Непрерывный линейный оператор

В функциональном анализе и смежных областях математики непрерывный линейный оператор или непрерывное линейное отображение — это непрерывное линейное преобразование между топологическими векторными пространствами .

Оператор между двумя нормированными пространствами является ограниченным линейным оператором тогда и только тогда, когда он является непрерывным линейным оператором.

Непрерывные линейные операторы

Характеристика непрерывности

Предположим, что — линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами (TVS). Следующие операторы эквивалентны: ${\displaystyle F:X\to Y}$

1. ${\displaystyle F}$является непрерывным.
2. ${\displaystyle F}$непрерывен в некоторой точке ${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle F}$непрерывна в начале координат в ${\displaystyle X.}$

Если локально выпукло , то этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle Y}$

4. для каждой непрерывной полунормы на существует непрерывная полунорма на такая, что ^[1] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\circ F\leq p.}$

Если и являются локально выпуклыми хаусдорфовыми пространствами, то этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

5. ${\displaystyle F}$слабо непрерывен и его транспонирование отображает равностепенно непрерывные подмножества в равностепенно непрерывные подмножества ${\displaystyle {}^{t}F:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Если — последовательное пространство (такое как псевдометризуемое пространство ), то этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle X}$

6. ${\displaystyle F}$последовательно непрерывен в некоторой (или, что эквивалентно, в каждой) точке своей области определения.

Если является псевдометризуемым или метризуемым (например, нормированным или банаховым пространством ), то мы можем добавить к этому списку: ${\displaystyle X}$

7. ${\displaystyle F}$является ограниченным линейным оператором (то есть он отображает ограниченные подмножества в ограниченные подмножества ). ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Если — полунормируемое пространство (такое как нормированное пространство ), то этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle Y}$

8. ${\displaystyle F}$отображает некоторую окрестность 0 в ограниченное подмножество ^[3] ${\displaystyle Y.}$

Если и являются нормированными или полунормированными пространствами (при этом обе полунормы обозначаются как ), то этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

9. для каждого существует такое , что ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ $${\displaystyle {\text{ for all }}x,y\in X,{\text{ if }}\|x-y\|<\delta {\text{ then }}\|Fx-Fy\|<r.}$$

Если и являются локально выпуклыми хаусдорфовыми пространствами с конечной размерностью, то этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

10. график замкнут в ^[4] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Непрерывность и ограниченность

На протяжении всего текста используется линейное отображение между топологическими векторными пространствами (TVS). ${\displaystyle F:X\to Y}$

Ограниченное подмножество

Понятие «ограниченного множества» для топологического векторного пространства — это понятие быть ограниченным множеством по фон Нейману . Если пространство также является нормированным пространством (или полунормированным пространством ), то подмножество ограничено по фон Нейману тогда и только тогда, когда оно ограничено по норме , что означает, что Подмножество нормированного (или полунормированного) пространства называется ограниченным, если оно ограничено по норме (или, что эквивалентно, ограничено по фон Нейману). Например, скалярное поле ( или ) с абсолютным значением является нормированным пространством, поэтому подмножество ограничено тогда и только тогда, когда является конечным, что происходит тогда и только тогда, когда содержится в некотором открытом (или замкнутом) шаре с центром в начале координат (нуле). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup _{s\in S}\|s\|<\infty .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup _{s\in S}|s|}$ ${\displaystyle S}$

Любой перенос, скалярное множитель и подмножество ограниченного множества снова ограничены.

Функция, ограниченная на множестве

Если это множество, то говорят, что оно ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ограничено на , ${\displaystyle S}$ еслиявляетсяограниченным подмножеством,которого еслиявляется нормированным (или полунормированным) пространством, происходит тогда и только тогда, когда Линейное отображениеограничено на множестветогда и только тогда, когда оно ограничено надля каждого(потому чтои любой перенос ограниченного множества снова ограничен) тогда и только тогда, когда оно ограничено надля каждого ненулевого скаляра(потому чтои любой скаляр, кратный ограниченному множеству, снова ограничен). Следовательно, еслиявляется нормированным или полунормированным пространством, то линейное отображениеограничено на некотором (эквивалентно, на каждом) невырожденном открытом или замкнутом шаре (не обязательно с центром в начале координат и любого радиуса) тогда и только тогда, когда оно ограничено на замкнутом единичном шаре с центром в начале координат ${\displaystyle F(S)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle (Y,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \sup _{s\in S}\|F(s)\|<\infty .}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x+S:=\{x+s:s\in S\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F(x+S)=F(x)+F(S)}$ ${\displaystyle cS:=\{cs:s\in S\}}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle F(cS)=cF(S)}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle \{x\in X:\|x\|\leq 1\}.}$

