Теория Бранса–Дикке

Proposed theory of gravitation

В физике теория гравитации Бранса–Дикке (иногда называемая теорией Джордана–Бранса–Дикке ) является конкурентом общей теории относительности Эйнштейна . Это пример скалярно-тензорной теории , гравитационной теории, в которой гравитационное взаимодействие опосредовано скалярным полем, а также тензорным полем общей теории относительности. Гравитационная постоянная не предполагается постоянной, а вместо этого заменяется скалярным полем, которое может меняться от места к месту и со временем. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 1/G}$ ${\displaystyle \phi }$

Теория была разработана в 1961 году Робертом Х. Дикке и Карлом Х. Брансом ^[1], основываясь, среди прочего, на более ранней работе Паскуаля Джордана 1959 года . В настоящее время как теория Бранса–Дикке, так и общая теория относительности, как правило, считаются согласующимися с наблюдениями. Теория Бранса–Дикке представляет собой точку зрения меньшинства в физике.

Сравнение с общей теорией относительности

И теория Бранса–Дикке, и общая теория относительности являются примерами класса релятивистских классических полевых теорий гравитации , называемых метрическими теориями . В этих теориях пространство-время снабжено метрическим тензором , а гравитационное поле представлено (полностью или частично) тензором кривизны Римана , который определяется метрическим тензором. ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle R_{abcd}}$

Все метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна , который на современном геометрическом языке гласит, что в очень малой области (слишком малой, чтобы проявить измеримые эффекты кривизны ) все законы физики, известные в специальной теории относительности , справедливы в локальных системах Лоренца . Это, в свою очередь, подразумевает, что все метрические теории демонстрируют эффект гравитационного красного смещения .

Как и в общей теории относительности, источником гравитационного поля считается тензор энергии-импульса или тензор материи . Однако способ, которым непосредственное присутствие массы-энергии в некоторой области влияет на гравитационное поле в этой области, отличается от общей теории относительности. То же самое относится и к способу, которым кривизна пространства-времени влияет на движение материи. В теории Бранса-Дикке, в дополнение к метрике, которая является тензорным полем ранга два , существует скалярное поле , которое имеет физический эффект изменения эффективной гравитационной постоянной от места к месту. (Эта особенность была на самом деле ключевым желанием Дикке и Бранса; см. статью Бранса, цитируемую ниже, в которой описываются истоки теории.) ${\displaystyle \phi }$

Уравнения поля теории Бранса–Дикке содержат параметр , , называемый константой связи Бранса–Дикке . Это истинная безразмерная константа , которая должна быть выбрана раз и навсегда. Однако ее можно выбрать для соответствия наблюдениям. Такие параметры часто называют настраиваемыми параметрами . Кроме того, текущее окружающее значение эффективной гравитационной постоянной должно быть выбрано в качестве граничного условия . Общая теория относительности вообще не содержит безразмерных параметров и, следовательно, ее легче фальсифицировать (показать, является ли она ложной), чем теорию Бранса–Дикке. Теории с настраиваемыми параметрами иногда осуждаются по принципу, что из двух теорий, которые обе согласуются с наблюдением, более экономная является предпочтительной. С другой стороны, кажется, что они являются необходимой чертой некоторых теорий, таких как слабый угол смешивания Стандартной модели . ${\displaystyle \omega }$

Теория Бранса–Дикке «менее строга», чем общая теория относительности, в другом смысле: она допускает больше решений. В частности, точные вакуумные решения уравнения поля Эйнштейна общей теории относительности, дополненные тривиальным скалярным полем , становятся точными вакуумными решениями в теории Бранса–Дикке, но некоторые пространства-времена, которые не являются вакуумными решениями уравнения поля Эйнштейна, становятся, при соответствующем выборе скалярного поля, вакуумными решениями теории Бранса–Дикке. Аналогично, важный класс пространств-времен, метрики pp-волн , также являются точными нулевыми пылевыми решениями как общей теории относительности, так и теории Бранса–Дикке, но и здесь теория Бранса–Дикке допускает дополнительные волновые решения, имеющие геометрии, несовместимые с общей теорией относительности. ${\displaystyle \phi =1}$

Как и общая теория относительности, теория Бранса–Дикке предсказывает отклонение света и прецессию перигелиев планет , вращающихся вокруг Солнца. Однако точные формулы, которые управляют этими эффектами, согласно теории Бранса–Дикке, зависят от значения константы связи . Это означает, что можно установить наблюдательную нижнюю границу возможного значения из наблюдений Солнечной системы и других гравитационных систем. Значение согласующееся с экспериментом, со временем возросло. В 1973 году согласовывалось с известными данными. К 1981 году согласовывалось с известными данными. В 2003 году доказательства, полученные в ходе эксперимента Кассини–Гюйгенса , показали, что значение должно превышать 40 000. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega >5}$ ${\displaystyle \omega >30}$ ${\displaystyle \omega }$

