stringtranslate.com

Константин Каратеодори

Константин Каратеодори ( греческий : Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή , латинизированный :  Константинос Каратеодори ; 13 сентября 1873 — 2 февраля 1950) был греческим математиком , который провел большую часть своей профессиональной карьеры в Германии. Он внес значительный вклад в реальный и комплексный анализ, вариационное исчисление и теорию меры. Он также создал аксиоматическую формулировку термодинамики. Каратеодори считается одним из величайших математиков своей эпохи [3] и самым известным греческим математиком со времен античности . [4]

Происхождение

Константин Каратеодори родился в 1873 году в Берлине в семье греков и вырос в Брюсселе . Его отец Стефанос  [тр] , юрист, служил послом Османской империи в Бельгии , Санкт-Петербурге и Берлине. Его мать, Деспина, урожденная Петрококкинос, была с острова Хиос . Семья Каратеодори, родом из Боснохори или Выссы , имела прочное положение и уважение в Константинополе , а ее члены занимали многие важные государственные должности.

Семья Каратеодори провела 1874–1875 годы в Константинополе, где жил дед Константина по отцовской линии, пока его отец Стефанос находился в отпуске. Затем в 1875 году они отправились в Брюссель, где Стефанос был назначен послом Османской империи. В Брюсселе родилась младшая сестра Константина Юлия. 1879 год был трагическим для семьи, поскольку в этом году умер дедушка Константина по отцовской линии, но гораздо более трагично то, что мать Константина Деспина умерла от пневмонии в Каннах . Бабушка Константина по материнской линии взяла на себя воспитание Константина и Юлии в доме его отца в Бельгии. Они наняли горничную-немку, которая научила детей говорить по-немецки. К этому времени Константин уже говорил на французском и греческом языках.

Константин начал свое формальное обучение в частной школе в Вандерстоке в 1881 году. Он ушел через два года, а затем провел время со своим отцом во время визита в Берлин, а также провел зимы 1883–84 и 1884–85 годов на Итальянской Ривьере . Вернувшись в Брюссель в 1885 году, он в течение года посещал гимназию, где впервые начал интересоваться математикой. В 1886 году он поступил в среднюю школу Athénée Royal d'Ixelles и проучился там до окончания учебы в 1891 году. Дважды за время обучения в этой школе Константин выигрывал приз как лучший ученик-математик в Бельгии.

На этом этапе Каратеодори начал обучение на военного инженера. Он посещал Бельгийскую военную школу с октября 1891 по май 1895 года, а также учился в Прикладной школе с 1893 по 1896 год. В 1897 году разразилась война между Османской империей и Грецией. Это поставило Каратеодори в затруднительное положение, поскольку он встал на сторону греков, однако его отец служил правительству Османской империи. Поскольку он был инженером по образованию, ему предложили работу в британской колониальной службе. Эта работа привела его в Египет, где он работал на строительстве плотины Асьют до апреля 1900 года. В периоды, когда строительные работы приходилось останавливать из-за наводнений, он изучал математику по некоторым учебникам, которые были у него с собой, например, иорданскому Cours d'Analyse. и текст Сэлмона по аналитической геометрии конических сечений . Он также посетил пирамиду Хеопса и провел измерения, которые записал и опубликовал в 1901 году. [5] В том же году он опубликовал книгу о Египте, которая содержала богатую информацию по истории и географии страны. [6]

Учеба и университетская карьера

Молодой Каратеодори

Каратеодори изучал инженерное дело в Бельгии в Королевской военной академии , где его считали харизматичным и блестящим студентом.

Университетская карьера

Докторанты

У Каратеодори было около 20 докторантов, среди них были Ганс Радемахер , известный своими работами по анализу и теории чисел, и Пол Финслер , известный своим созданием финслерового пространства .

Академические контакты в Германии

Каратеодори (слева) с венгерским математиком Липотом Фейером (1880–1959) (стоит справа).

