пространство Минковского

Пространство-время, используемое в теории относительности

Герман Минковский (1864–1909) обнаружил, что специальную теорию относительности лучше всего понимать как четырехмерное пространство, с тех пор известное как пространство-время Минковского.

В физике пространство Минковского ( или пространство-время Минковского ) ( / m ɪ ŋ ˈ k ɔː f s k i , - ˈ k ɒ f -/ ^[1] ) является основным математическим описанием пространства-времени в отсутствие гравитации . Оно объединяет инерциальное пространство и временные многообразия в четырехмерную модель.

Модель помогает показать, как пространственно-временной интервал между любыми двумя событиями не зависит от инерциальной системы отсчета , в которой они зарегистрированы. Математик Герман Минковский разработал ее на основе работ Хендрика Лоренца , Анри Пуанкаре и других, которые сказали, что она «была выращена на экспериментальных физических основаниях».

Пространство Минковского тесно связано с теориями специальной теории относительности и общей теории относительности Эйнштейна и является наиболее распространенной математической структурой, с помощью которой формализуется специальная теория относительности. В то время как отдельные компоненты в евклидовом пространстве и времени могут различаться из-за сокращения длины и замедления времени , в пространстве-времени Минковского все системы отсчета будут согласовываться относительно общего интервала в пространстве-времени между событиями. ^{[nb 1]} Пространство Минковского отличается от четырехмерного евклидова пространства тем, что оно трактует время иначе, чем три пространственных измерения.

В трехмерном евклидовом пространстве группа изометрий (отображения, сохраняющие регулярное евклидово расстояние ) — это евклидова группа . Она генерируется вращениями , отражениями и переносами . Когда время добавляется как четвертое измерение, добавляются дальнейшие преобразования переносов во времени и лоренцевы усиления , а группа всех этих преобразований называется группой Пуанкаре . Модель Минковского следует специальной теории относительности, где движение вызывает замедление времени, изменяя масштаб, применяемый к движущейся системе отсчета, и сдвигает фазу света.

Пространство-время снабжено неопределенной невырожденной билинейной формой , называемой метрикой Минковского , ^[2] квадратом нормы Минковского или скалярным произведением Минковского в зависимости от контекста. ^{[nb 2]} Сквозное произведение Минковского определяется таким образом, чтобы получить пространственно-временной интервал между двумя событиями, если в качестве аргумента задан их вектор разности координат. ^[3] Снабженная этим скалярным произведением, математическая модель пространства-времени называется пространством Минковского. Группа преобразований для пространства Минковского, которая сохраняет пространственно-временной интервал (в отличие от пространственного евклидова расстояния), является группой Пуанкаре (в отличие от группы Галилея ).

История

Комплексное пространство-время Минковского

В своей второй статье по теории относительности в 1905 году Анри Пуанкаре показал ^[4], как, взяв время за мнимую четвертую пространственно-временную координату ict , где c — скорость света , а i — мнимая единица , преобразования Лоренца можно визуализировать как обычные вращения четырехмерной евклидовой сферы. Четырехмерное пространство-время можно визуализировать как четырехмерное пространство, в котором каждая точка представляет собой событие в пространстве-времени. Затем преобразования Лоренца можно рассматривать как вращения в этом четырехмерном пространстве, где ось вращения соответствует направлению относительного движения между двумя наблюдателями, а угол вращения связан с их относительной скоростью.

Чтобы понять эту концепцию, следует рассмотреть координаты события в пространстве-времени, представленные в виде четырехвектора ( t , x , y , z ) . Преобразование Лоренца представлено матрицей , которая действует на четырехвектор, изменяя его компоненты. Эту матрицу можно рассматривать как матрицу вращения в четырехмерном пространстве, которая вращает четырехвектор вокруг определенной оси. $${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+(ict)^{2}={\text{constant}}.}$$

Вращения в плоскостях, охватываемых двумя единичными векторами пространства, появляются в координатном пространстве, а также в физическом пространстве-времени как евклидовы вращения и интерпретируются в обычном смысле. «Вращение» в плоскости, охватываемой единичным вектором пространства и единичным вектором времени, хотя формально все еще является вращением в координатном пространстве, является усилением Лоренца в физическом пространстве-времени с реальными инерциальными координатами. Аналогия с евклидовыми вращениями является лишь частичной, поскольку радиус сферы на самом деле мнимый, что превращает вращения во вращения в гиперболическом пространстве (см. гиперболическое вращение ).

Эта идея, которая была упомянута лишь кратко Пуанкаре, была разработана Минковским в статье на немецком языке, опубликованной в 1908 году под названием «Фундаментальные уравнения для электромагнитных процессов в движущихся телах». ^[5] Он переформулировал уравнения Максвелла как симметричный набор уравнений относительно четырех переменных ( x , y , z , ict ) в сочетании с переопределенными векторными переменными для электромагнитных величин, и он смог напрямую и очень просто показать их инвариантность относительно преобразования Лоренца. Он также внес другие важные вклады и впервые использовал матричную запись в этом контексте. Из своей переформулировки он пришел к выводу, что время и пространство следует рассматривать одинаково, и так возникла его концепция событий, происходящих в едином четырехмерном пространственно-временном континууме .

Реальное пространство-время Минковского

В дальнейшем развитии в своей лекции 1908 года «Пространство и время» ^[6] Минковский дал альтернативную формулировку этой идеи, которая использовала реальную временную координату вместо мнимой, представляя четыре переменные ( x , y , z , t ) пространства и времени в координатной форме в четырехмерном действительном векторном пространстве . Точки в этом пространстве соответствуют событиям в пространстве-времени. В этом пространстве существует определенный световой конус, связанный с каждой точкой, и события, не находящиеся на световом конусе, классифицируются по их отношению к вершине как пространственноподобные или времениподобные . Именно этот взгляд на пространство-время является актуальным в настоящее время, хотя более старый взгляд, включающий мнимое время, также повлиял на специальную теорию относительности.

В английском переводе статьи Минковского метрика Минковского, как определено ниже, упоминается как элемент линии . Внутренний продукт Минковского ниже появляется безымянным, когда речь идет об ортогональности (которую он называет нормальностью ) определенных векторов, а квадрат нормы Минковского упоминается (несколько загадочно, возможно, это зависит от перевода) как «сумма».

Основным инструментом Минковского является диаграмма Минковского , и он использует ее для определения концепций и демонстрации свойств преобразований Лоренца (например, собственное время и сокращение длины ), а также для геометрической интерпретации обобщения механики Ньютона на релятивистскую механику . Для этих специальных тем см. указанные статьи, поскольку изложение ниже будет в основном ограничено математической структурой (метрикой Минковского и полученными из нее величинами и группой Пуанкаре как группой симметрии пространства-времени), вытекающей из инвариантности интервала пространства-времени на пространственно-временном многообразии как следствия постулатов специальной теории относительности, а не конкретным применением или выводом инвариантности интервала пространства-времени. Эта структура обеспечивает фоновую настройку всех существующих релятивистских теорий, за исключением общей теории относительности, для которой плоское пространство-время Минковского все еще обеспечивает трамплин, поскольку искривленное пространство-время локально лоренцево.

Минковский, сознавая фундаментальное переосмысление теории, которое он сделал, сказал:

Взгляды на пространство и время, которые я хочу вам изложить, возникли на почве экспериментальной физики, и в этом их сила. Они радикальны. Отныне пространство само по себе и время само по себе обречены на исчезновение в простые тени, и только своего рода союз этих двух сохранит независимую реальность.

