → S , то каждый S -модуль M является R -модулем по определению rm = φ ( r ) m . В частности, таким R -модулем является сам S.

Подмодули и гомоморфизмы

Предположим, что M — левый R -модуль и N — подгруппа в M. Тогда N является подмодулем (или, более явно, R -подмодулем), если для любого n из N и любого r из R произведение r ⋅ n (или n ⋅ r для правого R -модуля) находится в N .

Если X — любое подмножество R -модуля M , то подмодуль, натянутый на X , определяется как место , где N пробегает подмодули M , содержащие X , или явно , что важно при определении тензорных произведений модулей . ^[2] ${\textstyle \langle X\rangle =\,\bigcap _{N\supseteq X}N}$ ${\textstyle \left\{\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}\mid r_{i}\in R,x_{i}\in X\right\}}$

Набор подмодулей данного модуля M вместе с двумя бинарными операциями + (модуль, образованный объединением аргументов) и ∩ образует решетку , которая удовлетворяет модульному закону : Даны подмодули U , N ₁ , N ₂M такой, что N ₁ ⊆ N ₂ , то следующие два подмодуля равны: ( N ₁ + U ) ∩ N ₂ = N ₁ + ( U ∩ N ₂ ) .

Если M и N — левые R -модули, то отображение f : M → N является гомоморфизмом R -модулей , если для любых m , n в M и r , s в R

f(r\cdot m+s\cdot n)=r\cdot f(m)+s\cdot f(n)

Это, как и любой гомоморфизм математических объектов, является всего лишь отображением, сохраняющим структуру объектов. Другое название гомоморфизма R -модулей — R - линейное отображение .

Биективный гомоморфизм модулей f : M → N называется изоморфизмом модулей , а два модуля M и N называются изоморфными . Два изоморфных модуля идентичны для всех практических целей и различаются только обозначениями своих элементов.

Ядро гомоморфизма модуля f : M → N — это подмодуль M , состоящий из всех элементов, которые обращаются в ноль с помощью f , а образ f — это подмодуль N , состоящий из значений f ( m ) для всех элементов m из М. ^[3] Теоремы об изоморфизме , известные из групп и векторных пространств, справедливы и для R -модулей.

Для кольца R множество всех левых R -модулей вместе с их гомоморфизмами модулей образует абелеву категорию , обозначаемую R - Mod (см. категорию модулей ).

Типы модулей

Конечно сгенерировано: R -модуль M является конечно порожденным, если существует конечное число элементов x ₁ , ..., x _n в M таких, что каждый элемент M является линейной комбинацией этих элементов с коэффициентами из кольца R .
Циклический: Модуль называется циклическим , если он порождается одним элементом.
Бесплатно: Свободный R -модуль — это модуль, имеющий базис или, что то же самое, изоморфный прямой сумме копий кольца R . Это модули, которые ведут себя очень похоже на векторные пространства.
Проективный: Проективные модули являются прямыми суммами свободных модулей и имеют многие из их полезных свойств.
инъективный: Инъективные модули определяются двойственно проективным модулям.
Плоский: Модуль называется плоским , если его тензорное произведение на любую точную последовательность R -модулей сохраняет точность.
без кручения: Модуль называется безкрученным, если он вкладывается в свой двойственный алгебраический модуль .
Простой: Простой модуль S — это модуль, который не является {0} и чьими подмодулями являются только {0} и S. Простые модули иногда называют неприводимыми . ^[4]
Полупростой: Полупростой модуль — это прямая сумма (конечная или нет) простых модулей. Исторически эти модули еще называют полностью редуцируемыми .
Неразложимый: Неразложимым модулем называется ненулевой модуль, который нельзя записать в виде прямой суммы двух ненулевых подмодулей. Каждый простой модуль неразложим, но есть неразложимые модули, которые не являются простыми (например, однородные модули ).
Верный: Точный модуль M — это модуль, в котором действие каждого r ≠ 0 из R на M нетривиально (т. е. r ⋅ x ≠ 0 для некоторого x из M ). Эквивалентно, аннулятор M — это нулевой идеал .
без скручивания: Модуль без кручения — это модуль над кольцом, такой, что 0 — единственный элемент, аннулируемый регулярным элементом (не делителем нуля ) кольца; эквивалентно, rm = 0 подразумевает r = 0 или m = 0 .
нетеровский: Нётеров модуль — это модуль, который удовлетворяет условию возрастающей цепочки подмодулей, то есть каждая возрастающая цепочка подмодулей становится стационарной после конечного числа шагов. Эквивалентно, каждый подмодуль конечно порожден.
Артиниан: Артинов модуль — это модуль, который удовлетворяет условию нисходящей цепочки на подмодулях, то есть каждая убывающая цепочка подмодулей становится стационарной после конечного числа шагов.
Оцененный: Градуированный модуль — это модуль, который разлагается в прямую сумму M = ⨁ _x M _x над градуированным кольцом R = ⨁ _x R _x таким, что R _x M _y ⊆ M _{x + y} для всех x и y .
Униформа: Равномерный модуль — это модуль, в котором все пары ненулевых подмодулей имеют ненулевое пересечение.