Контакты Каратеодори в Германии были многочисленными и включали такие известные имена, как: Герман Минковский , Давид Гильберт , Феликс Кляйн , Альберт Эйнштейн , Эдмунд Ландау , Герман Амандус Шварц , Липот Фейер . В трудный период Второй мировой войны его близкими соратниками в Баварской академии наук были Перрон и Титце.

Эйнштейн, тогдашний член Прусской академии наук в Берлине, работал над своей общей теорией относительности, когда связался с Каратеодори и попросил разъяснений по уравнению Гамильтона-Якоби и каноническим преобразованиям . Он хотел увидеть удовлетворительное происхождение первого и истоки второго. Эйнштейн сказал Каратеодори, что его вывод «прекрасен», и рекомендовал его опубликовать в Annalen der Physik. Эйнштейн использовал первое в статье 1917 года под названием Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein («О квантовой теореме Зоммерфельда и Эпштейна»). Каратеодори объяснил некоторые фундаментальные детали канонических преобразований и отослал Эйнштейна к « Аналитической динамике» Э. Т. Уиттекера . Эйнштейн пытался решить проблему «замкнутых временных линий» или геодезических, соответствующих замкнутой траектории света и свободных частиц в статической Вселенной, которую он представил в 1917 году. [7]

Ландау и Шварц стимулировали его интерес к изучению комплексного анализа. [8]

Академические контакты в Греции

Находясь в Германии, Каратеодори сохранил многочисленные связи с греческим академическим миром, подробную информацию о которых можно найти в книге Георгиаду. Он принимал непосредственное участие в реорганизации греческих университетов. Особенно близким другом и коллегой в Афинах был Николаос Критикос, который посещал его лекции в Геттингене, позже поехал с ним в Смирну, а затем стал профессором Афинского политехнического института. Критикос и Каратеодори помогли греческому топологу Христосу Папакириакопулосу получить докторскую степень по топологии в Афинском университете в 1943 году при очень трудных обстоятельствах. Во время преподавания в Афинском университете у Каратеодори был студент Евангелос Стаматис, который впоследствии добился значительных успехов как знаток древнегреческой математической классики. [9]

Работает

Вариационное исчисление

В своей докторской диссертации Каратеодори показал, как расширять решения разрывных случаев, и изучил изопериметрические задачи. [8]

Ранее, между серединой 1700-х и серединой 1800-х годов, Леонард Эйлер , Адриен-Мари Лежандр и Карл Густав Якоб Якоби смогли установить необходимые, но недостаточные условия для существования сильного относительного минимума. В 1879 году Карл Вейерштрасс добавил четвертый, который действительно гарантирует существование такого количества. [10] Каратеодори построил свой метод вывода достаточных условий, основанный на использовании уравнения Гамильтона–Якоби для построения поля экстремалей. Эти идеи тесно связаны с распространением света в оптике. Этот метод стал известен как метод эквивалентных вариационных задач Каратеодори или королевский путь к вариационному исчислению . [10] [11] Ключевым преимуществом работы Каратеодори по этой теме является то, что она освещает связь между вариационным исчислением и уравнениями в частных производных. [8] Он позволяет быстро и элегантно вывести условия достаточности в вариационном исчислении и ведет непосредственно к уравнению Эйлера-Лагранжа и условию Вейерштрасса. В 1935 году он опубликовал свою работу «Variationsrechnung und Partielle Differentialgleichungen Erster Ordnung » («Вариационное исчисление и уравнения с частными производными первого порядка»).

Совсем недавно работа Каратеодори по вариационному исчислению и уравнению Гамильтона-Якоби была использована в теории оптимального управления и динамического программирования. [10] [12] Этот метод также можно распространить на кратные интегралы. [ нужна цитата ]

Выпуклая геометрия

Иллюстрация теоремы Каратеодори (выпуклая оболочка) для квадрата в R 2 .

