В математике биномиальные коэффициенты — это положительные целые числа , которые встречаются как коэффициенты в биномиальной теореме . Обычно биномиальный коэффициент индексируется парой целых чисел n ≥ k ≥ 0 и записывается. Это коэффициент члена x k в полиномиальном разложении биномиальной степени (1 + x ) n ; этот коэффициент можно вычислить по мультипликативной формуле
которое, используя обозначение факториала, можно компактно выразить как
Например, четвертая степень числа 1 + x равна
а биномиальный коэффициент представляет собой коэффициент при члене x 2 .
Биномиальные коэффициенты встречаются во многих областях математики, особенно в комбинаторике . Символ обычно читается как « n выбирает k », потому что существуют способы выбрать (неупорядоченное) подмножество из k элементов из фиксированного набора из n элементов. Например, есть способы выбрать 2 элемента из {1, 2, 3, 4} , а именно {1, 2} , {1, 3} , {1, 4} , {2, 3} , {2, 4. } и {3, 4} .
Биномиальные коэффициенты можно обобщить для любого комплексного числа z и целого числа k ≥ 0 , и многие из их свойств продолжают сохраняться в этой более общей форме.
Альтернативные обозначения включают C ( n , k ) , n Ck , n Ck , Cк н, [3] Сн ки C n , k , во всех из которых C обозначает комбинации или выборы . Многие калькуляторы используют варианты обозначения C , поскольку они могут представлять его на однострочном дисплее. В этой форме биномиальные коэффициенты легко сравниваются с k -перестановками n , записанными как P ( n , k ) и т. д.
Определение и интерпретации
Для натуральных чисел (включающих 0) n и k биномиальный коэффициент можно определить как коэффициент монома X k в разложении (1 + X ) n . Тот же коэффициент встречается (если k ≤ n ) в биномиальной формуле
(справедливо для любых элементов x , y коммутативного кольца ), что и объясняет название «биномиальный коэффициент».
Другое появление этого числа встречается в комбинаторике, где оно дает количество способов, независимо от порядка, которыми k объектов можно выбрать из n объектов; более формально, количество подмножеств k -элементов (или k - комбинаций ) набора из n -элементов. Это число можно рассматривать как равное числу из первого определения, независимо от какой-либо из приведенных ниже формул для его вычисления: если в каждом из n делителей степени (1 + X ) n временно пометить термин X с помощью индекс i (от 1 до n ), то каждое подмножество индексов k дает после расширения вклад X k , и коэффициент этого монома в результате будет числом таких подмножеств. Это показывает, в частности, что это натуральное число для любых натуральных чисел n и k . Существует много других комбинаторных интерпретаций биномиальных коэффициентов (задачи подсчета, для которых ответ дается выражением биномиального коэффициента), например, количество слов, состоящих из n битов (цифр 0 или 1), сумма которых равна k , определяется выражением , а количество способов записи , где каждое a i является неотрицательным целым числом, определяется выражением . Можно показать, что большинство этих интерпретаций эквивалентны подсчету k -комбинаций.
Вычисление значения биномиальных коэффициентов
Существует несколько методов вычисления значения без фактического разложения биномиальной степени или подсчета k -комбинаций.
Рекурсивная формула
Один метод использует рекурсивную , чисто аддитивную формулу для всех целых чисел с
граничными значениями
для всех целых чисел n ≥ 0 .
Формула следует из рассмотрения набора {1, 2, 3, ..., n } и отдельного подсчета (а) группировок k -элементов, которые включают конкретный элемент множества, скажем " i ", в каждой группе (поскольку " i " " уже выбран для заполнения одного места в каждой группе, нам нужно только выбрать k - 1 из оставшихся n - 1 ) и (b) все k -группы, которые не включают " i "; это перечисляет все возможные k -комбинации из n элементов. Это также следует из отслеживания вкладов в X k в (1 + X ) n −1 (1 + X ) . Поскольку в (1 + X ) n существует ноль X n +1 или X −1 , можно расширить определение за пределы вышеуказанных границ, включив в него случаи, когда либо k > n , либо k < 0 . Эта рекурсивная формула затем позволяет построить треугольник Паскаля , окруженный пробелами там, где должны быть нули или тривиальные коэффициенты.