—  Герман Минковский, 1908, 1909 ^[6]

Хотя Минковский сделал важный шаг в физике, Альберт Эйнштейн видел его ограниченность:

В то время, когда Минковский давал геометрическую интерпретацию специальной теории относительности, расширяя евклидово трехмерное пространство до квазиевклидова четырехмерного пространства, включающего время, Эйнштейн уже знал, что это неверно, поскольку исключает явление гравитации . Он был еще далек от изучения криволинейных координат и римановой геометрии , а также связанного с ними тяжелого математического аппарата. ^[7]

Дополнительную историческую информацию см. в работах Галисона (1979), Корри (1997) и Уолтера (1999).

Причинно-следственная структура

Подразделение пространства-времени Минковского относительно события на четыре непересекающихся множества: световой конус , каузальное будущее (также называемое абсолютным будущим ), каузальное прошлое (также называемое абсолютным прошлым ) и в других местах . Терминология взята из Sard (1970) и из Causal structure .

Где v — скорость, x , y и z — декартовы координаты в трехмерном пространстве, c — константа, представляющая универсальный предел скорости, а t — время, четырехмерный вектор v = ( ct , x , y , z ) = ( ct , r ) классифицируется в соответствии со знаком c ² t ² − r ² . Вектор является времениподобным, если c ² t ² > r ² , пространственноподобным , если c ² t ² < r ² , и нулевым или светоподобным , если c ² t ² = r ² . Это можно выразить через знак η ( v , v ) , также называемый скалярным произведением, который зависит от сигнатуры. Классификация любого вектора будет одинаковой во всех системах отсчета, связанных преобразованием Лоренца (но не общим преобразованием Пуанкаре, поскольку в этом случае начало координат может быть смещено) из-за инвариантности интервала пространства-времени относительно преобразования Лоренца.

Набор всех нулевых векторов в событии ^{[nb 3]} пространства Минковского составляет световой конус этого события. При наличии времениподобного вектора v существует мировая линия постоянной скорости, связанная с ним, представленная прямой линией на диаграмме Минковского.

После выбора направления времени ^{[nb 4]} времениподобные и нулевые векторы могут быть далее разложены на различные классы. Для времениподобных векторов есть

1. направленные в будущее временные векторы, первый компонент которых положителен (кончик вектора расположен в каузальном будущем (также называемом абсолютным будущим) на рисунке) и
2. Направленные в прошлое времениподобные векторы, первый компонент которых отрицателен (причинное прошлое (также называемое абсолютным прошлым)).

Нулевые векторы делятся на три класса:

1. нулевой вектор, компоненты которого в любом базисе равны (0, 0, 0, 0) (начало координат),
2. нулевые векторы, направленные в будущее, первый компонент которых положительный (верхний световой конус), и
3. направленные в прошлое нулевые векторы, первый компонент которых отрицателен (нижний световой конус).

Вместе с пространственноподобными векторами всего существует 6 классов.

Ортонормированный базис для пространства Минковского обязательно состоит из одного времениподобного и трех пространственноподобных единичных векторов. Если кто-то хочет работать с неортонормированными базисами, то можно иметь другие комбинации векторов. Например, можно легко построить (неортонормированный) базис, состоящий полностью из нулевых векторов, называемый нулевым базисом .

Векторные поля называются времениподобными, пространственноподобными или нулевыми, если связанные с ними векторы являются времениподобными, пространственноподобными или нулевыми в каждой точке, где определено поле.

Свойства времениподобных векторов

Временные векторы имеют особое значение в теории относительности, поскольку они соответствуют событиям, доступным наблюдателю в точке (0, 0, 0, 0) со скоростью, меньшей скорости света. Наибольший интерес представляют временные векторы, которые направлены одинаково , т. е. все находятся либо в прямом, либо в обратном конусе. Такие векторы обладают несколькими свойствами, не свойственными пространственноподобным векторам. Они возникают из-за того, что как прямой, так и обратный конусы являются выпуклыми, тогда как пространственноподобная область не является выпуклой.

Скалярное произведение

Скалярное произведение двух времениподобных векторов u ₁ = ( t ₁ , x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и u ₂ = ( t ₂ , x ₂ , y ₂ , z ₂ ) равно $${\displaystyle \eta (u_{1},u_{2})=u_{1}\cdot u_{2}=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}.}$$

Положительность скалярного произведения : важным свойством является то, что скалярное произведение двух одинаково направленных временных векторов всегда положительно. Это можно увидеть из обратного неравенства Коши–Шварца ниже. Из этого следует, что если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то один из них, по крайней мере, должен быть пространственноподобным. Скалярное произведение двух пространственноподобных векторов может быть положительным или отрицательным, как можно увидеть, рассмотрев произведение двух пространственноподобных векторов, имеющих ортогональные пространственные компоненты и времена либо разных, либо одинаковых знаков.

Используя свойство положительности времениподобных векторов, легко проверить, что линейная сумма с положительными коэффициентами одинаково направленных времениподобных векторов также является одинаково направленной времениподобной (сумма остается внутри светового конуса из-за выпуклости).

Норма и обратное неравенство Коши

Норма времениподобного вектора u = ( ct , x , y , z ) определяется как $${\displaystyle \left\|u\right\|={\sqrt {\eta (u,u)}}={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$$

Обратное неравенство Коши является еще одним следствием выпуклости любого светового конуса. ^[8] Для двух различных одинаково направленных времениподобных векторов u ₁ и u ₂ это неравенство имеет вид или алгебраически, $${\displaystyle \eta (u_{1},u_{2})>\left\|u_{1}\right\|\left\|u_{2}\right\|}$$ $${\displaystyle c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}>{\sqrt {\left(c^{2}t_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-z_{1}^{2}\right)\left(c^{2}t_{2}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}-z_{2}^{2}\right)}}}$$

Отсюда видно положительное свойство скалярного произведения.

Неравенство перевернутого треугольника

Для двух одинаково направленных времениподобных векторов u и w неравенство имеет вид ^[9] , где равенство имеет место, когда векторы линейно зависимы . $${\displaystyle \left\|u+w\right\|\geq \left\|u\right\|+\left\|w\right\|,}$$

Доказательство использует алгебраическое определение с обратным неравенством Коши: ^[10] $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|u+w\right\|^{2}&=\left\|u\right\|^{2}+2\left(u,w\right)+\left\|w\right\|^{2}\\[5mu]&\geq \left\|u\right\|^{2}+2\left\|u\right\|\left\|w\right\|+\left\|w\right\|^{2}=\left(\left\|u\right\|+\left\|w\right\|\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

Результат теперь следует извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения.

Математическая структура

Ниже предполагается, что пространство-время снабжено системой координат, соответствующей инерциальной системе отсчета . Это обеспечивает начало координат , которое необходимо для моделирования пространства-времени как векторного пространства. Это добавление не является обязательным, и более сложные методы, аналогичные аффинному пространству, могут удалить дополнительную структуру. Однако это не является вводным соглашением и здесь не рассматривается.

Для обзора, пространство Минковского - это 4 -мерное действительное векторное пространство, снабженное невырожденной, симметричной билинейной формой на касательном пространстве в каждой точке пространства-времени, здесь просто называемой внутренним произведением Минковского , с метрической сигнатурой (+ − − −) или (− + + +) . Касательное пространство в каждом событии - это векторное пространство той же размерности, что и пространство-время, 4 .

Касательные векторы

Наглядное представление касательного пространства в точке x на сфере . Это векторное пространство можно рассматривать как подпространство самого R ^3. Тогда векторы в нем будут называться геометрическими касательными векторами . По тому же принципу касательное пространство в точке плоского пространства-времени можно рассматривать как подпространство пространства-времени, которое, как оказалось, является всем пространством-временем.

