Вычислительная гидродинамика

Анализ и решение задач, связанных с потоками жидкости

Вычислительная гидродинамика ( CFD ) — это раздел механики жидкости , который использует численный анализ и структуры данных для анализа и решения задач, связанных с потоками жидкости . Компьютеры используются для выполнения вычислений, необходимых для моделирования свободного потока жидкости и взаимодействия жидкости ( жидкостей и газов ) с поверхностями, определяемыми граничными условиями . С помощью высокоскоростных суперкомпьютеров можно достичь лучших решений, и они часто требуются для решения самых больших и сложных задач. Текущие исследования дают программное обеспечение, которое повышает точность и скорость сложных сценариев моделирования, таких как трансзвуковые или турбулентные потоки. Первоначальная проверка такого программного обеспечения обычно выполняется с использованием экспериментальных приборов, таких как аэродинамические трубы . Кроме того, для сравнения можно использовать ранее выполненный аналитический или эмпирический анализ конкретной проблемы. Окончательная проверка часто выполняется с использованием полномасштабных испытаний, таких как летные испытания .

Вычислительная гидродинамика применяется к широкому спектру исследовательских и инженерных задач во многих областях науки и промышленности, включая аэродинамику и анализ аэрокосмической техники, гиперзвуковые технологии , моделирование погодных условий , естественные науки и инженерию окружающей среды , проектирование и анализ промышленных систем, биологическую инженерию , потоки жидкостей и теплопередачу , анализ двигателей и процессов сгорания , а также визуальные эффекты для фильмов и игр.

Предыстория и история

Компьютерное моделирование высокоскоростного воздушного потока вокруг космического челнока во время возвращения в атмосферу

Моделирование работы гиперзвукового прямоточного воздушно-реактивного двигателя Hyper-X на скорости -7 Махов

Фундаментальной основой почти всех задач вычислительной гидродинамики являются уравнения Навье–Стокса , которые определяют множество однофазных (газ или жидкость, но не оба одновременно) потоков жидкости. Эти уравнения можно упростить, удалив члены, описывающие вязкие воздействия, чтобы получить уравнения Эйлера . Дальнейшее упрощение, путем удаления членов, описывающих завихренность, дает полные потенциальные уравнения . Наконец, для малых возмущений в дозвуковых и сверхзвуковых потоках (не трансзвуковых или гиперзвуковых ) эти уравнения можно линеаризировать , чтобы получить линеаризованные потенциальные уравнения.

Исторически методы были впервые разработаны для решения линеаризованных потенциальных уравнений. Двумерные (2D) методы, использующие конформные преобразования потока вокруг цилиндра в поток вокруг аэродинамического профиля, были разработаны в 1930-х годах. ^{[1] [2]}

Одним из самых ранних типов вычислений, напоминающих современную CFD, являются вычисления Льюиса Фрая Ричардсона , в том смысле, что эти вычисления использовали конечные разности и разделили физическое пространство на ячейки. Хотя они потерпели полную неудачу, эти вычисления вместе с книгой Ричардсона Weather Prediction by Numerical Process [ ^3] заложили основу для современной CFD и числовой метеорологии. Фактически, ранние вычисления CFD в 1940-х годах с использованием ENIAC использовали методы, близкие к тем, что были в книге Ричардсона 1922 года. ^[4]

Доступная вычислительная мощность стимулировала развитие трехмерных методов. Вероятно, первая работа с использованием компьютеров для моделирования потока жидкости, управляемого уравнениями Навье–Стокса, была выполнена в Лос-Аламосской национальной лаборатории в группе T3. ^{[5] [6]} Эту группу возглавлял Фрэнсис Х. Харлоу , которого широко считают одним из пионеров вычислительной гидродинамики. С 1957 по конец 1960-х годов эта группа разработала множество численных методов для моделирования переходных двумерных потоков жидкости, таких как метод частиц в ячейках , ^[7] метод жидкости в ячейках, ^[8] метод функции потока вихря ^[9] и метод маркера и ячейки . ^[10] Метод функции потока вихря Фромма для двумерного переходного несжимаемого потока был первым в мире методом обработки сильно искривленных несжимаемых потоков.

