Теорема Абеля – Руффини

Уравнения степени 5 и выше не могут быть решены радикалами.

В математике теорема Абеля -Руффини (также известная как теорема невозможности Абеля ) утверждает, что не существует решения в радикалах общих полиномиальных уравнений пятой степени или выше с произвольными коэффициентами . Здесь общее означает, что коэффициенты уравнения рассматриваются и обрабатываются как неопределенные .

Теорема названа в честь Паоло Руффини , который сделал неполное доказательство в 1799 году ^[1] (которое было уточнено и завершено в 1813 году ^[2] и принято Коши) и Нильса Хенрика Абеля , который предоставил доказательство в 1824 году. ^{[3] [ 4]}

Теорема Абеля-Руффини также относится к несколько более сильному результату: существуют уравнения пятой степени и выше, которые не могут быть решены с помощью радикалов. Это не следует из формулировки теоремы Абеля, но является следствием его доказательства, поскольку его доказательство основано на том факте, что некоторые многочлены в коэффициентах уравнения не являются нулевым многочленом. Это улучшенное утверждение следует непосредственно из теории Галуа § Неразрешимый пример пятой степени . Теория Галуа также подразумевает, что

${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

— это простейшее уравнение, которое невозможно решить в радикалах, и что почти все многочлены пятой степени и выше не могут быть решены в радикалах.

Невозможность решения в пятой степени и выше контрастирует со случаем более низкой степени: имеются квадратичная формула , кубическая формула и формула четвёртой степени для второй, третьей и четвертой степени соответственно.

Контекст

Полиномиальные уравнения второй степени можно решать с помощью квадратной формулы , известной с древности . Точно так же кубическая формула для третьей степени и формула четвертой степени для четвертой степени были найдены в 16 веке. В то время фундаментальной проблемой было, можно ли подобным образом решить уравнения более высокой степени.

Тот факт, что всякое полиномиальное уравнение положительной степени имеет решения, возможно, невещественные , был утвержден еще в 17 веке, но полностью доказан лишь в начале 19 века. Это фундаментальная теорема алгебры , которая не дает никакого инструмента для точного вычисления решений, хотя метод Ньютона позволяет аппроксимировать решения с любой желаемой точностью.

С 16 по начало 19 века основной проблемой алгебры был поиск формулы решения полиномиальных уравнений пятой степени и выше, отсюда и название «основная теорема алгебры». Это означало решение в радикалах , то есть выражение, включающее только коэффициенты уравнения, а также операции сложения , вычитания , умножения , деления и извлечения корня n-й степени .

Теорема Абеля–Руффини доказывает, что это невозможно. Однако эта невозможность не означает, что конкретное уравнение любой степени не может быть решено в радикалах. Напротив, существуют уравнения любой степени, которые можно решить в радикалах. Это случай уравнения для любого n и уравнений, определяемых круговыми многочленами , все решения которых могут быть выражены в радикалах. ${\displaystyle x^{n}-1=0}$

Доказательство теоремы Абеля не содержит в явном виде утверждения о том, что существуют конкретные уравнения, которые не могут быть решены радикалами. Такое утверждение не является следствием формулировки теоремы Абелем, поскольку это утверждение не исключает возможности того, что «каждое конкретное уравнение пятой степени может быть разрешимо со специальной формулой для каждого уравнения». ^[5] Однако существование конкретных уравнений, которые не могут быть решены в радикалах, по-видимому, является следствием доказательства Абеля, поскольку в доказательстве используется тот факт, что некоторые многочлены в коэффициентах не являются нулевым многочленом, и, учитывая конечное число полиномов, существуют значения переменных, при которых ни один из полиномов не принимает нулевое значение.

