Распределение (математика)

Термин математического анализа, аналогичный обобщенной функции

Распределения , также известные как распределения Шварца или обобщенные функции , являются объектами, обобщающими классическое понятие функций в математическом анализе . Распределения позволяют дифференцировать функции, производные которых не существуют в классическом смысле. В частности, любая локально интегрируемая функция имеет распределительную производную .

Распределения широко используются в теории уравнений с частными производными , где может быть проще установить существование распределительных решений ( слабых решений ), чем классических решений , или где соответствующие классические решения могут не существовать. Распределения также важны в физике и технике , где многие проблемы естественным образом приводят к дифференциальным уравнениям, решения или начальные условия которых являются сингулярными, например, дельта-функция Дирака .

Функция обычно рассматривается как действующая на точки в области определения функции путем «отправки» точки в области в точку Вместо того, чтобы действовать на точки, теория распределения переосмысливает функции, такие как действующие на тестовые функции определенным образом. В приложениях к физике и технике тестовые функции обычно являются бесконечно дифференцируемыми комплексными -значными (или действительными -значными) функциями с компактным носителем , которые определены на некотором заданном непустом открытом подмножестве . ( Функции Bump являются примерами тестовых функций.) Набор всех таких тестовых функций образует векторное пространство , которое обозначается или ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

Наиболее часто встречающиеся функции, включая все непрерывные отображения , если они используются, могут быть канонически переосмыслены как действующие посредством « интеграции по тестовой функции». Явно это означает, что такая функция «действует на» тестовую функцию , «отправляя» ее в число , которое часто обозначается Это новое действие определяет скалярное отображение, областью определения которого является пространство тестовых функций Этот функционал оказывается обладающим двумя определяющими свойствами того, что известно как распределение на : оно линейно , и оно также непрерывно , когда задана определенная топология, называемая канонической топологией LF . Действие (интеграция ) этого распределения на тестовую функцию можно интерпретировать как взвешенное среднее распределения на носителе тестовой функции, даже если значения распределения в одной точке не определены четко. Распределения, подобные тем, которые возникают из функций таким образом, являются прототипическими примерами распределений, но существует много распределений, которые нельзя определить путем интегрирования по какой-либо функции. Примерами последних являются дельта-функция Дирака и распределения, определенные для действия путем интегрирования тестовых функций по определенным мерам на Тем не менее, всегда можно свести любое произвольное распределение к более простому семейству связанных распределений, которые возникают в результате таких действий интегрирования. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U:=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \int _{\mathbb {R} }f\,\psi \,dx,}$ ${\displaystyle D_{f}(\psi ).}$ ${\textstyle \psi \mapsto D_{f}(\psi )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \psi \mapsto \int _{\mathbb {R} }f\,\psi \,dx}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\textstyle \psi \mapsto \int _{U}\psi d\mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U.}$

В более общем смысле распределение на ${\displaystyle U}$ по определению является линейным функционалом на , который непрерывен , когда задана топология, называемая канонической топологией LF . Это приводит к пространству (всех) распределений на , обычно обозначаемому (обратите внимание на штрих ), которое по определению является пространством всех распределений на (то есть, это непрерывное двойственное пространство для ); именно эти распределения являются основным объектом внимания в этой статье. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Определения соответствующих топологий на пространствах тестовых функций и распределений даны в статье о пространствах тестовых функций и распределений . В этой статье в первую очередь рассматриваются определения распределений, их свойства и некоторые важные примеры.

История

Практическое использование распределений можно проследить до использования функций Грина в 1830-х годах для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но оно не было формализовано до гораздо более позднего времени. Согласно Колмогорову и Фомину (1957), обобщенные функции возникли в работе Сергея Соболева  (1936) по гиперболическим уравнениям в частных производных второго порядка , а идеи были развиты в несколько расширенной форме Лораном Шварцем в конце 1940-х годов. Согласно его автобиографии, Шварц ввел термин «распределение» по аналогии с распределением электрического заряда, возможно, включая не только точечные заряды, но и диполи и так далее. Гординг (1997) комментирует, что хотя идеи в преобразующей книге Шварца (1951) не были совершенно новыми, именно широкая атака Шварца и убежденность в том, что распределения будут полезны почти везде в анализе, сделали разницу. Подробная история теории распределений была дана Лютценом (1982).

Обозначение

В статье будут использоваться следующие обозначения:

• ${\displaystyle n}$— фиксированное положительное целое число и фиксированное непустое открытое подмножество евклидова пространства ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$обозначает натуральные числа .
• ${\displaystyle k}$будет обозначать неотрицательное целое число или ${\displaystyle \infty .}$
• Если это функция , то обозначим ее область определения и ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f)}$поддержка обозначенногоопределяетсякакзамыканиемножествав ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle \{x\in \operatorname {Dom} (f):f(x)\neq 0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f).}$
• Для двух функций следующая нотация определяет каноническое сопряжение : ${\displaystyle f,g:U\to \mathbb {C} ,}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.}$$
• Мультииндекс размера является элементом в (при условии, что фиксирован, если размер мультииндексов опущен, то следует предположить, что размер равен ). Длина мультииндекса определяется как и обозначается Мультииндексы особенно полезны при работе с функциями нескольких переменных, в частности, мы вводим следующие обозначения для заданного мультииндекса : Мы также вводим частичный порядок всех мультииндексов с помощью тогда и только тогда, когда для всех Когда мы определяем их мультииндексный биномиальный коэффициент как: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle |\alpha |.}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ ${\displaystyle \beta _{i}\geq \alpha _{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ $${\displaystyle {\binom {\beta }{\alpha }}:={\binom {\beta _{1}}{\alpha _{1}}}\cdots {\binom {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}.}$$

Определения тестовых функций и распределений

В этом разделе вводятся некоторые основные понятия и определения, необходимые для определения действительных распределений на U. Дальнейшее обсуждение топологий на пространствах тестовых функций и распределений дано в статье о пространствах тестовых функций и распределений .

Обозначение :

1. Позволять ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$
2. Обозначим векторное пространство всех k раз непрерывно дифференцируемых действительных или комплекснозначных функций на U. ${\displaystyle C^{k}(U)}$
3. Для любого компактного подмножества пусть и оба обозначают векторное пространство всех тех функций, что ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq K.}$
   • Если тогда областью определения является U , а не K. Поэтому, хотя зависит как от K , так и от U , обычно указывается только K. Обоснование этой распространенной практики подробно изложено ниже. Обозначение будет использоваться только тогда, когда оно рискует оказаться двусмысленным. ${\displaystyle f\in C^{k}(K)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$
   • Каждая содержит постоянную карту 0 , даже если ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K=\varnothing .}$
4. Обозначим множество всех таких, что для некоторого компактного подмножества K из U . ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(K)}$
   • Эквивалентно, это множество всех таких, которые имеют компактный носитель. ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f}$
   • ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$равно объединению всех как диапазонов по всем компактным подмножествам ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle U.}$
   • Если является вещественной функцией на , то является элементом тогда и только тогда, когда является функцией выпуклости . Каждая вещественная тестовая функция на также является комплекснозначной тестовой функцией на ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$

График функции выпуклости , где и Эта функция является тестовой функцией на и является элементом Носителем этой функции является замкнутый единичный круг в Она отлична от нуля на открытом единичном круге и равна 0 всюду за его пределами. ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),}$ ${\displaystyle r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Для всех и любых компактных подмножеств и из имеем: ${\displaystyle j,k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C^{k}(K)&\subseteq C_{c}^{k}(U)\subseteq C^{k}(U)\\C^{k}(K)&\subseteq C^{k}(L)&&{\text{if }}K\subseteq L\\C^{k}(K)&\subseteq C^{j}(K)&&{\text{if }}j\leq k\\C_{c}^{k}(U)&\subseteq C_{c}^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\C^{k}(U)&\subseteq C^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\\end{aligned}}}$$

Определение : Элементы называются тестовыми функциями на U , а называется пространством тестовых функций на U. Мы будем использовать и для обозначения этого пространства. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Распределения на U являются непрерывными линейными функционалами на , когда это векторное пространство наделено определенной топологией, называемой канонической LF-топологией . Следующее предложение устанавливает два необходимых и достаточных условия непрерывности линейной функции на , которые часто легко проверить. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Предложение : Линейный функционал T на является непрерывным и, следовательно, распределением тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

1. Для каждого компактного подмножества существуют константы и (зависимые от ) такие, что для всех с носителем, содержащимся в , ^{[1] [2]} ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.}$$
2. Для каждого компактного подмножества и каждой последовательности , в которой носители содержатся в , если сходится равномерно к нулю на для каждого мультииндекса , то ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T(f_{i})\to 0.}$

Топология наСк(У)

Теперь мы представим полунормы , которые будут определять топологию на Разные авторы иногда используют разные семейства полунорм, поэтому мы перечислим наиболее распространенные семейства ниже. Однако результирующая топология будет той же самой, независимо от того, какое семейство используется. ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Предположим, что и — произвольное компактное подмножество Предположим, что — целое число, такое что ^{[примечание 1]} и — мультииндекс с длиной Для и определим: ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |p|\leq k.}$ ${\displaystyle K\neq \varnothing }$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U),}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\text{ (1) }}\ &s_{p,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (2) }}\ &q_{i,K}(f)&&:=\sup _{|p|\leq i}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)=\sup _{|p|\leq i}\left(s_{p,K}(f)\right)\\[4pt]{\text{ (3) }}\ &r_{i,K}(f)&&:=\sup _{\stackrel {|p|\leq i}{x_{0}\in K}}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (4) }}\ &t_{i,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left(\sum _{|p|\leq i}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)\end{alignedat}}}$$

в то время как для всех функций выше определяйте как постоянную 0- карту. ${\displaystyle K=\varnothing ,}$

Все функции выше являются неотрицательными -значными ^{[примечание 2]} полунормами на Как объясняется в этой статье , каждый набор полунорм на векторном пространстве индуцирует локально выпуклую векторную топологию . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Каждый из следующих наборов полунорм порождает одну и ту же локально выпуклую векторную топологию на (так, например, топология, порождаемая полунормами в , равна топологии, порождаемой полунормами в ). $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A~:=\quad &\{q_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\B~:=\quad &\{r_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\C~:=\quad &\{t_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\D~:=\quad &\{s_{p,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&p\in \mathbb {N} ^{n}{\text{ satisfies }}\;&&|p|\leq k\}\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

Векторному пространству приписывается локально выпуклая топология, индуцированная любым из четырех семейств полунорм, описанных выше. Эта топология также совпадает с векторной топологией, индуцированной всеми полунормами в ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A,B,C,D}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D.}$