На практике не нужно беспокоиться о касательных пространствах. Структура векторного пространства Минковского допускает каноническую идентификацию векторов в касательных пространствах в точках (событиях) с векторами (точками, событиями) в самом пространстве Минковского. См., например, Lee (2003, предложение 3.8.) или Lee (2012, предложение 3.13.) Эти идентификации обычно выполняются в математике. Их можно формально выразить в декартовых координатах как ^[11] с базисными векторами в касательных пространствах, определяемыми как $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x^{0},\,x^{1},\,x^{2},\,x^{3}\right)\ &\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{p}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{p}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{p}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{p}\\&\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{q}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{q}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{q}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{q}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \left.\mathbf {e} _{\mu }\right|_{p}=\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}{\text{ or }}\mathbf {e} _{0}|_{p}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}}\right){\text{, etc}}.}$$

Здесь p и q — любые два события, а вторая идентификация базисного вектора называется параллельным переносом . Первая идентификация — это каноническая идентификация векторов в касательном пространстве в любой точке с векторами в самом пространстве. Появление базисных векторов в касательных пространствах как дифференциальных операторов первого порядка обусловлено этой идентификацией. Она мотивирована наблюдением, что геометрический касательный вектор может быть связан взаимно-однозначным образом с оператором направленной производной на множестве гладких функций. Это продвигается к определению касательных векторов в многообразиях, не обязательно вложенных в R ⁿ . Это определение касательных векторов не является единственно возможным, поскольку обычные n -кортежи также могут использоваться.

Определения касательных векторов как обычных векторов

Касательный вектор в точке p может быть определен, здесь специализированно для декартовых координат в системах Лоренца, как 4 × 1 векторов-столбцов v, связанных с каждой системой Лоренца, связанных преобразованием Лоренца Λ таким образом, что вектор v в системе, связанной с некоторой системой Λ, преобразуется согласно v → Λ v . Это тот же самый способ, которым преобразуются координаты x ^μ . Явно, $${\displaystyle {\begin{aligned}x'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu },\\v'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }v^{\nu }.\end{aligned}}}$$

Это определение эквивалентно определению, данному выше при каноническом изоморфизме.

Для некоторых целей желательно отождествлять касательные векторы в точке p с векторами смещения в точке p , что, конечно, допустимо по сути той же канонической идентификацией. ^[12] Идентификации векторов, упомянутые выше в математической постановке, соответственно можно найти в более физической и явно геометрической постановке в Misner, Thorne & Wheeler (1973). Они предлагают различные степени сложности (и строгости) в зависимости от того, какую часть материала вы выбираете для чтения.

Метрическая подпись

Метрическая сигнатура относится к тому, какой знак дает скалярное произведение Минковского, когда в качестве аргументов заданы пространственные ( конкретно, пространственноподобные , определенные ниже) и временные базисные векторы ( временноподобные ). Дальнейшее обсуждение этого теоретически несущественного, но практически необходимого выбора для целей внутренней согласованности и удобства отложено в скрытый блок ниже. См. также страницу, посвященную соглашению о знаках в теории относительности.

Выбор метрической сигнатуры

В целом, но с несколькими исключениями, математики и общие релятивисты предпочитают, чтобы пространственноподобные векторы давали положительный знак, (− + + +) , в то время как физики-теоретики частиц предпочитают, чтобы времениподобные векторы давали положительный знак, (+ − − −) . Авторы, охватывающие несколько областей физики, например, Стивен Вайнберг и Ландау и Лифшиц ( (− + + +) и (+ − − −) соответственно), придерживаются одного выбора независимо от темы. Аргументы в пользу первого соглашения включают «непрерывность» из евклидова случая, соответствующего нерелятивистскому пределу c → ∞ . Аргументы в пользу последнего включают то, что знаки минус, в противном случае вездесущие в физике частиц, исчезают. Однако другие авторы, особенно вводных текстов, например, Клеппнер и Коленков (1978), вообще не выбирают сигнатуру, а вместо этого предпочитают координировать пространство-время таким образом, чтобы временная координата (но не само время!) была мнимой. Это устраняет необходимость в явном введении метрического тензора (что может показаться дополнительной нагрузкой во вводном курсе), и не нужно беспокоиться о ковариантных векторах и контравариантных векторах (или повышающих и понижающих индексах), которые будут описаны ниже. Вместо этого на скалярное произведение влияет прямое расширение скалярного произведения в R ³ до R ³ × C . Это работает в плоском пространстве-времени специальной теории относительности, но не в искривленном пространстве-времени общей теории относительности, см. Misner, Thorne & Wheeler (1973, Box 2.1, Farewell to ict ) (которые, кстати, используют (− + + +) ). MTW также утверждает, что это скрывает истинную неопределенную природу метрики и истинную природу лоренцевских бустов, которые не являются вращениями. Это также без необходимости усложняет использование инструментов дифференциальной геометрии , которые в противном случае были бы немедленно доступны и полезны для геометрического описания и расчета – даже в плоском пространстве-времени специальной теории относительности, например, электромагнитного поля.

Терминология

Математически с билинейной формой связан тензор типа (0,2) в каждой точке пространства-времени, называемый метрикой Минковского . ^{[nb 5]} Метрика Минковского, билинейная форма и скалярное произведение Минковского — это один и тот же объект; это билинейная функция, которая принимает два (контравариантных) вектора и возвращает действительное число. В координатах это матрица 4×4, представляющая билинейную форму.

Для сравнения, в общей теории относительности лоренцево многообразие L также снабжено метрическим тензором g , который является невырожденной симметричной билинейной формой на касательном пространстве T _p L в каждой точке p L. В координатах оно может быть представлено матрицей 4 ×4 в зависимости от положения в пространстве-времени . Таким образом, пространство Минковского является сравнительно простым частным случаем лоренцева многообразия . Его метрический тензор находится в координатах с той же симметричной матрицей в каждой точке M , и его аргументы, как указано выше, могут быть взяты как векторы в самом пространстве-времени.

Вводя больше терминологии (но не больше структуры), пространство Минковского, таким образом, является псевдоевклидовым пространством с полной размерностью n = 4 и сигнатурой (1, 3) или (3, 1) . Элементы пространства Минковского называются событиями . Пространство Минковского часто обозначается R ^1,3 или R ^3,1, чтобы подчеркнуть выбранную сигнатуру, или просто M. Это пример псевдориманова многообразия .

Тогда математически метрика является билинейной формой на абстрактном четырехмерном вещественном векторном пространстве V , то есть, где η имеет сигнатуру (+, -, -, -) , а сигнатура является координатно-инвариантным свойством η . Пространство билинейных отображений образует векторное пространство, которое можно отождествить с , и η можно эквивалентно рассматривать как элемент этого пространства. Выбрав ортонормированный базис , можно отождествить с пространством . Обозначение призвано подчеркнуть тот факт, что M и являются не просто векторными пространствами, но имеют дополнительную структуру. . $${\displaystyle \eta :V\times V\rightarrow \mathbf {R} }$$ ${\displaystyle M^{*}\otimes M^{*}}$ ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$ ${\displaystyle M:=(V,\eta )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}:=(\mathbf {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$

Интересным примером неинерциальных координат для (части) пространства-времени Минковского являются координаты Борна . Другим полезным набором координат являются координаты светового конуса .

Псевдоевклидовы метрики

Скалярное произведение Минковского не является скалярным произведением , поскольку оно не является положительно-определенным , т. е. квадратичная форма η ( v , v ) не обязана быть положительной для ненулевого v . Положительно-определенное условие было заменено более слабым условием невырожденности. Билинейная форма называется неопределенной . Метрика Минковского η является метрическим тензором пространства Минковского. Это псевдоевклидова метрика или, в более общем смысле, постоянная псевдориманова метрика в декартовых координатах. Как таковая, это невырожденная симметричная билинейная форма, тензор типа (0, 2) . Она принимает два аргумента u _p , v _p , векторы в T _p M , p ∈ M , касательное пространство в точке p в M . Ввиду вышеупомянутого канонического отождествления T _p M с самим M , он принимает аргументы u , v с обоими u и v в M .