Теорема Каратеодори в выпуклой геометрии утверждает, что если точка лежит в выпуклой оболочке множества , то ее можно записать как выпуклую комбинацию большинства точек из . А именно, существует подмножество , состоящее из или меньшего числа точек, такое, что лежит в выпуклой оболочке . Эквивалентно, лежит в - симплексе с вершинами в , где . Наименьшее значение , которое делает последнее утверждение действительным для каждого в выпуклой оболочке P , определяется как число Каратеодори . В зависимости от свойств можно получить верхние оценки ниже, чем те, которые дает теорема Каратеодори. [13]

Ему приписывают авторство гипотезы Каратеодори, утверждающей, что замкнутая выпуклая поверхность допускает по крайней мере две омбилические точки . По состоянию на 2021 год эта гипотеза оставалась недоказанной, несмотря на большое количество исследований.

Реальный анализ

Он доказал теорему существования решения обыкновенных дифференциальных уравнений в условиях мягкой регулярности.

Другая его теорема о производной функции в точке может быть использована для доказательства Цепного правила и формулы для производной обратной функции . [14]

Комплексный анализ

Он значительно расширил теорию конформных преобразований [15] , доказав свою теорему о распространении конформных отображений на границу жордановых областей. Изучая соответствие границ, он создал теорию простых концов . [8] Он представил элементарное доказательство леммы Шварца . [8]

Каратеодори также интересовался теорией функций многих комплексных переменных. В своих исследованиях по этому вопросу он искал аналоги классических результатов из случая одной переменной. Он доказал, что шар в не голоморфно эквивалентен бидиску. [8]

Теория меры

Ему приписывают теорему о продолжении Каратеодори , которая является фундаментальной для современной теории меры. Позже Каратеодори распространил теорию множеств на булевы алгебры .

Термодинамика

Термодинамика была предметом, дорогим Каратеодори еще со времен его пребывания в Бельгии. [16] В 1909 году он опубликовал новаторскую работу «Исследования по основам термодинамики» [17] , в которой сформулировал второй закон термодинамики аксиоматически, то есть без использования двигателей Карно и холодильников и только путем математических рассуждений. Это еще одна версия второго закона, наряду с утверждениями Клаузиуса , Кельвина и Планка . [18] Версия Каратеодори привлекла внимание некоторых ведущих физиков того времени, в том числе Макса Планка, Макса Борна и Арнольда Зоммерфельда. [8] Согласно обзору термодинамики Бейлина, подход Каратеодори называется «механическим», а не «термодинамическим». [19] Макс Борн приветствовал это «первое аксиоматически жесткое основание термодинамики» и выразил свой энтузиазм в своих письмах Эйнштейну. [20] [16] Однако у Макса Планка были некоторые опасения [21]: хотя он и был впечатлен математическим мастерством Каратеодори, он не признавал, что это фундаментальная формулировка, учитывая статистическую природу второго закона. [16]

В своей теории он упростил основные понятия, например, теплота — не существенное понятие, а производное. [22] Он сформулировал аксиоматический принцип необратимости в термодинамике, утверждая, что недоступность состояний связана с существованием энтропии, где температура является функцией интегрирования. Второй закон термодинамики был выражен через следующую аксиому: «Вблизи любого начального состояния существуют состояния, к которым нельзя приблизиться сколь угодно близко посредством адиабатических изменений состояния». В связи с этим он ввёл термин адиабатическая доступность . [23]

Оптика

Работы Каратеодори в области оптики тесно связаны с его методом вариационного исчисления. В 1926 году он дал строгое и общее доказательство того, что ни одна система линз и зеркал не может избежать аберрации , за исключением тривиального случая плоских зеркал. В своих более поздних работах он дал теорию телескопа Шмидта . [24] В своей «Геометрической оптике» (1937) Каратеодори продемонстрировал эквивалентность принципа Гюйгенса и принципа Ферма, начиная с первого, используя теорию характеристик Коши. Он утверждал, что важным преимуществом его подхода является то, что он охватывает интегральные инварианты Анри Пуанкаре и Эли Картана и дополняет закон Малюса . Он объяснил, что в своих исследованиях в области оптики Пьер де Ферма сформулировал принцип минимума, аналогичный тому, который провозгласил Герой Александрийский для изучения отражения. [25]

Исторический

Во время Второй мировой войны Каратеодори отредактировал два тома Полного собрания сочинений Эйлера , посвященных вариационному исчислению, которые были представлены для публикации в 1946 году. [26]

Университет Смирны

Фотография Ионического университета Смирны .