С этой топологией становится локально выпуклым пространством Фреше , которое не является нормируемым . Каждый элемент из является непрерывной полунормой на В этой топологии сеть в сходится к тогда и только тогда, когда для любого мультииндекса с и каждого компакта сеть частных производных сходится равномерно к на ^[3] Для любого любого (фон Неймана) ограниченного подмножества из является относительно компактным подмножеством ^[4] В частности, подмножество из ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено в для всех ^[4] Пространство является пространством Монтеля тогда и только тогда, когда ^[5] ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |p|<k+1}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \left(\partial ^{p}f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \partial ^{p}f}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \},}$ ${\displaystyle C^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{i}(U)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle k=\infty .}$

Подмножество открыто в этой топологии тогда и только тогда, когда существует такое, что открыто, когда наделено топологией подпространства, индуцированной на нем ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{i}(U).}$

Топология наС^к(К)

Как и прежде, исправить Напомним, что если — любое компактное подмножество, то ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U).}$

Предположение : Для любого компактного подмножества мы в дальнейшем будем предполагать, что оно наделено топологией подпространства, которую оно наследует от пространства Фреше. ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Если конечно, то является банаховым пространством ^[6] с топологией, которая может быть определена нормой А когда то является даже гильбертовым пространством . ^[6] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ $${\displaystyle r_{K}(f):=\sup _{|p|<k}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right).}$$ ${\displaystyle k=2,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$

Тривиальные расширения и независимостьС^к(К) топология изУ

Предположим, что является открытым подмножеством и является компактным подмножеством. По определению, элементы из являются функциями с областью определения (в символах ), поэтому пространство и его топология зависят от , чтобы сделать эту зависимость от открытого множества ясной, временно обозначим через Важно отметить, что изменение множества на другое открытое подмножество (с ) изменит множество с на ^{[примечание 3],} так что элементы из будут функциями с областью определения вместо Несмотря на зависимость от открытого множества ( ), стандартная нотация для не упоминает об этом. Это оправдано, поскольку, как теперь будет объяснено в этом подразделе, пространство канонически идентифицируется как подпространство (как алгебраически, так и топологически). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U;}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U).}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle K\subseteq U'}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U'),}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U{\text{ or }}U'}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U')}$

Достаточно объяснить, как канонически идентифицировать с , когда одно из и является подмножеством другого. Причина в том, что если и являются произвольными открытыми подмножествами содержащего , то открытое множество также содержит, так что каждое из и канонически идентифицируется с и теперь по транзитивности, таким образом, идентифицируется с Так что предположим, что являются открытыми подмножествами содержащего ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U')}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U:=V\cap W}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;W)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V\cap W)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;W).}$ ${\displaystyle U\subseteq V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K.}$

Учитывая его тривиальное расширение до , функция определяется следующим образом: Это тривиальное расширение принадлежит (поскольку имеет компактный носитель) и будет обозначаться (то есть, ). Таким образом, присваивание индуцирует отображение , которое отправляет функцию в в его тривиальное расширение на Это отображение является линейной инъекцией и для каждого компактного подмножества (где также является компактным подмножеством , так как ), Если ограничивается на , то следующее индуцированное линейное отображение является гомеоморфизмом (линейные гомеоморфизмы называются TVS-изоморфизмами ): и, таким образом, следующее отображение является топологическим вложением : Используя инъекцию, векторное пространство канонически отождествляется со своим образом в Поскольку посредством этого отождествления, также может рассматриваться как подмножество Таким образом, топология на независима от открытого подмножества , которое содержит ^[7] , что оправдывает практику записи вместо ${\displaystyle f\in C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F:V\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle C^{k}(V)}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle I(f)}$ ${\displaystyle I(f):=F}$ ${\displaystyle f\mapsto I(f)}$ ${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K\subseteq U\subseteq V}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}I\left(C^{k}(K;U)\right)&~=~C^{k}(K;V)\qquad {\text{ and thus }}\\I\left(C_{c}^{k}(U)\right)&~\subseteq ~C_{c}^{k}(V).\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(K;V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f)\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f).\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(V)\subseteq C^{k}(V).}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)\subseteq C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(V).}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U).}$

Каноническая топология LF

Напомним, что обозначает все функции из , которые имеют компактный носитель в , где отметим, что представляет собой объединение всех функций как пробегов по всем компактным подмножествам Более того, для каждого из них является плотным подмножеством . Частный случай, когда дает нам пространство тестовых функций. ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle k,\,C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle k=\infty }$

${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$называется пространством тестовых функций на ${\displaystyle U}$ и может также обозначаться как Если не указано иное, оно наделено топологией, называемой канонической топологией LF , определение которой дано в статье: Пространства тестовых функций и распределений . ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

Каноническая LF-топология не метризуема и, что важно, она строго тоньше , чем топология подпространства , которая индуцирует на Однако каноническая LF-топология действительно превращается в полное рефлексивное ядерное ^[8] Монтеля ^[9] борнологическое бочкообразное пространство Макки ; то же самое верно и для его сильного дуального пространства (то есть пространства всех распределений с его обычной топологией). Каноническая LF-топология может быть определена различными способами. ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Распределения

Как обсуждалось ранее, непрерывные линейные функционалы на известны как распределения на Другие эквивалентные определения описаны ниже. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U.}$

По определению распределение на ${\displaystyle U}$ является непрерывным линейным функционалом на Другими словами, распределение на является элементом непрерывного сопряженного пространства , когда наделено его канонической топологией LF. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Существует каноническая двойственная пара между распределением и тестовой функцией , которая обозначается с помощью угловых скобок : ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {D}}'(U)\times C_{c}^{\infty }(U)\to \mathbb {R} \\(T,f)\mapsto \langle T,f\rangle :=T(f)\end{cases}}}$$

Эту запись можно интерпретировать как распределение, действующее на тестовую функцию , чтобы получить скаляр, или симметрично как тестовую функцию, действующую на распределение ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T.}$

Характеристика распределений

Предложение. Если — линейный функционал на , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

1. T — распределение;
2. T непрерывен ;​
3. T непрерывна в начале координат;
4. T равномерно непрерывен ;
5. T — ограниченный оператор ;
6. T является последовательно непрерывным ;
   • явно, для каждой последовательности в , которая сходится к некоторому ^{[примечание 4]} ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=T(f);}$
7. T последовательно непрерывен в начале координат; другими словами, T отображает нулевые последовательности ^{[примечание 5]} в нулевые последовательности;
   • явно, для каждой последовательности в , которая сходится к началу координат (такая последовательность называется нулевой последовательностью ), ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=0;}$
   • Нулевая последовательность по определению — это любая последовательность, которая сходится к началу координат;
8. T отображает нулевые последовательности в ограниченные подмножества;
   • явно, для каждой последовательности в , которая сходится к началу координат, последовательность ограничена; ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
9. T отображает сходящиеся по Макки нулевые последовательности в ограниченные подмножества;
   • явно, для каждой сходящейся по Макки нулевой последовательности в последовательности ограничен; ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
   • Говорят, что последовательность сходится по Макки к началу координат , если существует расходящаяся последовательность положительных действительных чисел, такая что последовательность ограничена; каждая последовательность, которая сходится по Макки к началу координат, обязательно сходится к началу координат (в обычном смысле); ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$ ${\displaystyle \left(r_{i}f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$
10. Ядро T является замкнутым подпространством ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U);}$
11. График T замкнут;
12. Существует непрерывная полунорма на такая, что ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle |T|\leq g;}$
13. Существует константа и конечное подмножество (где — любой набор непрерывных полунорм, определяющий каноническую топологию LF на ), такие, что ^{[примечание 6]} ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle \{g_{1},\ldots ,g_{m}\}\subseteq {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle |T|\leq C(g_{1}+\cdots +g_{m});}$
14. Для каждого компактного подмножества существуют константы и такие, что для всех ^[1] ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(K),}$ $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\};}$$
15. Для каждого компактного подмножества существуют константы и такие, что для всех с носителем, содержащимся в ^[10] ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C_{K}>0}$ ${\displaystyle N_{K}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K,}$ $${\displaystyle |T(f)|\leq C_{K}\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\};}$$
16. Для любого компактного подмножества и любой последовательности в , если она равномерно сходится к нулю для всех мультииндексов , то ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle T(f_{i})\to 0;}$

Топология на пространстве распределений и ее связь со слабой* топологией

Множество всех распределений на является непрерывным двойственным пространством , которое при снабжении сильной двойственной топологией обозначается Важно, что если не указано иное, топология на является сильной двойственной топологией ; если вместо этого топология является слабой-* топологией , то это будет указано. Ни одна из топологий не метризуема, хотя в отличие от слабой-* топологии сильная двойственная топология превращается в полное ядерное пространство , и это лишь некоторые из его желательных свойств. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Ни , ни его сильное двойственное не являются последовательным пространством , и поэтому ни одна из их топологий не может быть полностью описана последовательностями (другими словами, определение только того, какие последовательности сходятся в этих пространствах, недостаточно для полного/правильного определения их топологий). Однако последовательность в сходится в сильной двойственной топологии тогда и только тогда, когда она сходится в слабой-* топологии (это заставляет многих авторов использовать поточечную сходимость для определения сходимости последовательности распределений; это нормально для последовательностей, но это не гарантирует распространения на сходимость сетей распределений, потому что сеть может сходиться поточечно, но не сходиться в сильной двойственной топологии). Более подробную информацию о топологии, которой наделена, можно найти в статье о пространствах тестовых функций и распределений и статьях о полярных топологиях и двойственных системах . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Линейное отображение из в другое локально выпуклое топологическое векторное пространство (такое как любое нормированное пространство ) непрерывно тогда и только тогда, когда оно последовательно непрерывно в начале координат. Однако это больше не гарантируется, если отображение не является линейным или для отображений, оцененных в более общих топологических пространствах (например, которые также не являются локально выпуклыми топологическими векторными пространствами ). То же самое верно для отображений из (в более общем смысле, это верно для отображений из любого локально выпуклого борнологического пространства ). ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Локализация дистрибутивов

Не существует способа определить значение распределения в в конкретной точке U . Однако, как и в случае с функциями, распределения на U ограничиваются распределением на открытых подмножествах U . Более того, распределения локально определены в том смысле, что распределение на всем U может быть собрано из распределения на открытом покрытии U , удовлетворяющего некоторым условиям совместимости на перекрытиях. Такая структура известна как пучок . ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Расширения и ограничения открытого подмножества

