Шинг-Тун Яу ( / j aʊ / ; китайский :丘成桐; пиньинь : Цю Чэнтонг ; родился 4 апреля 1949 года) — американский математик китайско-американского происхождения . Он является директором Центра математических наук Яу в Университете Цинхуа и почетным профессором Гарвардского университета . До 2022 года Яу был профессором математики Уильяма Каспара Граустейна в Гарварде, после чего переехал в Цинхуа. [1] [2]
Яу родился в Сватоу, Кантон, Китайская Республика, в молодом возрасте переехал в Британский Гонконг , а затем в 1969 году переехал в Соединенные Штаты. В 1982 году он был награжден медалью Филдса в знак признания его вклада в разработку уравнений в частных производных. , гипотеза Калаби , теорема о положительной энергии и уравнение Монжа–Ампера . [3] Яу считается одним из основных вкладчиков в развитие современной дифференциальной геометрии и геометрического анализа . Влияние работ Яу также наблюдается в математических и физических областях выпуклой геометрии , алгебраической геометрии , перечислительной геометрии , зеркальной симметрии , общей теории относительности и теории струн , в то время как его работы также затронули прикладную математику , инженерное дело и численный анализ .
Яу родился в Шаньтоу , Гуандун , Китайская Республика, в 1949 году в семье хакка . [YN19] Его родной город — уезд Цзяолин , Китай. [YN19] Его мать, Юк Лам Люн, была из района Мэйсянь , Китай; его отец, Чэнь Ин Цзю (丘鎭英), был гоминьдановским учёным в области философии, истории, литературы и экономики Китайской Республики. [YN19] Он был пятым из восьми детей. [4]
Во время коммунистического захвата материкового Китая, когда ему было всего несколько месяцев, его семья переехала в Британский Гонконг, где его обучение (за исключением уроков английского) полностью проходило на кантонском языке, а не на родном китайском языке его родителей хакка . [YN19] Он не смог вернуться сюда до 1979 года по приглашению Хуа Луогена , когда материковый Китай вступил в эпоху реформ и открытости . [YN19] Сначала они жили в Юэнь Луне , а затем переехали в Шатин в 1954 году. [YN19] У них были финансовые проблемы из-за потери всего своего имущества, а его отец и вторая старшая сестра умерли, когда ему было тринадцать. [YN19] Яу начал читать и ценить книги своего отца и стал более увлечен школьными занятиями. После окончания средней школы Пуй Чинг он изучал математику в Китайском университете Гонконга с 1966 по 1969 год, не получив ученой степени из-за досрочного окончания учебы. [YN19] Он оставил свои учебники своему младшему брату Стивену Шинг-Тунг Яу , который затем решил также заняться математикой.
Яу ушел в докторантуру. Программа по математике в Калифорнийском университете в Беркли осенью 1969 года. Во время зимних каникул он прочитал первые выпуски «Журнала дифференциальной геометрии» и был глубоко вдохновлен статьями Джона Милнора по геометрической теории групп . [5] [YN19] Впоследствии он сформулировал обобщение теоремы Прейссмана и в следующем семестре развил свои идеи вместе с Блейном Лоусоном . [6] Используя эту работу, он получил докторскую степень. в следующем, 1971 году, под руководством Шиинг-Шен Чёрна . [7]
Он проработал год в качестве члена Института перспективных исследований в Принстоне, а затем поступил в Университет Стоуни-Брук в 1972 году в качестве доцента. В 1974 году он стал доцентом Стэнфордского университета . [8] В 1976 году он устроился на должность приглашенного преподавателя в Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе и женился на физике Ю-Юн Куо, которого знал еще со времен, когда учился в аспирантуре в Беркли. [8] В 1979 году он вернулся в Институт перспективных исследований и стал там профессором в 1980 году. [8] В 1984 году он занял должность профессора в Калифорнийском университете в Сан-Диего . [9] В 1987 году он переехал в Гарвардский университет . [8] [10] В апреле 2022 года Яу ушел из Гарварда, где он был почетным профессором математики Уильяма Каспара Граустейна. [8] В том же году он перешел в Университет Цинхуа в качестве профессора математики. [8] [2]
Согласно автобиографии Яу, он стал « апатридом » в 1978 году после того, как британское консульство лишило его вида на жительство в Гонконге из-за его статуса постоянного жителя США . [11] [12] Что касается своего статуса при получении Филдсовской медали в 1982 году, Яу заявил: «Я с гордостью могу сказать, что, когда я был награжден Филдсовской медалью по математике, у меня не было паспорта какой-либо страны, и меня, безусловно, следует считать китайцем. " [13] Яу оставался «апатридом» до 1990 года, когда он получил гражданство США. [11] [14]
Совместно с научным журналистом Стивом Надисом Яу написал нетехнический отчет о многообразиях Калаби-Яу и теории струн , [YN10] — историю математического факультета Гарварда, [NY13] — обоснование строительства кругового электрон-позитронного коллайдера в Китае. [NY15] автобиография, [YN19] и книга о связи геометрии с физикой. [Нью-Йорк 24]
Яу внес крупный вклад в развитие современной дифференциальной геометрии и геометрического анализа . Как сказал Уильям Терстон в 1981 году: [15]
У нас редко была возможность стать свидетелем того, как работа одного математика за короткий промежуток времени повлияла на направление целых областей исследований. В области геометрии одним из самых замечательных примеров такого явления за последнее десятилетие являются работы Шинг-Тунг Яу.