В качестве соглашения об обозначениях векторы v в M , называемые 4-векторами , обозначаются курсивом, а не жирным шрифтом v , как это принято в евклидовой системе . Последний обычно зарезервирован для 3- векторной части (которая будет представлена ​​ниже) 4- вектора.

Определение ^[13] дает структуру, подобную внутреннему произведению на M , ранее и также в дальнейшем называемую внутренним произведением Минковского , аналогичное евклидову внутреннему произведению , но оно описывает другую геометрию. Его также называют релятивистским скалярным произведением . Если два аргумента одинаковы, то полученная величина будет называться квадратом нормы Минковского . Внутренний продукт Минковского удовлетворяет следующим свойствам. $${\displaystyle u\cdot v=\eta (u,\,v)}$$ $${\displaystyle u\cdot u=\eta (u,u)\equiv \|u\|^{2}\equiv u^{2},}$$

Линейность в первом аргументе

${\displaystyle \eta (au+v,\,w)=a\eta (u,\,w)+\eta (v,\,w),\quad \forall u,\,v\in M,\;\forall a\in \mathbb {R} }$

Симметрия

${\displaystyle \eta (u,\,v)=\eta (v,\,u)}$

Невырожденность

${\displaystyle \eta (u,\,v)=0,\;\forall v\in M\ \Rightarrow \ u=0}$

Первые два условия подразумевают билинейность. Определяющее различие между псевдо-скалярным произведением и собственно скалярным произведением заключается в том, что первое не обязано быть положительно определенным, то есть допускается η ( u , u ) < 0 .

Самая важная особенность скалярного произведения и квадрата нормы заключается в том, что эти величины не затрагиваются преобразованиями Лоренца . Фактически, это можно рассматривать как определяющее свойство преобразования Лоренца, поскольку оно сохраняет скалярное произведение (т.е. значение соответствующей билинейной формы на двух векторах). Этот подход применяется в более общем виде для всех классических групп, определяемых таким образом в классической группе . Там матрица Φ идентична в случае O(3, 1) (группа Лоренца) матрице η , которая будет показана ниже.

Два вектора v и w называются ортогональными , если η ( v , w ) = 0. Для геометрической интерпретации ортогональности в частном случае, когда η ( v , v ) ≤ 0 и η ( w , w ) ≥ 0 (или наоборот), см. гиперболическая ортогональность .

Вектор e называется единичным вектором, если η ( e , e ) = ±1 . Базис для M, состоящий из взаимно ортогональных единичных векторов, называется ортонормированным базисом . ^[14]

Для заданной инерциальной системы отсчета ортонормированный базис в пространстве в сочетании с единичным вектором времени образует ортонормированный базис в пространстве Минковского. Количество положительных и отрицательных единичных векторов в любом таком базисе является фиксированной парой чисел, равной сигнатуре билинейной формы, связанной со скалярным произведением. Это закон инерции Сильвестра .

Больше терминологии (но не больше структуры): Метрика Минковского — это псевдориманова метрика , точнее, лоренцева метрика , еще точнее, метрика Лоренца, зарезервированная для 4 -мерного плоского пространства-времени, при этом остающаяся неоднозначность заключается только в соглашении о сигнатуре.

метрика Минковского

Из второго постулата специальной теории относительности , вместе с однородностью пространства-времени и изотропностью пространства, следует, что интервал пространства-времени между двумя произвольными событиями, называемыми 1 и 2, равен: ^[15] Эта величина не имеет последовательного названия в литературе. Интервал иногда называют квадратным корнем интервала, как определено здесь. ^{[16] [17]} $${\displaystyle c^{2}\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}-\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}-\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}-\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}.}$$

Инвариантность интервала относительно преобразований координат между инерциальными системами отсчета следует из инвариантности при условии, что преобразования линейны. Эта квадратичная форма может быть использована для определения билинейной формы через тождество поляризации . Эта билинейная форма, в свою очередь, может быть записана как где [ η ] — матрица, связанная с η . Хотя это может сбивать с толку, общепринятой практикой является обозначение [ η ] просто как η . Матрица считывается из явной билинейной формы как , и билинейная форма , с которой этот раздел начался, предполагая ее существование, теперь идентифицируется. $${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$$ $${\displaystyle u\cdot v=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}}$$ $${\displaystyle u\cdot v=u^{\textsf {T}}\,[\eta ]\,v,}$$ ${\displaystyle 4\times 4}$ $${\displaystyle \eta =\left({\begin{array}{r}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}}\right)\!,}$$ $${\displaystyle u\cdot v=\eta (u,v),}$$

Для определенности и более краткого представления ниже принята сигнатура (− + + +) . Этот выбор (или другой возможный выбор) не имеет (известных) физических последствий. Группа симметрии, сохраняющая билинейную форму с одним выбором сигнатуры, изоморфна (при отображении, приведенном здесь ) с группой симметрии, сохраняющей другой выбор сигнатуры. Это означает, что оба выбора соответствуют двум постулатам теории относительности. Переключение между двумя соглашениями простое. Если метрический тензор η использовался в выводе, вернитесь к самой ранней точке, где он использовался, замените η на − η и проследите вперед до нужной формулы с нужной метрической сигнатурой.

Стандартная основа

Стандартный или ортонормированный базис для пространства Минковского — это набор из четырех взаимно ортогональных векторов { e ₀ , e ₁ , e ₂ , e ₃ } таких, что и для которых при $${\displaystyle \eta (e_{0},e_{0})=-\eta (e_{1},e_{1})=-\eta (e_{2},e_{2})=-\eta (e_{3},e_{3})=1}$$ $${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=0}$$ ${\textstyle \mu \neq \nu \,.}$

Эти условия можно компактно записать в виде $${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.}$$

Относительно стандартного базиса компоненты вектора v записываются как ( v ⁰ , v ¹ , v ² , v ³ ) , где обозначения Эйнштейна используются для записи v = v ^μ e _μ . Компонент v ⁰ называется временным компонентом v , а остальные три компонента называются пространственными компонентами . Пространственные компоненты 4- вектора v можно отождествить с 3- вектором v = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ ) .

С точки зрения компонентов скалярное произведение Минковского между двумя векторами v и w определяется как

$${\displaystyle \eta (v,w)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }=v^{0}w_{0}+v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}+v^{3}w_{3}=v^{\mu }w_{\mu }=v_{\mu }w^{\mu },}$$и $${\displaystyle \eta (v,v)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }=v^{0}v_{0}+v^{1}v_{1}+v^{2}v_{2}+v^{3}v_{3}=v^{\mu }v_{\mu }.}$$

Здесь использовалось понижение индекса с помощью метрики.