Мультипликативная формула
Более эффективный метод вычисления отдельных биномиальных коэффициентов дается формулой,
в которой числитель первой дроби выражается как падающая степень факториала . Эту формулу легче всего понять для комбинаторной интерпретации биномиальных коэффициентов. В числителе указано количество способов выбрать последовательность из k различных объектов, сохраняя порядок выбора, из набора из n объектов. В знаменателе подсчитывается количество различных последовательностей, определяющих одну и ту же k -комбинацию, если порядок не учитывается.
Из-за симметрии биномиального коэффициента относительно k и n − k расчет можно оптимизировать, установив верхний предел вышеприведенного произведения равным меньшему из k и n − k .
Факториальная формула
Наконец, хотя и непригодна с вычислительной точки зрения, существует компактная форма, часто используемая в доказательствах и выводах, которая требует многократного использования знакомой функции факториала :
где n ! обозначает факториал числа n . Эта формула следует из мультипликативной формулы, приведенной выше, путем умножения числителя и знаменателя на ( n − k )! ; как следствие, он включает в себя множество факторов, общих для числителя и знаменателя. Это менее практично для явных вычислений (в случае, когда k мало, а n велико), если сначала не отменить общие факторы (в частности, поскольку значения факториалов растут очень быстро). Формула действительно демонстрирует симметрию, которая менее очевидна из мультипликативной формулы (хотя она и есть из определений).
Мультипликативная формула позволяет расширить определение биномиальных коэффициентов [4] за счет замены n произвольным числом α (отрицательным, действительным, комплексным) или даже элементом любого коммутативного кольца , в котором все положительные целые числа обратимы:
Благодаря этому определению получается обобщение биномиальной формулы (с одной из переменных, равной 1), что оправдывает дальнейшее использование биномиальных коэффициентов:
Эта формула справедлива для всех комплексных чисел α и X с | Х | < 1. Его также можно интерпретировать как тождество формального степенного ряда в X , где оно фактически может служить определением произвольных степеней степенного ряда с постоянным коэффициентом, равным 1; Дело в том, что с этим определением сохраняются все тождества, которые можно ожидать от возведения в степень , в частности
Если α — неотрицательное целое число n , то все члены с k > n равны нулю, [5] и бесконечный ряд становится конечной суммой, тем самым восстанавливая биномиальную формулу. Однако для других значений α , включая целые отрицательные и рациональные числа, ряд действительно бесконечен.
которое можно использовать для доказательства с помощью математической индукции , что это натуральное число для всех целых чисел n ≥ 0 и всех целых k , факт, который не сразу очевиден из формулы (1). Слева и справа от треугольника Паскаля все записи (показаны пробелами) равны нулю.
Строка номер n содержит числа для k = 0,…, n . Он создается путем размещения единиц на крайних позициях, а затем заполнения каждой внутренней позиции суммой двух чисел, расположенных непосредственно выше. Этот метод позволяет быстро рассчитать биномиальные коэффициенты без необходимости дробей или умножений. Например, посмотрев на строку номер 5 треугольника, можно быстро прочитать, что
Комбинаторика и статистика
Биномиальные коэффициенты имеют важное значение в комбинаторике , поскольку они предоставляют готовые формулы для некоторых частых задач счета:
Есть способы выбрать k элементов из набора из n элементов. См. Комбинация .
Существуют способы выбрать k элементов из набора из n элементов, если повторы разрешены. См. Мультисет .
Существуют строки , содержащие k единиц и n нулей.