Ограниченные линейные отображения

По определению, линейное отображение между TVS называется ограниченным и называется ${\displaystyle F:X\to Y}$ограниченный линейный оператор, если для каждого(фон Неймана) ограниченного подмножества его области определения,является ограниченным подмножеством его области определения; или, говоря короче, если он ограничен на каждом ограниченном подмножестве своего домена. Когда область определенияявляется нормированным (или полунормированным) пространством, то достаточно проверить это условие для открытого или замкнутого единичного шара с центром в начале координат. Явно, еслиобозначает этот шар, тоявляется ограниченным линейным оператором, если и только еслиявляется ограниченным подмножеством,еслитакже является (полу)нормированным пространством, то это происходит, если и только еслинорма оператораконечна. Каждыйпоследовательно непрерывныйлинейный оператор ограничен.^[5] ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle F\left(B_{1}\right)}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \|F\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\|F(x)\|<\infty }$

Функция, ограниченная в окрестности и локальная ограниченность

Напротив, карта называется ${\displaystyle F:X\to Y}$ограниченный в окрестности точкиили ${\displaystyle x\in X}$локально ограниченным в , если существуетокрестностьэтой точки втакая, чтоявляетсяограниченным подмножествомЭто " ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle Y.}$ограниченным в окрестности " (некоторой точки), если существуетнекотораяточкав его области определения, в которой он локально ограничен, и в этом случае это линейное отображениеобязательно локально ограничено вкаждойточке своей области определения. Термин " ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$Термин «локально ограниченный » иногда используется для обозначения отображения, которое локально ограничено в каждой точке своей области определения, но некоторые авторы функционального анализа определяют «локально ограниченный» как синоним «ограниченного линейного оператора», которые являются связанными, нонеэквивалентными понятиями. По этой причине в этой статье мы будем избегать термина «локально ограниченный» и вместо этого будем говорить «локально ограниченный в каждой точке» (нет разногласий относительно определения «локально ограниченногов точке»).

Ограниченность в окрестности подразумевает непрерывность подразумевает ограниченность

Линейное отображение «ограничено в окрестности» (некоторой точки) тогда и только тогда, когда оно локально ограничено в каждой точке своей области определения, и в этом случае оно обязательно непрерывно ^[2] (даже если его область определения не является нормированным пространством ) и, следовательно, также ограничено (потому что непрерывный линейный оператор всегда является ограниченным линейным оператором ). ^[6]

Для любого линейного отображения, если оно ограничено в окрестности, то оно непрерывно, ^{[2] [7]} и если оно непрерывно, то оно ограничено . ^[6] Обратные утверждения не верны в общем случае, но они оба верны, когда область определения линейного отображения является нормированным пространством . Примеры и дополнительные подробности теперь приведены ниже.

Непрерывный и ограниченный, но не ограниченный в окрестности

Следующий пример показывает, что линейное отображение может быть непрерывным (и, следовательно, также ограниченным), но не ограниченным в какой-либо окрестности. В частности, он демонстрирует, что быть «ограниченным в окрестности» не всегда синонимично быть « ограниченным ».

Пример : Непрерывное и ограниченное линейное отображение, которое не ограничено ни в какой окрестности : Если— тождественное отображение на некотором локально выпуклом топологическом векторном пространстве , то это линейное отображение всегда непрерывно (на самом деле, даже TVS-изоморфизм ) и ограничено , ноограничено на окрестности тогда и только тогда, когда существует ограниченная окрестность начала координат, вкоторой эквивалентно тому, чтобы быть полунормируемым пространством (что, еслиявляется Хаусдорфовым, то то же самое, что быть нормируемым пространством ). Это показывает, что линейное отображение может быть непрерывным, но не ограниченным ни в какой окрестности. Действительно, этот пример показывает, что каждое локально выпуклое пространство , которое не является полунормируемым, имеет линейный TVS- автоморфизм , который не ограничен ни в какой окрестности любой точки. Таким образом, хотя каждое линейное отображение, которое ограничено на окрестности, обязательно непрерывно, обратное в общем случае не гарантируется. ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Гарантия разговоров

Подводя итоги обсуждения ниже, для линейного отображения на нормированном (или полунормированном) пространстве непрерывность, ограниченность и ограниченность на окрестности являются эквивалентными . Линейное отображение, область определения или кодомен которого нормируема (или полунормируема), непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено на окрестности. А ограниченный линейный оператор, имеющий значение в локально выпуклом пространстве , будет непрерывным, если его область определения (псевдо)метризуема ^[2] или борнологична ^[6] .