Вскоре после публикации Абелем своего доказательства Эварист Галуа представил теорию, которая теперь называется теорией Галуа , которая позволяет решить для любого данного уравнения, разрешимо ли оно в радикалах. До появления электронных компьютеров это было чисто теоретически . С помощью современных компьютеров и программ решить, разрешим ли полином в радикалах ^, можно для полиномов степени до 31. ^{Вычисление} решений в радикалах разрешимых многочленов требует огромных вычислений, и по состоянию на 2023 год ^{ни[обновлять]} один реализованный алгоритм не существует. опубликованы для полиномов степени выше семи. ^{[ нужна цитата ]} Даже для пятой степени выражение решений настолько велико, что не имеет практического интереса.

Доказательство

Доказательство теоремы Абеля-Руффини предшествует теории Галуа . Однако теория Галуа позволяет лучше понять предмет, и современные доказательства обычно основаны на ней, в то время как оригинальные доказательства теоремы Абеля-Руффини по-прежнему представлены для исторических целей. ^{[1] [6] [7] [8]}

Доказательства, основанные на теории Галуа, включают четыре основных этапа: характеризацию разрешимых уравнений в терминах теории поля ; использование соответствия Галуа между подполями данного поля и подгруппами его группы Галуа для выражения этой характеристики в терминах разрешимых групп ; доказательство того, что симметрическая группа неразрешима, если ее степень равна пяти и выше; и существование полиномов с симметричной группой Галуа.

Алгебраические решения и теория поля

Алгебраическое решение полиномиального уравнения — это выражение , включающее четыре основных арифметических действия (сложение, вычитание, умножение и деление) и извлечение корня . Такое выражение можно рассматривать как описание вычисления, которое начинается с коэффициентов решаемого уравнения и продолжается вычислением нескольких чисел, одно за другим.

На каждом этапе вычислений можно рассматривать наименьшее поле , содержащее все числа, которые были вычислены на данный момент. Это поле изменяется только для шагов, связанных с вычислением корня n- й степени .

Итак, алгебраическое решение дает последовательность

${\displaystyle F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{k}}$

полей и элементов таких, что for с для некоторого целого числа. Алгебраическое решение исходного полиномиального уравнения существует тогда и только тогда, когда существует такая последовательность полей, которая содержит решение. ${\displaystyle x_{i}\in F_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}=F_{i-1}(x_{i})}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,k,}$ ${\displaystyle x_{i}^{n_{i}}\in F_{i-1}}$ ${\displaystyle n_{i}>1.}$ ${\displaystyle F_{k}}$

Для того чтобы иметь нормальные расширения , которые являются фундаментальными для теории, необходимо уточнить последовательность полей следующим образом. Если оно не содержит всех корней из единицы , вводится поле , расширяемое примитивным корнем из единицы , и переопределяется как ${\displaystyle F_{i-1}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle F_{i-1}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle K_{i}(x_{i}).}$

Итак, если начать с решения в терминах радикалов, мы получим возрастающую последовательность полей , причем последнее содержит решение, и каждое из них является нормальным расширением предыдущего с циклической группой Галуа .

И наоборот, если имеется такая последовательность полей, уравнение разрешимо в терминах радикалов. Для доказательства этого достаточно доказать, что нормальное расширение с циклической группой Галуа можно построить из последовательности радикальных расширений .

Переписка Галуа

Соответствие Галуа устанавливает взаимно однозначное соответствие между подрасширениями нормального расширения поля и подгруппами группы Галуа расширения. Это соответствие отображает такое поле K в группу Галуа автоморфизмов F , которые оставляют K фиксированным, и , наоборот, отображает подгруппу H в поле элементов F , которые фиксированы H . ${\displaystyle F/E}$ ${\displaystyle E\subseteq K\subseteq F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/E)}$

Предыдущий раздел показывает, что уравнение разрешимо в терминах радикалов тогда и только тогда, когда группа Галуа его поля разложения (наименьшее поле, содержащее все корни) разрешима , то есть оно содержит последовательность подгрупп, каждая из которых нормальный в предыдущем, с циклической факторгруппой . (Разрешимые группы обычно определяются с помощью абелевых групп вместо циклических факторгрупп, но фундаментальная теорема о конечных абелевых группах показывает, что эти два определения эквивалентны).