Его наиболее широко известные результаты включают решение (совместно с Шиу-Юэнем Ченгом ) краевой задачи для уравнения Монжа-Ампера , теорему о положительной массе в математическом анализе общей теории относительности (достигнутую с Ричардом Шоном ), решение гипотеза Калаби , топологическая теория минимальных поверхностей (совместно с Уильямом Миксом ), теорема Дональдсона-Уленбека-Яу (выполненная совместно с Карен Уленбек ), а также оценки градиента Ченг-Яу и Ли-Яу для уравнений в частных производных (найденные с помощью Шиу-Юэня Ченг и Питер Ли ). Многие результаты Яу (помимо результатов других) были записаны в учебники, написанные в соавторстве с Шеном. [SY94] [SY97]
Помимо своих исследований, Яу является основателем и директором нескольких математических институтов, в основном в Китае. Джон Коутс отметил, что «ни один другой математик нашего времени не приблизился» к успеху Яу в сборе средств для математической деятельности в материковом Китае и Гонконге. [6] Во время творческого года в Национальном университете Цинхуа на Тайване Чарльз Као попросил Яу открыть математический институт в Китайском университете Гонконга . После нескольких лет усилий по сбору средств Яу в 1993 году основал многопрофильный Институт математических наук, а его частый соавтор Шиу-Юэнь Ченг стал заместителем директора. В 1995 году Яу помогал Юнсяну Лу собрать деньги от Морнингсайдской группы Ронни Чана и Джеральда Чана для нового Морнингсайдского математического центра Китайской академии наук . Яу также работал в Центре математических наук Чжэцзянского университета , [16] в Университете Цинхуа , [17] в Национальном тайваньском университете , [18] и в Санье . [19] Совсем недавно, в 2014 году, Яу собрал деньги на создание Центра математических наук и приложений (директором которого он является), Центра зеленых зданий и городов и Центра иммунологических исследований — все в Гарвардском университете. [20]
По образцу более ранней конференции по физике, организованной Цунг-Дао Ли и Чэнь-Нин Яном , Яу предложил провести Международный конгресс китайских математиков , который теперь проводится каждые три года. Первый конгресс проходил в Морнингсайд-центре с 12 по 18 декабря 1998 года. Он является соорганизатором ежегодных конференций «Журнал дифференциальной геометрии» и «Текущие достижения в математике». Яу — главный редактор журналов «Дифференциальная геометрия» , [21], «Азиатский журнал математики» , [22] и «Достижения в области теоретической и математической физики» . [23] По состоянию на 2021 год он консультировал более семидесяти кандидатов наук. студенты. [7]
В Гонконге при поддержке Ронни Чана Яу учредил премию Hang Lung Award для старшеклассников. Он также организовывал встречи для старшеклассников и студентов колледжей и участвовал в них, например, в панельных дискуссиях « Почему математика?». Спросите Мастеров! в Ханчжоу , июль 2004 г., и «Чудо математики» в Гонконге, декабрь 2004 г. Яу также был одним из инициаторов серии книг по популярной математике «Математика и математические люди».
В 2002 и 2003 годах Григорий Перельман разместил на arXiv препринты , утверждая, что доказал гипотезу геометризации Терстона и, в частном случае, знаменитую гипотезу Пуанкаре . Хотя его работа содержала много новых идей и результатов, в его доказательствах не хватало подробностей по ряду технических аргументов. [24] В течение следующих нескольких лет несколько математиков посвятили свое время детальной проработке и представлению работ Перельмана математическому сообществу. [25] Известная статья в журнале New Yorker , опубликованная в августе 2006 года Сильвией Назар и Дэвидом Грубером о ситуации, привлекла внимание общественности к некоторым профессиональным спорам с участием Яу. [13] [14]
Яу утверждал, что статья Насара и Грубера носила клеветнический характер и содержала ряд неправд, и что они не давали ему возможности представлять свою точку зрения в споре. Он подумывал подать иск против журнала, заявив о профессиональном ущербе, но, по его словам, решил, что недостаточно ясно, к чему приведет такое действие. [YN19] Он создал веб-сайт по связям с общественностью, на котором в ответ на статью в New Yorker писали несколько математиков, в том числе он сам и двое других, цитируемых в статье. [30]
В своей автобиографии Яу сказал, что его заявления в 2006 году, например, о том, что Цао и Чжу дали «первый полный и подробный отчет о доказательстве гипотезы Пуанкаре», следовало бы сформулировать более тщательно. Хотя он и считает, что работа Цао и Чжу является первым и наиболее подробно описанным трудом Перельмана, он говорит, что ему следовало пояснить, что они «ни в чем не превзошли работу Перельмана». [YN19] Он также придерживался мнения, что (по состоянию на 2019 год) заключительные части доказательства Перельмана должны быть лучше поняты математическим сообществом, с соответствующей вероятностью того, что останутся некоторые незамеченные ошибки.
Яу внес ряд крупных исследовательских работ, посвященных дифференциальной геометрии и ее появлению в других областях математики и естественных наук. В дополнение к своим исследованиям Яу собрал влиятельные наборы открытых задач дифференциальной геометрии, включая как хорошо известные старые гипотезы, так и новые предложения и проблемы. Два из наиболее широко цитируемых списков задач Яу 1980-х годов были обновлены заметками о прогрессе по состоянию на 2014 год. [31] Особенно хорошо известны гипотеза о существовании минимальных гиперповерхностей и о спектральной геометрии минимальных гиперповерхностей .