Существует множество возможных вариантов стандартного базиса, удовлетворяющих условию Любые два таких базиса связаны в некотором смысле преобразованием Лоренца, либо матрицей замены базиса , действительной матрицей 4 × 4, удовлетворяющей , либо Λ , линейным отображением на абстрактном векторном пространстве, удовлетворяющим для любой пары векторов u , v , ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.}$ ${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$ $${\displaystyle \Lambda _{\rho }^{\mu }\eta _{\mu \nu }\Lambda _{\sigma }^{\nu }=\eta _{\rho \sigma }.}$$ $${\displaystyle \eta (\Lambda u,\Lambda v)=\eta (u,v).}$$

Тогда, если существуют два различных базиса, { e ₀ , e ₁ , e ₂ , e ₃ } и { e ′ ₀ , e ′ ₁ , e ′ ₂ , e ′ ₃ } , их можно представить как или . Хотя может возникнуть соблазн думать о и Λ как об одном и том же, математически они являются элементами разных пространств и действуют на пространство стандартных базисов с разных сторон. ${\displaystyle e_{\mu }'=e_{\nu }\Lambda _{\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle e_{\mu }'=e_{\nu }\Lambda _{\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle e_{\mu }'=\Lambda e_{\mu }}$ ${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$

Повышение и понижение индексов

Линейные функционалы (1-формы) α , β и их сумма σ и векторы u , v , w , в 3d евклидовом пространстве . Количество (1-форм) гиперплоскостей , пересекаемых вектором, равно внутреннему произведению . ^[18]

Технически невырожденная билинейная форма обеспечивает отображение между векторным пространством и его двойственным; в этом контексте отображение находится между касательными пространствами M и кокасательными пространствами M . В точке M касательное и кокасательное пространства являются двойственными векторными пространствами (поэтому размерность кокасательного пространства в событии также равна 4 ). Так же, как подлинное скалярное произведение на векторном пространстве с одним фиксированным аргументом, по теореме Рисса о представлении , может быть выражено как действие линейного функционала на векторном пространстве, то же самое справедливо для скалярного произведения Минковского пространства Минковского. ^[19]

Таким образом, если v ^μ являются компонентами вектора в касательном пространстве, то η _μν v ^μ = v _ν являются компонентами вектора в кокасательном пространстве (линейный функционал). Из-за отождествления векторов в касательных пространствах с векторами в самом M это в основном игнорируется, и векторы с нижними индексами называются ковариантными векторами . В этой последней интерпретации ковариантные векторы (почти всегда неявно) отождествляются с векторами (линейными функционалами) в двойственном к Минковскому пространстве. Векторы с верхними индексами являются контравариантными векторами . Таким же образом, обратное отображение из касательных в кокасательные пространства, явно заданное обратным η в матричном представлении, может быть использовано для определения повышения индекса . Компоненты этого обратного обозначаются η ^μν . Оказывается, η ^μν = η _μν . Эти отображения между векторным пространством и его дуальным можно обозначить η ^♭ (эта-бемоль) и η ^♯ (эта-диез) по музыкальной аналогии. ^[20]

Контравариантные и ковариантные векторы геометрически очень разные объекты. Первые можно и нужно рассматривать как стрелки. Линейная функция может быть охарактеризована двумя объектами: ее ядром , которое является гиперплоскостью, проходящей через начало координат, и ее нормой. Таким образом, геометрически ковариантные векторы следует рассматривать как набор гиперплоскостей с интервалом, зависящим от нормы (больше = меньший интервал), причем один из них (ядро) проходит через начало координат. Математический термин для ковариантного вектора — 1-ковектор или 1-форма (хотя последний обычно зарезервирован для ковекторных полей ).

Одна из квантово-механических аналогий, исследованных в литературе, — это волна де Бройля (масштабированная множителем приведенной постоянной Планка), связанная с четырехмерным вектором импульса , чтобы проиллюстрировать, как можно представить себе ковариантную версию контравариантного вектора. Внутреннее произведение двух контравариантных векторов можно было бы с равным успехом рассматривать как действие ковариантной версии одного из них на контравариантную версию другого. Внутреннее произведение — это то, сколько раз стрела пронзает плоскости. ^[18] Математический справочник Lee (2003) предлагает тот же геометрический вид этих объектов (но не упоминает пронзание).

Тензор электромагнитного поля представляет собой дифференциальную 2-форму , геометрическое описание которой также можно найти в MTW.

Конечно, можно полностью игнорировать геометрические представления (как это сделано, например, в Weinberg (2002) и Landau & Lifshitz 2002) и действовать алгебраически чисто формальным образом. Проверенная временем надежность самого формализма, иногда называемая индексной гимнастикой , гарантирует, что перемещение векторов и изменение от контравариантных к ковариантным векторам и наоборот (а также тензоров более высокого порядка) является математически обоснованным. Неправильные выражения, как правило, быстро обнаруживают себя.

Координатно-свободный подъем и опускание

Учитывая билинейную форму , пониженную версию вектора можно рассматривать как частичную оценку , то есть существует связанная с ней карта частичной оценки ${\displaystyle \eta :M\times M\rightarrow \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \eta }$ $${\displaystyle \eta (\cdot ,-):M\rightarrow M^{*};v\mapsto \eta (v,\cdot ).}$$

Опущенный вектор тогда является двойственным отображением . Обратите внимание, что не имеет значения, какой аргумент частично оценивается из-за симметрии . ${\displaystyle \eta (v,\cdot )\in M^{*}}$ ${\displaystyle u\mapsto \eta (v,u)}$ ${\displaystyle \eta }$

Невырожденность тогда эквивалентна инъективности частичной карты оценки, или, что эквивалентно, невырожденность указывает на то, что ядро ​​карты тривиально. В конечной размерности, как в данном случае, и отмечая, что размерность конечномерного пространства равна размерности двойственного, этого достаточно, чтобы заключить, что частичная карта оценки является линейным изоморфизмом из в . Это затем позволяет определить обратную частичную карту оценки, которая позволяет определить обратную метрику как где два различных использования могут быть различимы аргументом, по которому каждая из них оценивается. Затем это можно использовать для повышения индексов. Если используется координатный базис, метрика η ⁻¹ действительно является матрицей, обратной к η . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{*}}$ $${\displaystyle \eta ^{-1}:M^{*}\rightarrow M,}$$ $${\displaystyle \eta ^{-1}:M^{*}\times M^{*}\rightarrow \mathbf {R} ,\eta ^{-1}(\alpha ,\beta )=\eta (\eta ^{-1}(\alpha ),\eta ^{-1}(\beta ))}$$ ${\displaystyle \eta ^{-1}}$

Формализм метрики Минковского

Целью настоящего исследования является показ полустрогого способа формального применения метрики Минковского к двум векторам и получения действительного числа, т. е. демонстрация роли дифференциалов и того, как они исчезают в расчетах. В качестве обстановки рассматривается теория гладких многообразий, и вводятся такие понятия, как конвекторные поля и внешние производные.

Формальный подход к метрике Минковского

Полноценная версия метрики Минковского в координатах как тензорного поля в пространстве-времени имеет вид $${\displaystyle \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }\odot dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$$

Объяснение: Координатные дифференциалы являются полями 1-формы. Они определяются как внешняя производная координатных функций x ^μ . Эти величины, вычисленные в точке p , обеспечивают основу для кокасательного пространства в точке p . Тензорное произведение (обозначаемое символом ⊗ ) дает тензорное поле типа (0, 2) , т. е. типа, который ожидает два контравариантных вектора в качестве аргументов. С правой стороны взято симметричное произведение (обозначаемое символом ⊙ или сопоставлением). Равенство выполняется, поскольку по определению метрика Минковского симметрична. ^[21] Обозначение справа также иногда используется для связанного, но другого, линейного элемента . Это не тензор. Для подробного изучения различий и сходств см. Misner, Thorne & Wheeler (1973, вставка 3.2 и раздел 13.2.)