Пусть будут открытые подмножества Каждая функция может быть расширена нулем из ее области определения V до функции на U , установив ее равной на дополнении Это расширение является гладкой функцией с компактным носителем, называемой тривиальным расширением до и будет обозначаться Это назначение определяет оператор тривиального расширения , который является непрерывным инъективным линейным отображением . Он используется для канонической идентификации в качестве векторного подпространства (хотя и не как топологического подпространства ). Его транспонирование (объясняется здесь) называется ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U\setminus V.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E_{VU}(f).}$ ${\displaystyle f\mapsto E_{VU}(f)}$ ${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ $${\displaystyle \rho _{VU}:={}^{t}E_{VU}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(V),}$$ограничение на распределений в ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ^[11]и, как следует из названия, изображениераспределенияпри этом отображении является распределением наназываемымограничениемнаОпределяющее условие ограничения: Еслито (непрерывное инъективное линейное) тривиальное отображение расширениянеявляетсятопологическим вложением (другими словами, если эта линейная инъекция использовалась для идентификациив качестве подмножестватотопология была быстрого тоньше, чемтопология подпространства, котораяиндуцирует на нем; важно, что этонебыло бытопологическим подпространством, поскольку это требует равенства топологий) и его область значений такженеплотна в егообласти значений^[11]Следовательно, еслито отображение ограничения не является ни инъективным, ни сюръективным.^[11]Распределениеназываетсярасширяемым до U , если оно принадлежит области действия транспонирования, и оно называетсярасширяемым,если оно расширяемо до^[11] ${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$ $${\displaystyle \langle \rho _{VU}T,\phi \rangle =\langle T,E_{VU}\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(V).}$$ ${\displaystyle V\neq U}$ ${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle V\neq U}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(V)}$ ${\displaystyle E_{VU}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Если ограничение на V не является ни инъективным , ни сюръективным . Отсутствие сюръективности следует из того, что распределения могут взрываться по направлению к границе V. Например, если и тогда распределение находится в , но не допускает расширения на ${\displaystyle U=V,}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle V=(0,2),}$ $${\displaystyle T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\,\delta \left(x-{\frac {1}{n}}\right)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$

Склеивание и распределения, исчезающие в наборе

Теорема ^[12]  —  Пусть будет набором открытых подмножеств Для каждого пусть и предположим, что для всех ограничение на равно ограничению на (заметим, что оба ограничения являются элементами ). Тогда существует единственный такой, что для всех ограничение на T равно ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle T_{i}\in {\mathcal {D}}'(U_{i})}$ ${\displaystyle i,j\in I,}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle T_{j}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U_{i}\cap U_{j})}$ ${\textstyle T\in {\mathcal {D}}'(\bigcup _{i\in I}U_{i})}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}.}$

Пусть V — открытое подмножество U. Говорят, что V исчезает в V , если для всех таких, что T исчезает в V тогда и только тогда , когда ограничение T на V равно 0, или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда T лежит в ядре отображения ограничения ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq V}$ ${\displaystyle Tf=0.}$ ${\displaystyle \rho _{VU}.}$

Следствие ^[12]  —  Пусть будет совокупностью открытых подмножеств и пусть тогда и только тогда, когда для каждого ограничение T на равно 0. ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle T\in {\mathcal {D}}'(\bigcup _{i\in I}U_{i}).}$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Следствие ^[12]  —  Объединение всех открытых подмножеств U , в которых распределение T обращается в нуль, является открытым подмножеством U , в котором T обращается в нуль.

Поддержка дистрибутивов

Последнее следствие подразумевает, что для каждого распределения T на U существует единственное наибольшее подмножество V из U такое, что T обращается в нуль в V (и не обращается в нуль ни в каком открытом подмножестве U , которое не содержится в V ); дополнение в U этого единственного наибольшего открытого подмножества называется носителем T . ^[12] Таким образом , $${\displaystyle \operatorname {supp} (T)=U\setminus \bigcup \{V\mid \rho _{VU}T=0\}.}$$

Если — локально интегрируемая функция на U и если — ее ассоциированное распределение, то носитель — это наименьшее замкнутое подмножество U, в дополнении к которому почти всюду равно 0. ^[12] Если — непрерывно, то носитель равен замыканию множества точек в U, в которых не обращается в нуль. ^[12] Носитель распределения, ассоциированного с мерой Дирака в точке, — это множество ^[12] Если носитель тестовой функции не пересекается с носителем распределения T , то распределение T равно 0 тогда и только тогда, когда его носитель пуст. Если равно тождественно 1 на некотором открытом множестве, содержащем носитель распределения T , то Если носитель распределения T компактен, то он имеет конечный порядок и существуют константа и неотрицательное целое число такие, что: ^[7] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \{x_{0}\}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Tf=0.}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle fT=T.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle |T\phi |\leq C\|\phi \|_{N}:=C\sup \left\{\left|\partial ^{\alpha }\phi (x)\right|:x\in U,|\alpha |\leq N\right\}\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Если T имеет компактный носитель, то он имеет единственное расширение до непрерывного линейного функционала на ; эта функция может быть определена как , где — любая функция, которая тождественно равна 1 на открытом множестве, содержащем носитель T . ^[7] ${\displaystyle {\widehat {T}}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\widehat {T}}(f):=T(\psi f),}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(U)}$

Если и то и Таким образом, распределения с носителем в заданном подмножестве образуют векторное подпространство ^[13] Кроме того, если — дифференциальный оператор в U , то для всех распределений T на U и всех имеем и ^[13] ${\displaystyle S,T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (S+T)\subseteq \operatorname {supp} (S)\cup \operatorname {supp} (T)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\lambda T)=\operatorname {supp} (T).}$ ${\displaystyle A\subseteq U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (P(x,\partial )T)\subseteq \operatorname {supp} (T)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (fT)\subseteq \operatorname {supp} (f)\cap \operatorname {supp} (T).}$

Дистрибутивы с компактной поддержкой

Поддержка в точечном множестве и меры Дирака

Для любого пусть обозначим распределение , индуцированное мерой Дирака в Для любого и распределения носитель T содержится в тогда и только тогда, когда T является конечной линейной комбинацией производных меры Дирака в ^[14] Если, кроме того, порядок T равен , то существуют константы такие, что: ^[15] ${\displaystyle x\in U,}$ ${\displaystyle \delta _{x}\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x_{0}\in U}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle \{x_{0}\}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle \leq k}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ $${\displaystyle T=\sum _{|p|\leq k}\alpha _{p}\partial ^{p}\delta _{x_{0}}.}$$

Другими словами, если T имеет опору в одной точке , то T на самом деле является конечной линейной комбинацией распределительных производных функции в точке P. То есть существует целое число m и комплексные константы такие, что где — оператор переноса. ${\displaystyle \{P\},}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle a_{\alpha }}$ $${\displaystyle T=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\partial ^{\alpha }(\tau _{P}\delta )}$$ ${\displaystyle \tau _{P}}$

Распределение с компактной поддержкой

Теорема ^[7]  —  Предположим, что T — распределение на U с компактным носителем K. Существует непрерывная функция, определенная на U , и мультииндекс p, такой, что где производные понимаются в смысле распределений. То есть для всех тестовых функций на U , ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle T=\partial ^{p}f,}$$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle T\phi =(-1)^{|p|}\int _{U}f(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx.}$$

Распределения конечного порядка с носителем в открытом подмножестве

Теорема ^[7]  —  Предположим, что T — распределение на U с компактным носителем K , и пусть V — открытое подмножество U , содержащее K. Поскольку каждое распределение с компактным носителем имеет конечный порядок, возьмем N в качестве порядка T и определим Существует семейство непрерывных функций, определенных на U с носителем в V, таких, что где производные понимаются в смысле распределений. То есть для всех тестовых функций на U , ${\displaystyle P:=\{0,1,\ldots ,N+2\}^{n}.}$ ${\displaystyle (f_{p})_{p\in P}}$ $${\displaystyle T=\sum _{p\in P}\partial ^{p}f_{p},}$$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle T\phi =\sum _{p\in P}(-1)^{|p|}\int _{U}f_{p}(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx.}$$

Глобальная структура дистрибуции

Формальное определение распределений представляет их как подпространство очень большого пространства, а именно топологического сопряженного (или пространства Шварца для умеренных распределений). Из определения не сразу становится ясно, насколько экзотическим может быть распределение. Чтобы ответить на этот вопрос, полезно рассмотреть распределения, построенные из меньшего пространства, а именно пространства непрерывных функций. Грубо говоря, любое распределение локально является (множественной) производной непрерывной функции. Точная версия этого результата, приведенная ниже, справедлива для распределений с компактным носителем, умеренных распределений и общих распределений. Вообще говоря, ни одно собственное подмножество пространства распределений не содержит все непрерывные функции и не замкнуто относительно дифференцирования. Это говорит о том, что распределения не являются особенно экзотическими объектами; они сложны ровно настолько, насколько это необходимо. ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

Распределения какснопы

Теорема ^[16]  —  Пусть T — распределение на U. Существует последовательность в такая, что каждое T _i имеет компактный носитель, и каждое компактное подмножество пересекает носитель только конечного числа , а последовательность частичных сумм, определяемая как , сходится в к T ; другими словами, мы имеем: Напомним, что последовательность сходится в (с ее сильной двойственной топологией) тогда и только тогда, когда она сходится поточечно. ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle T_{i},}$ ${\displaystyle (S_{j})_{j=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle S_{j}:=T_{1}+\cdots +T_{j},}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{\infty }T_{i}.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Разложение распределений в виде сумм производных непрерывных функций

Объединив приведенные выше результаты, можно выразить любое распределение на U как сумму ряда распределений с компактным носителем, где каждое из этих распределений, в свою очередь, может быть записано как конечная сумма производных по распределению непрерывных функций на U. Другими словами, для произвольного мы можем записать: где — конечные наборы мультииндексов, а функции непрерывны. ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{p\in P_{i}}\partial ^{p}f_{ip},}$$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots }$ ${\displaystyle f_{ip}}$

Теорема ^[17]  —  Пусть T — распределение на U. Для каждого мультииндекса p существует непрерывная функция на U такая, что ${\displaystyle g_{p}}$

1. любое компактное подмножество K из U пересекает носитель только конечного числа и ${\displaystyle g_{p},}$
2. ${\displaystyle T=\sum \nolimits _{p}\partial ^{p}g_{p}.}$

Более того, если T имеет конечный порядок, то можно выбрать его таким образом, что только конечное число из них будет ненулевым. ${\displaystyle g_{p}}$

Обратите внимание, что бесконечная сумма выше хорошо определена как распределение. Значение T для заданного может быть вычислено с использованием конечного числа , которые пересекают носитель ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle g_{\alpha }}$ ${\displaystyle f.}$

Операции по дистрибуциям

Многие операции, которые определены на гладких функциях с компактным носителем, также могут быть определены для распределений. В общем случае, если — линейное отображение, непрерывное относительно слабой топологии , то его не всегда можно расширить до отображения с помощью классических теорем расширения топологии или линейного функционального анализа. ^{[примечание 7]} «Распределительное» расширение вышеуказанного линейного непрерывного оператора A возможно тогда и только тогда, когда A допускает сопряженный оператор Шварца, то есть другой линейный непрерывный оператор B того же типа, такой что , для каждой пары тестовых функций. В этом условии B является уникальным, а расширение A' является транспонированием сопряженного оператора Шварца B. ^{[ требуется цитирование ] [18] [ требуется разъяснение ]} ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A':{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \langle Af,g\rangle =\langle f,Bg\rangle }$

