Тянь Ган ( китайский :田刚; родился 24 ноября 1958 года) [1] — китайский математик. Он является профессором математики в Пекинском университете и почетным профессором Хиггинса в Принстонском университете . Он известен за вклад в математические области кэлерова геометрия , теория Громова-Виттена и геометрический анализ .
С 2020 года он является заместителем председателя Китайской демократической лиги и президентом Китайского математического общества . С 2017 по 2019 год он занимал должность вице-президента Пекинского университета .
Тянь родился в Нанкине , Цзянсу , Китай. Он сдал второй вступительный экзамен в колледж после Культурной революции в 1978 году. Он окончил Нанкинский университет в 1982 году и получил степень магистра в Пекинском университете в 1984 году. В 1988 году он получил докторскую степень по математике в Гарвардском университете под руководством Шин-Тун Яу .
В 1998 году он был назначен профессором Cheung Kong Scholar в Пекинском университете. Позже его назначение было изменено на должность профессора кафедры Cheung Kong Scholar. Он был профессором математики в Массачусетском технологическом институте с 1995 по 2006 год (занимая кафедру профессора математики Саймонса с 1996 года). Его работа в Принстоне началась с 2003 года, и позже он был назначен профессором математики Хиггинса. С 2005 года он был директором Пекинского международного центра математических исследований (BICMR); [2] с 2013 по 2017 год он был деканом Школы математических наук Пекинского университета. [3] Он и Джон Милнор являются старшими учеными Математического института Клэя (CMI). В 2011 году Тянь стал директором Китайско-французской исследовательской программы по математике в Национальном центре научных исследований (CNRS) в Париже . В 2010 году он стал научным консультантом Международного центра теоретической физики в Триесте , Италия. [4]
Тянь работал во многих комитетах, включая комитеты премии Абеля и премии Лероя П. Стила . [5] Он является членом редколлегий многих журналов, включая Advances in Mathematics и Journal of Geometric Analysis. В прошлом он был членом редколлегий Annals of Mathematics и Journal of the American Mathematical Society .
Среди его наград и почестей:
Начиная с 2013 года он активно участвует в политической жизни Китая, занимая пост заместителя председателя Демократической лиги Китая , второй по численности политической партии в Китае .
Тянь хорошо известен своим вкладом в геометрию Кэлера , и в частности в изучение метрик Кэлера-Эйнштейна . Шинг-Тун Яу в своем знаменитом разрешении гипотезы Калаби разрешил случай замкнутых кэлеровых многообразий с неположительным первым классом Черна. Его работа по применению метода непрерывности показала, что C 0- контроля потенциалов Кэлера будет достаточно для доказательства существования метрик Кэлера-Эйнштейна на замкнутых кэлеровых многообразиях с положительным первым классом Черна , также известных как «многообразия Фано». Тянь и Яу распространили анализ Яу гипотезы Калаби на некомпактные установки, где они получили частичные результаты. [TY90] Они также расширили свою работу, чтобы разрешить орбифолдные сингулярности. [TY91]
Тянь ввел « α -инвариант», который по сути является оптимальной константой в неравенстве Мозера-Трудингера при применении к потенциалам Кэлера с супремальным значением 0. Он показал, что если α -инвариант достаточно велик (т. е. если выполняется достаточно сильное неравенство Мозера-Трудингера), то можно достичь контроля C 0 в методе непрерывности Яу. [T87b] Это было применено для демонстрации новых примеров поверхностей Кэлера-Эйнштейна. Случай поверхностей Кэлера был повторно рассмотрен Тянем в 1990 году, что дало полное решение проблемы Кэлера-Эйнштейна в этом контексте. [T90b] Основной метод состоял в изучении возможных геометрических вырождений последовательности метрик Кэлера-Эйнштейна, обнаруживаемых сходимостью Громова-Хаусдорфа . Тянь адаптировал многие технические инновации Карен Уленбек , разработанные для связей Янга-Миллса, к настройке метрик Кэлера. Некоторые похожие и влиятельные работы в римановой настройке были выполнены в 1989 и 1990 годах Майклом Андерсоном , Шигетоши Бандо, Ацуши Касуэ и Хираку Накадзимой . [6] [7] [8]