В то время Афины были единственным крупным образовательным центром на обширной территории и имели ограниченные возможности для достаточного удовлетворения растущих образовательных потребностей восточной части Эгейского моря и Балкан . Константин Каратеодори, который в то время был профессором Берлинского университета , предложил создать новый университет [27] — трудности, связанные с созданием греческого университета в Константинополе , заставили его рассмотреть три других города: Салоники , Хиос и Смирна . [28]

По приглашению премьер-министра Греции Элефтериоса Венизелоса 20 октября 1919 года он представил план создания нового университета в Смирне в Малой Азии, который будет называться Ионическим университетом Смирны . В 1920 году Каратеодори был назначен деканом университета и принял активное участие в его создании, совершая поездку по Европе с целью приобретения книг и оборудования. Однако университет так и не принял студентов из-за войны в Малой Азии , которая закончилась Великим пожаром Смирны . Каратеодори сумел спасти книги из библиотеки, и только в последний момент его спас журналист, который отвез его на весельной лодке к стоявшему рядом линкору «Наксос». [29] Каратеодори привез в Афины часть университетской библиотеки и остался в Афинах, преподавая в университете и технической школе до 1924 года.

В 1924 году Каратеодори был назначен профессором математики Мюнхенского университета и занимал эту должность до выхода на пенсию в 1938 году. Позже он работал в Баварской академии наук до своей смерти в 1950 году.

Новый греческий университет на обширной территории Юго-Восточного Средиземноморья, как первоначально предполагалось Каратеодори, наконец материализовался с основанием Университета Аристотеля в Салониках в 1925 году. [30]

Лингвистические и ораторские таланты

Каратеодори в зрелом возрасте.

Каратеодори преуспел в языках, как и многие члены его семьи. Греческий и французский были его первыми языками, и немецкий он освоил с таким совершенством, что его сочинения, написанные на немецком языке, представляют собой стилистические шедевры. [31] Каратеодори также без каких-либо усилий говорил и писал на английском , итальянском , турецком и древних языках . Столь впечатляющий лингвистический арсенал позволил ему напрямую общаться и обмениваться идеями с другими математиками во время его многочисленных путешествий и значительно расширил области его знаний.

Более того, Каратеодори был ценным собеседником для своих коллег-профессоров на философском факультете Мюнхена. Уважаемый немецкий филолог и профессор древних языков Курт фон Фриц хвалил Каратеодори на том основании, что от него можно было узнать бесконечно много о старой и новой Греции, древнегреческом языке и эллинской математике. Фон Фриц провел многочисленные философские дискуссии с Каратеодори.

Математик отправил своего сына Стефаноса и дочь Деспину в немецкую среднюю школу, но они также ежедневно получали дополнительные инструкции по греческому языку и культуре от греческого священника, а дома он разрешал им говорить только по-гречески.

Каратеодори был талантливым оратором, и его часто приглашали произносить речи. В 1936 году именно он вручил первую в истории медаль Филдса на заседании Международного конгресса математиков в Осло, Норвегия. [8]

Наследие

Могила Каратеодори в Мюнхене.

В 2002 году в знак признания его достижений Мюнхенский университет назвал одну из крупнейших лекционных аудиторий математического института Лекционным залом Константина-Каратеодори. [32]

В городе Неа Висса, родовом доме Каратеодори, находится уникальный семейный музей. Музей расположен на центральной площади города рядом с церковью и включает в себя ряд личных вещей Каратеодори, а также письма, которыми он обменивался с Альбертом Эйнштейном. Более подробную информацию можно найти на оригинальном сайте клуба http://www.s-karatheodoris.gr.