В 1978 году, изучая комплексное уравнение Монжа–Ампера , Яу разрешил гипотезу Калаби , выдвинутую Эухенио Калаби в 1954 году. [Y78a] В качестве частного случая это показало, что метрики Кэлера-Эйнштейна существуют на любом замкнутом кэлеровом многообразии , у которого первый класс Черна неположителен. Метод Яу адаптировал более раннюю работу Калаби, Юргена Мозера и Алексея Погорелова , разработанную для квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных и вещественного уравнения Монжа-Ампера , к постановке комплексного уравнения Монжа-Ампера. [32] [33] [34] [35]
Понимание гипотезы Калаби в некомпактной ситуации менее однозначно. Ган Тянь и Яу расширили анализ Яу комплексного уравнения Монжа-Ампера на некомпактную ситуацию, где использование обрезающих функций и соответствующих интегральных оценок потребовало условного предположения о некоторой контролируемой геометрии вблизи бесконечности. [TY90] Это сводит проблему к вопросу о существовании кэлеровых метрик с такими асимптотическими свойствами; они получили такие метрики для некоторых гладких квазипроективных комплексных многообразий . Позже они расширили свою работу, включив в нее орбифолдные особенности . [TY91] Вместе с Брайаном Грином , Альфредом Шаперем и Камруном Вафой Яу представил анзац для метрики Кэлера на множестве регулярных точек некоторых сюръективных голоморфных отображений с кривизной Риччи, близкой к нулю. [G+90] Они смогли применить теорему существования Тянь-Яу для построения кэлеровой метрики, которая является в точности Риччи-плоской. Анзац Грина-Шейпера-Вафа-Яу и его естественное обобщение, теперь известное как полуплоская метрика , стали важными в ряде анализов проблем кэлеровой геометрии. [40] [41]
Теорему о положительной энергии, полученную Яу в сотрудничестве со своим бывшим докторантом Ричардом Шеном , можно описать в физических терминах:
В общей теории относительности Эйнштейна гравитационная энергия изолированной физической системы неотрицательна.
Однако это точная теорема дифференциальной геометрии и геометрического анализа , в которой физические системы моделируются римановыми многообразиями с неотрицательностью некоторой обобщенной скалярной кривизны . По сути, подход Шона и Яу возник в результате исследования римановых многообразий положительной скалярной кривизны, что представляет интерес само по себе. Отправной точкой анализа Шена и Яу является обнаружение ими простого, но нового способа вставки уравнений Гаусса – Кодацци во вторую формулу вариации площади стабильной минимальной гиперповерхности трехмерного риманова многообразия. Теорема Гаусса -Бонне тогда сильно ограничивает возможную топологию такой поверхности, когда объемлющее многообразие имеет положительную скалярную кривизну. [SY79a] [42] [43]
Шен и Яу использовали это наблюдение, найдя новые конструкции стабильных минимальных гиперповерхностей с различными контролируемыми свойствами. [SY79a] Некоторые из их результатов существования были разработаны одновременно с аналогичными результатами Джонатана Сакса и Карен Уленбек , используя разные методы. Их фундаментальный результат заключается в существовании минимальных погружений с заданным топологическим поведением. В результате своих расчетов с использованием теоремы Гаусса – Бонне они смогли прийти к выводу, что некоторые топологически выделенные трехмерные многообразия не могут иметь римановой метрики неотрицательной скалярной кривизны. [44] [45]
Затем Шон и Яу адаптировали свою работу к условиям некоторых римановых асимптотически плоских исходных наборов данных в общей теории относительности . Они доказали, что отрицательность массы позволит использовать проблему Плато для построения устойчивых минимальных поверхностей, которые являются геодезически полными . Некомпактный аналог их расчета с использованием теоремы Гаусса – Бонне тогда приводит к логическому противоречию с отрицательностью массы. Таким образом, они смогли доказать теорему о положительной массе в частном случае своих римановых исходных наборов данных. [SY79c] [46]
Шен и Яу расширили это до полной лоренцевой формулировки теоремы о положительной массе, изучив уравнение в частных производных , предложенное Понг-Су Янгом. Они доказали, что решения уравнения Янга существуют вдали от видимых горизонтов черных дыр, на которых решения могут расходиться до бесконечности. [SY81] Связав геометрию лоренцева набора начальных данных с геометрией графика такого решения уравнения Янга, интерпретируя последнее как риманов набор начальных данных, Шон и Яу доказали теорему о полной положительной энергии. [46] Более того, реконструируя свой анализ уравнения Янга, они смогли установить, что любая достаточная концентрация энергии в общей теории относительности должна сопровождаться видимым горизонтом. [SY83]
Из-за использования теоремы Гаусса–Бонне эти результаты первоначально были ограничены случаем трехмерных римановых многообразий и четырехмерных лоренцевых многообразий. Шен и Яу установили индукцию по размерности, построив римановы метрики положительной скалярной кривизны на минимальных гиперповерхностях римановых многообразий, имеющих положительную скалярную кривизну. [SY79b] Такие минимальные гиперповерхности, которые были построены с помощью геометрической теории меры Фредериком Альмгреном и Гербертом Федерером , обычно не являются гладкими в больших размерностях, поэтому эти методы напрямую применимы только для римановых многообразий размерности меньше восьми. Без каких-либо ограничений на размерность Шен и Яу доказали теорему о положительной массе в классе локально конформно плоских многообразий. [SY88] [32] В 2017 году Шон и Яу опубликовали препринт, в котором утверждалось, что они разрешили эти трудности, тем самым доказав индукцию без ограничений на размерность и проверив риманову теорему о положительной массе в произвольном измерении.
