Функция подсчета простых чисел

Функция, представляющая количество простых чисел, меньших или равных заданному числу

В математике функция подсчета простых чисел — это функция, подсчитывающая количество простых чисел, меньших или равных некоторому действительному числу x . ^{[1] [2]} Она обозначается как π ( x ) (не имеет отношения к числу π ).

Значения π ( n ) для первых 60 положительных целых чисел

Темпы роста

Большой интерес в теории чисел представляет скорость роста функции подсчета простых чисел. ^{[3] [4]} В конце XVIII века Гаусс и Лежандр предположили , что она приблизительно равна где log — натуральный логарифм , в том смысле, что Это утверждение — теорема о простых числах . Эквивалентное утверждение — где li — логарифмическая интегральная функция. Теорема о простых числах была впервые доказана в 1896 году Жаком Адамаром и Шарлем де ла Валле Пуссеном независимо друг от друга с использованием свойств дзета-функции Римана, введенной Риманом в 1859 году. Доказательства теоремы о простых числах, не использующие дзета-функцию или комплексный анализ, были найдены около 1948 года Атле Сельбергом и Полом Эрдёшем (по большей части независимо). ^[5] $${\displaystyle {\frac {x}{\log(x)}}}$$ $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}=1.}$$ $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\operatorname {li} (x)}}=1}$$

Более точные оценки

В 1899 году де ла Валле Пуссен доказал, что [ ^6] для некоторой положительной константы a . Здесь O (...) — это большая нотация O. $${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$$

Теперь известны более точные оценки π ( x ) . Например, в 2002 году Кевин Форд доказал, что ^[7] $${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}\right)\right).}$$

Моссингхофф и Труджиан доказали ^[8] явную верхнюю границу для разности между π ( x ) и li( x ) : $${\displaystyle {\bigl |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\bigr |}\leq 0.2593{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.315}}}\right)\quad {\text{for }}x\geq 229.}$$

Для значений x , которые не являются необоснованно большими, li( x ) больше, чем π ( x ) . Однако известно, что π ( x ) − li( x ) меняет знак бесконечно много раз. Для обсуждения этого см. число Скьюза .

Точная форма

Для x > 1 пусть π ₀ ( x ) = π ( x ) − ⁠1/2⁠ когда x — простое число, и π ₀ ( x ) = π ( x ) в противном случае. Бернхард Риман в своей работе «О числе простых чисел, меньших заданной величины» доказал, что π ₀ ( x ) равно ^[9]

Явная формула Римана, использующая первые 200 нетривиальных нулей дзета-функции

$${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho }),}$$где μ ( n ) — функция Мёбиуса , li( x ) — логарифмическая интегральная функция , ρ индексирует каждый ноль дзета-функции Римана, а li( x ^⁠ $${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} \left(x^{1/n}\right),}$$^ρ/н⁠ )​​не оценивается с помощьюотсечения ветви, а вместо этого рассматривается какEi( ⁠ρ/н⁠ log x ) где Ei( x ) - экспоненциальный интеграл . Если собрать тривиальные нули и суммировать только по нетривиальным нулям ρ дзета-функции Римана, то π ₀ ( x ) можно аппроксимировать как ^[10] $${\displaystyle \pi _{0}(x)\approx \operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} \left(x^{\rho }\right)-{\frac {1}{\log(x)}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log(x)}}.}$$

Гипотеза Римана предполагает, что каждый такой нетривиальный ноль лежит вдоль Re( s ) = ⁠1/2⁠ .

Таблицаπ ( х ),⁠х/журнал( х )⁠, или( х )

Таблица показывает, как три функции π ( x ) , ⁠х/журнал( х )⁠ , и li( x ) сравниваются в степенях 10. См. также ^{[3] [11]} и ^[12]

График, показывающий отношение функции подсчета простых чисел π ( x ) к двум ее приближениям, ⁠х/журнал х⁠ и Li( x ) . По мере увеличения x (обратите внимание, что ось x логарифмическая), оба отношения стремятся к 1. Отношение для ⁠х/журнал х⁠ сходится сверху очень медленно, тогда как отношение для Li( x ) сходится быстрее снизу.