Самый известный вклад Тиана в проблему Кэлера-Эйнштейна был сделан в 1997 году. Яу предположил в 1980-х годах, основываясь частично на аналогии с теоремой Дональдсона-Уленбека-Яу , что существование метрики Кэлера-Эйнштейна должно соответствовать устойчивости базового кэлерова многообразия в определенном смысле геометрической инвариантной теории . Было общепризнанно, особенно после работы Акито Футаки [9] , что существование голоморфных векторных полей должно выступать в качестве препятствия к существованию метрик Кэлера-Эйнштейна. Тянь и Вэй Юэ Дин установили, что это препятствие не является достаточным в классе кэлеровых орбифолдов . [DT92] В своей статье 1997 года Тиан привел конкретные примеры кэлеровых многообразий (а не орбифолдов), которые не имели голоморфных векторных полей и метрик Кэлера-Эйнштейна, показав, что желаемый критерий лежит глубже. [T97] Яу предположил, что вместо голоморфных векторных полей на самом многообразии, было бы уместно изучать деформации проективных вложений кэлеровых многообразий под действием голоморфных векторных полей на проективном пространстве. Эта идея была модифицирована Тианом, который ввел понятие K-устойчивости и показал, что любое кэлерово-эйнштейновское многообразие должно быть K-устойчивым . [T97]
Саймон Дональдсон в 2002 году изменил и расширил определение К-стабильности Тяня. [10] Гипотеза о том, что К-стабильность будет достаточной для обеспечения существования метрики Кэлера-Эйнштейна, стала известна как гипотеза Яу-Тяня-Дональдсона . В 2015 году Сюсюн Чэнь , Дональдсон и Сун Сан опубликовали доказательство гипотезы, получив за свою работу премию Освальда Веблена по геометрии . [11] [12] [13] Тянь опубликовал доказательство гипотезы в том же году, хотя Чэнь, Дональдсон и Сан обвинили Тяня в академической и математической недобросовестности из-за его статьи. [T15] [14] [15]
В одной из своих первых статей Тиан изучал пространство метрик Калаби-Яу на кэлеровом многообразии. [T87a] Он показал, что любая бесконечно малая деформация структуры Калаби-Яу может быть «интегрирована» в однопараметрическое семейство метрик Калаби-Яу; это доказывает, что «пространство модулей» метрик Калаби-Яу на данном многообразии имеет структуру гладкого многообразия. Это также изучалось ранее Андреем Тодоровым, и результат известен как теорема Тиана-Тодорова. [16] В качестве приложения Тиан нашел формулу для метрики Вейля-Петерссона на пространстве модулей метрик Калаби-Яу в терминах отображения периодов . [T87a] [17]
Мотивированный проблемой Кэлера-Эйнштейна и гипотезой Яу, касающейся метрик Бергмана , Тиан изучал следующую проблему. Пусть L — линейное расслоение над кэлеровым многообразием M , и фиксируем эрмитову расслоенную метрику, форма кривизны которой является кэлеровой формой на M. Предположим, что для достаточно большого m ортонормированный набор голоморфных сечений линейного расслоения L ⊗ m определяет проективное вложение M. Можно оттянуть метрику Фубини-Штуди , чтобы определить последовательность метрик на M по мере увеличения m . Тиан показал, что определенное масштабирование этой последовательности обязательно сойдется в топологии C 2 к исходной кэлеровой метрике. [T90a] Уточненная асимптотика этой последовательности была рассмотрена в ряде влиятельных последующих статей других авторов и особенно важна в программе Саймона Дональдсона по экстремальным метрикам. [18] [19] [20] [21] [22] Аппроксимируемость кэлеровой метрики кэлеровыми метриками, индуцированными из проективных вложений, также имеет отношение к картине Яу гипотезы Яу-Тяна-Дональдсона, как указано выше.
В высокотехнической статье Сюсюн Чэнь и Тянь изучили теорию регулярности некоторых сложных уравнений Монжа-Ампера с приложениями к изучению геометрии экстремальных метрик Кэлера. [CT08] Хотя их статья очень широко цитировалась, Юлиус Росс и Дэвид Витт Нюстрём нашли контрпримеры к результатам регулярности Чэня и Тяня в 2015 году. [23] Неясно, какие результаты статьи Чэня и Тяня остаются в силе.
В 1985 году Михаил Громов показал, что псевдоголоморфные кривые являются мощными инструментами в симплектической геометрии . [24] В 1991 году Эдвард Виттен предположил возможность использования теории Громова для определения перечислительных инвариантов . [25] Тянь и Юнбинь Руан нашли детали такой конструкции, доказав, что различные пересечения образов псевдоголоморфных кривых не зависят от многих выборов и, в частности, дают ассоциативное полилинейное отображение на гомологии определенных симплектических многообразий. [RT95] Эта структура известна как квантовые когомологии ; современный и столь же влиятельный подход принадлежит Дузэ Макдафф и Дитмару Саламону . [26] Результаты Руана и Тяна находятся в несколько более общей постановке.