Герхард Хейскен и Яу провели дальнейшее исследование асимптотической области римановых многообразий со строго положительной массой. Хьюскен ранее инициировал исследование сохраняющего объем потока средней кривизны гиперповерхностей евклидова пространства . [47] Хьюскен и Яу адаптировали свою работу к римановой ситуации, доказав теорему существования и сходимости потока в течение длительного времени. Как следствие, они установили новую геометрическую особенность многообразий с положительной массой, заключающуюся в том, что их асимптотические области расслоены поверхностями постоянной средней кривизны . [HY96]
Традиционно метод принципа максимума применяется непосредственно только к компактным пространствам , поскольку тогда гарантировано существование максимумов. В 1967 году Хидеки Омори нашел новый принцип максимума, который применим к некомпактным римановым многообразиям , секционная кривизна которых ограничена снизу. Существование приближенных максимумов тривиально ; Омори дополнительно доказал существование приближенных максимумов, в которых значения градиента и вторых производных соответствующим образом контролируются. Яу частично расширил результат Омори, чтобы потребовать только нижнюю оценку кривизны Риччи ; результат известен как принцип максимума Омори-Яу. [Y75b] Такая общность полезна из-за появления кривизны Риччи в формуле Бохнера , где нижняя оценка также обычно используется в алгебраических манипуляциях. Помимо очень простого доказательства самого принципа, Шиу-Юэнь Ченг и Яу смогли показать, что предположение о кривизне Риччи в принципе максимума Омори-Яу можно заменить предположением о существовании обрезающих функций с определенными управляемыми геометрия. [CY75] [32] [48] [49] [50]
Яу смог напрямую применить принцип Омори-Яу для обобщения классической леммы Шварца-Пика комплексного анализа . Ларс Альфорс , среди других, ранее обобщил лемму на случай римановых поверхностей . С помощью своих методов Яу смог рассмотреть вопрос об отображении полного кэлерова многообразия (с нижней границей кривизны Риччи) в эрмитово многообразие с голоморфной бисекционной кривизной, ограниченной сверху отрицательным числом. [Y78b] [36] [50]
Ченг и Яу широко использовали свой вариант принципа Омори-Яу, чтобы найти метрики Кэлера-Эйнштейна на некомпактных кэлеровых многообразиях в рамках анзаца , разработанного Чарльзом Фефферманом . Оценки, связанные с методом непрерывности, были не такими сложными, как в более ранней работе Яу по гипотезе Калаби, поскольку Ченг и Яу рассматривали только метрики Кэлера-Эйнштейна с отрицательной скалярной кривизной. Более тонкий вопрос, в котором приобрели значение ранние работы Феффермана, касается геодезической полноты . В частности, Ченг и Яу смогли найти полные метрики Кэлера-Эйнштейна отрицательной скалярной кривизны на любом ограниченном, гладком и строго псевдовыпуклом подмножестве комплексного евклидова пространства . [CY80] Их можно рассматривать как комплексные геометрические аналоги шаровой модели Пуанкаре гиперболического пространства . [36] [51]
Первоначальное применение Яу принципа максимума Омори-Яу заключалось в установлении оценок градиента для ряда эллиптических уравнений в частных производных второго порядка . [Y75b] Имея функцию на полном и гладком римановом многообразии, которая удовлетворяет различным условиям, связывающим лапласиан со значениями функции и градиента, Яу применил принцип максимума к различным сложным составным выражениям, чтобы контролировать размер градиента. Хотя связанные с этим алгебраические манипуляции сложны, концептуальная форма доказательства Яу поразительно проста. [52] [48]
Новые оценки градиента Яу стали называть «дифференциальными неравенствами Харнака», поскольку их можно интегрировать по произвольным путям для восстановления неравенств, которые имеют форму классических неравенств Харнака , непосредственно сравнивая значения решения дифференциального уравнения в двух точках. разные точки входа. Используя исследование Калаби функции расстояния на римановом многообразии, Яу и Шиу-Юэнь Ченг дали мощную локализацию оценок градиента Яу, используя те же методы для упрощения доказательства принципа максимума Омори-Яу. [CY75] Такие оценки широко цитируются в частном случае гармонических функций на римановом многообразии, хотя оригинальные результаты Яу и Ченг-Яу охватывают более общие сценарии. [52] [48]
В 1986 году Яу и Питер Ли использовали те же методы для изучения параболических уравнений в частных производных на римановых многообразиях. [LY86] [48] Ричард Гамильтон обобщил свои результаты в определенных геометрических условиях на матричные неравенства. Аналоги неравенств Ли-Яу и Гамильтона-Ли-Яу имеют большое значение в теории потока Риччи , где Гамильтон доказал матричное дифференциальное неравенство Харнака для оператора кривизны некоторых потоков Риччи, а Григорий Перельман доказал дифференциальное неравенство Харнака для решения обратного уравнения теплопроводности, связанного с потоком Риччи. [53] [52]
Ченг и Яу смогли использовать свои дифференциальные оценки Гарнака, чтобы показать, что при определенных геометрических условиях замкнутые подмногообразия полных римановых или псевдоримановых пространств сами являются полными. Например, они показали, что если M — пространственноподобная гиперповерхность пространства Минковского, топологически замкнутая и имеющая постоянную среднюю кривизну, то индуцированная риманова метрика на M является полной. [CY76a] Аналогично они показали, что если M — аффинная гиперсфера аффинного пространства, топологически замкнутого, то индуцированная аффинная метрика на M полна. [CY86] Такие результаты достигаются путем вывода дифференциального неравенства Харнака для (квадрата) функции расстояния до заданной точки и интегрирования по внутренне определенным путям.