Предварительные сведения: Транспонирование линейного оператора

Операции над распределениями и пространствами распределений часто определяются с помощью транспонирования линейного оператора. Это связано с тем, что транспонирование позволяет унифицировать множество определений в теории распределений, а также с тем, что его свойства хорошо известны в функциональном анализе . ^[19] Например, хорошо известный эрмитово сопряженный оператор линейного оператора между гильбертовыми пространствами — это просто транспонирование оператора (но с теоремой о представлении Рисса, используемой для идентификации каждого гильбертова пространства с его непрерывным сопряженным пространством ). В общем случае транспонирование непрерывного линейного отображения — это линейное отображение или, что эквивалентно, это единственное отображение, удовлетворяющее для всех и вся (штрих в не обозначает производную какого-либо вида; он просто указывает, что является элементом непрерывного сопряженного пространства ). Поскольку является непрерывным, транспонирование также непрерывно, когда оба сопряженных объекта наделены своими соответствующими сильными сопряженными топологиями ; оно также непрерывно, когда оба сопряженных объекта наделены своими соответствующими слабыми* топологиями ( подробнее см. статьи полярная топология и двойственная система ). ${\displaystyle A:X\to Y}$ $${\displaystyle {}^{t}A:Y'\to X'\qquad {\text{ defined by }}\qquad {}^{t}A(y'):=y'\circ A,}$$ ${\displaystyle \langle y',A(x)\rangle =\left\langle {}^{t}A(y'),x\right\rangle }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y'\in Y'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{t}A:Y'\to X'}$

В контексте распределений характеристика транспонирования может быть немного уточнена. Пусть будет непрерывным линейным отображением. Тогда по определению транспонирование является единственным линейным оператором , который удовлетворяет: ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{t}A:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ $${\displaystyle \langle {}^{t}A(T),\phi \rangle =\langle T,A(\phi )\rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U){\text{ and all }}T\in {\mathcal {D}}'(U).}$$

Так как является плотным в (здесь фактически относится к множеству распределений ), достаточно, чтобы определяющее равенство выполнялось для всех распределений вида где Явно это означает, что непрерывное линейное отображение равно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: где правая часть равна ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \left\{D_{\psi }:\psi \in {\mathcal {D}}(U)\right\}}$ ${\displaystyle T=D_{\psi }}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle B:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}A}$ $${\displaystyle \langle B(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi ,\psi \in {\mathcal {D}}(U)}$$ ${\displaystyle \langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle D_{\psi },A(\phi )\rangle =\langle \psi ,A(\phi )\rangle =\int _{U}\psi \cdot A(\phi )\,dx.}$

Дифференциальные операторы

Дифференциация распределений

Пусть — оператор частной производной. Для расширения вычислим его транспонирование: ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle &=\int _{U}\psi (A\phi )\,dx&&{\text{(See above.)}}\\&=\int _{U}\psi {\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\,dx\\[4pt]&=-\int _{U}\phi {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\,dx&&{\text{(integration by parts)}}\\[4pt]&=-\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle \\[4pt]&=-\langle A\psi ,\phi \rangle =\langle -A\psi ,\phi \rangle \end{aligned}}}$$

Поэтому Таким образом, частная производная по координате определяется формулой ${\displaystyle {}^{t}A=-A.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{k}}$ $${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle =-\left\langle T,{\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\right\rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

При таком определении каждое распределение бесконечно дифференцируемо, а производная по направлению является линейным оператором на ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$

В более общем случае, если — произвольный мультииндекс , то частная производная распределения определяется как ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }T}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ $${\displaystyle \langle \partial ^{\alpha }T,\phi \rangle =(-1)^{|\alpha |}\langle T,\partial ^{\alpha }\phi \rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Дифференциация распределений представляет собой непрерывный оператор, это важное и желательное свойство, которое не свойственно большинству других понятий дифференциации. ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U);}$

Если — распределение в , то где — производная от , а — перевод на , таким образом, производную от можно рассматривать как предел частных. ^[20] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {T-\tau _{x}T}{x}}=T'\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ),}$$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau _{x}}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle T}$

Дифференциальные операторы, действующие на гладкие функции

Линейный дифференциальный оператор в с гладкими коэффициентами действует на пространстве гладких функций на Для данного оператора мы хотели бы определить непрерывное линейное отображение, которое расширяет действие на до распределений на Другими словами, мы хотели бы определить такое, чтобы следующая диаграмма коммутировала : где вертикальные отображения задаются заданием ее канонического распределения , которое определяется как: С этими обозначениями коммутация диаграммы эквивалентна: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\textstyle P:=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\partial ^{\alpha },}$ ${\displaystyle D_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle D_{P}}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {D}}'(U)&{\stackrel {D_{P}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {D}}'(U)\\[2pt]\uparrow &&\uparrow \\[2pt]C^{\infty }(U)&{\stackrel {P}{\longrightarrow }}&C^{\infty }(U)\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle D_{f}\in {\mathcal {D}}'(U),}$ $${\displaystyle D_{f}(\phi )=\langle f,\phi \rangle :=\int _{U}f(x)\phi (x)\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$ $${\displaystyle D_{P(f)}=D_{P}D_{f}\qquad {\text{ for all }}f\in C^{\infty }(U).}$$

Чтобы найти транспонирование непрерывного индуцированного отображения, определенного как рассматривается в лемме ниже. Это приводит к следующему определению дифференциального оператора на , называемого формальным транспонированием которого , мы будем обозначать как , чтобы избежать путаницы с транспонированным отображением, которое определяется как ${\displaystyle D_{P},}$ ${\displaystyle {}^{t}P:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle P:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \phi \mapsto P(\phi )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle P_{*}}$ $${\displaystyle P_{*}:=\sum _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }\quad {\text{ where }}\quad b_{\alpha }:=\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }.}$$

Лемма  —  Пусть — линейный дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами в Тогда для всех имеем что эквивалентно: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U)}$ $${\displaystyle \left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle =\left\langle D_{P_{*}(f)},\phi \right\rangle ,}$$ $${\displaystyle {}^{t}P(D_{f})=D_{P_{*}(f)}.}$$

Лемма в сочетании с тем фактом, что формальное транспонирование формального транспонирования является исходным дифференциальным оператором, то есть ^[21], позволяет нам прийти к правильному определению: формальное транспонирование индуцирует (непрерывный) канонический линейный оператор, определяемый как Мы утверждаем, что транспонирование этого отображения можно принять за Чтобы увидеть это, для каждого вычислим его действие на распределение вида с : ${\displaystyle P_{**}=P,}$ ${\displaystyle P_{*}:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \phi \mapsto P_{*}(\phi ).}$ ${\displaystyle {}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle D_{P}.}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U),}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P_{*}\left(D_{f}\right),\phi \right\rangle &=\left\langle D_{P_{**}(f)},\phi \right\rangle &&{\text{Using Lemma above with }}P_{*}{\text{ in place of }}P\\&=\left\langle D_{P(f)},\phi \right\rangle &&P_{**}=P\end{aligned}}}$$

Непрерывный линейный оператор мы называем дифференциальным оператором на распределениях, расширяющих . ^[21] Его действие на произвольное распределение определяется с помощью: ${\displaystyle D_{P}:={}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle D_{P}(S)(\phi )=S\left(P_{*}(\phi )\right)\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Если сходится к , то для каждого мультииндекса сходится к ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \alpha ,(\partial ^{\alpha }T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }T\in {\mathcal {D}}'(U).}$

Умножение распределений на гладкие функции

Дифференциальный оператор порядка 0 — это просто умножение на гладкую функцию. И наоборот, если — гладкая функция, то — дифференциальный оператор порядка 0, формальное транспонирование которого — это оно само (то есть ). Индуцированный дифференциальный оператор отображает распределение в распределение, обозначенное Таким образом, мы определили умножение распределения на гладкую функцию. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P:=f(x)}$ ${\displaystyle P_{*}=P}$ ${\displaystyle D_{P}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle fT:=D_{P}(T).}$

Теперь дадим альтернативное представление умножения распределения на гладкую функцию. Произведение определяется как ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle m:U\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle mT}$ $${\displaystyle \langle mT,\phi \rangle =\langle T,m\phi \rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Это определение совпадает с определением транспонирования, поскольку если — оператор умножения на функцию (то есть ), то так что ${\displaystyle M:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (M\phi )(x)=m(x)\phi (x)}$ $${\displaystyle \int _{U}(M\phi )(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}m(x)\phi (x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)m(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)(M\psi )(x)\,dx,}$$ ${\displaystyle {}^{t}M=M.}$

При умножении на гладкие функции, является модулем над кольцом При таком определении умножения на гладкую функцию обычное правило произведения исчисления остается в силе. Однако возникают и некоторые необычные тождества. Например, если является дельта-распределением Дирака на то и если является производной дельта-распределения, то ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle m\delta =m(0)\delta ,}$ ${\displaystyle \delta ^{'}}$ $${\displaystyle m\delta '=m(0)\delta '-m'\delta =m(0)\delta '-m'(0)\delta .}$$

Билинейное отображение умножения, заданное как , не является непрерывным; однако оно гипонепрерывно . ^[22] ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle (f,T)\mapsto fT}$

Пример. Произведение любого распределения с функцией, которая тождественно равна 1 , равно ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T.}$

Пример. Предположим, что есть последовательность тестовых функций на , которая сходится к постоянной функции Для любого распределения на последовательность сходится к ^[23] ${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1\in C^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle (f_{i}T)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U).}$

Если сходится к и сходится к, то сходится к ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle (f_{i}T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle fT\in {\mathcal {D}}'(U).}$

Проблема умножения распределений

Легко определить произведение распределения с гладкой функцией или, в более общем смысле, произведение двух распределений, чьи сингулярные носители не пересекаются. ^[24] Приложив больше усилий, можно определить хорошо себя ведущее произведение нескольких распределений при условии, что их волновые фронты в каждой точке совместимы. Ограничением теории распределений (и гиперфункций) является то, что не существует ассоциативного произведения двух распределений, расширяющего произведение распределения на гладкую функцию, как было доказано Лораном Шварцем в 1950-х годах. Например, если — распределение, полученное главным значением Коши ${\displaystyle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}}$ $${\displaystyle \left(\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)(\phi )=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|\geq \varepsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ).}$$

Если — дельта-распределение Дирака, то , однако, поэтому произведение распределения на гладкую функцию (которая всегда хорошо определена) не может быть продолжено до ассоциативного произведения на пространстве распределений. ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle (\delta \times x)\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}=0}$$ $${\displaystyle \delta \times \left(x\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)=\delta }$$

Таким образом, нелинейные проблемы не могут быть поставлены в общем виде и, таким образом, не решаются в рамках одной только теории распределения. Однако в контексте квантовой теории поля решения могут быть найдены. В более чем двух пространственно-временных измерениях проблема связана с регуляризацией расходимостей . Здесь Анри Эпштейн и Владимир Глазер разработали математически строгую (но чрезвычайно техничную) причинную теорию возмущений . Это не решает проблему в других ситуациях. Многие другие интересные теории являются нелинейными, как, например, уравнения Навье–Стокса гидродинамики .