Первая статья с трехмерной моделью была опубликована Джоном Хессом и АМО Смитом из Douglas Aircraft в 1967 году. ^[11] Этот метод дискретизировал поверхность геометрии с помощью панелей, что дало начало этому классу программ, называемых Панельными методами. Сам их метод был упрощен, поскольку он не включал подъемные потоки и, следовательно, в основном применялся к корпусам кораблей и фюзеляжам самолетов. Первый код подъемной панели (A230) был описан в статье, написанной Полом Рабертом и Гэри Саарисом из Boeing Aircraft в 1968 году. ^[12] Со временем более продвинутые трехмерные коды панели были разработаны в Boeing (PANAIR, A502), ^[13] Lockheed (Quadpan), ^[14] Douglas (HESS), ^[15] McDonnell Aircraft (MACAERO), ^[16] NASA (PMARC) ^[17] и Analytical Methods (WBAERO, ^[18] USAERO ^[19] и VSAERO ^{[20] [21]} ). Некоторые из них (PANAIR, HESS и MACAERO) были кодами более высокого порядка, использующими распределения поверхностных особенностей более высокого порядка, в то время как другие (Quadpan, PMARC, USAERO и VSAERO) использовали отдельные особенности на каждой поверхностной панели. Преимущество кодов более низкого порядка состояло в том, что они работали намного быстрее на компьютерах того времени. Сегодня VSAERO превратился в многопорядковый код и является наиболее широко используемой программой этого класса. Он использовался при разработке многих подводных лодок , надводных кораблей , автомобилей , вертолетов , самолетов и, в последнее время, ветряных турбин . Его родственный код, USAERO, представляет собой метод нестационарных панелей, который также использовался для моделирования таких вещей, как высокоскоростные поезда и гоночные яхты . Код NASA PMARC из ранней версии VSAERO и производной от PMARC, названной CMARC, ^[22] также доступен в продаже.

В двумерной области был разработан ряд панельных кодов для анализа и проектирования аэродинамического профиля. Обычно в коды включен анализ пограничного слоя , чтобы можно было моделировать вязкие эффекты. Ричард Эпплер  [de] разработал код PROFILE, частично при финансировании NASA, который стал доступен в начале 1980-х годов. ^[23] За ним вскоре последовал код XFOIL Марка Дрелы . ^[24] И PROFILE, и XFOIL включают в себя двумерные панельные коды с сопряженными кодами пограничного слоя для анализа аэродинамического профиля. PROFILE использует метод конформного преобразования для проектирования обратного аэродинамического профиля, в то время как XFOIL имеет как конформное преобразование, так и метод обратной панели для проектирования аэродинамического профиля.

Промежуточным шагом между панельными кодами и кодами полного потенциала были коды, которые использовали уравнения трансзвуковых малых возмущений. В частности, трехмерный код WIBCO ^[25] , разработанный Чарли Боппе из Grumman Aircraft в начале 1980-х годов, нашел широкое применение.

Моделирование космического корабля SpaceX Starship во время входа в атмосферу

Разработчики обратились к кодам полного потенциала, поскольку панельные методы не могли рассчитать нелинейный поток, присутствующий на околозвуковых скоростях. Первое описание способа использования уравнений полного потенциала было опубликовано Эрлом Мурманом и Джулианом Коулом из Boeing в 1970 году. ^[26] Фрэнсис Бауэр, Пол Гарабедян и Дэвид Корн из Института Куранта в Нью-Йоркском университете (NYU) написали серию двумерных кодов полного потенциала для аэродинамического профиля, которые широко использовались, наиболее важный из которых был назван Program H. ^[27] Дальнейшее развитие Program H было разработано Бобом Мельником и его группой в Grumman Aerospace как Grumfoil. ^[28] Энтони Джеймсон , первоначально работавший в Grumman Aircraft и Институте Куранта Нью-Йоркского университета, работал с Дэвидом Коги над разработкой важного трехмерного кода полного потенциала FLO22 ^[29] в 1975 году. После этого появилось много кодов полного потенциала, кульминацией которых стал код Tranair (A633) компании Boeing, ^[30] который до сих пор активно используется.