В Онлайновой энциклопедии целочисленных последовательностей столбец π ( x ) представляет собой последовательность OEIS : A006880 , π ( x ) − ⁠ х/журнал х⁠ — это последовательность OEIS : A057835 , а li( x ) − π ( x ) — это последовательность OEIS : A057752 .

Значение π (10 ²⁴ ) было первоначально вычислено Дж. Бюте, Дж. Франке , А. Йостом и Т. Кляйнъюнгом, предполагая гипотезу Римана . ^[13] Позднее оно было безоговорочно проверено в вычислениях DJ Platt. ^[14] Значение π (10 ²⁵ ) получено Дж. Бюте, Дж. Франке , А. Йостом и Т. Кляйнъюнгом. ^[15] Значение π (10 ²⁶ ) было вычислено DB Staple. ^[16] Все другие предыдущие записи в этой таблице также были проверены в рамках этой работы.

Значения для 10 ²⁷ , 10 ²⁸ и 10 ²⁹ были объявлены Дэвидом Бо и Ким Валишем в 2015 ^[17] , 2020 ^[18] и 2022 ^[19] годах соответственно.

Алгоритмы оценкиπ ( х )

Простой способ найти π ( x ) , если x не слишком велико, — это использовать решето Эратосфена для получения простых чисел, меньших или равных x , а затем подсчитать их.

Более сложный способ нахождения π ( x ) принадлежит Лежандру (используя принцип включения-исключения ): если x дан , и p ₁ , p ₂ ,…, p _n — различные простые числа, то количество целых чисел, меньших или равных x , которые не делятся ни на одно p _{i ,} равно

${\displaystyle \lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots }$

(где ⌊ x ⌋ обозначает функцию пола ). Это число, следовательно, равно

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1}$

когда числа p ₁ , p ₂ ,…, p _n являются простыми числами, меньшими или равными квадратному корню из x .

Алгоритм Мейселя – Лемера

В серии статей, опубликованных между 1870 и 1885 годами, Эрнст Мейссель описал (и использовал) практический комбинаторный способ оценки π ( x ) : Пусть p ₁ , p ₂ ,…, p _n будут первыми n простыми числами и обозначим через Φ( m , n ) количество натуральных чисел, не превышающих m , которые не делятся ни на одно из p _i для любого i ≤ n . Тогда

${\displaystyle \Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{n}}},n-1\right).}$

Дано натуральное число m , если n = π ( ³ √ m ) и если μ = π ( √ m ) − n , то

${\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right).}$

Используя этот подход, Мейссель вычислил π ( x ) для x , равного5 × 10 ⁵ , 10 ⁶ , 10 ⁷ и 10 ⁸ .

В 1959 году Деррик Генри Лемер расширил и упростил метод Мейсселя. Определим для вещественного m и для натуральных чисел n и k , P _k ( m , n ) как количество чисел, не больших m с ровно k простыми множителями, все из которых больше p _n . Кроме того, положим P ₀ ( m , n ) = 1 . Тогда

${\displaystyle \Phi (m,n)=\sum _{k=0}^{+\infty }P_{k}(m,n)}$

где сумма на самом деле имеет только конечное число ненулевых членов. Пусть y обозначает целое число, такое что ³ √ m ≤ y ≤ √ m , и положим n = π ( y ) . Тогда P ₁ ( m , n ) = π ( m ) − n и P _k ( m , n ) = 0, когда k ≥ 3 . Следовательно,

${\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P_{2}(m,n)}$

Вычисление P ₂ ( m , n ) можно получить следующим образом:

${\displaystyle P_{2}(m,n)=\sum _{y<p\leq {\sqrt {m}}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right)}$

где сумма делится на простые числа.