Было разработано несколько не совсем удовлетворительных ^{[ требуется ссылка ]} теорий алгебр обобщенных функций , среди которых (упрощенная) алгебра Коломбо, возможно, является наиболее популярной из используемых сегодня.

Вдохновленный теорией грубого пути Лайонса ^[25], Мартин Хайрер предложил последовательный способ умножения распределений с определенными структурами ( структурами регулярности ^[26] ), доступными во многих примерах из стохастического анализа, в частности, стохастических уравнений в частных производных. См. также Gubinelli–Imkeller–Perkowski (2015) для связанной разработки, основанной на парапроизведении Бони из анализа Фурье.

Композиция с плавной функцией

Пусть будет распределением на Пусть будет открытым множеством в и Если это погружение , то можно определить ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F:V\to U.}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle T\circ F\in {\mathcal {D}}'(V).}$$

Это состав распределения с ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$ , и его также называют обратным ходом вдоль , иногда ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$ пишут $${\displaystyle F^{\sharp }:T\mapsto F^{\sharp }T=T\circ F.}$$

Обратный путь часто обозначается , хотя это обозначение не следует путать с использованием «*» для обозначения сопряженного линейного отображения. ${\displaystyle F^{*},}$

Условие, что будет погружением, эквивалентно требованию, что производная Якоби является сюръективным линейным отображением для каждого Необходимое (но не достаточное) условие для расширения до распределений состоит в том, что будет открытым отображением . ^[27] Теорема об обратной функции гарантирует, что погружение удовлетворяет этому условию. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle dF(x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\in V.}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle F}$

Если — погружение, то определяется на распределениях путем нахождения транспонированного отображения. Уникальность этого расширения гарантирована, поскольку — непрерывный линейный оператор на Существовании, однако требует использования формулы замены переменных , теоремы об обратной функции (локально) и аргумента разбиения единицы . ^[28] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

В частном случае, когда — диффеоморфизм из открытого подмножества на открытое подмножество замена переменных под знаком интеграла дает: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \int _{V}\phi \circ F(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)\psi \left(F^{-1}(x)\right)\left|\det dF^{-1}(x)\right|\,dx.}$$

В этом частном случае определяется формулой транспонирования: ${\displaystyle F^{\#}}$ $${\displaystyle \left\langle F^{\sharp }T,\phi \right\rangle =\left\langle T,\left|\det d(F^{-1})\right|\phi \circ F^{-1}\right\rangle .}$$

Свертка

При некоторых обстоятельствах можно определить свертку функции с распределением или даже свертку двух распределений. Напомним, что если и являются функциями на , то мы обозначаем сверткой и определяем на , чтобы быть интегралом при условии, что интеграл существует. Если таковы, что то для любых функций и имеем и ^[29] Если и являются непрерывными функциями на , по крайней мере одна из которых имеет компактный носитель, то и если то значение на не зависит от значений вне суммы Минковского ^[29] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle (f\ast g)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)g(x-y)\,dy}$$ ${\displaystyle 1\leq p,q,r\leq \infty }$ ${\textstyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}-1}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f\ast g\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \|f\ast g\|_{L^{r}}\leq \|f\|_{L^{p}}\|g\|_{L^{q}}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f\ast g)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (g)}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A-\operatorname {supp} (g)=\{a-s:a\in A,s\in \operatorname {supp} (g)\}.}$

Важно отметить, что если имеет компактный носитель, то для любого отображения свертки оно непрерывно, если рассматривать его как отображение или как отображение ^[29] ${\displaystyle g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq \infty ,}$ ${\displaystyle f\mapsto f\ast g}$ ${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Трансляция и симметрия

При наличии оператора трансляции отправляет в определенное с помощью Это можно расширить с помощью транспонирования до распределений следующим образом: при наличии распределения перевод на является распределением, определенным с помощью [ ^{30] [31]} ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \tau _{a}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{a}f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \tau _{a}f(y)=f(y-a).}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \tau _{a}T:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{a}T(\phi ):=\left\langle T,\tau _{-a}\phi \right\rangle .}$

Дано, определим функцию как Дано распределение, пусть будет распределением, определяемым как Оператор называется симметрией относительно начала координат . ^[30] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=f(-x).}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle {\tilde {T}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\tilde {T}}(\phi ):=T\left({\tilde {\phi }}\right).}$ ${\displaystyle T\mapsto {\tilde {T}}}$

Свертка тестовой функции с распределением

Свертка с определяет линейное отображение: которое непрерывно относительно канонической топологии пространства LF на ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}C_{f}:\,&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\&g&&\mapsto \,&&f\ast g\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Свертку с распределением можно определить, взяв транспонирование относительно дуальности сопряжения с пространством распределений. ^[32] Если тогда по теореме Фубини ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{f}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f,g,\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}),}$ $${\displaystyle \langle C_{f}g,\phi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy\,dx=\left\langle g,C_{\tilde {f}}\phi \right\rangle .}$$

Продолжая непрерывность, свертка с распределением определяется как ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \langle f\ast T,\phi \rangle =\left\langle T,{\tilde {f}}\ast \phi \right\rangle ,\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$

Альтернативным способом определения свертки тестовой функции и распределения является использование оператора сдвига. Свертка функции с компактным носителем и распределения — это тогда функция, определяемая для каждого из них следующим образом: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau _{a}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle (f\ast T)(x)=\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle .}$$

Можно показать, что свертка гладкой функции с компактным носителем и распределения является гладкой функцией. Если распределение имеет компактный носитель, и если является полиномом (соответственно, показательной функцией, аналитической функцией, ограничением целой аналитической функции на ограничение целой функции показательного типа в на ), то то же самое верно для ^[30] Если распределение также имеет компактный носитель, то является функцией с компактным носителем, и теорема Титчмарша о свертке Хермандера (1983, теорема 4.3.3) подразумевает, что: где обозначает выпуклую оболочку , а обозначает носитель. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T\ast f.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f\ast T}$ $${\displaystyle \operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f\ast T))=\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f))+\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (T))}$$ ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ ${\displaystyle \operatorname {supp} }$

Свертка гладкой функции с распределением

Пусть и и предположим, что по крайней мере один из и имеет компактный носитель. Свертка и обозначается как или как есть гладкая функция: ^[30] удовлетворяющая для всех : ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle f\ast T}$ ${\displaystyle T\ast f,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f\ast T:\,&\mathbb {R} ^{n}&&\to \,&&\mathbb {C} \\&x&&\mapsto \,&&\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle p\in \mathbb {N} ^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {supp} (f\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (T)\\[6pt]&{\text{ for all }}p\in \mathbb {N} ^{n}:\quad {\begin{cases}\partial ^{p}\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle =\left\langle T,\partial ^{p}\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\partial ^{p}(T\ast f)=(\partial ^{p}T)\ast f=T\ast (\partial ^{p}f).\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Пусть будет отображением . Если является распределением, то является непрерывным как отображение . Если также имеет компактный носитель, то также является непрерывным как отображение и непрерывным как отображение ^[30] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\mapsto T\ast f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Если — непрерывное линейное отображение, такое что для всех и всех , то существует распределение, такое что для всех ^[7] ${\displaystyle L:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L\partial ^{\alpha }\phi =\partial ^{\alpha }L\phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L\phi =T\circ \phi }$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Пример. ^[7] Пусть будет функцией Хевисайда на Для любого ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ),}$ $${\displaystyle (H\ast \phi )(x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\,dt.}$$

Пусть будет мерой Дирака в точке 0, а будет ее производной как распределение. Тогда и Важно, что ассоциативный закон не выполняется: ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta '\ast H=\delta }$ ${\displaystyle 1\ast \delta '=0.}$ $${\displaystyle 1=1\ast \delta =1\ast (\delta '\ast H)\neq (1\ast \delta ')\ast H=0\ast H=0.}$$

Свертка распределений

Также возможно определить свертку двух распределений и на при условии, что одно из них имеет компактный носитель. Неформально, чтобы определить , где имеет компактный носитель, идея состоит в том, чтобы расширить определение свертки до линейной операции на распределениях, так что формула ассоциативности продолжает выполняться для всех тестовых функций ^[33] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle S\ast T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \,\ast \,}$ $${\displaystyle S\ast (T\ast \phi )=(S\ast T)\ast \phi }$$ ${\displaystyle \phi .}$

Также возможно дать более явную характеристику свертки распределений. ^[32] Предположим, что и являются распределениями и что имеет компактный носитель. Тогда линейные отображения непрерывны. Транспонированные отображения этих отображений: следовательно, непрерывны и также можно показать, что ^[30] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\bullet \ast {\tilde {S}}:\,&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\quad {\text{ and }}\quad &&\bullet \ast {\tilde {T}}:\,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\&f&&\mapsto \,&&f\ast {\tilde {S}}&&&&&&f&&\mapsto \,&&f\ast {\tilde {T}}\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right):{\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\qquad {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right):{\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$$ $${\displaystyle {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right)(T)={}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right)(S).}$$

Это общее значение называется сверткой и и это распределение , ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ которое обозначается или Оно удовлетворяет ^[30] Если и являются двумя распределениями, по крайней мере одно из которых имеет компактный носитель, то для любого ^[30] Если является распределением в и если является мерой Дирака , то ; ^[30] таким образом, является единичным элементом операции свертки. Более того, если является функцией, то где теперь ассоциативность свертки подразумевает, что для всех функций и ${\displaystyle S\ast T}$ ${\displaystyle T\ast S.}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (S\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (S)+\operatorname {supp} (T).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \tau _{a}(S\ast T)=\left(\tau _{a}S\right)\ast T=S\ast \left(\tau _{a}T\right).}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle T\ast \delta =T=\delta \ast T}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\ast \delta ^{\prime }=f^{\prime }=\delta ^{\prime }\ast f}$ ${\displaystyle f^{\prime }\ast g=g^{\prime }\ast f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$

Предположим, что это то, что имеет компактный носитель. Для рассмотрим функцию ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \psi (x)=\langle T,\tau _{-x}\phi \rangle .}$$

Можно легко показать, что это определяет гладкую функцию, которая, кроме того, имеет компактный носитель. Свертка и определяется как ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \langle S\ast T,\phi \rangle =\langle S,\psi \rangle .}$$

Это обобщает классическое понятие свертки функций и совместимо с дифференцированием в следующем смысле: для каждого многоиндексного ${\displaystyle \alpha .}$ $${\displaystyle \partial ^{\alpha }(S\ast T)=(\partial ^{\alpha }S)\ast T=S\ast (\partial ^{\alpha }T).}$$