Следующим шагом стали уравнения Эйлера, которые обещали предоставить более точные решения для трансзвуковых потоков. Методология, использованная Джеймсоном в его трехмерном коде FLO57 ^[31] (1981), была использована другими для создания таких программ, как программа TEAM компании Lockheed ^[32] и программа MGAERO компании IAI/Analytical Methods. ^[33] MGAERO уникальна тем, что является структурированным кодом декартовой сетки, в то время как большинство других подобных кодов используют структурированные сетки, подогнанных под тело (за исключением очень успешного кода CART3D компании NASA, ^[34] кода SPLITFLOW компании Lockheed ^[35] и NASCART-GT компании Georgia Tech ). ^[36] Энтони Джеймсон также разработал трехмерный код AIRPLANE ^[37] , который использовал неструктурированные тетраэдральные сетки.

В двумерной области Марк Дрела и Майкл Джайлс, тогда аспиранты Массачусетского технологического института, разработали программу ISES Euler ^[38] (фактически набор программ) для проектирования и анализа аэродинамических профилей. Этот код впервые стал доступен в 1986 году и был дополнительно разработан для проектирования, анализа и оптимизации одно- или многоэлементных аэродинамических профилей как программа MSES. ^[39] MSES находит широкое применение во всем мире. Производной от MSES для проектирования и анализа аэродинамических профилей в каскаде является MISES, ^[40] разработанная Гарольдом Янгреном, когда он был аспирантом Массачусетского технологического института.

Уравнения Навье–Стокса были конечной целью разработки. Двумерные коды, такие как код NASA Ames' ARC2D, появились впервые. Было разработано несколько трехмерных кодов (ARC3D, OVERFLOW , CFL3D — три успешных вклада NASA), что привело к появлению многочисленных коммерческих пакетов.

В последнее время методы CFD набирают популярность для моделирования поведения потока гранулированных материалов в различных химических процессах в машиностроении. Этот подход стал экономически эффективной альтернативой, предлагая тонкое понимание сложных явлений потока, минимизируя при этом расходы, связанные с традиционными экспериментальными методами. ^{[41] [42]}

Иерархия уравнений движения жидкости

CFD можно рассматривать как группу вычислительных методологий (обсуждаемых ниже), используемых для решения уравнений, управляющих потоком жидкости. При применении CFD критическим шагом является решение того, какой набор физических предположений и связанных с ними уравнений необходимо использовать для рассматриваемой проблемы. ^[43] Чтобы проиллюстрировать этот шаг, ниже приведены физические предположения/упрощения, принятые в уравнениях потока, который является однофазным (см. многофазный поток и двухфазный поток ), однокомпонентным (т. е. состоит из одного химического вида), нереагирующим и (если не указано иное) сжимаемым. Тепловое излучение пренебрегается, а объемные силы, вызванные гравитацией, учитываются (если не указано иное). Кроме того, для этого типа потока следующее обсуждение подчеркивает иерархию уравнений потока, решаемых с помощью CFD. Обратите внимание, что некоторые из следующих уравнений могут быть выведены более чем одним способом.

• Законы сохранения (CL): Это наиболее фундаментальные уравнения, рассматриваемые с помощью CFD, в том смысле, что, например, все следующие уравнения могут быть выведены из них. Для однофазного, однокомпонентного, сжимаемого потока рассматривается сохранение массы , сохранение линейного импульса и сохранение энергии .
• Законы сохранения континуума (CCL): Начните с CL. Предположим, что масса, импульс и энергия локально сохраняются: эти величины сохраняются и не могут «телепортироваться» из одного места в другое, а могут перемещаться только непрерывным потоком (см. уравнение непрерывности ). Другая интерпретация заключается в том, что мы начинаем с CL и предполагаем непрерывную среду (см. механику сплошных сред ). Полученная система уравнений является незамкнутой, поскольку для ее решения необходимы дополнительные соотношения/уравнения: (a) определяющие соотношения для тензора вязких напряжений ; (b) определяющие соотношения для диффузионного теплового потока ; (c) уравнение состояния (EOS), такое как закон идеального газа ; и (d) калорическое уравнение состояния, связывающее температуру с такими величинами, как энтальпия или внутренняя энергия .
• Уравнения Навье-Стокса для сжимаемой жидкости (C-NS): Начните с CCL. Предположим, что существует тензор вязкого напряжения Ньютона (см. Ньютоновская жидкость ) и тепловой поток Фурье (см. тепловой поток ). ^{[44] [45]} C-NS необходимо дополнить EOS и калорическим EOS, чтобы получить замкнутую систему уравнений.
• Уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости (I-NS): Начните с C-NS. Предположим, что плотность всегда и везде постоянна. ^[46] Другой способ получить I-NS — предположить, что число Маха очень мало ^{[46] [45]} и что разность температур в жидкости также очень мала. ^[45] В результате уравнения сохранения массы и сохранения импульса отделены от уравнения сохранения энергии, поэтому нужно решить только первые два уравнения. ^[45]
• Сжимаемые уравнения Эйлера (EE): Начните с C-NS. Предположим, что поток без трения и без диффузионного теплового потока. ^[47]
• Слабосжимаемые уравнения Навье-Стокса (WC-NS): Начните с C-NS. Предположим, что изменения плотности зависят только от температуры, а не от давления. ^[48] Например, для идеального газа , используйте , где — удобно определенное опорное давление, которое всегда и везде постоянно, — плотность, — удельная газовая постоянная , а — температура. В результате WC-NS не улавливают акустические волны. Также в WC-NS принято пренебрегать членами давления-работы и вязкого нагрева в уравнении сохранения энергии. WC-NS также называются C-NS с приближением низкого числа Маха. ${\displaystyle \rho =p_{0}/(RT)}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$
• Уравнения Буссинеска: Начните с C-NS. Предположим, что изменения плотности всегда и везде пренебрежимо малы, за исключением гравитационного члена уравнения сохранения импульса (где плотность умножает гравитационное ускорение). ^[49] Также предположим, что различные свойства жидкости, такие как вязкость , теплопроводность и теплоемкость , всегда и везде постоянны. Уравнения Буссинеска широко используются в микромасштабной метеорологии .
• Уравнения Навье–Стокса, усредненные по Рейнольдсу , и уравнения Навье–Стокса, усредненные по Фавру (C-RANS и C-FANS): Начнем с C-NS. Предположим, что любая переменная потока , такая как плотность, скорость и давление, может быть представлена ​​как , где — среднее по ансамблю ^[45] любой переменной потока, а — возмущение или флуктуация от этого среднего. ^{[45] [50]} не обязательно мало. Если — классическое среднее по ансамблю (см. разложение Рейнольдса ), то получим уравнения Навье–Стокса, усредненные по Рейнольдсу. А если — среднее по ансамблю, взвешенное по плотности, то получим уравнения Навье–Стокса, усредненные по Фавру. ^[50] В результате и в зависимости от числа Рейнольдса диапазон масштабов движения значительно сокращается, что приводит к гораздо более быстрым решениям по сравнению с решением C-NS. Однако информация теряется, и полученная система уравнений требует замыкания различных незамкнутых членов, в частности напряжения Рейнольдса . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=F+f''}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$
• Уравнения идеального потока или потенциального потока : начните с EE. Предположим нулевое вращение частиц жидкости (нулевую завихренность) и нулевое расширение потока (нулевое расхождение). ^[45] Результирующее поле потока полностью определяется геометрическими границами. ^[45] Идеальные потоки могут быть полезны в современной вычислительной гидродинамике для инициализации моделирования.
• Линеаризованные сжимаемые уравнения Эйлера (LEE): ^[51] Начнем с EE. Предположим, что любая переменная потока , такая как плотность, скорость и давление, может быть представлена ​​как , где — значение переменной потока в некотором опорном или базовом состоянии, а — возмущение или флуктуация от этого состояния. Кроме того, предположим, что это возмущение очень мало по сравнению с некоторым опорным значением. Наконец, предположим, что удовлетворяет «своему» уравнению, такому как EE. LEE и его многочисленные вариации широко используются в вычислительной аэроакустике . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=f_{0}+f'}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f_{0}}$
• Звуковая волна или уравнение акустической волны : начните с LEE. Пренебрегите всеми градиентами и и предположите, что число Маха в исходном или базовом состоянии очень мало. ^[48] Полученные уравнения для плотности, импульса и энергии можно преобразовать в уравнение давления, что даст хорошо известное уравнение звуковой волны. ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f'}$
• Уравнения мелкой воды (SW): Рассмотрим поток вблизи стенки, где интересующий масштаб длины, параллельный стенке, намного больше интересующего масштаба длины, нормального к стенке. Начнем с EE. Предположим, что плотность всегда и везде постоянна, пренебрегите компонентом скорости, перпендикулярным стенке, и считайте, что скорость, параллельная стенке, является пространственно постоянной.
• Уравнения пограничного слоя (BL): Начните с C-NS (I-NS) для сжимаемых (несжимаемых) пограничных слоев. Предположим, что есть тонкие области рядом со стенками, где пространственные градиенты, перпендикулярные стенке, намного больше, чем параллельные стенке. ^[49]
• Уравнение Бернулли: Начните с EE. Предположим, что изменения плотности зависят только от изменений давления. ^[49] См. Принцип Бернулли .
• Устойчивое уравнение Бернулли: начните с уравнения Бернулли и предположите установившийся поток. ^[49] Или начните с EE и предположите, что поток установившийся, и проинтегрируйте полученное уравнение вдоль линии тока. ^{[47] [46]}
• Уравнения течения Стокса или ползучего течения: Начните с C-NS или I-NS. Пренебрегите инерцией потока. ^{[45] [46]} Такое предположение может быть оправдано, когда число Рейнольдса очень мало. В результате результирующий набор уравнений является линейным, что значительно упрощает их решение.
• Уравнение потока в двумерном канале: Рассмотрим поток между двумя бесконечными параллельными пластинами. Начните с C-NS. Предположим, что поток является устойчивым, двумерным и полностью развитым (т. е. профиль скорости не меняется вдоль направления потока). ^[45] Обратите внимание, что это широко используемое предположение о полной разработке может быть недостаточным в некоторых случаях, например, для некоторых сжимаемых микроканальных потоков, в этом случае его можно заменить локально полностью развитым предположением. ^[52]
• Одномерные уравнения Эйлера или одномерные газодинамические уравнения (1D-EE): Начните с EE. Предположим, что все величины потока зависят только от одного пространственного измерения. ^[53]
• Уравнение потока Фанно : Рассмотрим поток внутри канала с постоянной площадью и адиабатическими стенками. Начнем с 1D-EE. Предположим, что поток постоянный, без эффектов гравитации, и введем в уравнение сохранения импульса эмпирический член для восстановления эффекта трения стенки (пренебрегаемого в EE). Чтобы замкнуть уравнение потока Фанно, необходима модель для этого члена трения. Такое замыкание включает в себя зависящие от проблемы предположения. ^[54]
• Уравнение потока Рэлея . Рассмотрим поток внутри воздуховода с постоянной площадью и либо неадиабатическими стенками без объемных источников тепла, либо адиабатическими стенками с объемными источниками тепла. Начните с 1D-EE. Предположим, что поток стационарный, без влияния гравитации, и введите в уравнение сохранения энергии эмпирический член для восстановления эффекта теплопередачи стенки или эффекта источников тепла (пренебрегаемых в EE).