Касательные векторы в этом формализме задаются в терминах базиса дифференциальных операторов первого порядка, где p — событие. Этот оператор, примененный к функции f, дает производную f в точке p в направлении увеличения x ^μ при фиксированном x ^ν , ν ≠ μ . Они обеспечивают базис для касательного пространства в точке p . $${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p},}$$

Внешняя производная df функции f является ковекторным полем , т.е. присвоением котангенсивного вектора каждой точке p , по определению таким образом, что для каждого векторного поля X. Векторным полем является присвоение касательного вектора каждой точке p . В координатах X может быть разложена в каждой точке p по базису, заданному ∂/∂ x ^ν | _p . Применяя это с f = x ^μ , самой функцией координат, и X = ∂/∂ x ^ν , называемым координатным векторным полем , получаем $${\displaystyle df(X)=Xf,}$$ $${\displaystyle dx^{\mu }\left({\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\right)={\frac {\partial x^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}=\delta _{\nu }^{\mu }.}$$

Поскольку это соотношение выполняется в каждой точке p , dx ^μ | _p обеспечивают основу для кокасательного пространства в каждой точке p , а основы dx ^μ | _p и ∂/∂ x ^ν | _p являются двойственными друг другу в каждой точке p . Кроме того, для общих единичных форм на касательном пространстве α , β и общих касательных векторов a , b имеются общие единичные формы . (Это можно принять за определение, но можно доказать и в более общей постановке.) $${\displaystyle \left.dx^{\mu }\right|_{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\right|_{p}\right)=\delta _{\nu }^{\mu }.}$$ $${\displaystyle \alpha \otimes \beta (a,b)=\alpha (a)\beta (b)}$$

Таким образом, когда метрический тензор получает два векторных поля a , b , оба расширенные в терминах базисных координатных векторных полей, результатом будет где a ^μ , b ^ν являются компонентными функциями векторных полей. Вышеуказанное уравнение справедливо в каждой точке p , и это соотношение можно также интерпретировать как метрику Минковского в точке p , примененную к двум касательным векторам в точке p . $${\displaystyle \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }(a,b)=\eta _{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu },}$$

Как уже упоминалось, в векторном пространстве, таком как моделирование пространства-времени специальной теории относительности, касательные векторы могут быть канонически отождествлены с векторами в самом пространстве, и наоборот. Это означает, что касательные пространства в каждой точке канонически отождествляются друг с другом и с самим векторным пространством. Это объясняет, как правая часть приведенного выше уравнения может быть использована напрямую, независимо от точки пространства-времени, в которой должна быть оценена метрика, и откуда (из какого касательного пространства) берутся векторы.

Эта ситуация меняется в общей теории относительности . Там теперь η → g ( p ) , т. е. g по-прежнему является метрическим тензором, но теперь зависящим от пространства-времени и является решением уравнений поля Эйнштейна . Более того, a , b должны быть касательными векторами в точке пространства-времени p и больше не могут свободно перемещаться. $${\displaystyle g(p)_{\mu \nu }\left.dx^{\mu }\right|_{p}\left.dx^{\nu }\right|_{p}(a,b)=g(p)_{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu },}$$

Хронологические и причинно-следственные связи

Пусть x , y ∈ M. Здесь,

1. x хронологически предшествует y , если y − x является направленным в будущее времяподобным. Это отношение имеет транзитивное свойство и поэтому может быть записано как x < y .
2. x каузально предшествует y, если y − x — это направленный в будущее нуль или направленный в будущее времениподобный. Это дает частичное упорядочение пространства-времени и поэтому может быть записано как x ≤ y .

Предположим, что x ∈ M времениподобен. Тогда одновременная гиперплоскость для x — это { y  : η ( x , y ) = 0} . Поскольку эта гиперплоскость меняется при изменении x , в пространстве Минковского существует относительность одновременности .

Обобщения

Лоренцево многообразие является обобщением пространства Минковского двумя способами. Общее число измерений пространства-времени не ограничено 4 ( 2 или более), и лоренцево многообразие не обязательно должно быть плоским, т. е. оно допускает кривизну.

Комплексифицированное пространство Минковского

Комплексифицированное пространство Минковского определяется как M _c = M ⊕ iM . ^[22] Его действительная часть — это пространство Минковского четырехвекторов , таких как четырехскорость и четырехимпульс , которые не зависят от выбора ориентации пространства. Мнимая часть, с другой стороны, может состоять из четырех псевдовекторов, таких как угловая скорость и магнитный момент , которые меняют свое направление при изменении ориентации. Вводится псевдоскаляр i , который также меняет знак при изменении ориентации. Таким образом, элементы M _c не зависят от выбора ориентации.

Структура , подобная внутреннему произведению, на M c определяется как u ⋅ v = η ( u , v ) для любых u , v ∈ M c . Релятивистский чистый спин электрона или любой _{частицы} с половинным спином описывается ρ ∈ M c как ρ = u + is , где u _— четырехмерная скорость частицы , удовлетворяющая u 2 ₌ 1 , а s — четырехмерный вектор спина [ 23 ^] , который также является ^{псевдовектором} Паули –Любанского, удовлетворяющим s ² = −1 и u ⋅ s = 0 .

Обобщенное пространство Минковского

Пространство Минковского относится к математической формулировке в четырех измерениях. Однако математику можно легко расширить или упростить, чтобы создать аналогичное обобщенное пространство Минковского в любом количестве измерений. Если n ≥ 2 , n -мерное пространство Минковского является векторным пространством действительной размерности n, на котором существует постоянная метрика Минковского сигнатуры ( n − 1, 1) или (1, n − 1) . Эти обобщения используются в теориях, где предполагается, что пространство-время имеет больше или меньше 4 измерений. Теория струн и М-теория являются двумя примерами, где n > 4. В теории струн появляются конформные теории поля с 1 + 1 пространственно-временными измерениями.

Пространство де Ситтера можно сформулировать как подмногообразие обобщенного пространства Минковского, как и модельные пространства гиперболической геометрии (см. ниже).

Кривизна

Как плоское пространство-время , три пространственных компонента пространства-времени Минковского всегда подчиняются теореме Пифагора . Пространство Минковского является подходящей основой для специальной теории относительности, хорошего описания физических систем на конечных расстояниях в системах без значительной гравитации . Однако для того, чтобы учесть гравитацию, физики используют общую теорию относительности , которая сформулирована в математике неевклидовой геометрии . Когда эта геометрия используется в качестве модели физического пространства, она известна как искривленное пространство .

Даже в искривленном пространстве пространство Минковского по-прежнему является хорошим описанием в бесконечно малой области, окружающей любую точку (за исключением гравитационных сингулярностей). ^{[nb 6]} Более абстрактно можно сказать, что в присутствии гравитации пространство-время описывается искривленным 4-мерным многообразием , для которого касательное пространство к любой точке является 4-мерным пространством Минковского. Таким образом, структура пространства Минковского по-прежнему существенна в описании общей теории относительности.

Геометрия

Значение термина «геометрия» для пространства Минковского сильно зависит от контекста. Пространство Минковского не наделено евклидовой геометрией и ни одной из обобщенных римановых геометрий с внутренней кривизной, представленных модельными пространствами в гиперболической геометрии (отрицательная кривизна) и геометрией, моделируемой сферой ( положительная кривизна). Причина в неопределенности метрики Минковского. Пространство Минковского, в частности, не является метрическим пространством и не является римановым многообразием с римановой метрикой. Однако пространство Минковского содержит подмногообразия , наделенные римановой метрикой, дающей гиперболическую геометрию.