Существуют строки, состоящие из k единиц и n нулей, такие, что никакие две единицы не являются соседними. [6]
Таким образом, его можно оценить по любому действительному или комплексному числу t, чтобы определить биномиальные коэффициенты с такими первыми аргументами. Эти «обобщенные биномиальные коэффициенты» появляются в обобщенной биномиальной теореме Ньютона .
Для каждого k полином можно охарактеризовать как уникальный полином p ( t ) степени k , удовлетворяющий p (0) = p (1) = ⋯ = p ( k - 1) = 0 и p ( k ) = 1 .
Это может вызвать проблемы при вычислении целых чисел от до , но, используя приведенные ниже тождества, мы можем вычислить производную как:
Биномиальные коэффициенты как основа пространства многочленов
Над любым полем характеристики (то есть любым полем, содержащим рациональные числа ), каждый многочлен p ( t ) степени не выше d однозначно выражается как линейная комбинация биномиальных коэффициентов. Коэффициент a k — это k -я разность последовательности p (0), p (1), ..., p ( k ). Явно, [7]
Целочисленные полиномы
Каждый полином является целочисленным : он имеет целочисленное значение на всех целочисленных входах . (Один из способов доказать это — провести индукцию по k с использованием тождества Паскаля .) Следовательно, любая целочисленная линейная комбинация полиномов с биномиальными коэффициентами также является целочисленной. И наоборот, ( 4 ) показывает, что любой целочисленный полином является целочисленной линейной комбинацией этих биномиальных полиномов с коэффициентами. В более общем смысле, для любого подкольца R поля характеристики 0 K многочлен из K [ t ] принимает значения в R во всех целых числах тогда и только тогда, когда он является R -линейной комбинацией биномиальных полиномов коэффициентов.
Пример
Целочисленный многочлен 3 t (3 t + 1)/2 можно переписать в виде
Тождества с биномиальными коэффициентами
Формула факториала облегчает связь близлежащих биномиальных коэффициентов. Например, если k — целое положительное число, а n — произвольное, то
и, еще немного поработав,
Мы также можем получить
Кроме того, могут оказаться полезными:
Для постоянного n мы имеем следующую повторяемость:
Подводя итог, мы имеем
Суммы биномиальных коэффициентов
Формула
говорит, что сумма элементов в n -й строке треугольника Паскаля всегда дает 2, возведенные в n -ю степень. Это получается из биномиальной теоремы ( ∗ ), если установить x = 1 и y = 1 . Формула также имеет естественную комбинаторную интерпретацию: левая часть суммирует количество подмножеств {1, ..., n } размеров k = 0, 1, ..., n , давая общее количество подмножеств. (То есть левая часть подсчитывает набор степеней {1, ..., n }.) Однако эти подмножества также могут быть сгенерированы путем последовательного выбора или исключения каждого элемента 1, ..., n ; n независимых двоичных вариантов выбора (битовых строк) допускают общее количество вариантов выбора. Левая и правая части — это два способа подсчета одной и той же коллекции подмножеств, поэтому они равны.
Формулы
и
следуют из биномиальной теоремы после дифференцирования по x (дважды для последнего) и последующей подстановки x = y = 1 .
Тождество Чу-Вандермонда , которое справедливо для любых комплексных значений m и n и любого неотрицательного целого числа k , равно
и может быть найден путем изучения коэффициента в разложении (1 + x ) m (1 + x ) n - m = (1 + x ) n с использованием уравнения ( 2 ). Когда m = 1 , уравнение ( 7 ) сводится к уравнению ( 3 ). В частном случае n = 2 m , k = m , используя ( 1 ), разложение ( 7 ) становится (как видно из треугольника Паскаля справа)
Треугольник Паскаля, строки с 0 по 7. Уравнение 8 для m = 3 показано в строках 3 и 6 как
Другая форма идентичности Чу-Вандермонда, которая применяется для любых целых чисел j , k и n, удовлетворяющих условиям 0 ≤ j ≤ k ≤ n , — это
Доказательство аналогично, но использует разложение в биномиальный ряд ( 2 ) с отрицательными целыми показателями. Когда j = k , уравнение ( 9 ) дает тождество хоккейной клюшки
биномиальных коэффициентов, [9] снова можно использовать ( 3 ) и индукцию, чтобы показать, что для k = 0, …, n − 1 ,
в особом случае [10]
для п > 0 . Этот последний результат также является частным случаем результата теории конечных разностей , согласно которому для любого многочлена P ( x ) степени меньше n , [11]
Дифференцирование ( 2 ) k раз и установка x = −1 дает это для , когда 0 ≤ k < n , и общий случай следует из принятия линейных комбинаций этих значений.