С другой стороны, вычисление Φ( m , n ) можно выполнить, используя следующие правила:

1. ${\displaystyle \Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor }$
2. ${\displaystyle \Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)}$

Используя свой метод и IBM 701 , Лемер смог вычислить правильное значение π (10 ⁹ ) и ошибся в правильном значении π (10 ¹⁰ ) на 1. ^[20]

Дальнейшие усовершенствования этого метода были сделаны Лагариасом, Миллером, Одлыжко, Делеглизом и Рива. ^[21]

Другие функции подсчета простых чисел

Также используются и другие функции подсчета простых чисел, поскольку с ними удобнее работать.

Функция подсчета степеней Римана

Функция подсчета степеней Римана обычно обозначается как Π ₀ ( x ) или J ₀ ( x ) . Она имеет скачки ⁠1/н⁠ в простых степенях p ⁿ и принимает значение посередине между двумя сторонами в разрывах π ( x ) . Эта дополнительная деталь используется, поскольку функция затем может быть определена обратным преобразованием Меллина .

Формально мы можем определить Π ₀ ( x ) как

${\displaystyle \Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}+\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}\right)\ }$

где переменная p в каждой сумме колеблется по всем простым числам в указанных пределах.

Мы также можем написать

${\displaystyle \ \Pi _{0}(x)=\sum _{n=2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}-{\frac {\Lambda (x)}{2\log x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}\left(x^{1/n}\right)}$

где Λ — функция фон Мангольдта и

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

Формула обращения Мёбиуса тогда дает

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\ \Pi _{0}\left(x^{1/n}\right),}$

где μ ( n ) — функция Мёбиуса .

Зная связь между логарифмом дзета-функции Римана и функцией Мангольдта Λ , и используя формулу Перрона, имеем

${\displaystyle \log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x}$

Функция Чебышева

Функция Чебышева взвешивает простые числа или степени простых чисел p ⁿ по формуле log( p ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta (x)&=\sum _{p\leq x}\log p\\\psi (x)&=\sum _{p^{n}\leq x}\log p=\sum _{n=1}^{\infty }\theta \left(x^{1/n}\right)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).\end{aligned}}}$

Для х ≥ 2 , ^[22]

${\displaystyle \vartheta (x)=\pi (x)\log x-\int _{2}^{x}{\frac {\pi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t}$

и

${\displaystyle \pi (x)={\frac {\vartheta (x)}{\log x}}+\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (t)}{t\log ^{2}(t)}}\mathrm {d} t.}$

Формулы для функций подсчета простых чисел

Формулы для функций подсчета простых чисел бывают двух видов: арифметические формулы и аналитические формулы. Аналитические формулы для подсчета простых чисел были впервые использованы для доказательства теоремы о простых числах . Они берут начало в работах Римана и фон Мангольдта и обычно известны как явные формулы . ^[23]

Для второй функции Чебышёва ψ имеем следующее выражение :

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right),}$

где

${\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

Здесь ρ — нули дзета-функции Римана в критической полосе, где действительная часть ρ лежит между нулем и единицей. Формула верна для значений x больше единицы, что и является интересующей нас областью. Сумма по корням условно сходится и должна браться в порядке возрастания абсолютного значения мнимой части. Обратите внимание, что та же сумма по тривиальным корням дает последнее вычитаемое в формуле.

Для Π ₀ ( x ) имеем более сложную формулу

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} \left(x^{\rho }\right)-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}.}$

Опять же, формула верна для x > 1 , в то время как ρ — нетривиальные нули дзета-функции, упорядоченные по их абсолютному значению. Интеграл равен ряду по тривиальным нулям:

${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}\left(\sum _{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm {d} t=\sum _{m}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {\left(u=t^{-2m}\right)}{=}}-\sum _{m}\operatorname {li} \left(x^{-2m}\right)}$

Первый член li( x ) представляет собой обычную логарифмическую интегральную функцию ; выражение li( x ^ρ ) во втором члене следует рассматривать как Ei( ρ log x ) , где Ei — аналитическое продолжение показательной интегральной функции из области отрицательных действительных чисел в комплексную плоскость с разрезом вдоль положительных действительных чисел.