Гарантируем, что «непрерывный» подразумевает «ограниченный в окрестности»

TVS называется локально ограниченным, если существует окрестность, которая также является ограниченным множеством . ^[8] Например, каждое нормированное или полунормированное пространство является локально ограниченным TVS, поскольку единичный шар с центром в начале координат является ограниченной окрестностью начала координат. Если является ограниченной окрестностью начала координат в (локально ограниченном) TVS, то его образ при любом непрерывном линейном отображении будет ограниченным множеством (так что это отображение, таким образом, ограничено в этой окрестности ). Следовательно, линейное отображение из локально ограниченного TVS в любое другое TVS является непрерывным тогда и только тогда, когда оно ограничено в окрестности. Более того, любое TVS с этим свойством должно быть локально ограниченным TVS. Явно, если является TVS таким, что каждое непрерывное линейное отображение (в любое TVS), область определения которого является, обязательно ограничено в окрестности, то должно быть локально ограниченным TVS (потому что тождественная функция всегда является непрерывным линейным отображением). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to X}$

Любое линейное отображение из TVS в локально ограниченный TVS (такой как любой линейный функционал) непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено в окрестности. ^[8] Обратно, если — TVS, такое что каждое непрерывное линейное отображение (из любого TVS) с областью значений обязательно ограничено в окрестности, то должно быть локально ограниченным TVS. ^[8] В частности, линейный функционал на произвольном TVS непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен в окрестности. ^[8] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Таким образом, когда область или кодоместо линейного отображения нормируема или полунормируема, то непрерывность будет эквивалентна ограниченности в окрестности.

Гарантируем, что «ограниченный» подразумевает «непрерывный»

Непрерывный линейный оператор всегда является ограниченным линейным оператором . ^[6] Но важно то, что в наиболее общей ситуации линейного оператора между произвольными топологическими векторными пространствами линейный оператор может быть ограниченным , но не непрерывным.

Линейное отображение, область определения которого псевдометризуема (например, любое нормированное пространство ), ограничено тогда и только тогда, когда оно непрерывно. ^[2] То же самое верно для линейного отображения из борнологического пространства в локально выпуклое пространство . ^[6]

Гарантируем, что «ограниченный» подразумевает «ограниченный в окрестности»

В общем случае, без дополнительной информации о линейном отображении или его области или области значений, «ограниченность» отображения не эквивалентна его «ограниченности в окрестности». Если — ограниченный линейный оператор из нормированного пространства в некоторое TVS, то обязательно непрерывен; это происходит потому, что любой открытый шар с центром в начале координат в является как ограниченным подмножеством (что подразумевает, что ограничено, поскольку — ограниченное линейное отображение), так и окрестностью начала координат в , так что, таким образом, ограничено в этой окрестности начала координат, что (как упоминалось выше) гарантирует непрерывность. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$

Непрерывные линейные функционалы

Каждый линейный функционал на топологическом векторном пространстве (TVS) является линейным оператором, поэтому все свойства, описанные выше для непрерывных линейных операторов, применимы к ним. Однако из-за их специализированной природы мы можем сказать о непрерывных линейных функционалах даже больше, чем о более общих непрерывных линейных операторах.

Характеристика непрерывных линейных функционалов

Пусть — топологическое векторное пространство (TVS) над полем ( не обязательно хаусдорфово или локально выпуклое ) и пусть — линейный функционал на . Следующие условия эквивалентны: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle f}$является непрерывным.
2. ${\displaystyle f}$равномерно непрерывна на ${\displaystyle X.}$
3. ${\displaystyle f}$непрерывен в некоторой точке ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle f}$непрерывна в начале координат.
   • По определению, называется непрерывным в начале координат, если для каждого открытого (или замкнутого) шара радиуса с центром в области значений существует некоторая окрестность начала координат в такая, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}.}$
   • Если — замкнутый шар, то условие выполняется тогда и только тогда, когда ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r.}$
     • Важно, чтобы быть замкнутым шаром в этой супремумной характеристике. Предполагая, что вместо этого является открытым шаром, тогда является достаточным, но не необходимым условием для того, чтобы быть истинным (рассмотрите, например, когда является тождественным отображением на и ), тогда как нестрогое неравенство вместо этого является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы быть истинным (рассмотрите, например , и замкнутую окрестность ). Это одна из нескольких причин, по которым многие определения, включающие линейные функционалы, такие как полярные множества , например, включают замкнутые (а не открытые) окрестности и нестрогие (а не строгие ) неравенства. ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<r}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$ ${\displaystyle f=\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {F} }$ ${\displaystyle U=B_{r}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,f=\operatorname {Id} ,}$ ${\displaystyle U=[-r,r]}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,<\,}$
5. ${\displaystyle f}$ограничен в окрестности (некоторой точки). Другими словами, локально ограничен в некоторой точке своей области. ${\displaystyle f}$
   • Явно это означает, что существует некоторая окрестность некоторой точки, такая что является ограниченным подмножеством [ ^2] , то есть такая, что Этот супремум по окрестности равен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ;}$ ${\textstyle \displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<\infty .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f=0.}$
   • Важно, что линейный функционал, «ограниченный на окрестности», в общем случае не эквивалентен « ограниченному линейному функционалу », поскольку (как описано выше) линейное отображение может быть ограниченным , но не непрерывным. Однако непрерывность и ограниченность эквивалентны, если область является нормированным или полунормированным пространством ; то есть для линейного функционала на нормированном пространстве «ограниченность» эквивалентна «ограниченности на окрестности».
6. ${\displaystyle f}$ограничен в окрестности начала координат. Другими словами, локально ограничен в начале координат. ${\displaystyle f}$
   • Равенство выполняется для всех скаляров и когда тогда будет окрестностью начала координат. Так, в частности, если - положительное действительное число, то для каждого положительного действительного множества это окрестность начала координат и Использование доказывает следующее утверждение, когда ${\displaystyle \sup _{x\in sU}|f(x)|=|s|\sup _{u\in U}|f(u)|}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle sU}$ ${\textstyle R:=\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle N_{r}:={\tfrac {r}{R}}U}$ ${\displaystyle \displaystyle \sup _{n\in N_{r}}|f(n)|=r.}$ ${\displaystyle r:=1}$ ${\displaystyle R\neq 0.}$
7. Существует некоторая окрестность начала координат, такая что ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$
   • Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа это показывает, что положительные скалярные кратные этой единственной окрестности будут удовлетворять определению непрерывности в начале координат, данному в (4) выше. ${\displaystyle \sup _{x\in rU}|f(x)|\leq r}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle \{rU:r>0\}}$ ${\displaystyle U}$
   • По определению множества, называемого (абсолютной) полярой, неравенство выполняется тогда и только тогда, когда полярные множества, а также это конкретное неравенство, играют важную роль в теории двойственности . ${\displaystyle U^{\circ },}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$ ${\displaystyle f\in U^{\circ }.}$
8. ${\displaystyle f}$является локально ограниченным в каждой точке своей области определения.
9. Ядро замкнуто в ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$
10. Либо либо ядро ​​не плотно в ^[2] ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$
11. Существует непрерывная полунорма на такая, что ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p.}$
    • В частности, является непрерывным тогда и только тогда, когда полунорма является непрерывным. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p:=|f|}$
12. График замкнут. ^[9] ${\displaystyle f}$
13. ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$непрерывна, где обозначает действительную часть ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle f.}$

Если и являются комплексными векторными пространствами, то этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

14. Мнимая часть непрерывна . ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$ ${\displaystyle f}$

Если домен представляет собой последовательное пространство , то этот список может быть расширен, включив в него: ${\displaystyle X}$

15. ${\displaystyle f}$последовательно непрерывна в некоторой (или, что эквивалентно, в каждой) точке своей области определения. ^[2]

Если область метризуема или псевдометризуема (например, пространство Фреше или нормированное пространство ), то этот список может быть расширен, включив: ${\displaystyle X}$

16. ${\displaystyle f}$является ограниченным линейным оператором (то есть он отображает ограниченные подмножества своей области определения в ограниченные подмножества своей области определения). ^[2]

Если область является борнологическим пространством (например, псевдометризуемым TVS ) и является локально выпуклой , то этот список может быть расширен, включив: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

17. ${\displaystyle f}$— ограниченный линейный оператор . ^[2]
18. ${\displaystyle f}$последовательно непрерывен в некоторой (или, что эквивалентно, в каждой) точке своей области определения. ^[10]
19. ${\displaystyle f}$последовательно непрерывна в начале координат.

и если вдобавок является векторным пространством над действительными числами (что, в частности, подразумевает, что является действительным), то этот список может быть расширен, включив: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

20. Существует непрерывная полунорма на такая, что ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p.}$
21. Для некоторых реальных полупространство замкнуто. ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$
22. Для любого действительного числа полупространство замкнуто. ^[11] ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$

Если является комплексным, то либо все три из и являются непрерывными (соответственно ограниченными ), либо все три являются разрывными (соответственно неограниченными). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$

Примеры

Любое линейное отображение, областью определения которого является конечномерное хаусдорфово топологическое векторное пространство (TVS), является непрерывным. Это неверно, если конечномерное TVS не является хаусдорфовым.