Когда P ( x ) имеет степень меньше или равна n ,
где – коэффициент степени n в P ( x ).
В более общем смысле для ( 10 )
где m и d — комплексные числа. Отсюда следует немедленное применение ( 10 ) к многочлену вместо и наблюдение, что по-прежнему имеет степень, меньшую или равную n , и что его коэффициент степени n равен d n a n .
Ряд сходится при k ≥ 2. Эта формула используется при анализе немецкой танковой задачи . Отсюда следует , что доказывается индукцией по M .
Тождества с комбинаторными доказательствами
Многие тождества, включающие биномиальные коэффициенты, можно доказать комбинаторными методами . Например, для неотрицательных целых чисел тождество
(которое сводится к ( 6 ), когда q = 1) может быть дано доказательство с двойным подсчетом следующим образом. В левой части подсчитывается количество способов выбора подмножества [ n ] = {1, 2, ..., n } по крайней мере с q элементами и маркировки q элементов среди выбранных. Правая часть учитывает то же самое, потому что есть способы выбрать набор из q элементов для маркировки и выбрать, какой из оставшихся элементов [ n ] также принадлежит подмножеству.
В личности Паскаля
обе стороны подсчитывают количество подмножеств k -элементов [ n ]: два термина в правой части группируют их на те, которые содержат элемент n , и те, которые его не содержат.
Тождество ( 8 ) также имеет комбинаторное доказательство. Идентичность гласит
Предположим, у вас есть пустые квадраты, расположенные в ряд, и вы хотите отметить (выбрать) n из них. Есть способы сделать это. С другой стороны, вы можете выбрать n квадратов, выбрав k квадратов из первых n и квадратов из оставшихся n квадратов; любой k от 0 до n подойдет. Это дает
Теперь примените ( 1 ), чтобы получить результат.
Если обозначить через F ( i ) последовательность чисел Фибоначчи , пронумерованную так, что F (0) = F (1) = 1 , то тождество
имеет следующее комбинаторное доказательство. [12] С помощью индукции можно показать , что F ( n ) подсчитывает количество способов, которыми полоса квадратов n × 1 может быть покрыта плитками 2 × 1 и 1 × 1 . С другой стороны, если такая мозаика использует ровно k плиток 2 × 1 , то она использует n - 2 k плиток 1 × 1 , и, таким образом, всего используется n - k плиток. Есть способы упорядочить эти плитки, поэтому суммирование этого коэффициента по всем возможным значениям k дает идентичность.
Сумма коэффициентов ряда
Число k - комбинаций для всех k , , представляет собой сумму n- й строки (считая от 0) биномиальных коэффициентов. Эти комбинации нумеруются 1 цифрами набора чисел с основанием 2 , считая от 0 до , где каждая позиция цифры является элементом из набора n .
Некоторые тригонометрические интегралы имеют значения, выражаемые через биномиальные коэффициенты: для любого
Это можно доказать, используя формулу Эйлера для преобразования тригонометрических функций в комплексные экспоненты, разлагая их с помощью биномиальной теоремы и интегрируя почленно.