В 1985 году Саймон Дональдсон показал, что над неособым проективным многообразием комплексной размерности два голоморфное векторное расслоение допускает эрмитовую связность Янга – Миллса тогда и только тогда, когда расслоение стабильно. Результат Яу и Карен Уленбек обобщил результат Дональдсона, позволив создать компактное кэлерово многообразие любой размерности. [UY86] Метод Уленбека-Яу основывался на эллиптических уравнениях в частных производных, тогда как Дональдсон использовал параболические уравнения в частных производных, примерно параллельно эпохальной работе Илса и Сэмпсона по гармоническим картам . Результаты Дональдсона и Уленбека-Яу с тех пор были расширены другими авторами. Статья Уленбека и Яу важна тем, что ясно объясняет, почему устойчивость голоморфного векторного расслоения может быть связана с аналитическими методами, используемыми при построении эрмитовой связности Янга – Миллса. Существенный механизм заключается в том, что если аппроксимирующая последовательность эрмитовых связей не может сходиться к требуемой связи Янга-Миллса, то их можно масштабировать так, чтобы они сходились к подпучку, дестабилизирующий характер которого можно проверить с помощью теории Черна-Вейля . [34] [54]
Как и теорема Калаби–Яу, теорема Дональдсона–Уленбека–Яу представляет интерес в теоретической физике. [38] В интересах подходящей общей формулировки суперсимметрии Эндрю Строминджер включил эрмитово условие Янга-Миллса как часть своей системы Стромингера , предложения по расширению условия Калаби-Яу на некэлеровы многообразия. [37] Цзи-Сян Фу и Яу представили анзац для решения системы Строминджера на некоторых трехмерных комплексных многообразиях , сводя проблему к комплексному уравнению Монжа-Ампера, которое они решили. [2008 финансовый год]
Решение Яу гипотезы Калаби дало достаточно полный ответ на вопрос о том, как кэлеровы метрики на компактных комплексных многообразиях неположительного первого класса Черна могут быть деформированы в метрики Кэлера – Эйнштейна. [Y78a] Акито Футаки показал, что существование голоморфных векторных полей может служить препятствием для прямого распространения этих результатов на случай, когда комплексное многообразие имеет положительный первый класс Черна. [36] Предложение Калаби предположило, что метрики Кэлера–Эйнштейна существуют на любых компактных кэлеровых многообразиях с положительным первым классом Черна, которые не допускают голоморфных векторных полей. [Y82b] В 1980-е годы Яу и другие пришли к пониманию того, что этого критерия недостаточно. Вдохновленный теоремой Дональдсона-Уленбека-Яу, Яу предположил, что существование метрик Кэлера-Эйнштейна должно быть связано со стабильностью комплексного многообразия в смысле геометрической теории инвариантов , с идеей изучения голоморфных векторных полей вдоль проективных вложений, а не чем голоморфные векторные поля на самом многообразии. [Y93][Y14a] Последующие исследования Ганга Тиана и Саймона Дональдсона уточнили эту гипотезу, которая стала известна как гипотеза Яу–Тиана–Дональдсона, связывающая метрики Кэлера–Эйнштейна и K-стабильность . В 2019 году Сюсюн Чен , Дональдсон и Сун Сунь были награждены премией Освальда Веблена за разрешение гипотезы. [55]
В 1982 году Ли и Яу разрешили гипотезу Уилмора в невложенном случае. [LY82] Точнее, они установили, что при любом гладком погружении замкнутой поверхности в 3-сферу, которая не является вложением, энергия Уиллмора ограничена снизу величиной 8π. Это дополняется результатом 2012 года Фернандо Маркеса и Андре Невеса , в котором говорится, что в альтернативном случае гладкого вложения 2-мерного тора S 1 × S 1 энергия Уиллмора ограничена снизу величиной 2π 2 . [56] Вместе эти результаты составляют полную гипотезу Уилмора, первоначально сформулированную Томасом Уиллмором в 1965 году. Хотя их предположения и выводы весьма схожи, методы Ли-Яу и Маркеса-Невеса различны. Тем не менее, они оба опираются на структурно схожие минимаксные схемы. Маркес и Невес по-новому использовали мин-макс-теорию функционала площади Альмгрена-Питтса из геометрической теории меры ; Подход Ли и Яу зависел от их нового «конформного инварианта», который представляет собой величину min-max, основанную на энергии Дирихле . Основная работа их статьи посвящена связи их конформного инварианта с другими геометрическими величинами.