Методология

Во всех этих подходах используется одна и та же базовая процедура.

• Во время предварительной обработки
  • Геометрия и физические границы проблемы могут быть определены с помощью автоматизированного проектирования (САПР). Оттуда данные могут быть соответствующим образом обработаны (очищены) и объем жидкости (или область жидкости) извлечен.
  • Объем , занимаемый жидкостью, делится на дискретные ячейки (сетку). Сетка может быть однородной или неоднородной, структурированной или неструктурированной, состоящей из комбинации гексаэдрических, тетраэдрических, призматических, пирамидальных или многогранных элементов.
  • Определено физическое моделирование – например, уравнения движения жидкости + энтальпия + излучение + сохранение видов.
  • Определяются граничные условия. Это включает в себя задание поведения и свойств жидкости на всех ограничивающих поверхностях области жидкости. Для переходных задач также определяются начальные условия.
• Запускается моделирование , и уравнения решаются итеративно как стационарные или переходные.
• Наконец, для анализа и визуализации полученного решения используется постпроцессор.

Методы дискретизации

Устойчивость выбранной дискретизации обычно устанавливается численно, а не аналитически, как в случае простых линейных задач. Особое внимание следует уделить тому, чтобы дискретизация изящно обрабатывала разрывные решения. Уравнения Эйлера и Навье–Стокса допускают как удары, так и контактные поверхности.

Некоторые из используемых методов дискретизации:

Метод конечного объема

Метод конечных объемов (FVM) является распространенным подходом, используемым в кодах CFD, поскольку он имеет преимущество в использовании памяти и скорости решения, особенно для больших задач, турбулентных потоков с высоким числом Рейнольдса и потоков с преобладанием исходных членов (например, горение). ^[55]

В методе конечных объемов основные дифференциальные уравнения в частных производных (обычно уравнения Навье-Стокса, уравнения сохранения массы и энергии и уравнения турбулентности) переписываются в консервативной форме, а затем решаются по дискретным контрольным объемам. Эта дискретизация гарантирует сохранение потоков через определенный контрольный объем. Уравнение конечного объема дает основные уравнения в виде,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\iiint Q\,dV+\iint F\,d\mathbf {A} =0,}$

где — вектор сохраняющихся переменных, — вектор потоков (см. уравнения Эйлера или уравнения Навье–Стокса ), — объем элемента контрольного объема, — площадь поверхности элемента контрольного объема. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (FEM) используется в структурном анализе твердых тел, но также применим к жидкостям. Однако формулировка FEM требует особой осторожности для обеспечения консервативного решения. Формулировка FEM была адаптирована для использования с уравнениями динамики жидкости. ^{[56] [57]} Хотя FEM должен быть тщательно сформулирован, чтобы быть консервативным, он намного более стабилен, чем подход конечного объема. ^[58] Однако FEM может потребовать больше памяти и имеет более медленное время решения, чем FVM. ^[59]

В этом методе формируется взвешенное остаточное уравнение:

${\displaystyle R_{i}=\iiint W_{i}Q\,dV^{e}}$

где — остаток уравнения в вершине элемента , — уравнение сохранения, выраженное на элементной основе, — весовой коэффициент, — объем элемента. ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle V^{e}}$

Метод конечных разностей

Метод конечных разностей (FDM) имеет историческое значение ^[57] и прост в программировании. В настоящее время он используется только в нескольких специализированных кодах, которые обрабатывают сложную геометрию с высокой точностью и эффективностью, используя встроенные границы или перекрывающиеся сетки (с решением, интерполированным по каждой сетке). ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}+{\frac {\partial H}{\partial z}}=0}$

где — вектор сохраняющихся переменных, а , , и — потоки в направлениях , , и соответственно. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Метод спектрального элемента

Метод спектральных элементов — это метод конечно-элементного типа. Он требует, чтобы математическая задача (частное дифференциальное уравнение) была представлена ​​в слабой формулировке. Обычно это делается путем умножения дифференциального уравнения на произвольную тестовую функцию и интегрирования по всей области. Чисто математически тестовые функции полностью произвольны — они принадлежат бесконечномерному функциональному пространству. Очевидно, что бесконечномерное функциональное пространство не может быть представлено на дискретной сетке спектральных элементов; именно здесь начинается дискретизация спектральных элементов. Самым важным является выбор интерполирующих и тестовых функций. В стандартном МКЭ низкого порядка в 2D для четырехугольных элементов наиболее типичным выбором является билинейная тестовая или интерполирующая функция вида . Однако в методе спектральных элементов интерполирующие и тестовые функции выбираются как полиномы очень высокого порядка (обычно, например, 10-го порядка в приложениях вычислительной гидродинамики). Это гарантирует быструю сходимость метода. Кроме того, должны использоваться очень эффективные процедуры интегрирования, поскольку число интегрирований, которые необходимо выполнить в числовых кодах, велико. Таким образом, используются квадратуры интегрирования Гаусса высокого порядка, поскольку они достигают наивысшей точности при наименьшем количестве вычислений, которые необходимо выполнить. В настоящее время существуют некоторые академические коды CFD, основанные на методе спектральных элементов, и еще несколько находятся в стадии разработки, поскольку в научном мире возникают новые схемы временного шага. ${\displaystyle v(x,y)=ax+by+cxy+d}$

Метод решеточного Больцмана

Метод решеточного Больцмана (LBM) с его упрощенной кинетической картиной на решетке обеспечивает вычислительно эффективное описание гидродинамики. В отличие от традиционных методов CFD, которые решают уравнения сохранения макроскопических свойств (то есть массы, импульса и энергии) численно, LBM моделирует жидкость, состоящую из фиктивных частиц, и такие частицы выполняют последовательные процессы распространения и столкновения по дискретной решетчатой ​​сетке. В этом методе работает с дискретной в пространстве и времени версией кинетического эволюционного уравнения в форме Больцмана Бхатнагара-Гросса-Крука (BGK) .