Сравнения
Если n простое, то для любого k с
В более общем смысле это остается верным, если n — любое число и k таково, что все числа между 1 и k взаимно просты с n .
В 1852 году Куммер доказал , что если m и n — неотрицательные целые числа, а p — простое число, то наибольшая степень деления p равна pc , где c — количество переносов, когда m и n складываются по основанию p . Эквивалентно, показатель степени простого числа p in
равен количеству неотрицательных целых чисел j таких, что дробная часть k / p j больше дробной части n / p j . Отсюда можно вывести, что делится на n / gcd ( n , k ). В частности, отсюда следует, что p делит все положительные целые числа r и s такие, что s < p r . Однако это не относится к высшим степеням p : например, 9 не делится .
Несколько неожиданный результат Дэвида Сингмастера (1974) заключается в том, что любое целое число делит почти все биномиальные коэффициенты. Точнее, зафиксируйте целое число d и пусть f ( N ) обозначает количество биномиальных коэффициентов с n < N таких, что d делит . Затем
Поскольку количество биномиальных коэффициентов при n < N равно N ( N + 1)/2, это означает, что плотность биномиальных коэффициентов, делящихся на d, стремится к 1.
Биномиальные коэффициенты обладают свойствами делимости, связанными с наименьшими общими кратными последовательных целых чисел. Например: [13]
делит .
кратно .
Еще один факт: целое число n ≥ 2 является простым тогда и только тогда, когда все промежуточные биномиальные коэффициенты
делятся на n .
Доказательство: когда p простое, p делит
для всех 0 < k < p
потому что это натуральное число и p делит числитель, но не знаменатель. Если n составное, пусть p будет наименьшим простым делителем числа n и пусть k = n / p . Тогда 0 < p < n и
в противном случае числитель k ( n - 1)( n - 2)⋯( n - p + 1) должен делиться на n = k × p , это может быть только в том случае, если ( n - 1)( n - 2) ⋯( n − p + 1) делится на p . Но n делится на p , поэтому p не делит n − 1, n − 2, …, n − p + 1 , а поскольку p простое число, мы знаем, что p не делит ( n − 1)( n − 2) ⋯( n − p + 1) , поэтому числитель не может делиться на n .
Границы и асимптотические формулы
Следующие оценки справедливы для всех значений n и k таких, что 1 ⩽ k ⩽ n :
Первое неравенство следует из того факта, что
и каждый из этих членов в этом произведении равен . Аналогичный аргумент можно привести и для доказательства второго неравенства. Окончательное строгое неравенство эквивалентно , что ясно, поскольку правая часть является членом экспоненциального ряда .
Из свойств делимости мы можем сделать вывод, что
оба равенства могут быть достигнуты. [13]
Следующие границы полезны в теории информации: [14] : 353
где – бинарная функция энтропии . Его можно ужесточить для
всех . [15] : 309
Обаникбольшой
Приближение Стирлинга дает следующее приближение, действительное, когда оба стремятся к бесконечности:
поскольку формы неравенства формулы Стирлинга также ограничивают факториалы, небольшие варианты вышеуказанного асимптотического приближения дают точные границы. В частности, когда достаточно велико, имеется и . В более общем смысле, для m ≥ 2 и n ≥ 1 (опять же, применяя формулу Стирлинга к факториалам биномиального коэффициента),
Если n велико и k линейно по n , существуют различные точные асимптотические оценки биномиального коэффициента . Например, если тогда
где d = n − 2 k . [16]
ннамного больше, чемк
Если n велико и k равно o ( n ) (то есть, если k / n → 0 ), то
где снова o — это маленькое обозначение o . [17]
Суммы биномиальных коэффициентов
Простую и грубую верхнюю оценку суммы биномиальных коэффициентов можно получить с помощью биномиальной теоремы :
Более точные оценки даются
действительными для всех целых чисел с . [18]
Далее, асимптотическая формула
справедлива всегда и для некоторого комплексного числа .