Уильям Микс и Яу получили некоторые фундаментальные результаты о минимальных поверхностях в трехмерных многообразиях, вновь обратившись к вопросам, оставленным открытыми в более старых работах Джесси Дугласа и Чарльза Морри . [MY82] [42] Следуя этим основам, Микс, Леон Саймон и Яу дали ряд фундаментальных результатов о поверхностях в трехмерных римановых многообразиях, которые минимизируют площадь в пределах своего класса гомологий. [MSY82] Им удалось подать ряд ярких заявлений. Например, они показали, что если M — ориентируемое 3-многообразие такое, что любое гладкое вложение 2-сферы может быть продолжено до гладкого вложения единичного шара, то то же самое верно для любого накрывающего пространства M . Интересно, что статья Микса-Саймона-Яу и основополагающая статья Гамильтона о потоке Риччи , опубликованная в том же году, имеют общий результат, полученный весьма разными методами: любое односвязное компактное трехмерное риманово многообразие с положительной кривизной Риччи диффеоморфно. в 3-сферу.
В геометрии подмногообразий существенны как внешняя, так и внутренняя геометрия. Они отражены внутренней римановой метрикой и второй фундаментальной формой . Многие геометры рассматривали явления, возникающие в результате ограничения этих данных некоторой формой постоянства. В качестве частных случаев сюда входят проблемы минимальных поверхностей , постоянной средней кривизны и подмногообразий, метрика которых имеет постоянную скалярную кривизну .
Помимо постановки проблем жесткости подмногообразий, Яу смог адаптировать метод Юргена Мозера доказательства неравенств Каччиопполи, тем самым доказав новые результаты о жесткости для функций на полных римановых многообразиях. Особенно известный его результат гласит, что субгармоническая функция не может быть одновременно положительной и Lp - интегрируемой , если она не является постоянной. [Y76] [48] [61] Аналогично, на полном кэлеровом многообразии голоморфная функция не может быть интегрируемой в Lp , если она не является постоянной. [Y76]
Проблему Минковского классической дифференциальной геометрии можно рассматривать как задачу задания гауссовой кривизны . В 1950-х годах Луи Ниренберг и Алексей Погорелов решили проблему для двумерных поверхностей, используя недавний прогресс в разработке уравнения Монжа – Ампера для двумерных областей. К 1970-м годам многомерное понимание уравнения Монжа – Ампера все еще отсутствовало. В 1976 году Шиу-Юэнь Ченг и Яу решили проблему Минковского в общих размерностях с помощью метода непрерывности , используя полностью геометрические оценки вместо теории уравнения Монжа – Ампера. [CY76b] [62]
В результате решения проблемы Минковского Ченг и Яу смогли добиться прогресса в понимании уравнения Монжа – Ампера. [CY77a] Ключевое наблюдение заключается в том, что преобразование Лежандра решения уравнения Монжа-Ампера имеет гауссову кривизну графика, заданную простой формулой, зависящей от «правой части» уравнения Монжа-Ампера. Как следствие, они смогли доказать общую разрешимость задачи Дирихле для уравнения Монжа – Ампера, которая в то время была основным открытым вопросом, за исключением двумерных областей. [62]
Статьи Ченга и Яу следовали некоторым идеям, представленным в 1971 году Погореловым, хотя в его общедоступных работах (на момент работы Ченга и Яу) не хватало некоторых существенных деталей. [63] Погорелов также опубликовал более подробную версию своих первоначальных идей, а решения проблем обычно приписывают как Ченг-Яу, так и Погорелову. [64] [62] Подходы Ченг-Яу и Погорелова больше не встречаются в литературе по уравнению Монжа-Ампера, поскольку другие авторы, в частности Луис Каффарелли , Ниренберг и Джоэл Спрук , разработали прямые методы, которые дают больше мощные результаты и не требуют вспомогательного использования задачи Минковского. [64]
Аффинные сферы естественным образом описываются решениями некоторых уравнений Монжа – Ампера, поэтому их полное понимание значительно сложнее, чем понимание евклидовых сфер, последние не основаны на уравнениях в частных производных . В параболическом случае аффинные сферы были полностью классифицированы как параболоиды в результате последовательных работ Конрада Йоргенса , Эухенио Калаби и Погорелова. Эллиптические аффинные сферы были идентифицированы Калаби как эллипсоиды . В гиперболических аффинных сферах наблюдаются более сложные явления. Ченг и Яу доказали, что они асимптотичны выпуклым конусам и, наоборот, что каждый (равномерно) выпуклый конус таким образом соответствует некоторой гиперболической аффинной сфере. [CY86] Они также смогли предоставить новые доказательства предыдущих классификаций Калаби и Йоргенса–Калаби–Погорелова. [62] [65]
