stringtranslate.com

Многомерная алгебра

В математике , особенно в теории ( высших ) категорий , алгебра высших измерений является изучением категоризированных структур. Она имеет приложения в неабелевой алгебраической топологии и обобщает абстрактную алгебру .

Категории более высокого измерения

Первым шагом к определению алгебр более высокой размерности является концепция 2-категории теории высших категорий , за которой следует более «геометрическая» концепция двойной категории. [1] [2] [3]

Таким образом, понятие более высокого уровня определяется как категория категорий или суперкатегория, которая обобщает на более высокие измерения понятие категории , рассматриваемой как любая структура, которая является интерпретацией аксиом Ловера элементарной теории абстрактных категорий (ETAC). [4] [5] [6] [7] Таким образом, суперкатегория, а также суперкатегория , могут рассматриваться как естественные расширения понятий метакатегории , [ 8] мультикатегории и мультиграфа, k -дольного графа или цветного графа (см. цветной рисунок, а также его определение в теории графов ).

Суперкатегории были впервые введены в 1970 году [9] и впоследствии были разработаны для приложений в теоретической физике (особенно в квантовой теории поля и топологической квантовой теории поля ) и математической биологии или математической биофизике . [10]

Другие направления в многомерной алгебре включают: бикатегории , гомоморфизмы бикатегорий, переменные категории (также известные как индексированные или параметризованные категории), топосы , эффективный спуск, а также обогащенные и внутренние категории .

Двойные группоиды

В многомерной алгебре (HDA) двойной группоид является обобщением одномерного группоида на два измерения [11] , и последний группоид можно рассматривать как частный случай категории со всеми обратимыми стрелками, или морфизмами .

Двойные группоиды часто используются для сбора информации о геометрических объектах, таких как многообразия более высокой размерности (или n -мерные многообразия ). [11] В общем случае n -мерное многообразие — это пространство, которое локально выглядит как n- мерное евклидово пространство , но глобальная структура которого может быть неевклидовой .

Двойные группоиды были впервые введены Рональдом Брауном в работе «Двойные группоиды и скрещенные модули» (1976) [11] и получили дальнейшее развитие в направлении приложений в неабелевой алгебраической топологии . [12] [13] [14] [15] Связанная, «двойственная» концепция — это концепция двойного алгеброида и более общая концепция R-алгеброида .

Неабелева алгебраическая топология

См. Неабелева алгебраическая топология

Приложения

Теоретическая физика

В квантовой теории поля существуют квантовые категории. [16] [17] [18] и квантовые двойные группоиды. [18] Можно рассматривать квантовые двойные группоиды как фундаментальные группоиды, определяемые с помощью 2-функтора , что позволяет думать о физически интересном случае квантовых фундаментальных группоидов (QFG) в терминах бикатегории Span(Groupoids) , а затем строить 2- гильбертовы пространства и 2- линейные отображения для многообразий и кобордизмов . На следующем этапе получаются кобордизмы с углами с помощью естественных преобразований таких 2-функторов. Затем было сделано утверждение, что с калибровочной группой SU(2) «расширенная TQFT , или ETQFT, дает теорию, эквивалентную модели Понцано–Редже квантовой гравитации »; [18] аналогично, модель Тураева–Виро затем будет получена с представлениями SU q (2). Следовательно, можно описать пространство состояний калибровочной теории — или многих видов квантовых теорий поля (КТП) и локальной квантовой физики — в терминах группоидов преобразований , заданных симметриями, как, например, в случае калибровочной теории, калибровочными преобразованиями, действующими на состояния, которые в этом случае являются связями. В случае симметрий, связанных с квантовыми группами , можно получить структуры, которые являются категориями представлений квантовых группоидов , [16] вместо 2- векторных пространств , которые являются категориями представлений группоидов.

Квантовая физика

Смотрите также

Примечания

  1. ^ "Двойные категории и псевдоалгебры" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2010-06-10.
  2. ^ Браун, Р.; Лодей, Дж.-Л. (1987). «Гомотопическое вырезание и теоремы Гуревича для n -кубов пространств». Труды Лондонского математического общества . 54 (1): 176–192. CiteSeerX 10.1.1.168.1325 . doi :10.1112/plms/s3-54.1.176. 
  3. ^ Батанин, М.А. (1998). «Моноидальные глобулярные категории как естественная среда для теории слабых n-категорий». Успехи математики . 136 (1): 39–103. doi : 10.1006/aima.1998.1724 .
  4. ^ Lawvere, FW (1964). «Элементарная теория категории множеств». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 52 (6): 1506–1511. Bibcode : 1964PNAS...52.1506L. doi : 10.1073 /pnas.52.6.1506 . PMC 300477. PMID  16591243. 
  5. ^ Lawvere, FW: 1966, Категория категорий как основа математики., в Proc. Conf. Categorical Algebra – La Jolla ., Eilenberg, S. et al., ред. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg and New York., стр. 1–20. http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ Архивировано 12 августа 2009 г. на Wayback Machine
  6. ^ "Kryptowährungen und Physik" . ПланетаФизика. 29 марта 2024 г.
  7. ^ Lawvere, FW (1969b). "Adjointness in Foundations". Dialectica . 23 (3–4): 281–295. CiteSeerX 10.1.1.386.6900 . doi :10.1111/j.1746-8361.1969.tb01194.x. Архивировано из оригинала 2009-08-12 . Получено 2009-06-21 . 
  8. ^ "Аксиомы метакатегорий и суперкатегорий". PlanetPhysics. Архивировано из оригинала 2009-08-14 . Получено 2009-03-02 .
  9. ^ "Теория суперкатегорий". PlanetMath. Архивировано из оригинала 2008-10-26.
  10. ^ "Математическая биология и теоретическая биофизика". PlanetPhysics. Архивировано из оригинала 2009-08-14 . Получено 2009-03-02 .
  11. ^ abc Браун, Рональд; Спенсер, Кристофер Б. (1976). «Двойные группоиды и скрещенные модули». Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 17 (4): 343–362.
  12. ^ "Некоммутативная геометрия и неабелева алгебраическая топология". PlanetPhysics. Архивировано из оригинала 2009-08-14 . Получено 2009-03-02 .
  13. ^ Книга «Неабелева алгебраическая топология» Архивировано 04.06.2009 на Wayback Machine
  14. ^ Неабелева алгебраическая топология: Высшие гомотопические группоиды фильтрованных пространств
  15. ^ Браун, Рональд; Хиггинс, Филип; Сивера, Рафаэль (2011). Неабелева алгебраическая топология. arXiv : math/0407275 . дои : 10.4171/083. ISBN 978-3-03719-083-8.
  16. ^ ab "Квантовая категория". PlanetMath. Архивировано из оригинала 2011-12-01.
  17. ^ "Изоморфизм ассоциативности". PlanetMath. Архивировано из оригинала 2010-12-17.
  18. ^ abc Мортон, Джеффри (18 марта 2009 г.). "Заметка о квантовых группоидах". C*-алгебры, теория деформаций, группоиды, некоммутативная геометрия, квантование . Теоретический атлас.

Дальнейшее чтение