Каждое (постоянное) отображение между TVS, тождественно равное нулю, является линейным отображением, которое непрерывно, ограничено и ограничено в окрестности начала координат. В частности, каждое TVS имеет непустое непрерывное сопряженное пространство (хотя возможно, что постоянное нулевое отображение является его единственным непрерывным линейным функционалом). ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

Предположим, что есть любое хаусдорфово TVS. Тогда каждый линейный функционал на обязательно непрерывен тогда и только тогда, когда каждое векторное подпространство замкнуто. ^[12] Каждый линейный функционал на обязательно является ограниченным линейным функционалом тогда и только тогда, когда каждое ограниченное подмножество содержится в конечномерном векторном подпространстве. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

Локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство нормируемо тогда и только тогда , когда каждый ограниченный линейный функционал на нем непрерывен.

Непрерывный линейный оператор отображает ограниченные множества в ограниченные множества.

Доказательство использует тот факт, что перевод открытого множества в линейное топологическое пространство снова является открытым множеством, а также равенство для любого подмножества и любого , которое верно в силу аддитивности $${\displaystyle F^{-1}(D)+x=F^{-1}(D+F(x))}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle F.}$

Свойства непрерывных линейных функционалов

Если — комплексное нормированное пространство и — линейный функционал на , то ^[14] (где, в частности, одна сторона бесконечна тогда и только тогда, когда другая сторона бесконечна). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \|f\|=\|\operatorname {Re} f\|}$

Каждый нетривиальный непрерывный линейный функционал на TVS является открытым отображением . ^[1] Если является линейным функционалом на действительном векторном пространстве и если является полунормой на , то тогда и только тогда, когда ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle f\leq p.}$

Если — линейный функционал и — непустое подмножество, то, определив множества, супремум можно записать более кратко: поскольку Если — скаляр, то так что если — действительное число и — замкнутый шар радиуса с центром в начале координат, то следующие выражения эквивалентны: ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ $${\displaystyle f(U):=\{f(u):u\in U\}\quad {\text{ and }}\quad |f(U)|:=\{|f(u)|:u\in U\},}$$ ${\displaystyle \,\sup _{u\in U}|f(u)|\,}$ ${\displaystyle \,\sup |f(U)|\,}$ $${\displaystyle \sup |f(U)|~=~\sup\{|f(u)|:u\in U\}~=~\sup _{u\in U}|f(u)|.}$$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle \sup |f(sU)|~=~|s|\sup |f(U)|}$$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{\leq r}:=\{c\in \mathbb {F} :|c|\leq r\}}$ ${\displaystyle r}$

1. ${\textstyle f(U)\subseteq B_{\leq 1}}$
2. ${\textstyle \sup |f(U)|\leq 1}$
3. ${\textstyle \sup |f(rU)|\leq r}$
4. ${\textstyle f(rU)\subseteq B_{\leq r}.}$

Смотрите также

• Ограниченный линейный оператор  – Линейное преобразование между топологическими векторными пространствамиPages displaying short descriptions of redirect targets
• Компактный оператор  – Тип непрерывного линейного оператора
• Непрерывное линейное расширение  – Математический метод в функциональном анализе
• Сокращение (теория операторов)  – Ограниченные операторы с субъединичной нормой
• Прерывистое линейное отображение
• Наилучшая локально выпуклая топология  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Линейные функционалы  – Линейное отображение векторного пространства в его поле скаляров.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Положительный линейный функционал  – упорядоченное векторное пространство с частичным порядкомPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Неограниченный оператор  – Линейный оператор, определенный на плотном линейном подпространстве.

Ссылки

1. Narici & Beckenstein 2011, стр. 126–128.
2. Narici & Beckenstein 2011, стр. 156–175.
3. Вилански 2013, стр. 54.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 476.
5. Вилански 2013, стр. 47–50.
6. Narici & Beckenstein 2011, стр. 441–457.
7. Вилански 2013, стр. 54–55.
8. Wilansky 2013, стр. 53–55.
9. Вилански 2013, стр. 63.
10. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 451–457.
11. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 225–273.
12. Вилански 2013, стр. 55.
13. Вилански 2013, стр. 50.
14. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 128.

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Interscience Publishers. ISBN 0-471-60848-3. OCLC  18412261.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (январь 1991). Функциональный анализ . McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.