Многообразие Калаби –Яу — это компактное кэлерово многообразие, которое является Риччи-плоским; как частный случай проверки Яу гипотезы Калаби, такие многообразия, как известно, существуют. [Y78a] Зеркальная симметрия, которая является предложением, разработанным физиками-теоретиками в конце 1980-х годов, постулирует, что многообразия Калаби-Яу комплексной размерности три могут быть сгруппированы в пары, которые имеют определенные общие характеристики, такие как числа Эйлера и Ходжа. Основываясь на этой гипотетической картине, физики Филип Канделас , Ксения де ла Осса , Пол Грин и Линда Паркс предложили формулу перечислительной геометрии , которая кодирует число рациональных кривых любой фиксированной степени в общей квинтической гиперповерхности четырехмерной комплексной проективной системы. космос . Бонг Лянь, Кефэн Лю и Яу дали строгое доказательство справедливости этой формулы. [LLY97] Годом ранее Александр Гивенталь опубликовал доказательство зеркальных формул; по словам Лиана, Лю и Яу, детали его доказательства были успешно дополнены только после их собственной публикации. [26] Доказательства Гивенталя и Лиана-Лю-Яу частично совпадают, но представляют собой разные подходы к проблеме, и с тех пор каждому из них даны объяснения в учебниках. [66] [67]
Работы Гивенталя и Лиана-Лю-Яу подтверждают предсказание, сделанное на основе более фундаментальной гипотезы зеркальной симметрии, о том, как трехмерные многообразия Калаби-Яу могут быть объединены в пары. Однако их работы логически не зависят от самой гипотезы и поэтому не имеют непосредственного отношения к ее обоснованности. Вместе с Эндрю Строминджером и Эриком Заслоу Яу предложил геометрическую картину того, как можно систематически понимать зеркальную симметрию, и доказал ее истинность. [SYZ96] Их идея состоит в том, что многообразие Калаби-Яу с комплексной размерностью три должно быть расслоено на специальные лагранжевы торы, которые являются определенными типами трехмерных минимальных подмногообразий шестимерного риманова многообразия, лежащего в основе структуры Калаби-Яу. Тогда зеркальные многообразия будут характеризоваться в терминах этой гипотетической структуры наличием двойственных слоений. Предложение Строминджера-Яу-Заслоу (SYZ) изменялось и развивалось различными способами с 1996 года. Концептуальная картина, которую оно обеспечивает, оказала значительное влияние на изучение зеркальной симметрии, и исследования ее различных аспектов в настоящее время являются активной областью. . Его можно противопоставить альтернативному предложению Максима Концевича по гомологической зеркальной симметрии . Точка зрения гипотезы SYZ касается геометрических явлений в пространствах Калаби – Яу, в то время как гипотеза Концевича абстрагирует проблему, связанную с чисто алгебраическими структурами и теорией категорий . [33] [40] [66] [67]
В одной из самых ранних статей Яу, написанной совместно с Блейном Лоусоном , был найден ряд фундаментальных результатов по топологии замкнутых римановых многообразий неположительной кривизны. [LY72] Их теорема о плоском торе характеризует существование плоского и полностью геодезического погруженного тора в терминах алгебры фундаментальной группы . Теорема о расщеплении гласит, что расщепление фундаментальной группы как максимально некоммутативного прямого произведения влечет изометрическое расщепление самого многообразия. Аналогичные результаты были получены в то же время Детлефом Громоллом и Йозефом Вольфом . [68] [69] Их результаты были распространены на более широкий контекст действий изометрических групп на метрических пространствах неположительной кривизны . [70]
Джефф Чигер и Яу изучали тепловое ядро риманова многообразия. Они установили особый случай римановой метрики, для которого геодезические сферы имеют постоянную среднюю кривизну , которая, как они доказали, характеризуется радиальной симметрией теплового ядра. [CY81] Специализируясь на вращательно-симметричных метриках, они использовали экспоненциальное отображение для переноса теплового ядра в геодезический шар на общем римановом многообразии. В предположении, что симметричное «модельное» пространство недооценивает кривизну Риччи самого многообразия, они провели прямой расчет, показывающий, что результирующая функция является субрешением уравнения теплопроводности . Как следствие, они получили нижнюю оценку теплового ядра общего риманова многообразия через нижние оценки его кривизны Риччи. [71] [72] В частном случае неотрицательной кривизны Риччи Питер Ли и Яу смогли использовать свои оценки градиента для усиления и улучшения оценки Чигера-Яу. [LY86] [48]
Хорошо известный результат Яу, полученный независимо Калаби, показывает, что любое некомпактное риманово многообразие неотрицательной кривизны Риччи должно иметь рост объема по крайней мере с линейной скоростью. [Y76] [48] Второе доказательство, использующее неравенство Бишопа-Громова вместо теории функций, было позже найдено Чигером, Михаилом Громовым и Майклом Тейлором .
