Дифференцируемые векторные функции из евклидова пространства

Дифференцируемая функция в функциональном анализе

В математической дисциплине функционального анализа дифференцируемая векторнозначная функция из евклидова пространства является дифференцируемой функцией, имеющей значение в топологическом векторном пространстве (TVS), область определения которого является подмножеством некоторого конечномерного евклидова пространства . Можно обобщить понятие производной на функции, область определения и область значений которых являются подмножествами произвольных топологических векторных пространств (TVS) несколькими способами. Но когда область определения функции со значением TVS является подмножеством конечномерного евклидова пространства , то многие из этих понятий становятся логически эквивалентными, что приводит к гораздо более ограниченному числу обобщений производной, и, кроме того, дифференцируемость также более хорошо себя ведет по сравнению с общим случаем. В этой статье представлена ​​теория -кратно непрерывно дифференцируемых функций на открытом подмножестве евклидова пространства ( ), что является важным частным случаем дифференциации между произвольными TVS. Эта важность частично обусловлена ​​тем фактом, что каждое конечномерное векторное подпространство хаусдорфова топологического векторного пространства является TVS, изоморфным евклидову пространству , так что, например, этот особый случай можно применить к любой функции, областью определения которой является произвольное хаусдорфово TVS, ограничив его конечномерными векторными подпространствами. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 1\leq n<\infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Все векторные пространства будут предполагаться над полем, где есть либо действительные числа , либо комплексные числа. ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Непрерывно дифференцируемые векторные функции

Отображение , которое также может быть обозначено как между двумя топологическими пространствами , называется -раз непрерывно дифференцируемым или , если оно непрерывно. Топологическое вложение может также называться -вложением . ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f^{(0)},}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{0}}$

Кривые

Дифференцируемые кривые являются важным частным случаем дифференцируемых векторнозначных (т.е. TVS-значных) функций, которые, в частности, используются в определении производной Гато . Они имеют основополагающее значение для анализа отображений между двумя произвольными топологическими векторными пространствами , а также для анализа TVS-значных отображений из евклидовых пространств , что и является предметом данной статьи. ${\displaystyle X\to Y}$

Непрерывное отображение из подмножества , которое оценивается в топологическом векторном пространстве , называется ( однократно или -раз ) дифференцируемым, если для всех оно дифференцируемо в , что по определению означает, что существует следующий предел в : где для того, чтобы этот предел был даже хорошо определен, должна быть точка накопления Если дифференцируемо, то оно называется непрерывно дифференцируемым или если его производная , которая является индуцированным отображением, является непрерывным. Используя индукцию по отображению, является -раз непрерывно дифференцируемым или если его производная непрерывно дифференцируема, в этом случае -производная является отображением Оно называется гладким или бесконечно дифференцируемым, если оно -раз непрерывно дифференцируемо для каждого целого числа Для оно называется -раз дифференцируемым, если оно -раз непрерывно дифференцируемо и является дифференцируемым. ${\displaystyle f:I\to X}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle t\in I,}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f^{\prime }(t):=f^{(1)}(t):=\lim _{\stackrel {r\to t}{t\neq r\in I}}{\frac {f(r)-f(t)}{r-t}}=\lim _{\stackrel {h\to 0}{t\neq t+h\in I}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle f:I\to X}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle f^{\prime }=f^{(1)}:I\to X,}$ ${\displaystyle 1<k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle f:I\to X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k-1^{\text{th}}}$ ${\displaystyle f^{(k-1)}:I\to X}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{(k)}:=\left(f^{(k-1)}\right)^{\prime }:I\to X.}$ ${\displaystyle C^{\infty },}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle f^{(k-1)}:I\to X}$

Непрерывная функция из непустого и невырожденного интервала в топологическое пространство называется кривой или кривой в Путь в — это кривая в , область определения которой компактна, в то время как дуга или C ⁰ -дуга в — это путь в , который также является топологическим вложением . Для любого кривая со значением в топологическом векторном пространстве называется -вложением , если она является топологическим вложением , и кривая такая, что для каждого , где она называется -дугой , если она также является путем (или, что эквивалентно, также -дугой) в дополнение к тому, что является -вложением. ${\displaystyle f:I\to X}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots ,\infty \},}$ ${\displaystyle f:I\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(t)\neq 0}$ ${\displaystyle t\in I,}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Дифференцируемость на евклидовом пространстве