Свертка конечного числа распределений, все из которых (за исключением, возможно, одного) имеют компактный носитель, является ассоциативной . ^[30]

Это определение свертки остается справедливым при менее ограничительных предположениях относительно и ^[34] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T.}$

Свертка распределений с компактным носителем индуцирует непрерывное билинейное отображение, определяемое как , где обозначает пространство распределений с компактным носителем. ^[22] Однако отображение свертки как функция не является непрерывным ^[22] , хотя оно является по отдельности непрерывным. ^[35] Отображения свертки и , заданные обоими , не являются непрерывными. ^[22] Каждое из этих ненепрерывных отображений, однако, является по отдельности непрерывным и гипонепрерывным . ^[22] ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\times {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle (S,T)\mapsto S*T,}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle (f,T)\mapsto f*T}$

Свертка против умножения

В общем случае для произведений умножения требуется регулярность , а для произведений свертки — локальность . Это выражается в следующем расширении теоремы о свертке , которое гарантирует существование как произведений свертки, так и произведений умножения. Пусть — быстро убывающее умеренное распределение или, что эквивалентно, — обычная (медленно растущая, гладкая) функция в пространстве умеренного распределения, а — нормализованное (унитарное, обычная частота) преобразование Фурье . ^[36] Тогда, согласно Шварцу (1951), выполняется в пространстве умеренного распределения. ^{[37] [38] [39]} В частности, эти уравнения становятся формулой суммирования Пуассона, если — гребень Дирака . ^[40] Пространство всех быстро убывающих умеренных распределений также называется пространством операторов свертки , а пространство всех обычных функций в пространстве умеренных распределений также называется пространством операторов умножения. В более общем смысле, и ^{[41] [42]} Частным случаем является теорема Пэли-Винера-Шварца, которая утверждает, что и Это происходит потому , что и Другими словами, умеренные распределения с компактным носителем принадлежат пространству операторов свертки , а функции Пэли-Винера, более известные как функции с ограниченной полосой пропускания , принадлежат пространству операторов умножения ^[43] ${\displaystyle F(\alpha )=f\in {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle F(f)=\alpha \in {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F(f*g)=F(f)\cdot F(g)\qquad {\text{ and }}\qquad F(\alpha \cdot g)=F(\alpha )*F(g)}$$ ${\displaystyle g\equiv \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}.}$ ${\displaystyle F({\mathcal {O}}'_{C})={\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle F({\mathcal {O}}_{M})={\mathcal {O}}'_{C}.}$ ${\displaystyle F({\mathcal {E}}')=\operatorname {PW} }$ ${\displaystyle F(\operatorname {PW} )={\mathcal {E}}'.}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {PW} \subseteq {\mathcal {O}}_{M}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {PW} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}.}$

Например, пусть будет гребёнкой Дирака и будет дельта Дирака ; тогда — функция, которая постоянно равна единице, и оба уравнения дают тождество гребёнки Дирака . Другой пример — пусть будет гребёнкой Дирака и будет прямоугольной функцией ; тогда — функция sinc , и оба уравнения дают Классическую теорему выборки для подходящих функций. В более общем смысле, если — гребёнка Дирака и — гладкая оконная функция ( функция Шварца ), например, гауссовская , то — другая гладкая оконная функция (функция Шварца). Они известны как смягчители , особенно в теории уравнений с частными производными , или как регуляризаторы в физике, потому что они позволяют превращать обобщенные функции в регулярные функции . ${\displaystyle g\equiv \operatorname {\text{Ш}} \in {\mathcal {S}}'}$ ${\displaystyle f\equiv \delta \in {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle \alpha \equiv 1\in \operatorname {PW} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\equiv \operatorname {rect} \in {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle \alpha \equiv \operatorname {sinc} \in \operatorname {PW} }$ ${\displaystyle \operatorname {rect} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}\cap {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {S}}}$

Тензорные произведения распределений

Пусть и будут открытыми множествами. Предположим, что все векторные пространства находятся над полем , где или Для определим для каждого и каждого следующие функции: ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle v\in V}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f_{u}:\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&f^{v}:\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&y&&\mapsto \,&&f(u,y)&&&&&&x&&\mapsto \,&&f(x,v)\\\end{alignedat}}}$$

Даны и определяются следующие функции: где и Эти определения связывают каждую и с (соответствующим) непрерывным линейным отображением: ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(V),}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\langle S,f^{\bullet }\rangle :\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&\langle T,f_{\bullet }\rangle :\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&v&&\mapsto \,&&\langle S,f^{v}\rangle &&&&&&u&&\mapsto \,&&\langle T,f_{u}\rangle \\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \langle T,f_{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V).}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V)}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\,&&{\mathcal {D}}(U\times V)&\to \,&&{\mathcal {D}}(V)&&\quad {\text{ and }}\quad &&\,&{\mathcal {D}}(U\times V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}(U)\\&&f\ &\mapsto \,&&\langle S,f^{\bullet }\rangle &&&&&f\ &&\mapsto \,&&\langle T,f_{\bullet }\rangle \\\end{alignedat}}}$$

Более того, если любой из (соответственно ) имеет компактный носитель, то он также индуцирует непрерывное линейное отображение (соответственно ). ^[44] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(V)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(U)}$

Теорема Фубини для распределений ^[44] — ПустьиЕслито ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V).}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$ $${\displaystyle \langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$$

Theтензорное произведение иобозначается ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V),}$какилипредставляет собой распределение в,определяемое как:^[44] ${\displaystyle S\otimes T}$ ${\displaystyle T\otimes S,}$ ${\displaystyle U\times V}$ $${\displaystyle (S\otimes T)(f):=\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$$

Пространства распределений

Для всех и вся каждая из следующих канонических инъекций является непрерывной и имеет образ (также называемый диапазоном) , который является плотным подмножеством своей области значений: где топологии на ( ) определяются как прямые пределы пространств способом, аналогичным тому, как были определены топологии на (так что, в частности, они не являются обычными топологиями нормы). Диапазон каждой из карт выше (и любой композиции карт выше) является плотным в своей области значений. ^[45] ${\displaystyle 0<k<\infty }$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}C_{c}^{\infty }(U)&\to &C_{c}^{k}(U)&\to &C_{c}^{0}(U)&\to &L_{c}^{\infty }(U)&\to &L_{c}^{p}(U)&\to &L_{c}^{1}(U)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\C^{\infty }(U)&\to &C^{k}(U)&\to &C^{0}(U)\\{}\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle L_{c}^{q}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$ ${\displaystyle L_{c}^{q}(K)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$

Предположим, что является одним из пространств (для ) или (для ) или (для ). Поскольку каноническая инъекция является непрерывной инъекцией, образ которой плотен в области значений, транспонирование этого отображения является непрерывной инъекцией. Таким образом, это инъективное транспонированное отображение позволяет отождествить непрерывное двойственное пространство с определенным векторным подпространством пространства всех распределений (в частности, оно отождествляется с образом этого транспонированного отображения). Это транспонированное отображение является непрерывным, но оно не обязательно является топологическим вложением . Линейное подпространство , несущее локально выпуклую топологию, которая тоньше топологии подпространства, индуцированной на нем с помощью , называется пространством распределений . ^[46] Почти все пространства распределений, упомянутые в этой статье, возникают таким образом (например, умеренное распределение, ограничения, распределения порядка некоторого целого числа, распределения, индуцированные положительной мерой Радона, распределения, индуцированные -функцией и т. д.), и любая теорема представления о непрерывном двойственном пространстве может быть посредством транспонирования перенесена непосредственно на элементы пространства ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{X}:C_{c}^{\infty }(U)\to X}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right).}$

Меры по радону

Карта включения представляет собой непрерывную инъекцию, образ которой плотен в своей области значений, поэтому транспонирование также является непрерывной инъекцией. ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{0}(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$

Обратите внимание, что непрерывное двойственное пространство можно определить как пространство мер Радона , где существует взаимно-однозначное соответствие между непрерывными линейными функционалами и интегралом относительно меры Радона; то есть, ${\displaystyle (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$ ${\displaystyle T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$

• если тогда существует мера Радона на U такая, что для всех и ${\displaystyle T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle f\in C_{c}^{0}(U),T(f)=\int _{U}f\,d\mu ,}$
• если — мера Радона на U , то линейный функционал на , определяемый отправлением в , непрерывен. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$ ${\textstyle f\in C_{c}^{0}(U)}$ ${\textstyle \int _{U}f\,d\mu }$

Благодаря инъекции каждая мера Радона становится распределением на U. Если — локально интегрируемая функция на U , то распределение является мерой Радона; таким образом, меры Радона образуют большое и важное пространство распределений. ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle \phi \mapsto \int _{U}f(x)\phi (x)\,dx}$

Ниже приведена теорема о структуре распределений мер Радона , которая показывает, что каждая мера Радона может быть записана в виде суммы производных локальных функций на U : ${\displaystyle L^{\infty }}$

Теорема. ^[47]  —  Предположим, что есть мера Радона, гдепустьбудет окрестностью носителяи пустьСуществует семействолокальнофункций на U такое, чтодля любогои Кроме того,также равно конечной сумме производных непрерывных функций на, где каждая производная имеет порядок ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq n\}.}$ ${\displaystyle f=(f_{p})_{p\in I}}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} f_{p}\subseteq V}$ ${\displaystyle p\in I,}$ $${\displaystyle T=\sum _{p\in I}\partial ^{p}f_{p}.}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \leq 2n.}$

Положительные показатели радона

Линейная функция на пространстве функций называется положительной, если всякий раз, когда функция , принадлежащая области определения , неотрицательна (то есть имеет вещественные значения и ), то Можно показать, что каждый положительный линейный функционал на обязательно непрерывен (то есть обязательно является мерой Радона). ^[48] Мера Лебега является примером положительной меры Радона. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle T(f)\geq 0.}$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$

Локально интегрируемые функции как распределения

Одним особенно важным классом мер Радона являются те, которые являются индуцированными локально интегрируемыми функциями. Функция называется локально интегрируемой, если она интегрируема по Лебегу на каждом компактном подмножестве K из U . Это большой класс функций, который включает все непрерывные функции и все функции пространства Lp . Топология на определяется таким образом, что любая локально интегрируемая функция дает непрерывный линейный функционал на – то есть элемент из – обозначенный здесь через , значение которого на тестовой функции задается интегралом Лебега: ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T_{f},}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.}$$

Традиционно злоупотребляют обозначениями , отождествляя себя с при условии, что не возникнет путаницы, и поэтому сочетание между и часто записывается ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle .}$$