Для гладкого компактного риманова многообразия с краем или без него спектральная геометрия изучает собственные значения оператора Лапласа – Бельтрами , который в случае, если многообразие имеет край, связан с выбором граничного условия, обычно условий Дирихле или Неймана. Пол Янг и Яу показали, что в случае замкнутого двумерного многообразия первое собственное значение ограничено сверху явной формулой, зависящей только от рода и объема многообразия. [YY80] [42] Ранее Яу модифицировал анализ константы Чигера, проведенный Джеффом Чигером , чтобы иметь возможность оценить первое собственное значение снизу с точки зрения геометрических данных. [Y75a] [73]
В 1910-х годах Герман Вейль показал, что в случае граничных условий Дирихле на гладком и ограниченном открытом подмножестве плоскости собственные значения имеют асимптотическое поведение, которое полностью диктуется площадью, содержащейся в этой области. Его результат известен как закон Вейля . В 1960 году Джордж Полиа предположил, что закон Вейля фактически дает контроль над каждым отдельным собственным значением, а не только над их асимптотическим распределением. Ли и Яу доказали ослабленную версию гипотезы Полиа, получив контроль над средними собственными значениями с помощью выражения в законе Вейля. [LY83] [74]
В 1980 году Ли и Яу определили ряд новых неравенств для собственных значений Лапласа-Бельтрами, все они основаны на принципе максимума и дифференциальных оценках Харнака, впервые предложенных пятью годами ранее Яу и Ченг-Яу. [LY80] Их результат о нижних границах, основанный на геометрических данных, особенно хорошо известен [75], [52] [48] и был первым в своем роде, не требующим каких-либо условных предположений. [76] Примерно в то же время аналогичное неравенство было получено изопериметрическими методами Михаилом Громовым , хотя его результат слабее, чем результат Ли и Яу. [71] В сотрудничестве с Исадором Сингером , Бун Вонгом и Шинг-Тунг Яу Яу использовал методологию Ли-Яу, чтобы установить оценку градиента для частного первых двух собственных функций. [S+85] Аналогично интегрированию Яу оценок градиента для нахождения неравенств Харнака, они смогли интегрировать свою оценку градиента, чтобы получить контроль над фундаментальным разрывом, который представляет собой разницу между первыми двумя собственными значениями. Работа Сингера-Вонга-Яу-Яу положила начало серии работ различных авторов, в которых были найдены и улучшены новые оценки фундаментального разрыва. [77]
В 1982 году Яу определил четырнадцать проблем, представляющих интерес для спектральной геометрии, включая вышеупомянутую гипотезу Полиа. [Y82b] Частная гипотеза Яу о контроле размера множеств уровней собственных функций по значению соответствующего собственного значения была решена Александром Логуновым и Евгенией Малинниковой , которые были удостоены премии Clay Research Award 2017 частично за свою работу. . [78]
Сяньфэн Гу и Яу рассмотрели численное вычисление конформных отображений между двумерными многообразиями (представленными в виде дискретных сеток) и, в частности, вычисление униформизирующих карт, как предсказывает теорема униформизации . В случае поверхностей рода нуль карта конформна тогда и только тогда, когда она гармонична, и поэтому Гу и Яу могут вычислить конформные отображения путем прямой минимизации дискретизированной энергии Дирихле . [GY02] В случае более высокого рода униформизирующие отображения вычисляются на основе их градиентов, определенных из теории Ходжа замкнутых и гармонических 1-форм. [GY02] Таким образом, основная работа заключается в выявлении численно эффективных дискретизаций классической теории. Их подход достаточно гибок, чтобы иметь дело с поверхностями общего назначения с границей. [GY03] [79] Вместе с Тони Чаном , Полом Томпсоном и Ялин Вангом Гу и Яу применили свою работу к проблеме сопоставления двух поверхностей мозга, что является важной проблемой в медицинской визуализации . В наиболее подходящем случае нулевого рода конформные отображения четко определены только с точностью до действия группы Мёбиуса . Путем дальнейшей оптимизации энергии типа Дирихле, которая измеряет несоответствие ориентиров мозга, таких как центральная борозда , они получили карты, которые четко определяются такими неврологическими особенностями. [Г+04]
В области теории графов Фань Чунг и Яу широко разработали аналоги понятий и результатов римановой геометрии. Эти результаты по дифференциальным неравенствам Гарнака, неравенствам Соболева и анализу теплового ядра , полученные частично в сотрудничестве с Рональдом Грэмом и Александром Григорьяном, позже были записаны в виде учебника как последние несколько глав ее известной книги «Теория спектральных графов». . [80] Позже они ввели функцию Грина , определенную для графов, которая представляет собой псевдообратную функцию лапласиана графа . [CY00] Их работа, естественно, применима к изучению времени достижения случайных блужданий и смежным темам. [81] [82]
Чтобы найти общий теоретико-графовый контекст для своих результатов, Чанг и Яу ввели понятие Риччи-плоскости графа. [80] Более гибкое понятие кривизны Риччи, касающееся цепей Маркова в метрических пространствах , было позже введено Яном Оливье. Юн Линь, Линьюань Лу и Яу разработали некоторые основные теории определения Оливье в специальном контексте теории графов, рассматривая, например, кривизну Риччи случайных графов Эрдеша – Реньи . [LLY11] Лин и Яу также рассмотрели неравенства кривизны и размера , введенные ранее Домиником Бакри и Мишелем Эмери, связав его и кривизну Оливье с понятием Риччи-плоскости Чунга-Яу. [LY10] Кроме того, им удалось доказать общие нижние оценки кривизн Бэкри–Эмери и Оливье в случае локально конечных графов. [83]
Яу получил звания почетного профессора многих китайских университетов, в том числе Хунаньского педагогического университета , Пекинского университета , Нанкайского университета и Университета Цинхуа . Он имеет почетные степени многих международных университетов, включая Гарвардский университет , Китайский университет Гонконга и Университет Ватерлоо . Он является иностранным членом Национальных академий наук Китая, Индии и России.
Среди его наград:
Исследовательские статьи. Яу — автор более пятисот статей. Выше были рассмотрены следующие, среди наиболее цитируемых:
Обзорные статьи и публикации сборников сочинений.
Учебники и технические монографии.
Популярные книги.
Он стал гражданином США в 1990 году.
{{cite web}}
: CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка )