Откуда берется математика: как воплощенный разум воплощает математику в бытие (далее WMCF ) — книга Джорджа Лакоффа , когнитивного лингвиста , и Рафаэля Э. Нуньеса , психолога . Опубликованная в 2000 году, WMCF стремится основать когнитивную науку математики , теорию воплощенной математики, основанную на концептуальной метафоре .
Математика составляет ту часть концептуальной системы человека, которая является особенной следующим образом:
Николай Лобачевский сказал: «Нет ни одной отрасли математики, какой бы абстрактной она ни была, которая не могла бы когда-нибудь быть применена к явлениям реального мира». Общий тип процесса концептуального смешения , по-видимому, применим ко всей математической процессии.
Провозглашенная цель Лакоффа и Нуньеса — начать закладывать основы для истинно научного понимания математики, основанного на процессах, общих для всего человеческого познания. Они обнаружили, что четыре отдельных, но связанных процесса метафорически структурируют базовую арифметику: сбор объектов, построение объектов, использование измерительной линейки и движение по пути.
WMCF основывается на более ранних книгах Лакоффа (1987) и Лакоффа и Джонсона (1980, 1999), которые анализируют такие концепции метафоры и схем изображений из когнитивной науки второго поколения . Некоторые из концепций в этих более ранних книгах, такие как интересные технические идеи в Лакоффе (1987), отсутствуют в WMCF .
Лакофф и Нуньес считают, что математика является результатом человеческого когнитивного аппарата и поэтому должна пониматься в когнитивных терминах. WMCF выступает за (и включает некоторые примеры) когнитивный анализ идей математики , который анализирует математические идеи с точки зрения человеческого опыта, метафор, обобщений и других когнитивных механизмов, дающих им начало. Стандартное математическое образование не развивает такие методы анализа идей, потому что оно не преследует цели рассмотрения A) какие структуры ума позволяют ему заниматься математикой или B) философии математики .
Лакофф и Нуньес начинают с обзора психологической литературы, делая вывод, что люди, по-видимому, обладают врожденной способностью, называемой субитизацией , считать, складывать и вычитать до 4 или 5. Они документируют этот вывод, рассматривая литературу, опубликованную в последние десятилетия, описывающую эксперименты с младенцами. Например, младенцы быстро становятся возбужденными или любопытными, когда сталкиваются с «невозможными» ситуациями, такими как появление трех игрушек, когда изначально было только две.
Авторы утверждают, что математика выходит далеко за рамки этого элементарного уровня из-за большого количества метафорических конструкций. Например, пифагорейская позиция, что все есть число, и связанный с ней кризис уверенности, возникший с открытием иррациональности квадратного корня из двух , возникают исключительно из метафорического отношения между длиной диагонали квадрата и возможным количеством объектов.
Большая часть WMCF имеет дело с важными концепциями бесконечности и предельных процессов, стремясь объяснить, как конечные люди, живущие в конечном мире, могли бы в конечном итоге постичь фактическую бесконечность . Таким образом, большая часть WMCF , по сути, является исследованием эпистемологических основ исчисления . Лакофф и Нуньес приходят к выводу, что в то время как потенциальная бесконечность не является метафорической, фактическая бесконечность является таковой. Более того, они считают все проявления фактической бесконечности примерами того, что они называют «Базовой метафорой бесконечности», представленной постоянно возрастающей последовательностью 1, 2, 3, ...
WMCF решительно отвергает платоновскую философию математики . Они подчеркивают, что все, что мы знаем и когда-либо сможем узнать, — это человеческая математика , математика, возникающая из человеческого интеллекта. Вопрос о том, существует ли «трансцендентная» математика, независимая от человеческого мышления, бессмыслен, как и вопрос о том, являются ли цвета трансцендентными по отношению к человеческому мышлению — цвета — это всего лишь различные длины волн света, а наша интерпретация физических стимулов делает их цветами.
WMCF (стр. 81) также критикует акцент, который математики делают на концепции замыкания . Лакофф и Нуньес утверждают, что ожидание замыкания является артефактом способности человеческого разума связывать принципиально разные концепции посредством метафоры.
WMCF занимается в основном предложением и установлением альтернативного взгляда на математику, который основывает эту область на реалиях человеческой биологии и опыта. Это не работа по технической математике или философии. Лакофф и Нуньес не первые, кто утверждает, что традиционные подходы к философии математики несовершенны. Например, они, похоже, не очень хорошо знакомы с содержанием Дэвиса и Херша (1981), хотя в книге тепло выражается поддержка Херша.
Лакофф и Нуньес цитируют Сондерса Маклейна (изобретателя, вместе с Сэмюэлем Эйленбергом , теории категорий ) в поддержку своей позиции. «Математика, форма и функция» (1986), обзор математики, предназначенный для философов, предполагает, что математические концепции в конечном итоге основаны на обычной человеческой деятельности, в основном на взаимодействии с физическим миром. [1]
Концептуальные метафоры, описанные в WMCF , в дополнение к базовой метафоре бесконечности, включают в себя:
Математическое рассуждение требует переменных, охватывающих некоторую вселенную дискурса , чтобы мы могли рассуждать об общих чертах, а не только о частностях. WMCF утверждает, что рассуждение с такими переменными неявно опирается на то, что он называет Фундаментальной Метонимией Алгебры.
WMCF (стр. 151) включает в себя следующий пример того, что авторы называют «метафорической неоднозначностью». Возьмем множество. Затем вспомним два отрывка стандартной терминологии из элементарной теории множеств :
Согласно (1), A — это множество {1,2}. Но (1) и (2) вместе говорят, что A — это также упорядоченная пара (0,1). Оба утверждения не могут быть верными; упорядоченная пара (0,1) и неупорядоченная пара {1,2} — это полностью различные концепции. Лакофф и Джонсон (1999) называют эту ситуацию «метафорически неоднозначной». Этот простой пример ставит под сомнение любые платонические основы математики.
Хотя (1) и (2) выше, по общему признанию, каноничны, особенно в теории консенсусных множеств, известной как аксиоматизация Цермело–Френкеля , WMCF не позволяет понять, что они являются лишь одним из нескольких определений, предложенных с момента зарождения теории множеств. Например, Frege , Principia Mathematica и New Foundations (часть аксиоматической теории множеств, начатая Куайном в 1937 году) определяют кардиналы и ординалы как классы эквивалентности при отношениях равночисленности и подобия , так что эта головоломка не возникает. В теории множеств Куайна A — это просто экземпляр числа 2. По техническим причинам определение упорядоченной пары, как в (2) выше, неудобно в теории множеств Куайна. Было предложено два решения:
«Романтика математики» — это шутливый термин WMCF для обозначения извечной философской точки зрения на математику, которую авторы описывают, а затем отвергают как интеллектуальный миф:
В значительной степени остается открытым вопрос, станет ли WMCF в конечном итоге началом новой школы в философии математики . Поэтому главная ценность WMCF на данный момент может быть критической: ее критика платонизма и романтизма в математике.
Многие работающие математики сопротивляются подходу и выводам Лакоффа и Нуньеса. Обзоры WMCF математиками в профессиональных журналах, хотя часто и с уважением относятся к его фокусу на концептуальных стратегиях и метафорах как путях понимания математики, возражают против некоторых философских аргументов WMCF на том основании, что математические утверждения имеют устойчивые «объективные» значения. [2] Например, Великая теорема Ферма означает именно то, что она означала, когда Ферма первоначально предложил ее в 1664 году. Другие рецензенты указали, что несколько концептуальных стратегий могут быть использованы в связи с одним и тем же математически определенным термином, часто одним и тем же человеком (точка, которая совместима с точкой зрения, что мы обычно понимаем «одно и то же» понятие с разными метафорами). Метафора и концептуальная стратегия не совпадают с формальным определением , которое используют математики. Однако WMCF указывает, что формальные определения строятся с использованием слов и символов, которые имеют значение только в терминах человеческого опыта.
Критика WMCF включает юмористические замечания:
Мне трудно придумать метафору для действительного числа, возведенного в комплексную степень, но если она есть, я бы с удовольствием ее увидел. — Джозеф Ауслендер [3]
и физически информированные:
Но их анализ оставляет по крайней мере пару вопросов без достаточного ответа. Во-первых, авторы игнорируют тот факт, что мозг не только наблюдает за природой, но и является ее частью. Возможно, математика, которую изобретает мозг, принимает такую форму, потому что математика изначально приложила руку к формированию мозга (через действие естественных законов, ограничивающих эволюцию жизни). Более того, одно дело — подгонять уравнения к аспектам реальности, которые уже известны. Другое дело, когда математика рассказывает о явлениях, о которых ранее не подозревали. Когда уравнения Поля Дирака, описывающие электроны, дали более одного решения, он предположил, что в природе должны быть другие частицы, теперь известные как антиматерия. Но ученые не открывали такие частицы, пока математика Дирака не сказала им, что они должны существовать. Если математика — изобретение человека, то природа, похоже, знает, что будет изобретено. [3]
Лакофф и Нуньес склонны игнорировать негативные мнения математиков, высказанные о WMCF , потому что их критики не ценят прозрения когнитивной науки. Лакофф и Нуньес утверждают, что их аргумент можно понять, только используя открытия последних десятилетий о том, как человеческий мозг обрабатывает язык и значение. Они утверждают, что любые аргументы или критика, которые не основаны на этом понимании, не могут рассматривать содержание книги. [4]
Было отмечено, что совершенно не ясно, устанавливает ли WMCF , что утверждение «разумная инопланетная жизнь будет обладать математическими способностями» является мифом. Чтобы сделать это, потребовалось бы показать, что интеллект и математические способности разделимы, а этого не было сделано. На Земле интеллект и математические способности, похоже, идут рука об руку во всех формах жизни, как указал Кит Девлин и другие. [5] Авторы WMCF не объяснили, как эта ситуация будет (или даже может) отличаться где-либо еще.
Лакофф и Нуньес также, по-видимому, не оценили, в какой степени интуиционисты и конструктивисты предвосхитили свою атаку на романтику (платонической) математики. Брауэр , основатель интуиционистской / конструктивистской точки зрения, в своей диссертации «Об основании математики» утверждал, что математика является ментальной конструкцией, свободным творением ума и полностью независима от логики и языка. Он продолжает критиковать формалистов за построение словесных структур, которые изучаются без интуитивной интерпретации. Символический язык не следует путать с математикой; он отражает, но не содержит математическую реальность. [6]
Педагоги проявили определенный интерес к предложениям WMCF относительно того, как изучается математика, и почему ученики находят некоторые элементарные концепции более сложными, чем другие.
Однако даже с точки зрения образования WMCF все еще проблематичен. С точки зрения концептуальной теории метафор, метафоры находятся в другой области, абстрактной, нежели «реальный мир», конкретный. Другими словами, несмотря на их утверждение, что математика — это человеческое, установленные математические знания — которые мы изучаем в школе — считаются и рассматриваются как абстрактные, полностью оторванные от своего физического происхождения. Это не может объяснить, как учащиеся могут получить доступ к таким знаниям. [7]
WMCF также критикуют за его монистический подход. Во-первых, он игнорирует тот факт, что сенсомоторный опыт, на котором, как предполагается, базируется наша языковая структура — а значит, и математика, — может различаться в зависимости от культуры и ситуации. [8] Во-вторых, математика, которой занимается WMCF, — это «почти полностью... стандартные высказывания в учебниках и учебных программах», [8] , которые являются наиболее устоявшимся сводом знаний. Он пренебрегает динамичной и разнообразной природой истории математики.
Подход WMCF, ориентированный на лого, является еще одной мишенью для критиков. Хотя он в основном интересуется связью между языком и математикой, он не учитывает, как нелингвистические факторы способствуют возникновению математических идей (например, см. Radford, 2009; [9] Rotman, 2008 [10] ).
WMCF (стр. 378–79) завершает некоторыми ключевыми моментами, ряд из которых приводится ниже. Математика возникает из наших тел и мозгов, нашего повседневного опыта и проблем человеческих обществ и культур. Это:
Когнитивный подход к формальным системам , описанный и реализованный в WMCF , не обязательно должен ограничиваться математикой, но также должен оказаться плодотворным при применении к формальной логике и формальной философии, такой как теория абстрактных объектов Эдварда Залты . Лакофф и Джонсон (1999) плодотворно используют когнитивный подход для переосмысления значительной части философии сознания , эпистемологии , метафизики и истории идей .