Если и являются двумя локально интегрируемыми функциями, то соответствующие распределения и равны одному и тому же элементу из тогда и только тогда, когда и равны почти всюду (см., например, Хермандер (1983, теорема 1.2.5)). Аналогично, каждая мера Радона на определяет элемент, значение которого на тестовой функции равно Как и выше, принято злоупотреблять обозначениями и записывать сопряжение между мерой Радона и тестовой функцией как Наоборот, как показано в теореме Шварца (аналогично теореме Рисса о представлении ), каждое распределение, которое неотрицательно на неотрицательных функциях, имеет этот вид для некоторой (положительной) меры Радона. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle T_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\textstyle \int \phi \,d\mu .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \langle \mu ,\phi \rangle .}$

Тестовые функции как распределения

Тестовые функции сами по себе локально интегрируемы и, таким образом, определяют распределения. Пространство тестовых функций последовательно плотно в относительно сильной топологии на ^[49]. Это означает, что для любого существует последовательность тестовых функций, которая сходится к (в своей сильной двойственной топологии), если рассматривать ее как последовательность распределений. Или, что эквивалентно, ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle (\phi _{i})_{i=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ $${\displaystyle \langle \phi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle \qquad {\text{ for all }}\psi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Дистрибутивы с компактной поддержкой

Карта включения — это непрерывная инъекция, образ которой плотен в своей области значений, поэтому карта транспонирования также является непрерывной инъекцией. Таким образом, образ транспонирования, обозначенный как , образует пространство распределений. ^[13] ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U),}$

Элементы можно определить как пространство распределений с компактным носителем. ^[13] Явно, если — распределение на U , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)=(C^{\infty }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle T\in {\mathcal {E}}'(U).}$
• Поддержка компактна. ${\displaystyle T}$
• Ограничение на , когда это пространство снабжено топологией подпространства, унаследованной от (более грубой топологии, чем каноническая топология LF), является непрерывным. ^[13] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$
• Существует компактное подмножество K из U, такое что для каждой тестовой функции, носитель которой полностью находится за пределами K , мы имеем ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle T(\phi )=0.}$

Компактно поддерживаемые распределения определяют непрерывные линейные функционалы на пространстве ; напомним, что топология на определена таким образом, что последовательность тестовых функций сходится к 0 тогда и только тогда, когда все производные сходятся равномерно к 0 на каждом компактном подмножестве U . Наоборот, можно показать, что каждый непрерывный линейный функционал на этом пространстве определяет распределение компактного носителя. Таким образом, компактно поддерживаемые распределения можно отождествить с теми распределениями, которые можно расширить с до ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$

Распределения конечного порядка

Пусть Отображение включения представляет собой непрерывную инъекцию, образ которой плотен в своей области значений, поэтому транспонирование также является непрерывной инъекцией. Следовательно, образ , обозначенный как , образует пространство распределений. Элементами являются распределения порядка ^[16] Распределения порядка , которые также называются распределениями порядка 0, являются в точности распределениями, которые являются мерами Радона (описанными выше). ${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{k}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)}$ ${\displaystyle \,\leq k.}$ ${\displaystyle \,\leq 0,}$

Ибо распределение порядка k — это распределение порядка , которое не является распределением порядка . ^[16] ${\displaystyle 0\neq k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \,\leq k}$ ${\displaystyle \,\leq k-1}$

Говорят, что распределение имеет конечный порядок , если существует некоторое целое число , такое что оно является распределением порядка , а множество распределений конечного порядка обозначается как Обратите внимание, что если то так что является векторным подпространством , и, кроме того, тогда и только тогда, когда ^[16] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \,\leq k,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U).}$ ${\displaystyle k\leq l}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U):=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\mathcal {D}}'^{n}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U)={\mathcal {D}}'(U).}$

Структура распределений конечного порядка

Каждое распределение с компактным носителем в U является распределением конечного порядка. ^[16] Действительно, каждое распределение в U локально является распределением конечного порядка в следующем смысле: ^[16] Если V — открытое и относительно компактное подмножество U и если — отображение ограничения из U в V , то образ под содержится в ${\displaystyle \rho _{VU}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \rho _{VU}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(V).}$

Ниже приведена теорема о структуре распределений конечного порядка, которая показывает, что каждое распределение конечного порядка можно записать в виде суммы производных мер Радона :

Теорема ^[16]  —  Предположим, что имеет конечный порядок и Для любого открытого подмножества V из U , содержащего носитель, существует семейство мер Радона в U , такое, что для очень и ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle (\mu _{p})_{p\in I},}$ ${\displaystyle p\in I,\operatorname {supp} (\mu _{p})\subseteq V}$ $${\displaystyle T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}.}$$

Пример. (Распределения бесконечного порядка) Пусть и для каждой тестовой функции пусть ${\displaystyle U:=(0,\infty )}$ ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle Sf:=\sum _{m=1}^{\infty }(\partial ^{m}f)\left({\frac {1}{m}}\right).}$$

Тогда — распределение бесконечного порядка на U. Более того, не может быть продолжено до распределения на ; то есть не существует распределения на , такого, что ограничение на U равно ^[50] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S.}$

Темперированные распределения и преобразование Фурье

Ниже определены закаленные распределения , которые образуют подпространство пространства распределений на Это собственное подпространство: в то время как каждое закаленнное распределение является распределением и элементом обратного не является верным. Закаленные распределения полезны, если изучать преобразование Фурье , поскольку все закаленные распределения имеют преобразование Фурье, что неверно для произвольного распределения в ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}).}$

пространство Шварца

Пространство Шварца — это пространство всех гладких функций, которые быстро убывающие на бесконечности вместе со всеми частными производными. Таким образом, находится в пространстве Шварца при условии, что любая производная от , умноженная на любую степень , сходится к 0, так как Эти функции образуют полную TVS с соответствующим образом определенным семейством полунорм . Точнее, для любых мультииндексов и определяют ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi ,}$ ${\displaystyle |x|,}$ ${\displaystyle |x|\to \infty .}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ $${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|.}$$

Тогда находится в пространстве Шварца, если все значения удовлетворяют ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )<\infty .}$$

Семейство полунорм определяет локально выпуклую топологию на пространстве Шварца. Поскольку полунормы являются, по сути, нормами на пространстве Шварца. Для определения топологии можно также использовать следующее семейство полунорм: ^[51] ${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }}$ ${\displaystyle n=1,}$ $${\displaystyle |f|_{m,k}=\sup _{|p|\leq m}\left(\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left\{(1+|x|)^{k}\left|(\partial ^{\alpha }f)(x)\right|\right\}\right),\qquad k,m\in \mathbb {N} .}$$

В противном случае можно определить норму через ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \|\phi \|_{k}=\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|,\qquad k\geq 1.}$$

Пространство Шварца является пространством Фреше (то есть полным метризуемым локально выпуклым пространством). Поскольку преобразование Фурье заменяется умножением на и наоборот, эта симметрия подразумевает, что преобразование Фурье функции Шварца также является функцией Шварца. ${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$ ${\displaystyle x^{\alpha }}$

Последовательность в сходится к 0 в тогда и только тогда, когда функции сходятся к 0 равномерно в целом из чего следует, что такая последовательность должна сходиться к нулю в ^[51] ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle (1+|x|)^{k}(\partial ^{p}f_{i})(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$плотно в Подмножество всех аналитических функций Шварца также плотно в. ^[52] ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

Пространство Шварца является ядерным , а тензорное произведение двух отображений индуцирует канонический сюръективный TVS-изоморфизм , где представляет собой пополнение инъективного тензорного произведения (которое в этом случае идентично пополнению проективного тензорного произведения ). ^[53] $${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m+n}),}$$ ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$

Темперированные распределения

Отображение включения представляет собой непрерывную инъекцию, образ которой плотен в своей области значений, поэтому транспонирование также является непрерывной инъекцией. Таким образом, образ отображения транспонирования, обозначенный как , образует пространство распределений. ${\displaystyle \operatorname {In} :{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$

Пространство называется пространством закаленных распределений . Это непрерывное дуальное пространство пространства Шварца. Эквивалентно, распределение является закаленным распределением тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \left({\text{ for all }}\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}:\lim _{m\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\phi _{m})=0\right)\Longrightarrow \lim _{m\to \infty }T(\phi _{m})=0.}$$

Производная умеренного распределения снова является умеренным распределением. Умеренные распределения обобщают ограниченные (или медленно растущие) локально интегрируемые функции; все распределения с компактным носителем и все квадратично интегрируемые функции являются умеренными распределениями. В более общем смысле, все функции, которые являются произведениями полиномов с элементами пространства Lp для являются умеренными распределениями. ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

Умеренные распределения также можно охарактеризовать как медленно растущие , что означает, что каждая производная от растет не быстрее, чем некоторый полином . Эта характеристика является двойственной к быстро падающему поведению производных функции в пространстве Шварца, где каждая производная от убывает быстрее, чем каждая обратная степень Примером быстро падающей функции является для любого положительного ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |x|.}$ ${\displaystyle |x|^{n}\exp(-\lambda |x|^{\beta })}$ ${\displaystyle n,\lambda ,\beta .}$

преобразование Фурье

Для изучения преобразования Фурье лучше всего рассматривать комплекснозначные тестовые функции и комплексно-линейные распределения. Обычное непрерывное преобразование Фурье является TVS- автоморфизмом пространства Шварца, а преобразование Фурье определяется как его транспонирование, которое (злоупотребляя обозначениями) снова будет обозначаться как Таким образом, преобразование Фурье закаленного распределения определяется как для каждой функции Шварца , таким образом, снова является закаленным распределением. Преобразование Фурье является TVS-изоморфизмом из пространства закаленных распределений на себя. Эта операция совместима с дифференцированием в том смысле, что и также со сверткой: если является закаленным распределением и является медленно возрастающей гладкой функцией на является снова закаленным распределением и является сверткой и В частности, преобразование Фурье постоянной функции, равной 1, является распределением. ${\displaystyle F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {}^{t}F:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (FT)(\psi )=T(F\psi )}$ ${\displaystyle \psi .}$ ${\displaystyle FT}$ $${\displaystyle F{\dfrac {dT}{dx}}=ixFT}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \psi T}$ $${\displaystyle F(\psi T)=F\psi *FT}$$ ${\displaystyle FT}$ ${\displaystyle F\psi .}$ ${\displaystyle \delta }$

Выражение умеренных распределений в виде сумм производных

Если — умеренное распределение, то существует константа и положительные целые числа и такие, что для всех функций Шварца ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C>0,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \langle T,\phi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\phi ).}$$

Эту оценку, наряду с некоторыми методами функционального анализа , можно использовать для того, чтобы показать, что существует непрерывная медленно возрастающая функция и мультииндекс, такой что ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F.}$$

Ограничение распределений компактными множествами

Если тогда для любого компактного множества существует непрерывная функция с компактным носителем в (возможно, на большем множестве, чем само K ) и мультииндекс такой, что на ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(K).}$

Использование голоморфных функций в качестве тестовых функций

Успех теории привел к исследованию идеи гиперфункции , в которой пространства голоморфных функций используются в качестве тестовых функций. Была разработана уточненная теория, в частности алгебраический анализ Микио Сато , использующий теорию пучков и несколько комплексных переменных . Это расширяет диапазон символических методов, которые могут быть превращены в строгую математику, например, интегралы Фейнмана .