Итак, для доказательства теоремы Абеля–Руффини осталось доказать, что симметрическая группа неразрешима и что существуют многочлены с симметричной группой Галуа. ${\displaystyle S_{5}}$

Разрешимые симметрические группы

Для n > 4 симметрическая группа степени n имеет только знакопеременную группу в качестве нетривиальной нормальной подгруппы (см. Симметричная группа § Нормальные подгруппы ). При n > 4 знакопеременная группа не является абелевой и простой (т. е. не имеет нетривиальной нормальной подгруппы). Это означает, что оба и неразрешимы при n > 4 . Таким образом, теорема Абеля–Руффини вытекает из существования многочленов с симметричной группой Галуа; это будет показано в следующем разделе. ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$

С другой стороны, при n ≤ 4 симметрическая группа и все ее подгруппы разрешимы. Это объясняет существование квадратичных , кубических и четвертых формул, поскольку основным результатом теории Галуа является то, что полиномиальное уравнение имеет решение в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима (термин «разрешимая группа» берет свое начало из этой теоремы).

Полиномы с симметричными группами Галуа

Общее уравнение

Общим или родовым полиномиальным уравнением степени n является уравнение

${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0,}$

где различные неопределенные числа . Это уравнение, определенное над полем рациональных дробей с коэффициентами рационального числа . Исходная теорема Абеля-Руффини утверждает, что при n > 4 это уравнение не разрешимо в радикалах. С учетом предыдущих разделов это следует из того, что группа Галуа над F уравнения является симметрической группой (эта группа Галуа является группой полевых автоморфизмов поля расщепления уравнения, фиксирующих элементы F , где поле расщепления — это наименьшее поле, содержащее все корни уравнения). ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle F=\mathbb {Q} (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$

Для доказательства существования группы Галуа проще начать с корней. Пусть это новые неопределенные, призванные быть корнями, и рассмотрим многочлен ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n},}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle P(x)=x^{n}+b_{1}x^{n-1}+\cdots +b_{n-1}x+b_{n}=(x-x_{1})\cdots (x-x_{n}).}$

Пусть – поле рациональных дробей в и – его подполе, порожденное коэффициентами Перестановки индуцированных автоморфизмов H . Формулы Виеты подразумевают, что каждый элемент K является симметричной функцией и , таким образом, фиксируется всеми этими автоморфизмами. Отсюда следует, что группа Галуа является симметрической группой. ${\displaystyle H=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (b_{1},\ldots ,b_{n})}$ ${\displaystyle P(x).}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i},}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (H/K)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}.}$

Фундаментальная теорема о симметричных полиномах подразумевает, что они алгебраически независимы и, таким образом, отображение, которое переводит каждый в соответствующий , является изоморфизмом полей из F в K. Это означает, что его можно рассматривать как общее уравнение. Это завершает доказательство того, что группа Галуа общего уравнения является симметричной группой, и, таким образом, доказывает исходную теорему Абеля-Руффини, которая утверждает, что общее полиномиальное уравнение степени n не может быть решено в радикалах при n > 4 . ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle P(x)=0}$

Явный пример

Уравнение не разрешимо в радикалах, как будет объяснено ниже. ${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

Пусть q будет . Пусть G — его группа Галуа, действующая точно на множестве комплексных корней q . Нумерация корней позволяет отождествить G с подгруппой симметрической группы . Поскольку факторы, как в , группа G содержит перестановку g , которая является продуктом непересекающихся циклов длин 2 и 3 (вообще, когда монический целочисленный многочлен сводит по простому модулю к произведению различных монических неприводимых многочленов, степени множители дают длины непересекающихся циклов в некоторой перестановке, принадлежащей группе Галуа); тогда G также содержит , что является транспозицией . Поскольку неприводимо в , тот же принцип показывает, что G содержит 5-цикл . Поскольку 5 — простое число, любая транспозиция и 5-цикл порождают всю группу; см. Симметричную группу § Генераторы и отношения . Таким образом . Поскольку группа неразрешима, уравнение не разрешимо в радикалах. ${\displaystyle x^{5}-x-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}$ ${\displaystyle q{\bmod {2}}}$ ${\displaystyle (x^{2}+x+1)(x^{3}+x^{2}+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]}$ ${\displaystyle g^{3}}$ ${\displaystyle q{\bmod {3}}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}[x]}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}$ ${\displaystyle G={\mathcal {S}}_{5}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}$ ${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