Модельные пространства гиперболической геометрии низкой размерности, скажем, 2 или 3, не могут быть изометрически вложены в евклидово пространство с еще одним измерением, т. е. или соответственно с евклидовой метрикой , что затрудняет простую визуализацию. ^{[nb 7] [24]} Для сравнения, модельные пространства с положительной кривизной — это просто сферы в евклидовом пространстве с одним большим измерением. ^[25] Гиперболические пространства могут быть изометрически вложены в пространства с еще одним измерением, если пространство вложения наделено метрикой Минковского . ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ ${\displaystyle {\overline {g}}}$ ${\displaystyle \eta }$

Определим как верхний лист ( ) гиперболоида в обобщенном пространстве Минковского размерности пространства-времени Это одна из поверхностей транзитивности обобщенной группы Лоренца. Индуцированная метрика на этом подмногообразии, обратный образ метрики Минковского при включении, является римановой метрикой . С этой метрикой является римановым многообразием . Это одно из модельных пространств римановой геометрии, гиперболоидная модель гиперболического пространства . Это пространство постоянной отрицательной кривизны . ^[26] 1 в верхнем индексе относится к перечислению различных модельных пространств гиперболической геометрии, а n — к ее размерности. A соответствует модели диска Пуанкаре , в то время как соответствует модели полупространства Пуанкаре размерности ${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{1(n)}\subset \mathbf {M} ^{n+1}}$ ${\displaystyle ct>0}$ $${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{1(n)}=\left\{\left(ct,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in \mathbf {M} ^{n}:c^{2}t^{2}-\left(x^{1}\right)^{2}-\cdots -\left(x^{n}\right)^{2}=R^{2},ct>0\right\}}$$ ${\displaystyle \mathbf {M} ^{n+1}}$ ${\displaystyle n+1.}$ $${\displaystyle h_{R}^{1(n)}=\iota ^{*}\eta ,}$$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{1(n)}}$ ${\displaystyle -1/R^{2}}$ ${\displaystyle 2(2)}$ ${\displaystyle 3(n)}$ ${\displaystyle n.}$

Предварительные

В определении выше есть отображение включения , а верхний индекс звездочка обозначает пулбэк . Настоящая цель состоит в том, чтобы описать эту и подобные операции как подготовку к фактической демонстрации, которая на самом деле является гиперболическим пространством. ${\displaystyle \iota :\mathbf {H} _{R}^{1(n)}\rightarrow \mathbf {M} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{1(n)}}$

Гиперболическая стереографическая проекция

Красная дуга окружности является геодезической в ​​модели диска Пуанкаре ; она проецируется на коричневую геодезическую на зеленом гиперболоиде.

Чтобы продемонстрировать метрику, необходимо вытащить ее обратно с помощью подходящей параметризации . Параметризация подмногообразия S многообразия M — это отображение U ⊂ R ^m → M , областью значений которого является открытое подмножество S . Если S имеет ту же размерность, что и M , параметризация — это просто инверсия координатного отображения φ : M → U ⊂ R ^m . Параметризация, которая будет использоваться, — это инверсия гиперболической стереографической проекции . Это показано на рисунке справа для n = 2 . Поучительно сравнить со стереографической проекцией для сфер.

Стереографическая проекция σ : H^н
_Р→ R ⁿ и его обратный σ ⁻¹ : R ⁿ → H^н
_Рзадаются как , где, для простоты, τ ≡ ct . ( τ , x ) — координаты на M ^{n +1} , а u — координаты на R ⁿ . $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} &={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }},\\\sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )&=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right),\end{aligned}}}$$

Подробный вывод

Пусть и пусть $${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{n}=\left\{\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\subset \mathbf {M} :-\tau ^{2}+\left(x^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(x^{n}\right)^{2}=-R^{2},\tau >0\right\}}$$ $${\displaystyle S=(-R,0,\ldots ,0).}$$

Если тогда геометрически ясно, что вектор пересекает гиперплоскость один раз в точке, обозначенной $${\displaystyle P=\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in \mathbf {H} _{R}^{n},}$$ $${\displaystyle {\overrightarrow {PS}}}$$ $${\displaystyle \left\{\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in M:\tau =0\right\}}$$ $${\displaystyle U=\left(0,u^{1}(P),\ldots ,u^{n}(P)\right)\equiv (0,\mathbf {u} ).}$$

Один имеет или $${\displaystyle {\begin{aligned}S+{\overrightarrow {SU}}&=U\Rightarrow {\overrightarrow {SU}}=U-S,\\S+{\overrightarrow {SP}}&=P\Rightarrow {\overrightarrow {SP}}=P-S\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {SU}}&=(0,\mathbf {u} )-(-R,\mathbf {0} )=(R,\mathbf {u} ),\\{\overrightarrow {SP}}&=(\tau ,\mathbf {x} )-(-R,\mathbf {0} )=(\tau +R,\mathbf {x} ).\end{aligned}}.}$$

По построению стереографической проекции имеем $${\displaystyle {\overrightarrow {SU}}=\lambda (\tau ){\overrightarrow {SP}}.}$$

Это приводит к системе уравнений $${\displaystyle {\begin{aligned}R&=\lambda (\tau +R),\\\mathbf {u} &=\lambda \mathbf {x} .\end{aligned}}}$$

Первое из них решается относительно λ и получается для стереографической проекции $${\displaystyle \sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} ={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }}.}$$

Далее необходимо вычислить обратную величину σ ⁻¹ ( u ) = ( τ , x ) . Используйте те же соображения, что и раньше, но теперь с получаем но теперь с λ в зависимости от u . Условие для P, лежащего в гиперболоиде, равно или приводит к $${\displaystyle {\begin{aligned}U&=(0,\mathbf {u} )\\P&=(\tau (\mathbf {u} ),\mathbf {x} (\mathbf {u} )).\end{aligned}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &={\frac {R(1-\lambda )}{\lambda }},\\\mathbf {x} &={\frac {\mathbf {u} }{\lambda }},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle -\tau ^{2}+|\mathbf {x} |^{2}=-R^{2},}$$ $${\displaystyle -{\frac {R^{2}(1-\lambda )^{2}}{\lambda ^{2}}}+{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{\lambda ^{2}}}=-R^{2},}$$ $${\displaystyle \lambda ={\frac {R^{2}-|u|^{2}}{2R^{2}}}.}$$

При таком λ получаем $${\displaystyle \sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right).}$$

Откат метрики назад

У одного есть и карта $${\displaystyle h_{R}^{1(n)}=\eta |_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}\right)^{2}-d\tau ^{2}}$$ $${\displaystyle \sigma ^{-1}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {H} _{R}^{1(n)};\quad \sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau (\mathbf {u} ),\,\mathbf {x} (\mathbf {u} ))=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},\,{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right).}$$

Полученную метрику можно получить с помощью простых методов исчисления; $${\displaystyle \left.\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}\eta \right|_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}(\mathbf {u} )\right)^{2}-\left(d\tau (\mathbf {u} )\right)^{2}.}$$

Вычисляют по стандартным правилам вычисления дифференциалов (хотя на самом деле вычисляют строго определенные внешние производные) и подставляют результаты в правую часть. Это дает $${\displaystyle {\begin{aligned}dx^{1}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {\partial }{\partial u^{1}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{1}+\cdots +{\frac {\partial }{\partial u^{n}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{n}+{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}d\tau ,\\&\ \ \vdots \\dx^{n}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{n}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\\d\tau (\mathbf {u} )&=d\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}={\frac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\equiv h_{R}^{2(n)}.}$$

Последнее уравнение показывает, что метрика на шаре идентична римановой метрике h^{2( н )}
_Рв модели шара Пуанкаре , другой стандартной модели гиперболической геометрии.

Смотрите также

• Гиперболический кватернион
• Гиперпространство
• Введение в математику общей теории относительности
• Плоскость Минковского

Замечания

1. Это делает расстояние в пространстве-времени инвариантом .
2. Последовательное использование терминов «внутреннее произведение Минковского», «норма Минковского» или «метрика Минковского» предназначено для билинейной формы здесь, поскольку она широко используется. Она никоим образом не является «стандартной» в литературе, но стандартной терминологии, похоже, не существует.
3. Переведите систему координат так, чтобы событие стало новым началом координат.
4. Это соответствует тому, что временная координата либо увеличивается, либо уменьшается, когда собственное время для любой частицы увеличивается. Применение T меняет это направление.
5. Для сравнения и обоснования терминологии возьмем риманову метрику , которая дает положительно определенную симметричную билинейную форму, т.е. скалярное произведение, собственное в каждой точке многообразия.
6. Это сходство между плоским пространством и искривленным пространством на бесконечно малых расстояниях является основополагающим для определения многообразия в целом.
7. Согласно теореме Нэша о вложении (Nash (1956)), существует изометрическое вложение в ℝ n ^, но размерность вложения гораздо выше, n = ( m /2)( m + 1)(3 m + 11) для риманова многообразия размерности m .