Совместно с Цзюнь Ли Тянь дал чисто алгебраическую адаптацию этих результатов к заданию алгебраических многообразий . [LT98b] Это было сделано в то же время, что и Кай Беренд и Барбара Фантечи , с использованием другого подхода. [27]
Ли и Тянь затем адаптировали свою алгебро-геометрическую работу обратно к аналитической обстановке в симплектических многообразиях, расширяя более раннюю работу Жуаня и Тяня. [LT98a] Тянь и Ган Лю использовали эту работу, чтобы доказать известную гипотезу Арнольда о числе неподвижных точек гамильтоновых диффеоморфизмов. [LT98c] Однако эти статьи Ли-Тяня и Лю-Тяня по симплектической теории Громова-Виттена подверглись критике со стороны Дузы Макдафф и Катрин Верхейм как неполные или неверные, заявив, что статья Ли и Тяня [LT98a] «почти не содержит подробностей» по некоторым пунктам и что статья Лю и Тяня [LT98c] содержит «серьёзные аналитические ошибки». [28]
В 1995 году Тянь и Вэйюэ Дин изучали гармоническое отображение теплового потока двумерного замкнутого риманова многообразия в замкнутое риманово многообразие N . [DT95] В основополагающей работе 1985 года, после прорыва 1982 года Джонатана Сакса и Карен Уленбек , Майкл Струве изучил эту проблему и показал, что существует слабое решение, которое существует для всех положительных времен. Кроме того, Струве показал, что решение u является гладким вдали от конечного числа точек пространства-времени; если задана любая последовательность точек пространства-времени, в которых решение является гладким и которые сходятся к заданной особой точке ( p , T ) , можно выполнить некоторые перемасштабирования, чтобы (последовательно) определить конечное число гармонических отображений из круглой 2-мерной сферы в N , называемых «пузырями». Дин и Тянь доказали определенное «квантование энергии», означающее, что дефект между энергией Дирихле u ( T ) и пределом энергии Дирихле u ( t ) при приближении t к T точно измеряется суммой энергий Дирихле пузырьков. Такие результаты имеют важное значение в геометрическом анализе, следуя первоначальному результату квантования энергии Юм-Тонг Сиу и Шинг-Тунг Яу в их доказательстве гипотезы Франкеля. [29] Аналогичная проблема для гармонических отображений , в отличие от рассмотрения Дин и Тянь потока гармонического отображения, была рассмотрена Чанъю Ваном примерно в то же время. [30]
Основная статья Тиана была посвящена уравнениям Янга-Миллса . [T00a] Помимо расширения большей части анализа Карен Уленбек на более высокие измерения, он изучал взаимодействие теории Янга-Миллса с калиброванной геометрией . В 1980-х годах Уленбек показала, что при задании последовательности связей Янга-Миллса с равномерно ограниченной энергией они будут гладко сходиться на дополнении подмножества коразмерности не менее четырех, известном как дополнение «сингулярного множества». Тиан показал, что сингулярное множество является спрямляемым множеством . В случае, если многообразие снабжено калибровкой, можно ограничить интерес связями Янга-Миллса, которые являются самодуальными относительно калибровки. В этом случае Тиан показал, что сингулярное множество калибровано. Например, сингулярное множество последовательности эрмитовых связей Янга-Миллса с равномерно ограниченной энергией будет голоморфным циклом. Это важная геометрическая особенность анализа связей Янга-Миллса.
В 2006 году Тянь и Чжоу Чжан изучили поток Риччи в специальной постановке замкнутых кэлеровых многообразий . [TZ06] Их главным достижением было показать, что максимальное время существования можно охарактеризовать в чисто когомологических терминах. Это представляет собой один из смыслов, в котором поток Кэлера-Риччи значительно проще обычного потока Риччи, где нет (известного) вычисления максимального времени существования из заданного геометрического контекста. Доказательство Тяня и Чжана состоит из использования скалярного принципа максимума , применяемого к различным геометрическим уравнениям эволюции, в терминах кэлерова потенциала, параметризованного линейной деформацией форм, которая когомологична самому потоку Кэлера-Риччи. В заметной работе с Цзянем Сонгом Тянь проанализировал поток Кэлера-Риччи на некоторых двумерных комплексных многообразиях. [ST07]
В 2002 и 2003 годах Григорий Перельман опубликовал три статьи на arXiv , которые якобы доказали гипотезу Пуанкаре и гипотезу геометризации в области трехмерной геометрической топологии . [31] [32] [33] Статьи Перельмана были немедленно признаны за многие из их новых идей и результатов, хотя технические детали многих из его аргументов считались труднопроверяемыми. В сотрудничестве с Джоном Морганом Тянь опубликовал изложение статей Перельмана в 2007 году, заполнив многие детали. [MT07] Другие изложения, которые также широко изучались, были написаны Хуай-Дун Цао и Си-Пин Чжу , а также Брюсом Кляйнером и Джоном Лоттом . [34] [35] Изложение Моргана и Тиана является единственным из трех, которое касается третьей статьи Перельмана, [33] которая не имеет отношения к анализу гипотезы геометризации, но использует поток сокращения кривой , чтобы предоставить более простой аргумент для особого случая гипотезы Пуанкаре. Через восемь лет после публикации книги Моргана и Тиана Аббас Бахри указал на часть их изложения этой статьи, которая была ошибочной, поскольку они полагались на неверные вычисления уравнений эволюции. [36] Ошибка, которая касалась деталей, отсутствовавших в статье Перельмана, была вскоре исправлена Морганом и Тианом. [37]
В сотрудничестве с Наташей Шешум Тиан также опубликовал изложение работы Перельмана о потоке Риччи кэлеровых многообразий, которое Перельман не опубликовал ни в какой форме. [38]
Научные статьи.
Книги.