Также часто учат ^[2] , что общая теория относительности получается из теории Бранса–Дикке в пределе . Но Фараони ^[3] утверждает, что это нарушается, когда след импульса энергии-импульса исчезает, т. е . , примером чего является решение Кампанелли – Лусто для червоточины. ^[4] Некоторые утверждают ^{[ кто? ]} , что только общая теория относительности удовлетворяет сильному принципу эквивалентности . ${\displaystyle \omega \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }=0}$

Уравнения поля

Уравнения поля теории Бранса–Дикке имеют вид

${\displaystyle G_{ab}={\frac {8\pi }{\phi }}T_{ab}+{\frac {\omega }{\phi ^{2}}}\left(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\frac {1}{2}}g_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \right)+{\frac {1}{\phi }}(\nabla _{a}\nabla _{b}\phi -g_{ab}\Box \phi )-g_{ab}{\frac {V(\phi )}{2\phi }},}$

${\displaystyle \Box \phi ={\frac {8\pi }{3+2\omega }}T+{\frac {2V(\phi )-\phi V'(\phi )}{3+2\omega }}}$

где

${\displaystyle \omega }$— безразмерная константа связи Дике;

${\displaystyle g_{ab}}$— метрический тензор ;

${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}Rg_{ab}}$— тензор Эйнштейна , своего рода средняя кривизна;

${\displaystyle R_{ab}=R^{m}{}_{amb}}$— тензор Риччи , своего рода след тензора кривизны;

${\displaystyle R=R^{m}{}_{m}}$— скаляр Риччи , след тензора Риччи;

${\displaystyle T_{ab}}$— тензор энергии-напряжения ;

${\displaystyle T=T_{a}^{a}}$— след тензора энергии-напряжения;

${\displaystyle \phi }$— скалярное поле;

${\displaystyle V(\phi )}$— скалярный потенциал;

${\displaystyle V'(\phi )}$— производная скалярного потенциала по ; ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \Box }$— оператор Лапласа–Бельтрами или ковариантный волновой оператор, . ${\displaystyle \Box \phi =\phi ^{;a}{}_{;a}}$

Первое уравнение описывает, как тензор энергии-импульса и скалярное поле вместе влияют на кривизну пространства-времени. Левая часть, тензор Эйнштейна , может рассматриваться как своего рода средняя кривизна. Это вопрос чистой математики, что в любой метрической теории тензор Римана всегда может быть записан как сумма кривизны Вейля (или тензора конформной кривизны ) и части, построенной из тензора Эйнштейна. ${\displaystyle \phi }$

Второе уравнение говорит, что след тензора энергии-импульса действует как источник для скалярного поля . Поскольку электромагнитные поля вносят только бесследовый член в тензор энергии-импульса, это означает, что в области пространства-времени, содержащей только электромагнитное поле (плюс гравитационное поле), правая часть исчезает и подчиняется волновому уравнению (искривленного пространства-времени) . Следовательно, изменения в распространяются через области электровакуума ; в этом смысле мы говорим, что является дальнодействующим полем . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Для сравнения, уравнение поля общей теории относительности выглядит просто:

${\displaystyle G_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{ab}.}$

Это означает, что в общей теории относительности кривизна Эйнштейна в некотором событии полностью определяется тензором энергии-импульса в этом событии; другая часть, кривизна Вейля, является частью гравитационного поля, которая может распространяться как гравитационная волна через область вакуума. Но в теории Бранса-Дикке тензор Эйнштейна определяется частично непосредственным присутствием массы-энергии и импульса, а частично — дальнодействующим скалярным полем . ${\displaystyle \phi }$

Уравнения вакуумного поля обеих теорий получаются, когда тензор энергии-импульса обращается в нуль. Это моделирует ситуации, в которых отсутствуют негравитационные поля.