Обобщения
Обобщение на многочлены
Биномиальные коэффициенты можно обобщить до полиномиальных коэффициентов, определяемых как число:
где
В то время как биномиальные коэффициенты представляют собой коэффициенты ( x + y ) n , полиномиальные коэффициенты представляют собой коэффициенты многочлена
Случай r = 2 дает биномиальные коэффициенты:
Комбинаторная интерпретация полиномиальных коэффициентов представляет собой распределение n различимых элементов по r (различимым) контейнерам, каждый из которых содержит ровно k i элементов, где i — номер контейнера.
Полиномиальные коэффициенты обладают многими свойствами, аналогичными свойствам биномиальных коэффициентов, например, рекуррентным соотношением:
Определение биномиальных коэффициентов можно распространить на случай, когда вещественное и целое число.
В частности, для любого неотрицательного целого числа справедливо следующее тождество :
Это проявляется при разложении в степенной ряд с использованием биномиального ряда Ньютона:
Произведения биномиальных коэффициентов
Произведение двух биномиальных коэффициентов можно выразить как линейную комбинацию биномиальных коэффициентов:
где коэффициенты связи являются полиномиальными коэффициентами . Что касается помеченных комбинаторных объектов, коэффициенты связи представляют собой количество способов назначить m + n - k меток паре помеченных комбинаторных объектов - веса m и n соответственно - у которых первые k меток были идентифицированы или склеены вместе. чтобы получить новый помеченный комбинаторный объект веса m + n − k . (То есть разделить метки на три части и применить к склеенной части, отклеенной части первого объекта и отклеенной части второго объекта.) В этом отношении биномиальные коэффициенты являются для экспоненциального порождающего ряда тем же, чем падающие факториалы. относятся к обычным порождающим рядам.
Произведение всех биномиальных коэффициентов в n -й строке треугольника Паскаля определяется формулой:
Биномиальные коэффициенты подсчитывают подмножества заданного размера из заданного набора. Связанная с этим комбинаторная задача состоит в подсчете мультимножеств заданного размера с элементами, взятыми из заданного набора, то есть подсчете количества способов выбора определенного количества элементов из заданного набора с возможностью многократного выбора одного и того же элемента. Полученные числа называются коэффициентами мультимножества ; В [19] обозначается количество способов «множественного выбора» (т.е. выбора с заменой) k элементов из n набора элементов .
Чтобы избежать двусмысленности и путаницы с основным обозначением n в этой статье, пусть f = n = r + ( k − 1) и r = f − ( k − 1) .
Коэффициенты мультимножества могут быть выражены через биномиальные коэффициенты по правилу.
Одна из возможных альтернативных характеристик этого тождества состоит в следующем: мы можем определить падающий факториал как
и соответствующий возрастающий факториал как
, например,
тогда биномиальные коэффициенты можно записать как
а соответствующий коэффициент мультимножества определяется путем замены падающего факториала на возрастающий:
Обобщение на отрицательные целые числан
Для любого n
В частности, биномиальные коэффициенты, оцениваемые как отрицательные целые числа n , задаются знаковыми коэффициентами мультимножества. В частном случае это сводится к
Например, если n = −4 и k = 7, то r = 4 и f = 10:
Два вещественных или комплексных аргумента
Биномиальный коэффициент обобщается на два действительных или комплексных аргумента с использованием гамма-функции или бета-функции через
Это определение наследует следующие дополнительные свойства от :
более того,
Результирующая функция мало изучена и, по-видимому, впервые была изображена в виде графика (Fowler 1996). Примечательно, что многие биномиальные тождества терпят неудачу: за исключением n положительного (настолько отрицательного). Поведение довольно сложное и заметно различается в разных октантах (то есть относительно осей x и y и линии ), при этом поведение для отрицательного x имеет особенности при отрицательных целочисленных значениях и шахматную доску положительных и отрицательных областей:
в октанте это плавно интерполированная форма обычного бинома с гребнем («гребень Паскаля»).