Дальнейшие понятия

Связь с теорией представлений

Представлением группы G над полем k является модуль над групповым кольцом k [ G ].

Если M — левый R -модуль, то действие элемента r в R определяется как отображение M → M , которое переводит каждый x в rx (или xr в случае правого модуля) и обязательно является группой эндоморфизм абелевой группы ( M , +) . Множество всех групповых эндоморфизмов M обозначается End _Z ( M ) и образует кольцо при сложении и композиции , а отправка кольцевого элемента r из R к его действию фактически определяет кольцевой гомоморфизм из R в End _Z ( M ).

Такой кольцевой гомоморфизм R → End _Z ( M ) называется представлением R над абелевой группой M ; альтернативный и эквивалентный способ определения левых R -модулей состоит в том, чтобы сказать, что левый R -модуль является абелевой группой M вместе с представлением R над ней. Такое представление R → End _Z ( M ) можно также назвать кольцевым действием R на M.

Представление называется точным тогда и только тогда , когда отображение R → End _Z ( M ) инъективно . С точки зрения модулей это означает, что если r — элемент R такой, что rx = 0 для всех x в M , то r = 0 . Каждая абелева группа является точным модулем над целыми числами или над некоторым кольцом целых чисел по модулю n , Z / n Z.

Обобщения

Кольцо R соответствует преаддитивной категории R с единственным объектом . При таком понимании левый R -модуль — это просто ковариантный аддитивный функтор из R в категорию Ab абелевых групп , а правые R -модули — это контравариантные аддитивные функторы. Это предполагает, что, если C — любая предаддитивная категория, ковариантный аддитивный функтор от C до Ab следует рассматривать как обобщенный левый модуль над C . Эти функторы образуют функторную категорию C - Mod , которая является естественным обобщением категории модулей R - Mod .

Модули над коммутативными кольцами можно обобщить и в другом направлении: возьмем окольцованное пространство ( X , O _X ) и рассмотрим пучки O _X -модулей (см. пучок модулей ). Они образуют категорию O _X - Mod и играют важную роль в современной алгебраической геометрии . Если X имеет только одну точку, то это категория модулей в старом смысле над коммутативным кольцом O _X ( X ).

Можно также рассматривать модули над полукольцом . Модули над кольцами — абелевы группы, а модули над полукольцами — только коммутативные моноиды . Большинство применений модулей все еще возможно. В частности, для любого полукольца S матрицы над S образуют полукольцо, над которым наборы элементов из S являются модулем (только в этом обобщенном смысле). Это позволяет дальнейшее обобщение концепции векторного пространства , включив полукольца из теоретической информатики.

Над почтикольцами можно рассматривать почтикольцевые модули — неабелево обобщение модулей. ^{[ нужна цитата ]}

Смотрите также

Примечания

^ Даммит, Дэвид С. и Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра . Хобокен, Нью-Джерси: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 978-0-471-43334-7.
^ Макгерти, Кевин (2016). «АЛГЕБРА II: КОЛЬЦА И МОДУЛИ» (PDF) .
^ Эш, Роберт. «Основы модуля» (PDF) . Абстрактная алгебра: основной выпускной год .
^ Джейкобсон (1964), с. 4, Деф. 1

Внешние ссылки

«Модуль», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
модуль в n Lab