Примечания

1. "Minkowski" Архивировано 22.06.2019 в Wayback Machine . Несокращенный словарь Random House Webster .
2. Ли 1997, стр. 31
3. Шутц, Джон В. (1977). Независимые аксиомы для пространства-времени Минковского (иллюстрированное издание). CRC Press. С. 184–185. ISBN 978-0-582-31760-4.Выдержка из страницы 184
4. Пуанкаре 1905–1906, стр. 129–176 Перевод Wikisource: О динамике электрона
5. Минковский 1907–1908, стр. 53–111 *Перевод Wikisource: s:Перевод:Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах
6. Minkowski 1908–1909, стр. 75–88 Различные английские переводы на Wikisource: "Space and Time"
7. Корнелиус Ланцош (1972) «Путь Эйнштейна от специальной к общей теории относительности», страницы 5–19 из «Общей теории относительности: статьи в честь Дж. Л. Синджа» , редактор Л. О'Раиферта, Clarendon Press , см. стр. 11
8. См. доказательство Шютца, стр. 148, а также Набера, стр. 48.
9. Шутц стр. 148, Набер стр. 49
10. Шутц стр. 148
11. Ли 1997, стр. 15
12. Ли 2003, см. обсуждение Ли геометрических касательных векторов в начале главы 3.
13. Джулини 2008 стр. 5, 6
14. Грегори Л. Набер (2003). Геометрия пространства-времени Минковского: Введение в математику специальной теории относительности (иллюстрированное издание). Courier Corporation. стр. 8. ISBN 978-0-486-43235-9. Архивировано из оригинала 2022-12-26 . Получено 2022-12-26 .Выдержка из страницы 8 Архивировано 26.12.2022 на Wayback Machine
15. Шон М. Кэрролл (2019). Пространство-время и геометрия (иллюстрировано, под ред. Herdruk). Cambridge University Press. стр. 7. ISBN 978-1-108-48839-6.
16. Сард 1970, стр. 71
17. Минковский, Ландау и Лифшиц 2002, стр. 4
18. Misner, Thorne & Wheeler 1973
19. Ли 2003. Один момент в доказательстве Ли существования этого отображения нуждается в модификации (Ли имеет дело с римановыми метриками .). Там, где Ли ссылается на положительную определенность, чтобы показать инъективность отображения, вместо этого нужно обратиться к невырожденности.
20. Ли 2003, Изоморфизм касательных-котангенсов, стр. 282
21. Ли 2003
22. Y. Friedman, Физически значимое релятивистское описание спинового состояния электрона, Symmetry 2021, 13(10), 1853; https://doi.org/10.3390/sym13101853 Архивировано 13 августа 2023 г. на Wayback Machine
23. Джексон, Дж. Д., Классическая электродинамика, 3-е изд.; John Wiley \& Sons: Хобокен, Нью-Джерси, США, 1998
24. Ли 1997, стр. 66
25. Ли 1997, стр. 33
26. Ли 1997

Ссылки

• Корри, Л. (1997). «Герман Минковский и постулат относительности». Arch. Hist. Exact Sci . 51 (4): 273–314. doi :10.1007/BF00518231. ISSN  0003-9519. S2CID  27016039.
• Catoni, F.; et al. (2008). Математика пространства-времени Минковского . Frontiers in Mathematics. Базель: Birkhäuser Verlag . doi :10.1007/978-3-7643-8614-6. ISBN 978-3-7643-8613-9. ISSN  1660-8046.
• Galison, PL (1979). R McCormach; et al. (ред.). Пространство–время Минковского: от визуального мышления к абсолютному миру . Исторические исследования в области физических наук. Том 10. Johns Hopkins University Press . С. 85–121. doi :10.2307/27757388. JSTOR  27757388.
• Джулини Д. Богатая структура пространства Минковского, https://arxiv.org/abs/0802.4345v1.
• Клеппнер, Д .; Коленков, Р.Дж. (1978) [1973]. Введение в механику. Лондон: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-035048-9.
• Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Т. 2 (4-е изд.). Баттерворт–Хайнеман . ISBN 0-7506-2768-9.
• Ли, Дж. М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Springer Graduate Texts in Mathematics. Том 218. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Ли, Дж. М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Springer Graduate Texts in Mathematics. ISBN 978-1-4419-9981-8.
• Ли, Дж. М. (1997). Римановы многообразия – Введение в кривизну . Springer Graduate Texts in Mathematics. Том 176. Нью-Йорк · Берлин · Гейдельберг: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
• Минковский, Герман (1907–1908), «  Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern» [Фундаментальные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 53–1: 11
  • Опубликованный перевод: Карус, Эдвард Х. (1918). «Пространство и время». Монист . 28 (288): 288–302. doi :10.5840/monist19182826.
  • Перевод Wikisource: Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах
• Минковский, Герман (1908–1909), «Raum und Zeit»  [Пространство и время], Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88.Различные переводы на английский язык в Викиресурсе: Пространство и время.
• Мизнер, Чарльз В .; Торн, Кип. С.; Уиллер , Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0.
• Набер, ГЛ (1992). Геометрия пространства-времени Минковского . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97848-2.
• Нэш, Дж. (1956). «Проблема вложения римановых многообразий». Annals of Mathematics . 63 (1): 20–63. doi :10.2307/1969989. JSTOR  1969989. MR  0075639.
• Пенроуз, Роджер (2005). "18 геометрий Минковского". Дорога к реальности: полное руководство по законам Вселенной. Альфред А. Кнопф . ISBN 9780679454434.
• Пуанкаре, Анри (1905–1906), «Sur la dynamice de l'électron» [О динамике электрона], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129–176, Бибкод : 1906RCMP...21..129P , doi : 10.1007/BF03013466, hdl : 2027/uiug.30112063899089, S2CID  120211823Перевод Wikisource: О динамике электрона
• Робб А.А.: Оптическая геометрия движения; новый взгляд на теорию относительности. Кембридж, 1911 г. (Хефферс). http://www.archive.org/details/opticalgeometryoOOrobbrich.
• Робб АА: Геометрия времени и пространства, 1936 Cambridge Univ Press http://www.archive.org/details/geometryoftimean032218mbp.
• Сард, РД (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Benjamin. ISBN 978-0805384918.
• Шоу, Р. (1982). "§ 6.6 Пространство Минковского, § 6.7,8 Канонические формы, стр. 221–242". Линейная алгебра и представления групп . Academic Press . ISBN 978-0-12-639201-2.
• Уолтер, Скотт А. (1999). «Минковский, математики и математическая теория относительности». В Goenner, Hubert; et al. (ред.). Расширяющиеся миры общей теории относительности . Бостон: Birkhäuser. стр. 45–86. ISBN 978-0-8176-4060-6.
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, т. 1, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55001-7.

Внешние ссылки

Медиафайлы по теме Диаграммы Минковского на Wikimedia Commons

• Анимационный клип на YouTube, визуализирующий пространство Минковского в контексте специальной теории относительности.
• Геометрия специальной теории относительности: пространство Минковского – световой конус времени
• Пространство Минковского в PhilPapers