Таким образом, формула обращения Мёбиуса дает нам ^[10]

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} \left(x^{\rho }\right)-\sum _{m}\operatorname {R} \left(x^{-2m}\right)}$

справедливо для x > 1 , где

${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} \left(x^{1/n}\right)=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(\log x\right)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}}$

является R-функцией Римана ^[24] , а μ ( n ) является функцией Мёбиуса . Последний ряд для него известен как ряд Грама . ^{[25] [26]} Поскольку log x < x для всех x > 0 , этот ряд сходится для всех положительных x по сравнению с рядом для e ^x . Логарифм в ряду Грама суммы по нетривиальному нулевому вкладу следует оценивать как ρ log x , а не log x ^ρ .

Фолькмар Борнеманн доказал ^[27], предположив , что все нули дзета-функции Римана являются простыми, ^{[примечание 1]} , что

${\displaystyle \operatorname {R} \left(e^{-2\pi t}\right)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta (2k+1)}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\rho }{\frac {t^{-\rho }}{\rho \cos {\frac {\pi \rho }{2}}\zeta '(\rho )}}}$

где ρ пробегает нетривиальные нули дзета-функции Римана и t > 0 .

Сумма по нетривиальным нулям дзета в формуле для π ₀ ( x ) описывает колебания π ₀ ( x ) , в то время как остальные члены дают «гладкую» часть функции подсчета простых чисел ^[28] , поэтому можно использовать

${\displaystyle \operatorname {R} (x)-\sum _{m=1}^{\infty }\operatorname {R} \left(x^{-2m}\right)}$

как хорошую оценку π ( x ) для x > 1. Фактически, поскольку второй член стремится к 0 при x → ∞ , в то время как амплитуда «шумной» части эвристически около ⁠√ х/журнал х⁠ , оценка π ( x ) только с помощью R( x ) столь же хороша, и колебания распределения простых чисел могут быть четко представлены с помощью функции

${\displaystyle {\bigl (}\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x){\bigr )}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}.}$

Неравенства

Вот несколько полезных неравенств для π ( x ) .

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\log x}}}$

для х ≥ 17 .

Левое неравенство справедливо для x ≥ 17 , а правое неравенство справедливо для x > 1. Константа 1,25506 равна ⁠30 журнал 113/113⁠ до 5 знаков после запятой, как ⁠π ( x ) логарифм x/х⁠ имеет максимальное значение при x = 113. ^[29 ]

Пьер Дюсар доказал в 2010 году: ^[30]

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-1}}<\pi (x)\quad {\text{for }}x\geq 5393,}$

и

${\displaystyle \pi (x)<{\frac {x}{\log x-1.1}}\quad {\text{for }}x\geq 60184.}$

Вот некоторые неравенства для n-го простого числа, p _n . Верхняя граница принадлежит Россеру (1941), ^[31] нижняя — Дюсарту (1999): ^[32]

${\displaystyle n(\log(n\log n)-1)<p_{n}<n{\log(n\log n)}\quad {\text{for }}n\geq 6.}$

Левое неравенство справедливо для n ≥ 2 , а правое неравенство справедливо для n ≥ 6 .

Приближение для n- го простого числа равно

${\displaystyle p_{n}=n(\log(n\log n)-1)+{\frac {n(\log \log n-2)}{\log n}}+O\left({\frac {n(\log \log n)^{2}}{(\log n)^{2}}}\right).}$

Рамануджан ^[33] доказал, что неравенство

${\displaystyle \pi (x)^{2}<{\frac {ex}{\log x}}\pi \left({\frac {x}{e}}\right)}$

справедливо для всех достаточно больших значений x .