в октанте и в квадранте функция близка к нулю.
в квадранте функция попеременно очень большая положительная и отрицательная на параллелограммах с вершинами
в октанте поведение снова поочередно очень большое, положительное и отрицательное, но на квадратной сетке.
в октанте оно близко к нулю, за исключением вблизи особенностей.
Определение биномиального коэффициента можно обобщить на бесконечные кардиналы, определив:
где A — некоторое множество мощности . Можно показать, что обобщенный биномиальный коэффициент четко определен в том смысле, что независимо от того, какой набор мы выберем для представления кардинального числа , он останется неизменным. Для конечных кардиналов это определение совпадает со стандартным определением биномиального коэффициента.
Приняв аксиому выбора , можно показать это для любого бесконечного кардинала .
^ См. (Graham, Knuth & Patashnik 1994), где также определяется . Альтернативные обобщения, такие как два вещественных или комплексных аргумента с использованием функции Гамма, присваивают ненулевые значения for , но это приводит к сбою большинства тождеств биномиальных коэффициентов и, следовательно, не широко используется в большинстве определений. Один из таких вариантов ненулевых значений приводит к эстетически приятной «ветряной мельнице Паскаля» в Хилтоне, Холтоне и Педерсене, Математические размышления: в комнате с множеством зеркал , Спрингер, 1997, но приводит к тому, что даже личность Паскаля терпит неудачу (в начале).
^ When — неотрицательное целое число, потому что -й делитель числителя равен . Таким образом, -й член является нулевым произведением для всех .
^ Мьюир, Томас (1902). «Примечание к избранным сочетаниям». Труды Королевского общества Эдинбурга .
^ Бордман, Майкл (2004), «Числа падения яиц», Журнал Mathematics Magazine , 77 (5): 368–372, doi : 10.2307/3219201, JSTOR 3219201, MR 1573776, хорошо известно, что закрытой формы не существует. (т.е. прямая формула) для частичной суммы биномиальных коэффициентов.
^ см. индукцию, развитую в уравнении (7) с. 1389 в Аупетите, Майкл (2009), «Почти однородное многоразделение с детерминированным генератором», Neurocomputing , 72 (7–9): 1379–1389, doi : 10.1016/j.neucom.2008.12.024, ISSN 0925-2312.
Брайант, Виктор (1993). Аспекты комбинаторики . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-41974-3.
Флум, Йорг; Гроэ, Мартин (2006). Параметризованная теория сложности. Спрингер. ISBN 978-3-540-29952-3. Архивировано из оригинала 18 ноября 2007 г. Проверено 28 августа 2017 г.
Кнут, Дональд Э. (1997). Искусство компьютерного программирования, Том 1: Фундаментальные алгоритмы(Третье изд.). Аддисон-Уэсли. стр. 52–74. ISBN 0-201-89683-4.
Сингмастер, Дэвид (1974). «Заметки о биномиальных коэффициентах. III. Любое целое число делит почти все биномиальные коэффициенты». Журнал Лондонского математического общества . 8 (3): 555–560. дои : 10.1112/jlms/s2-8.3.555.
Шилов, Г.Э. (1977). Линейная алгебра . Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-63518-7.
Успенский, Джеймс (1937), Введение в математическую вероятность, McGraw-Hill
Эндрю Грэнвилл (1997). «Арифметические свойства биномиальных коэффициентов I. Биномиальные коэффициенты по модулю простых степеней». Конференция CMS. Проц . 20 : 151–162. Архивировано из оригинала 23 сентября 2015 г. Проверено 3 сентября 2013 г.
В эту статью включены материалы из следующих статей PlanetMath , которые доступны по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike : Биномиальный коэффициент, Верхняя и нижняя границы биномиального коэффициента, Биномиальный коэффициент — целое число, Обобщенные биномиальные коэффициенты.