Принцип действия

Следующий лагранжиан содержит полное описание теории Бранса–Дикке: ^[5]

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi }}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left(\phi R-{\frac {\omega }{\phi }}\partial _{a}\phi \partial ^{a}\phi \right)+\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} },}$

где — определитель метрики, — четырехмерная форма объема , а — материальный член , или плотность лагранжиана материи . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$

Член материи включает вклад обычной материи (например, газообразной материи), а также электромагнитных полей. В области вакуума член материи тождественно исчезает; оставшийся член является гравитационным членом . Чтобы получить уравнения вакуумного поля, мы должны варьировать гравитационный член в лагранжиане относительно метрики ; это дает первое уравнение поля выше. Когда мы варьируем относительно скалярного поля , мы получаем второе уравнение поля. ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle \phi }$

Обратите внимание, что в отличие от уравнений поля общей теории относительности, этот член не исчезает, так как результат не является полной производной. Можно показать, что ${\displaystyle \delta R_{ab}/\delta g_{cd}}$

${\displaystyle {\frac {\delta (\phi R)}{\delta g^{ab}}}=\phi R_{ab}+g_{ab}g^{cd}\phi _{;c;d}-\phi _{;a;b}.}$

Чтобы доказать этот результат, используйте

${\displaystyle \delta (\phi R)=R\delta \phi +\phi R_{mn}\delta g^{mn}+\phi \nabla _{s}(g^{mn}\delta \Gamma _{nm}^{s}-g^{ms}\delta \Gamma _{rm}^{r}).}$

При оценке s в нормальных координатах Римана 6 отдельных членов исчезают. 6 дополнительных членов объединяются при использовании теоремы Стокса, чтобы получить желаемое . ${\displaystyle \delta \Gamma }$ ${\displaystyle (g_{ab}g^{cd}\phi _{;c;d}-\phi _{;a;b})\delta g^{ab}}$

Для сравнения, лагранжиан, определяющий общую теорию относительности, имеет вид

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\,\left({\frac {R}{16\pi G}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right).}$

Изменение гравитационного члена по отношению к дает уравнение вакуумного поля Эйнштейна. ${\displaystyle g_{ab}}$

В обеих теориях уравнения полного поля могут быть получены путем вариаций полного лагранжиана.

Смотрите также

• Физический портал

• Классические теории гравитации
• Дилатон
• Общая теория относительности
• принцип Маха
• Научное значение GW170817

Примечания

1. Brans, CH; Dicke, RH (1 ноября 1961 г.). «Принцип Маха и релятивистская теория гравитации». Physical Review . 124 (3): 925–935. Bibcode :1961PhRv..124..925B. doi :10.1103/PhysRev.124.925.
2. Вайнберг, Стивен (1971). Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности . Wiley. стр. 160. ISBN 0471925675.
3. Фарони, Валерио (1999). "Иллюзии общей теории относительности в гравитации Бранса-Дикке". Phys. Rev. D59 ( 8): 084021. arXiv : gr-qc/9902083 . Bibcode : 1999PhRvD..59h4021F. doi : 10.1103/PhysRevD.59.084021. S2CID  7558104.
4. М. Кампанелли, штат Колорадо Лусто, Int. Дж. Мод. Физ. Д 02, 451 (1993) https://doi.org/10.1142/S0218271893000325
5. Георгиос Кофинас, Минас Цукалас: О действии полных теорий Бранса-Дикке, на arXiv:1512.04786 [gr-qc], 28 ноября 2016 г., DOI:10.1140/epjc/s10052-016-4505-y, уравнение (2.9) на стр. 2. Некоторые авторы используют

   ${\displaystyle S_{M}=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$

   для термина материи см. Brans-Dicke-Theorie: Определение (на немецком языке).

Ссылки

• Бергманн, Питер Г. (май 1968 г.). «Комментарии к скалярно-тензорной теории». Int. J. Theor. Phys. 1 (1): 25–36. Bibcode :1968IJTP....1...25B. doi :10.1007/BF00668828. ISSN  0020-7748. S2CID  119985328.
• Вагонер, Роберт В. (июнь 1970 г.). «Скалярно-тензорная теория и гравитационные волны». Phys. Rev. D. 1 ( 12). Американское физическое общество : 3209–3216. Bibcode :1970PhRvD...1.3209W. doi :10.1103/PhysRevD.1.3209.
• Мизнер, Чарльз В .; Торн, Кип С.; Уилер , Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0.См. Вставку 39.1 .
• Уилл, Клиффорд М. (1986). "Глава 8: Взлет и падение теории Бранса–Дикке". Был ли Эйнштейн прав?: Проверка общей теории относительности . NY: Basic Books . ISBN 0-19-282203-9.
• Фараони, Валерио (2004). Космология в скалярно-тензорной гравитации . Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic . ISBN 1-4020-1988-2.

Внешние ссылки

• Статья Карла Х. Бранса в Scholarpedia на эту тему
• Бранс, Карл Х. (2005). «Корни скалярно-тензорной теории: приблизительная история». arXiv : gr-qc/0506063 .