Определения, данные выше для кривых, теперь расширены от функций со значениями, определенными на подмножествах, до функций, определенных на открытых подмножествах конечномерных евклидовых пространств . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Везде, пусть будет открытым подмножеством , где - целое число. Предположим , и - функция такая, что с точкой накопления Тогда дифференцируема в ^[1] если существуют векторы в , называемые частными производными от в , такие, что где Если дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. ^[1] Если дифференцируема в каждой точке некоторого подмножества своей области определения , то говорят, что она ( однократно или -раз ) дифференцируема в , где если подмножество не упомянуто, то это означает, что она дифференцируема в каждой точке своей области определения. Если дифференцируема и если каждая из ее частных производных является непрерывной функцией, то говорят, что она ( однократно или многократно ) непрерывно дифференцируема или ^[1] Для определения того, что означает для функции быть (или многократно непрерывно дифференцируемой), скажем, что она многократно непрерывно дифференцируема или что есть , если она непрерывно дифференцируема и каждая из ее частных производных есть Скажем, что она гладкая или бесконечно дифференцируема , если есть для всех Носитель функции — это замыкание ( взятое в ее области определения ) множества ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle t=\left(t_{1},\ldots ,t_{n}\right)\in \Omega }$ ${\displaystyle f:\operatorname {domain} f\to Y}$ ${\displaystyle t\in \operatorname {domain} f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \lim _{\stackrel {p\to t}{t\neq p\in \operatorname {domain} f}}{\frac {f(p)-f(t)-\sum _{i=1}^{n}\left(p_{i}-t_{i}\right)e_{i}}{\|p-t\|_{2}}}=0{\text{ in }}Y}$$ ${\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle C^{1}.}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k+1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\infty },}$ ${\displaystyle C^{\infty },}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k=0,1,\ldots .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} f}$ ${\displaystyle \{x\in \operatorname {domain} f:f(x)\neq 0\}.}$

ПространстваСквекторные функции

В этом разделе пространство гладких тестовых функций и его каноническая LF-топология обобщаются на функции, имеющие значения в общих полных хаусдорфовых локально выпуклых топологических векторных пространствах (TVS). После того, как эта задача выполнена, обнаруживается, что построенное топологическое векторное пространство могло бы (с точностью до TVS-изоморфизма) быть вместо этого определено просто как завершенное инъективное тензорное произведение обычного пространства гладких тестовых функций с ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ){\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle Y.}$

Пусть повсюду будет хаусдорфовым топологическим векторным пространством (TVS), пусть и пусть будет либо: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,\infty \},}$ ${\displaystyle \Omega }$

1. открытое подмножество, где есть целое число, или иначе ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle n\geq 1}$
2. локально компактное топологическое пространство , в этом случае может быть только ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0.}$

ПространствоСкфункции

Для любого пусть обозначим векторное пространство всех -значных отображений, определенных на и пусть обозначим векторное подпространство из , состоящее из всех отображений в , которые имеют компактный носитель. Пусть обозначим и обозначим Дайте топологию равномерной сходимости функций вместе с их производными порядка на компактных подмножествах из ^[1] Предположим, что есть последовательность относительно компактных открытых подмножеств , объединение которых есть и которые удовлетворяют для всех Предположим, что есть базис окрестностей начала отсчета в Тогда для любого целого числа множества: образуют базис окрестностей начала отсчета для как и меняются всеми возможными способами. Если есть счетное объединение компактных подмножеств и есть пространство Фреше , то также есть Обратите внимание, что является выпуклым всякий раз, когда является выпуклым. Если является метризуемым (соответственно полным , локально выпуклым , хаусдорфовым ), то также является ^{[1] [2]} Если является базисом непрерывных полунорм для , то базис непрерывных полунорм на есть: как и меняются всеми возможными способами. ^[1] ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,\infty ,}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;\mathbb {F} ).}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle <k+1}$ ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega _{i}}}\subseteq \Omega _{i+1}}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle \left(V_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle \ell <k+1,}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i,\ell ,\alpha }:=\left\{f\in C^{k}(\Omega ;Y):\left(\partial /\partial p\right)^{q}f(p)\in U_{\alpha }{\text{ for all }}p\in \Omega _{i}{\text{ and all }}q\in \mathbb {N} ^{n},|q|\leq \ell \right\}}$$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle \ell ,}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{(}\Omega ;Y).}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i,l,\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y).}$ ${\displaystyle (p_{\alpha })_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ $${\displaystyle \mu _{i,l,\alpha }(f):=\sup _{y\in \Omega _{i}}\left(\sum _{|q|\leq l}p_{\alpha }\left(\left(\partial /\partial p\right)^{q}f(p)\right)\right)}$$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle \ell ,}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$