резольвента Кэли

Проверить, разрешима ли конкретная квинтика в радикалах, можно с помощью резольвенты Кэли . Это одномерный многочлен шестой степени, коэффициенты которого являются полиномами от коэффициентов общей квинтики. Конкретная неприводимая квинтика разрешима в радикалах тогда и только тогда, когда ее коэффициенты подставляются в резольвенту Кэли, полученный секстический многочлен имеет рациональный корень.

История

Около 1770 года Жозеф Луи Лагранж начал закладывать основу, которая объединила множество различных методов, использовавшихся до этого момента для решения уравнений, связав их с теорией групп подстановок в форме резольвент Лагранжа . ^[9] Эта новаторская работа Лагранжа была предшественником теории Галуа, и ее неспособность разработать решения для уравнений пятой и более высоких степеней намекала на то, что такие решения могут быть невозможны, но она не предоставила убедительных доказательств. Первым человеком, который предположил, что проблема решения квинтик с помощью радикалов может оказаться невозможной, был Карл Фридрих Гаусс , который написал в 1798 году в разделе 359 своей книги Disquisitiones Arithmeticae (которая будет опубликована только в 1801 году), что «нет никаких сомнений в том, что что эта проблема не столько бросает вызов современным методам анализа, сколько предполагает невозможное». В следующем году в своей диссертации он написал: «После того, как труды многих геометров оставили мало надежды когда-либо прийти к решению общего уравнения алгебраическим путем, становится все более вероятным, что это решение невозможно и противоречиво». И он добавил: «Возможно, будет не так уж трудно доказать со всей строгостью невозможность пятой степени. Я изложу свои исследования этого более подробно в другом месте». Собственно, Гаусс больше ничего по этому поводу не опубликовал. ^[1]

Паоло Руффини , Общая теория уравнений , 1799 г.

Теорема была впервые почти доказана Паоло Руффини в 1799 году. ^[10] Он разослал свое доказательство нескольким математикам, чтобы добиться его признания, в том числе Лагранжу (который не ответил) и Огюстену-Луи Коши , которые отправили ему письмо, в котором говорилось: « Ваши мемуары об общем решении уравнений — это работа, которую, как я всегда считал, следует иметь в виду математикам и которая, по моему мнению, убедительно доказывает алгебраическую неразрешимость общих уравнений выше четвертой степени». ^[11] Однако в целом доказательство Руффини не было признано убедительным. Абель писал: «Первый и, если я не ошибаюсь, единственный, кто до меня пытался доказать невозможность алгебраического решения общих уравнений, — это математик Руффини. Но его мемуары настолько сложны, что очень трудно определить обоснованность его аргументов. Мне кажется, что его аргументы не вполне удовлетворительны». ^{[11] [12]}

Доказательство также, как выяснилось позже, было неполным. Руффини предполагал, что все радикалы, с которыми он имел дело, можно выразить из корней многочлена, используя только полевые операции; говоря современным языком, он предположил, что радикалы принадлежат полю расщепления многочлена. Чтобы понять, почему это на самом деле дополнительное предположение, рассмотрим, например, полином . Согласно формуле Кардано , один из его корней (фактически все они) может быть выражен как сумма кубического корня из с кубическим корнем из . С другой стороны, поскольку , , , и , все корни , и of действительны и, следовательно, поле является подполем . Но тогда числа не могут принадлежать . Хотя Коши либо не заметил предположения Руффини, либо считал его второстепенным, большинство историков полагают, что доказательство не было полным, пока Абель не доказал теорему о естественных иррациональностях, которая утверждает, что это предположение справедливо в случае общих полиномов. ^{[7] [13]} Таким образом, теорему Абеля-Руффини обычно приписывают Абелю, который опубликовал доказательство, сжатое всего на шесть страниц, в 1824 году. ^[3] (Абель использовал очень краткий стиль, чтобы сэкономить бумагу и деньги: доказательство было напечатано за свой счет. ^[8] ) Более детальная версия доказательства будет опубликована в 1826 году. ^[4] ${\displaystyle P(x)=x^{3}-15x-20}$ ${\displaystyle 10+5i}$ ${\displaystyle 10-5i}$ ${\displaystyle P(-3)<0}$ ${\displaystyle P(-2)>0}$ ${\displaystyle P(-1)<0}$ ${\displaystyle P(5)>0}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle 10\pm 5i}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})}$

Доказательство того, что общие уравнения пятой (и более высоких) неразрешимы в радикалах, не решило полностью вопрос, поскольку теорема Абеля – Руффини не дает необходимых и достаточных условий для того, чтобы точно сказать, какие уравнения пятой (и более высоких) неразрешимы в радикалах. Абель работал над полной характеристикой, когда умер в 1829 году. ^[14]

По словам Натана Джейкобсона , «доказательства Руффини и Абеля [...] вскоре были заменены высшим достижением этого направления исследований: открытиями Галуа в теории уравнений». ^[15] В 1830 году Галуа (в возрасте 18 лет) представил в Парижскую академию наук мемуары о своей теории разрешимости в радикалах, которая в конечном итоге была отвергнута в 1831 году как слишком схематичная и дающая условие в терминах корни уравнения вместо его коэффициентов. Галуа знал о вкладе Руффини и Абеля, поскольку он писал: «Сегодня общеизвестной истиной является то, что общее уравнение степени больше 4 не может быть решено радикалами... эта истина стала общепринятой (по слухам), несмотря на тот факт, что геометры проигнорировали доказательства Абеля и Руффини...» ^[1] Галуа затем умер в 1832 году, и его статья «Мемуар об условиях неразрешимости уравнений по радикау» ^[16] оставалась неопубликованной до 1846 года, когда она была опубликована Джозеф Лиувилль сопровождается некоторыми собственными пояснениями. ^[14] Перед этой публикацией Лиувилль объявил о результатах Галуа академии в речи, которую он произнес 4 июля 1843 года. ^[5] Упрощенное доказательство Абеля было опубликовано Пьером Ванцелем в 1845 году . ^[17] Когда Ванцель опубликовал его, ему уже было известно о вкладе Галуа, и он упоминает, что, хотя доказательство Абеля справедливо только для общих многочленов, подход Галуа можно использовать для получения конкретного многочлена степени 5, корни которого не могут быть выражены в радикалах из его коэффициентов.

В 1963 году Владимир Арнольд открыл топологическое доказательство теоремы Абеля-Руффини, ^{[18] [19] [20]} , которое послужило отправной точкой для топологической теории Галуа . ^[21]

Рекомендации

1. Аюб, Раймонд Г. (1980), «Вклад Паоло Руффини в Квинтик», Архив истории точных наук , 22 (3): 253–277, doi : 10.1007/BF00357046, JSTOR  41133596, MR  0606270, S2CID  123447349 , Збл  0471.01008
2. Руффини, Паоло (1813). Подробное решение алгебраических уравнений общего назначения. точка. Паоло Руффини... (на итальянском языке). Presso la Societa Tipografica.
3. Abel, Нильс Хенрик (1881) [1824], «Mémoire sur les équations algébriques, ou l'on démontre l'impossabilité de la resolution de l'équation générale du cinquième degree» (PDF) , в Силове, Людвиг ; Lie, Sophus (ред.), Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (на французском языке), vol. I (2-е изд.), Grøndahl & Søn , стр. 28–33.
4. Abel, Нильс Хенрик (1881) [1826], «Демонстрация невозможности алгебраического разрешения общих уравнений, которые проходят le quatrième degré» (PDF) , в Силове, Людвиг ; Lie, Sophus (ред.), Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (на французском языке), vol. I (2-е изд.), Grøndahl & Søn , стр. 66–87.
5. Стюарт, Ян (2015), «Историческое введение», Теория Галуа (4-е изд.), CRC Press , ISBN 978-1-4822-4582-0
6. Розен, Майкл И. (1995), «Нильс Хендрик Абель и уравнения пятой степени», American Mathematical Monthly , 102 (6): 495–505, doi : 10.2307/2974763, JSTOR  2974763, MR  1336636, Zbl  0836.01015
7. Тиньоль, Жан-Пьер (2016), «Руффини и Абель об общих уравнениях», Теория алгебраических уравнений Галуа (2-е изд.), World Scientific , ISBN 978-981-4704-69-4, Збл  1333.12001
8. Пешич, Питер (2004), Доказательство Абеля: эссе об источниках и значении математической неразрешимости , Кембридж: MIT Press , ISBN 0-262-66182-9, Збл  1166.01010
9. Лагранж, Жозеф-Луи (1869) [1771], «Reflexions sur la resolution algébrique des équations», в Серре, Жозеф-Альфред (ред.), Œuvres de Lagrange , vol. III, Готье-Виллар, стр. 205–421.
10. Руффини, Паоло (1799), Teoria Generale delle Equazioni, in Cui Si Dimostra Impossibile La Soluzione Alphaica delle Equazioni Generali di Grado Superiore Al Quarto (на итальянском языке), Stamperia di S. Tommaso d'Aquino
11. Кирнан, Б. Мелвин (1971), «Развитие теории Галуа от Лагранжа до Артина», Архив истории точных наук , 8 (1/2): 40–154, doi : 10.1007/BF00327219, JSTOR  41133337, S2CID  121442989
12. Абель, Нильс Хенрик (1881) [1828], «Sur la Algébrique des équations» (PDF) , в Силове, Людвиг ; Lie, Sophus (ред.), Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (на французском языке), vol. II (2-е изд.), Grøndahl & Søn , стр. 217–243.
13. Стюарт, Ян (2015), «Идея теории Галуа», Теория Галуа (4-е изд.), CRC Press , ISBN 978-1-4822-4582-0
14. Тиньоль, Жан-Пьер (2016), «Галуа», Теория алгебраических уравнений Галуа (2-е изд.), World Scientific , ISBN 978-981-4704-69-4, Збл  1333.12001
15. Джейкобсон, Натан (2009), «Теория уравнений Галуа», Основная алгебра , том. 1 (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47189-1
16. Галуа, Эварист (1846), «Mémoire sur lesconditions de resolubilité des équations par radicaux» (PDF) , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (на французском языке), XI : 417–433
17. Ванцель, Пьер (1845), «Демонстрация невозможности решения toutes les équations algébriques avec des radicaux», Nouvelles Annales de Mathématiques (на французском языке), 4 : 57–65
18. Алексеев, В.Б. (2004), Теорема Абеля в задачах и решениях: на основе лекций профессора В.И. Арнольда , Kluwer Academic Publishers, ISBN 1-4020-2186-0, Збл  1065.12001
19. «Краткое доказательство теоремы Абеля о невозможности решения полиномиальных уравнений 5-й степени» на YouTube
20. Гольдмахер, Лео, Элементарное доказательство неразрешимости квинтики Арнольда (PDF)
21. Хованский, Аскольд (2014), Топологическая теория Галуа: разрешимость и неразрешимость уравнений в конечных терминах , Монографии Спрингера по математике, Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-38871-2, ISBN 978-3-642-38870-5