В 2010 году ^[30] Дюсарт доказал (Предложение 6.6), что для n ≥ 688383 ,

${\displaystyle p_{n}\leq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}\right),}$

и (Предложение 6.7) что для n ≥ 3 ,

${\displaystyle p_{n}\geq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2.1}{\log n}}\right).}$

Совсем недавно Дюсарт ^[34] доказал (теорема 5.1), что при x > 1

${\displaystyle \pi (x)\leq {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}+{\frac {7.59}{\log ^{3}x}}\right),}$

и что для x ≥ 88789 ,

${\displaystyle \pi (x)>{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}\right).}$

Гипотеза Римана

Гипотеза Римана подразумевает гораздо более жесткую границу ошибки в оценке π ( x ) и, следовательно, более регулярное распределение простых чисел,

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).}$

В частности, ^[35]

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\quad {\text{for all }}x\geq 2657.}$

Дудек (2015) доказал, что гипотеза Римана подразумевает, что для всех x ≥ 2 существует простое число p, удовлетворяющее условию

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x.}$

Смотрите также

• Постулат Бертрана
• Гипотеза Оппермана
• Рамануджан премьер

Ссылки

1. Бах, Эрик; Шаллит, Джеффри (1996). Алгоритмическая теория чисел . MIT Press. том 1 страница 234 раздел 8.8. ISBN 0-262-02405-5.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Функция подсчета простых чисел». MathWorld .
3. "Сколько простых чисел там?". Крис К. Колдуэлл. Архивировано из оригинала 2012-10-15 . Получено 2008-12-02 .
4. Диксон, Леонард Юджин (2005). История теории чисел, т. I: Делимость и первичность . Dover Publications. ISBN 0-486-44232-2.
5. Айрленд, Кеннет; Розен, Майкл (1998). Классическое введение в современную теорию чисел (второе изд.). Springer. ISBN 0-387-97329-X.
6. См. также теорему 23 AE Ingham (2000). Распределение простых чисел . Cambridge University Press. ISBN 0-521-39789-8.
7. Кевин Форд (ноябрь 2002 г.). «Интеграл Виноградова и оценки для дзета-функции Римана» (PDF) . Proc. London Math. Soc . 85 (3): 565–633. arXiv : 1910.08209 . doi :10.1112/S0024611502013655. S2CID  121144007.
8. Mossinghoff, Michael J.; Trudgian, Timothy S. (2015). «Неотрицательные тригонометрические полиномы и область, свободная от нуля, для дзета-функции Римана». J. Number Theory . 157 : 329–349. arXiv : 1410.3926 . doi : 10.1016/J.JNT.2015.05.010. S2CID  117968965.
9. Hutama, Daniel (2017). «Реализация явной формулы Римана для рациональных и гауссовых простых чисел в Sage» (PDF) . Institut des sciences mathématiques .
10. Riesel, Hans ; Göhl, Gunnar (1970). "Некоторые вычисления, связанные с формулой простых чисел Римана" (PDF) . Mathematics of Computation . 24 (112). Американское математическое общество: 969–983. doi :10.2307/2004630. ISSN  0025-5718. JSTOR  2004630. MR  0277489.
11. «Таблицы значений π(x) и π2(x)». Томас Оливейра и Силва . Проверено 31 марта 2024 г.
12. "Таблица значений π(x)". Ксавье Гурдон, Паскаль Себа, Патрик Демишель . Получено 2008-09-14 .
13. "Условное вычисление π(1024)". Крис К. Колдуэлл . Получено 2024-03-30 .
14. Платт, Дэвид Дж. (2012). «Аналитическое вычисление π ( x ) ». arXiv : 1203.5712 [math.NT].
15. "Сколько простых чисел там?". J. Buethe . Получено 2015-09-01 .