Смотрите также

• Главное значение Коши  – Метод присвоения значений некоторым несобственным интегралам, которые в противном случае были бы неопределенными.
• Тройка Гельфанда  – Конструкция, связывающая изучение «связанных» и непрерывных собственных значений в функциональном анализеPages displaying short descriptions of redirect targets
• Пространство Гельфанда–Шилова
• Обобщенная функция  – объекты, расширяющие понятие функции.
• Преобразование Гильберта  – Интегральное преобразование и линейный оператор
• Равномерное распределение
• Лапласиан индикатора  – Предел последовательности гладких функций
• Лимит распределений
• Mollifier  – Интеграционные ядра для сглаживания резких черт
• Неопределенная топология

Дифференциальные уравнения, связанные

• Фундаментальное решение  – Концепция решения линейных уравнений в частных производных
• Псевдодифференциальный оператор  – Тип дифференциального оператора
• Слабое решение  – Математическое решение

Обобщения распределений

• Алгебра Коломбо  – коммутативная ассоциативная дифференциальная алгебра обобщенных функций, в которую гладкие функции (но не произвольные непрерывные) вкладываютс как подалгебра, а распределения – как подпространствоPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Текущее (математика)  – Распределения на пространствах дифференциальных форм
• Распределение (теория чисел)  – функция на конечных множествах, аналогичная интегралуPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Распределение на линейной алгебраической группе  – Линейная функция, удовлетворяющая условию опоры
• Функция Грина  – Импульсная характеристика неоднородного линейного дифференциального оператора
• Гиперфункция  – тип обобщенной функции
• Теорема Мальгранжа–Эренпрейса

Примечания

1. Обратите внимание, что, будучи целым числом, это иногда выражается как Так как неравенство " " означает: если в то время как если тогда это означает ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\neq \infty .}$ ${\displaystyle 0\leq i<k+1.}$ ${\displaystyle \infty +1=\infty ,}$ ${\displaystyle 0\leq i<k+1}$ ${\displaystyle 0\leq i<\infty }$ ${\displaystyle k=\infty ,}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$ ${\displaystyle 0\leq i\leq k.}$
2. Образ компактного множества при непрерывном -значном отображении (например, для ) сам по себе является компактным и, следовательно, ограниченным подмножеством . Если то это означает, что каждая из функций, определенных выше, является -значной (то есть ни один из супремумов выше никогда не равен ). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \left|\partial ^{p}f(x)\right|}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle K\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \infty }$
3. Точно так же, как пространство определяется как векторное подпространство, состоящее из отображений с носителем, содержащимся в , наделенное топологией подпространства, которую оно наследует . ${\displaystyle C^{k}(K;U),}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U')}$ ${\displaystyle C^{k}(U')}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C^{k}(U')}$
4. Несмотря на то, что топология не метризуема, линейный функционал на непрерывен тогда и только тогда, когда он секвенциально непрерывен. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$
5. Нулевая последовательность — это последовательность, которая сходится к началу координат.
6. Если также подчиняется обычному сравнению функций, то можно считать, что конечная коллекция состоит из одного элемента. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$
7. Теорема о расширении для отображений, определенных из подпространства S топологического векторного пространства E в само топологическое пространство E, работает и для нелинейных отображений, при условии, что они предполагаются равномерно непрерывными . Но, к сожалению, это не наш случай, мы хотели бы «расширить» линейное непрерывное отображение A из tvs E в другое tvs F, чтобы получить линейное непрерывное отображение из дуального E' в дуальный F' (обратите внимание на порядок пространств). В общем, это даже не проблема расширения, потому что (в общем случае) E не обязательно является подмножеством своего собственного дуального E'. Более того, это не классическая топологическая задача транспонирования, потому что транспонирование A идет из F' в E', а не из E' в F'. Наш случай действительно требует нового порядка идей, включающего конкретные топологические свойства пространств Лорана Шварца D(U) и D'(U), вместе с фундаментальной концепцией слабого (или шварцевского) сопряженного линейного непрерывного оператора A.
8. Например, пусть и возьмем в качестве обычной производной для функций одной действительной переменной и предположим, что носитель содержится в конечном интервале, тогда, поскольку где последнее равенство имеет вид, поскольку ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (a,b),}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\phi )\subseteq (a,b)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} }\phi '(x)f(x)\,dx&=\int _{a}^{b}\phi '(x)f(x)\,dx\\&=\phi (x)f(x){\big \vert }_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=\phi (b)f(b)-\phi (a)f(a)-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \phi (a)=\phi (b)=0.}$

Ссылки

1. Treves 2006, стр. 222–223.
2. Грабб 2009, стр. 14
3. Трев 2006, стр. 85–89.
4. Treves 2006, стр. 142–149.
5. Тревес 2006, стр. 356–358.
6. Treves 2006, стр. 131–134.
7. Рудин 1991, стр. 149–181.
8. Тревес 2006, стр. 526–534.
9. Трев 2006, стр. 357.
10. См., например, Grubb 2009, стр. 14.
11. Treves 2006, стр. 245–247.
12. Trèves 2006, стр. 253–255.
13. Treves 2006, стр. 255–257.
14. Тревес 2006, стр. 264–266.
15. Рудин 1991, стр. 165.
16. Trèves 2006, стр. 258–264.
17. Рудин 1991, стр. 169–170.
18. Стрихартц, Роберт (1993). Руководство по теории распределений и преобразованиям Фурье . США. стр. 17.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
19. Стрихарц 1994, §2.3; Тревес 2006.
20. Рудин 1991, стр. 180.
21. Trèves 2006, стр. 247–252.
22. Trèves 2006, стр. 423.
23. Трев 2006, стр. 261.
24. Пер Перссон (имя пользователя: md2perpe) (27 июня 2017 г.). «Умножение двух распределений, чьи сингулярные носители не пересекаются». Stack Exchange Network.{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
25. Lyons, T. (1998). «Дифференциальные уравнения, управляемые грубыми сигналами». Revista Matemática Iberoamericana . 14 (2): 215–310. doi : 10.4171/RMI/240 .
26. Хайрер, Мартин (2014). «Теория регулярности структур». Inventiones Mathematicae . 198 (2): 269–504. arXiv : 1303.5113 . Bibcode : 2014InMat.198..269H. doi : 10.1007/s00222-014-0505-4. S2CID  119138901.
27. См., например, Hörmander 1983, теорема 6.1.1.
28. См. Хёрмандер 1983, теорема 6.1.2.
29. Treves 2006, стр. 278–283.
30. Treves 2006, стр. 284–297.
31. См., например, Рудин 1991, §6.29.
32. Treves 2006, Глава 27.
33. Хермандер 1983, §IV.2 доказывает единственность такого расширения.
34. См., например, Гельфанд и Шилов 1966–1968, т. 1, стр. 103–104 и Бенедетто 1997, Определение 2.5.8.
35. Трев 2006, стр. 294.
36. Фолланд, ГБ (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press.
37. Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company.
38. Баррос-Нето, Хосе (1973). Введение в теорию распределений . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Деккер.
39. Петерсен, Бент Э. (1983). Введение в преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы . Бостон, Массачусетс: Pitman Publishing.
40. Вудворд, П. М. (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам . Оксфорд, Великобритания: Pergamon Press.
41. Тревес 2006, стр. 318–319.
42. Фридлендер, Ф. Г.; Джоши, М. С. (1998). Введение в теорию распределений . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press.
43. Шварц 1951.
44. Treves 2006, стр. 416–419.
45. Тревес 2006, стр. 150–160.
46. Тревес 2006, стр. 240–252.
47. Тревес 2006, стр. 262–264.
48. Трев 2006, стр. 218.
49. Тревес 2006, стр. 300–304.
50. Рудин 1991, стр. 177–181.
51. Trèves 2006, стр. 92–94.
52. Трев 2006, стр. 160.
53. Трев 2006, стр. 531.

Библиография

• Баррос-Нето, Хосе (1973). Введение в теорию распределений . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Деккер.
• Бенедетто, Дж. Дж. (1997), Гармонический анализ и его применение , CRC Press.
• Лютцен, Дж. (1982). Предыстория теории распределений . Нью-Йорк, Берлин: Springer Verlag.
• Фолланд, ГБ (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press.
• Фридлендер, Ф. Г.; Джоши, М. С. (1998). Введение в теорию распределений . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press..
• Гординг, Л. (1997), Некоторые аспекты анализа и их история , Американское математическое общество.
• Гельфанд, И.М .; Шилов, Г.Е. (1966–1968), Обобщенные функции , т. 1–5, Academic Press.
• Грабб, Г. (2009), Распределения и операторы , Springer.
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., vol. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN. 3-540-12104-8, МР  0717035.
• Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряды Аддисона-Уэсли в математике. Том 1. Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
• Колмогоров, Андрей ; Фомин, Сергей В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа . Dover Books on Mathematics. Нью-Йорк: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC  912495626.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Петерсен, Бент Э. (1983). Введение в преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы . Бостон, Массачусетс: Pitman Publishing..
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шварц, Лоран (1954), «Sur l'impossabilité de la multiplications desраспределения», CR Acad. наук. Париж , 239 : 847–848 ..
• Шварц, Лоран (1951), Теория распределения , том. 1–2, Герман.
• Соболев С.Л. (1936), "Новый метод решения задачи Коши для нормальных линейных гиперболических уравнений", Матем. Сборник , 1 : 39–72..
• Стайн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Стрихартц, Р. (1994), Руководство по теории распределений и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Вудворд, П. М. (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам . Оксфорд, Великобритания: Pergamon Press.

Дальнейшее чтение

• MJ Lighthill (1959). Введение в анализ Фурье и обобщенные функции . Cambridge University Press. ISBN 0-521-09128-4 (требует очень небольших знаний анализа; определяет распределения как пределы последовательностей функций под интегралами) 
• В. С. Владимиров (2002). Методы теории обобщенных функций . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-415-27356-0 
• Владимиров, В.С. (2001) [1994], "Обобщенная функция", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС.
• Владимиров, В.С. (2001) [1994], "Обобщенные функции, пространство", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС.
• Владимиров, В.С. (2001) [1994], "Обобщенная функция, производная от a", Энциклопедия математики , Издательство EMS.
• Владимиров, В.С. (2001) [1994], "Обобщенные функции, произведение", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press.
• Обергуггенбергер, Михаэль (2001) [1994], «Обобщенные функциональные алгебры», Энциклопедия математики , EMS Press.