В то же время греческие власти уже давно намеревались создать музей в честь Каратеодориса в Комотини , крупном городе северо-восточного греческого региона, более чем в 200 км от его родного города. 21 марта 2009 года музей «Каратеодорис» (Καραθεοδωρής) открыл свои двери для публики в Комотини. [33] [34] [35]

Координатор музея Афанасиос Липордезис (Αθανάσιος Λιπορδέζης) отметил, что в музее хранятся оригинальные рукописи математика объемом около 10 000 страниц, включая переписку с немецким математиком Артуром Розенталем по алгебраизации меры. На витрине посетители также смогут просмотреть книги «Gesammelte mathematische Schriften Band 1,2,3,4», «Mass und ihre Algebraiserung», «Reelle Functionen Band 1», «Zahlen/Punktionen Funktionen» и ряд других книг. других. На выставке представлены рукописные письма Каратеодори Альберту Эйнштейну и Хельмуту Кнезеру , а также фотографии семьи Каратеодори.

Продолжаются усилия по оснащению музея дополнительными экспонатами. [36] [37] [38]

Публикации

Журнальная статья

Полный список публикаций журнальных статей Каратеодори можно найти в его Собрании сочинений ( Ges. Math. Schr. ). Известные публикации:

Книги

Смотрите также

Примечания

  1. ^ "Проект математической генеалогии - Константин Каратеодори" . Проект математической генеалогии . Математический факультет Университета штата Северная Дакота. Архивировано из оригинала 13 июля 2018 года . Проверено 27 августа 2017 г.
  2. ^ "Проект математической генеалогии - Назым Терзиоглу" . Проект математической генеалогии . Математический факультет Университета штата Северная Дакота . Проверено 27 августа 2017 г.
  3. ^ Халлетт, Майкл; Майер, Ульрих (2004). Лекции Дэвида Гильберта по основам геометрии 1891–1902 гг. Springer Science & Business Media. п. 11. ISBN 978-3-540-64373-9.
  4. ^ Шпиро, Джордж Г. (2008). Премия Пуанкаре: столетний поиск решения одной из величайших математических головоломок. Пингвин. п. 104. ИСБН 978-1-4406-3428-4.
  5. ^ Брюссель 1901 (Хайез); Ges. математика. Шр. В. 273-281
  6. ^ H Aigyptos, Syllogos Ophelimon Biblion, № 14, 118 стр. Афины 1901, 1928, Нью-Йорк 1920
  7. ^ Джорджиаду, Мария (2004). «2.15: Эйнштейн связывается с Каратеодори». Константин Каратеодори: Математика и политика в неспокойные времена . Германия: Шпрингер. ISBN 3-540-20352-4.
  8. ^ abcdefgh Бегер, HGW (1998). «Константин Каратеодори (1873-1950)». В Бегере, HGW; Кох, Х; Краммер, Дж; Шаппахер, Н; Тиле, Э.-Дж. (ред.). Математика в Берлине . Германия: Биркхойзер Верлаг. ISBN 3-7643-5943-9.
  9. ^ Дж. П. Кристианидис и Н. Кастанис: В память Евангелоса С. Стаматиса (1898–1990) Historia Mathematica 19 (1992) 99-105
  10. ^ abcd Кот, Марк (2014). «Глава 12: Достаточные условия». Первый курс вариационного исчисления . Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-1495-5.
  11. ^ Х. Бёрнер, Carathéodory und die Variationsrechnung , в A Panayotopolos (ред.), Труды Международного симпозиума К. Каратеодори, сентябрь 1973 г., Афины (Афины, 1974), 80–90.
  12. ^ Беллман для своего динамического программирования в форме непрерывного времени использовал работу Каратеодори в форме уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана . Кальман также явно использовал формулировку Каратеодори в своих первоначальных статьях по оптимальному управлению. См., например, Р.Э. Калман: Вклад в теорию оптимального управления . Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana, 1960 г.