ПространствоСкфункции с носителем в компактном подмножестве

Определение топологии пространства тестовых функций теперь дублируется и обобщается. Для любого компактного подмножества обозначим множество всех в , носитель которых лежит в (в частности, если то область определения есть , а не ) и дадим ему топологию подпространства, индуцированную ^[1] Если есть компактное пространство и есть банахово пространство, то становится банаховым пространством, нормированным ^[2] Пусть обозначим Для любых двух компактных подмножеств включение есть вложение TVS и что объединение всех при меняется по компактным подмножествам есть ${\displaystyle K\subseteq \Omega ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(K;Y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y).}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{0}(K;Y)}$ ${\displaystyle \|f\|:=\sup _{\omega \in \Omega }\|f(\omega )\|.}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;\mathbb {F} ).}$ ${\displaystyle K\subseteq L\subseteq \Omega ,}$ $${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K;Y)\to C^{k}(L;Y)}$$ ${\displaystyle C^{k}(K;Y),}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y).}$

Пространство компактной поддержкиСкфункции

Для любого компактного подмножества обозначим отображение включения и наделим сильнейшей топологией, делающей все непрерывными, которая известна как конечная топология, индуцированная этим отображением. Пространства и отображения образуют прямую систему (направленную компактными подмножествами ), предел которой в категории TVS равен вместе с инъекциями ^[1] Пространства и отображения также образуют прямую систему (направленную полным порядком ), предел которой в категории TVS равен вместе с инъекциями ^[1] Каждое вложение является вложением TVS. Подмножество из является окрестностью начала координат в тогда и только тогда, когда является окрестностью начала координат в для каждого компакта Эта топология прямого предела (т.е. конечная топология) на известна как каноническая топология LF . ${\displaystyle K\subseteq \Omega ,}$ $${\displaystyle \operatorname {In} _{K}:C^{k}(K;Y)\to C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}}$ ${\displaystyle C^{k}(K;Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{K_{1}}^{K_{2}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}.}$ ${\displaystyle C^{k}\left({\overline {\Omega _{i}}};Y\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\overline {\Omega _{i}}}^{\overline {\Omega _{j}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\overline {\Omega _{i}}}.}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle S\cap C^{k}(K;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;Y)}$ ${\displaystyle K\subseteq \Omega .}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$

Если — локально выпуклое хаусдорфово пространство, — TVS, а — линейное отображение, то оно непрерывно тогда и только тогда, когда для всех компактных ограничение на непрерывно. ^[1] Утверждение остается верным, если «все компактные » заменить на «все ». ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle u:C_{c}^{k}(\Omega ;Y)\to T}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle K\subseteq \Omega ,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C^{k}(K;Y)}$ ${\displaystyle K\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle K:={\overline {\Omega }}_{i}}$

Характеристики

Теорема ^[1]  —  Пусть будет положительным целым числом и пусть будет открытым подмножеством Данного для любого пусть будет определено как и пусть будет определено как Тогда является сюръективным изоморфизмом TVS. Более того, его ограничение является изоморфизмом TVS (где имеет свою каноническую топологию LF). ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}.}$ ${\displaystyle \phi \in C^{k}(\Omega \times \Delta ),}$ ${\displaystyle y\in \Delta }$ ${\displaystyle \phi _{y}:\Omega \to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \phi _{y}(x)=\phi (x,y)}$ ${\displaystyle I_{k}(\phi ):\Delta \to C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle I_{k}(\phi )(y):=\phi _{y}.}$ $${\displaystyle I_{\infty }:C^{\infty }(\Omega \times \Delta )\to C^{\infty }(\Delta ;C^{\infty }(\Omega ))}$$ $${\displaystyle I_{\infty }{\big \vert }_{C_{c}^{\infty }\left(\Omega \times \Delta \right)}:C_{c}^{\infty }(\Omega \times \Delta )\to C_{c}^{\infty }\left(\Delta ;C_{c}^{\infty }(\Omega )\right)}$$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }\left(\Omega \times \Delta \right)}$