16. Staple, Douglas (19 августа 2015 г.). Комбинаторный алгоритм вычисления π(x) (диссертация). Университет Далхаузи . Получено 01.09.2015 .
17. Валиш, Ким (6 сентября 2015 г.). «Новая подтвержденная запись функции подсчета простых чисел π (1027)» . Форум Мерсенна .
18. Бо, Дэвид (30 августа 2020 г.). «Новая запись функции подсчета простых чисел, pi(10^28)». Форум Мерсенна .
19. Валиш, Ким (4 марта 2022 г.). «Новая запись функции подсчета простых чисел: PrimePi(10^29)». Форум Мерсенна .
20. Лемер, Деррик Генри (1 апреля 1958 г.). «О точном числе простых чисел, меньших заданного предела». Illinois J. Math . 3 (3): 381–388 . Получено 1 февраля 2017 г.
21. Делеглиз, Марк; Риват, Джоэл (январь 1996 г.). «Вычисление π (x): метод Мейселя, Лемера, Лагариаса, Миллера, Одлизко» (PDF) . Математика вычислений . 65 (213): 235–245. дои : 10.1090/S0025-5718-96-00674-6 .
22. Апостол, Том М. (2010). Введение в аналитическую теорию чисел . Springer.
23. Титчмарш, EC (1960). Теория функций, 2-е изд . Oxford University Press.
24. Вайсштейн, Эрик В. «Функция подсчета простых чисел Римана». MathWorld .
25. Ризель, Ганс (1994). Простые числа и компьютерные методы факторизации . Прогресс в математике. Т. 126 (2-е изд.). Биркхойзер. С. 50–51. ISBN 0-8176-3743-5.
26. Вайсштейн, Эрик В. «Серия Грама». MathWorld .
27. Борнеманн, Фолькмар. «Решение проблемы, поставленной Йоргом Вальдвогелем» (PDF) .
28. "Кодирование распределения простых чисел нулями дзета". Мэтью Уоткинс . Получено 14 сентября 2008 г.
29. Россер, Дж. Баркли ; Шенфельд, Лоуэлл (1962). «Приближенные формулы для некоторых функций простых чисел». Illinois J. Math . 6 : 64–94. doi : 10.1215/ijm/1255631807 . ISSN  0019-2082. Zbl  0122.05001.
30. Dusart, Pierre (2 февраля 2010 г.). «Оценки некоторых функций над простыми числами без RH». arXiv : 1002.0442v1 [math.NT].
31. Россер, Баркли (1941). «Явные границы для некоторых функций простых чисел». American Journal of Mathematics . 63 (1): 211–232. doi :10.2307/2371291. JSTOR  2371291.
32. Дюсарт, Пьер (1999). «K-е простое число больше, чем k(ln k + ln ln k − 1) для k ≥ 2». Математика вычислений . 68 (225): 411–415. doi : 10.1090/S0025-5718-99-01037-6 .
33. Берндт, Брюс С. (2012-12-06). Записные книжки Рамануджана, часть IV. Springer Science & Business Media. стр. 112–113. ISBN 9781461269328.
34. Дюсарт, Пьер (январь 2018 г.). «Явные оценки некоторых функций над простыми числами». Ramanujan Journal . 45 (1): 225–234. doi :10.1007/s11139-016-9839-4. S2CID  125120533.
35. Шенфельд, Лоуэлл (1976). «Более точные оценки для функций Чебышева θ ( x ) и ψ ( x ). II». Математика вычислений . 30 (134). Американское математическое общество: 337–360. doi :10.2307/2005976. ISSN  0025-5718. JSTOR  2005976. MR  0457374.

Примечания

1. Монтгомери показал, что (предполагая гипотезу Римана) по крайней мере две трети всех нулей являются простыми.

Внешние ссылки

• Крис Колдуэлл, The Nth Prime Page на The Prime Pages .
• Томас Оливейра и Силва, Таблицы функций подсчета простых чисел.
• Дудек, Адриан В. (2015), «О гипотезе Римана и разнице между простыми числами», Международный журнал теории чисел , 11 (3): 771–778, arXiv : 1402.6417 , Bibcode : 2014arXiv1402.6417D, doi : 10.1142/S1793042115500426, ISSN  1793-0421, S2CID  119321107