  13. ^ Барань, Имре; Карасев, Роман (20 июля 2012 г.). «Заметки о числе Каратеодори». Дискретная и вычислительная геометрия . 48 (3): 783–792. arXiv : 1112.5942 . doi : 10.1007/s00454-012-9439-z. ISSN  0179-5376. S2CID  9090617.
  14. ^ Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (2011). «6.1: Производная». Введение в реальный анализ . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-43331-6.
  15. ^ А. Шилдс: Каратеодори и математика конформных карт. Разведчик, том 10 (1), 1988 г.
  16. ^ abc Георгиаду, Мария (2004). «2.2 Аксиоматические основы термодинамики». Константин Каратеодори: Математика и политика в неспокойные времена . Германия: Шпрингер. ISBN 3-540-20352-4.
  17. ^ Каратеодори, Константин (1909). Перевод Дельфиниха, Д.Х. «Untersuchungen ueber die Grundlagen der Thermodynamik» [Исследование основ термодинамики] (PDF) . Математические Аннален . 67 (3): 355–386. дои : 10.1007/bf01450409. S2CID  118230148. Архивировано из оригинала (PDF) 12 октября 2019 г. Проверено 9 июля 2016 г.
  18. ^ Льюис, Кристофер Дж.Т. (2007). «Глава 5. Энергия и энтропия: рождение термодинамики». Тепло и термодинамика: историческая перспектива . Вестпорт, Коннектикут: Greenwood Press. п. 110. ИСБН 978-0-313-33332-3.
  19. ^ Бейлин, М. (1994). Обзор термодинамики , Американский институт физики, Вудбери, штат Нью-Йорк, ISBN 0-88318-797-3 . 
  20. ^ Макс Борн: Письма Борна-Эйнштейна , Макмиллан, 1971 г.
  21. ^ Константин Каратеодори и аксиоматическая термодинамика Лионелло Польяни и Марио Н. Берберан-Сантос
  22. ^ Полиани, Лионелло; Берберан-Сантос, Марио Н. (2000). «Константин Каратеодори и аксиоматическая термодинамика». Журнал математической химии . 28 (1/3): 313–324. дои : 10.1023/А: 1018834326958. S2CID  17244147.
  23. ^ адиабатическая доступность = адиабатическая Erreichbarkeit; см. также Эллиот Х. Либ, Якоб Ингвасон: Физика и математика второго закона термодинамики, Phys. Rep. 310, 1–96 (1999) и Эллиот Х. Либ (редакторы: Б. Нахтергаэле, Дж. П. Соловей, Дж. Ингвасон): Статистическая механика: Selecta Эллиота Х. Либа , 2005, ISBN 978-3-540- 22297-2 
  24. ^ Über den Zusammenhang der Theorie der Absoluten Optischen Instrumente mit einem Satz der Variationsrechnung , Münchener Sitzb. Математика. -naturw Abteilung 1926 1–18; Гес. Математика. Шр. II 181–197.
  25. ^ Джорджиаду, Мария (2004). «5.29: Геометрическая оптика». Константин Каратеодори: Математика и политика в неспокойные времена . Германия: Шпрингер. ISBN 3-540-20352-4.
  26. ^ Euler Opera Omnia, Series 1 (a) vol.24: Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive gaudentes sive solutioprobleatis isoperimetrici latissimo sensu Accepti . Лозанна и Женева 1744 г. (М. Буске) изд. К. Каратеодори Цюрих 1952 (Фюсли). (b) том 25 Commentationes Analyticale Ad Calculum Variationum Pertinentes . изд. К. Каратеодори, Цюрих, 1952 (Фюсли).
  27. ^ Константин Каратеодори: Биография, газетная статья, 2000 "(...) Είχε γνωρίσει τον Ελευθέριο Βενιζέλο από το 1895, στην Κρήτη, και από το 1913 είχε προτείνει τη δημιουργία δεύτερου ελληνικού πανεπιστημίου στη Θεσσαλονίκη. πάει μεταθέτει τις αποφάσεις В 1930-32 гг. ργανώσει τα πανεπιστήμια Αθήνας και Θεσσαλονίκης με τον νόμο 5343/32, ο οποίος ίσχυε μέχρι προσφάτως . διαδέχεται τον Βενιζέλο το το το το το και εκεί θα σταματήσει η ενεργός ανάμειξή του στα κοινά της Ελλλ άδας». (греческий)
  28. ^ «Важность основания Смирнского университета (эссе)» . Департамент начального образования Патрского университета. Архивировано из оригинала 14 июня 2012 года.