Теорема ^[1]  —  Пусть — хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство и для каждой непрерывной линейной формы и каждого пусть определяется соотношением Тогда — непрерывное линейное отображение; и, кроме того, его ограничение также непрерывно (где имеет каноническую топологию LF). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y^{\prime }\in Y}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\Omega ;Y),}$ ${\displaystyle J_{y^{\prime }}(f):\Omega \to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle J_{y^{\prime }}(f)(p)=y^{\prime }(f(p)).}$ $${\displaystyle J_{y^{\prime }}:C^{\infty }(\Omega ;Y)\to C^{\infty }(\Omega )}$$ $${\displaystyle J_{y^{\prime }}{\big \vert }_{C_{c}^{\infty }(\Omega ;Y)}:C_{c}^{\infty }(\Omega ;Y)\to C^{\infty }(\Omega )}$$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega ;Y)}$

Идентификация как тензорного произведения

Предположим далее, что является Хаусдорфовым. Для данной функции и вектора обозначим отображение, определяемое Это определяет билинейное отображение в пространство функций, образ которого содержится в конечномерном векторном подпространстве этого билинейного отображения превращает это подпространство в тензорное произведение и которое мы будем обозначать через ^[1] Кроме того, если обозначает векторное подпространство из , состоящее из всех функций с компактным носителем, то является тензорным произведением и ^[1] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle f\otimes y}$ ${\displaystyle f\otimes y:\Omega \to Y}$ ${\displaystyle (f\otimes y)(p)=f(p)y.}$ ${\displaystyle \otimes :C^{k}(\Omega )\times Y\to C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega )\otimes Y.}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega )\otimes Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega )\otimes Y}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega )\otimes Y}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle Y.}$

Если локально компактно, то плотно в , а если открытое подмножество , то плотно в ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(\Omega )\otimes Y}$ ${\displaystyle C^{0}(\Omega ;X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )\otimes Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;X).}$

Теорема  —  Если — полное хаусдорфово локально выпуклое пространство, то оно канонически изоморфно инъективному тензорному произведению ^[2] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ){\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y.}$

Смотрите также

• Удобное векторное пространство  – локально выпуклые векторные пространства, удовлетворяющие очень мягкому условию полнотыPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Изогнутая дуга
• Дифференцирование в пространствах Фреше
• Производная Фреше  – Производная, определенная на нормированных пространствах
• Производная Гато  – Обобщение понятия производной по направлению
• Бесконечномерная векторная функция  – функция, значения которой лежат в бесконечномерном векторном пространстве.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Инъективное тензорное произведение

Примечания

Цитаты

1. Trèves 2006, стр. 412–419.
2. Treves 2006, стр. 446–451.

Ссылки

• Diestel, Joe (2008). Метрическая теория тензорных произведений: пересмотр резюме Гротендика . Том 16. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 9781470424831. OCLC  185095773.
• Дубинский, Эд (1979). Структура ядерных пространств Фреше . Конспект лекций по математике . Том. 720. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09504-0. OCLC  5126156.
• Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Топологические тензорные произведения и ядерные пространства]. Мемуары Американского математического общества (на французском). 16. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1216-7. MR  0075539. OCLC  1315788.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Хогбе-Нленд, Анри ; Москателли, В.Б. (1981). Ядерные и конядерные пространства: вводный курс по ядерным и конядерным пространствам в свете дуальности «топология-борнология» . North-Holland Mathematics Studies. Том 52. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087163-9. OCLC  316564345.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Питч, Альбрехт (1979). Ядерные локально выпуклые пространства . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Том. 66 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC  539541.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Райан, Рэймонд А. (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Springer Monographs in Mathematics. Лондон, Нью-Йорк: Springer . ISBN 978-1-85233-437-6. OCLC  48092184.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wong, Yau-Chuen (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 726. Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC  5126158.