  29. ^ «Константин Каратеодори: Его жизнь и творчество (эссе)» (PDF) . Национальный технический университет Афин. Архивировано из оригинала (PDF) 22 декабря 2017 г.Его дочь г-жа Деспина Родопулу-Каратеодори так описала этот период: «Он остался, чтобы спасти все, что мог: библиотеку, машины и т. д., которые были отправлены на разные корабли, надеясь, что однажды они прибудут в Афины. Отец оставался до последнего момента. Джордж Хортон, консул США в Смирни, написал книгу... которая была переведена на греческий язык. В этой книге Хортон отмечает: «Одним из последних греков, которых я видел на улицах Смирны перед вступлением турок, был профессор Каратеодори, президент обреченного университета. Вместе с ним ушло воплощение греческого гения [ sic ] культуры и цивилизации. на Востоке». "
  30. ^ «Краткая история». Университет Аристотеля в Салониках . Проверено 2 декабря 2012 г.
  31. ^ Denker, Forscher und Entdecker: eine Geschichte der Bayerischen Akademie Дитмара Уилловейта, стр.263
  32. ^ Константин Каратеодори-Хорсаал, mathe-lmu, Nr. 7/2002, час. Förderverein Mathematik in Wirtschaft, Universität und Schule an der Ludwig-Maximilians-Universität München eV, S. 9.
  33. ^ (на греческом языке) «Открытие музея Каратеодори». Друзья К.Каратеодори.
  34. ^ "Открывается музей Каратеодори" . Посольство Греческой Республики в Австралии, отдел прессы и коммуникаций. Архивировано из оригинала 4 января 2010 г. Проверено 1 декабря 2009 г.
  35. ^ "Музей Каратеодори пополнился новыми экспонатами" . Афинское информационное агентство.
  36. ^ (на греческом языке) «Музей К. Каратеодори в Комотини». Eleftherotipia, крупнейшая греческая газета. Архивировано из оригинала 2 октября 2011 г.
  37. ^ (на греческом языке) «Музей Каратеодори: аттрактор». Катимерини, крупнейшая греческая газета. Архивировано из оригинала 16 июля 2011 г. Проверено 1 декабря 2009 г.
  38. ^ (на греческом языке) «Музей Каратеодори открыл свои двери для публики». Македония, главная газета Греции.
  39. ^ Каратеодори, К. (1982). «Über die kanonischen Veränderlichen in der Variationsrechnung der mehrfachen Integrale». Festschrift zu seinem sechzigsten Geburtstag от 23 января 1922 года . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 78–88. дои : 10.1007/978-3-642-61810-9_11. ISBN 978-3-642-61810-9. S2CID  179177711.
  40. ^ Каратеодори, К. (1927). «Über das Schwarzsche Lemma bei analytischen Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen». Математические Аннален . 97 (1): 76–98. дои : 10.1007/BF01447861. S2CID  123411126.
  41. ^ Каратеодори, К. (1906). «Über die starken maxima und minima bei einfachen Integralen». Математические Аннален . 62 (4): 449–503. дои : 10.1007/BF01449816. S2CID  115532504.
  42. ^ Каратеодори, К. (1909). «Untersuchungen Über die Grundlagen der Thermodynamik». Математические Аннален . 67 (3): 355–386. дои : 10.1007/BF01450409. S2CID  118230148.
  43. ^ Каратеодори, К. Каратеодори (1914). «Elementarer Beweis für den Fundamentalsatz der konformen Abbildungen». Mathematische Abhandlungen Герман Амандус Шварц . Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 19–41. дои : 10.1007/978-3-642-50735-9_2. ISBN 978-3-642-50735-9.
  44. ^ Хайнс, Морис (1951). «Обзор: Funktionentheorie К. Каратеодори». Бюллетень Американского математического общества . 57 (3): 190–192. дои : 10.1090/s0002-9904-1951-09486-0 .

Рекомендации

Книги

Биографические статьи

Энциклопедии и справочные издания

Конференции

Внешние ссылки