Метод вихря

Метод вихрей, также метод частиц вихрей Лагранжа, является методом без сеток для моделирования несжимаемых турбулентных потоков. В нем вихрь дискретизируется на частицы Лагранжа , эти вычислительные элементы называются вихрями, вортонами или частицами вихрей. ^[60] Методы вихрей были разработаны как методология без сеток, которая не будет ограничена фундаментальными эффектами сглаживания, связанными с методами на основе сеток. Однако для практического применения методы вихрей требуют средств для быстрого вычисления скоростей из элементов вихрей — другими словами, они требуют решения определенной формы задачи N тел (в которой движение N объектов связано с их взаимным влиянием). Этот прорыв произошел в 1980-х годах с разработкой алгоритмов Барнса-Хата и быстрого мультипольного метода (FMM). Они проложили путь к практическому вычислению скоростей из элементов вихрей.

Программное обеспечение на основе метода вихрей предлагает новые средства для решения сложных задач динамики жидкости с минимальным вмешательством пользователя. ^{[ необходима цитата ]} Все, что требуется, это спецификация геометрии задачи и установка граничных и начальных условий. Среди существенных преимуществ этой современной технологии;

• Он практически не использует сетку, что исключает многочисленные итерации, связанные с RANS и LES.
• Все проблемы решаются одинаково. Не требуется никаких входных данных для моделирования или калибровки.
• Возможно моделирование временных рядов, которое имеет решающее значение для правильного анализа акустики.
• Малый и большой масштабы точно моделируются одновременно.

Метод граничных элементов

В методе граничных элементов граница, занимаемая жидкостью, разбивается на поверхностную сетку.

Схемы дискретизации высокого разрешения

Схемы высокого разрешения используются там, где присутствуют толчки или разрывы. Для захвата резких изменений в решении требуется использование численных схем второго или более высокого порядка, которые не вносят ложных колебаний. Обычно это требует применения ограничителей потока , чтобы гарантировать, что решение является полным уменьшающим вариацию . ^{[ необходима цитата ]}

Модели турбулентности

В вычислительном моделировании турбулентных потоков одной из общих целей является получение модели, которая может предсказывать интересующие величины, такие как скорость жидкости, для использования в инженерных проектах моделируемой системы. Для турбулентных потоков диапазон масштабов длины и сложность явлений, вовлеченных в турбулентность, делают большинство подходов к моделированию чрезмерно дорогими; разрешение, необходимое для разрешения всех масштабов, вовлеченных в турбулентность, выходит за рамки вычислительно возможных. Основной подход в таких случаях заключается в создании численных моделей для аппроксимации неразрешенных явлений. В этом разделе перечислены некоторые часто используемые вычислительные модели для турбулентных потоков.

Модели турбулентности можно классифицировать на основе вычислительных затрат, которые соответствуют диапазону масштабов, которые моделируются по сравнению с разрешенными (чем больше масштабов турбулентности разрешаются, тем выше разрешение моделирования и, следовательно, тем выше вычислительные затраты). Если большинство или все масштабы турбулентности не моделируются, вычислительные затраты очень низкие, но компромисс заключается в снижении точности.

В дополнение к широкому диапазону масштабов длины и времени и связанным с этим вычислительным затратам, основные уравнения динамики жидкости содержат нелинейный член конвекции и нелинейный и нелокальный член градиента давления. Эти нелинейные уравнения должны решаться численно с соответствующими граничными и начальными условиями.

Навье-Стокса, усредненный по Рейнольдсу

Внешняя аэродинамика модели DrivAer, рассчитанная с помощью URANS (вверху) и DDES (внизу)

Моделирование аэродинамического пакета Porsche Cayman (987.2)

Уравнения Навье–Стокса, усредненные по Рейнольдсу (RANS), являются старейшим подходом к моделированию турбулентности. Решается ансамблевая версия основных уравнений, которая вводит новые кажущиеся напряжения, известные как напряжения Рейнольдса . Это добавляет тензор второго порядка неизвестных, для которого различные модели могут обеспечивать различные уровни замыкания. Распространено заблуждение, что уравнения RANS не применимы к потокам с изменяющимся во времени средним потоком, потому что эти уравнения «усреднены по времени». Фактически, статистически нестационарные (или нестационарные) потоки могут быть обработаны в равной степени. Иногда это называют URANS. В усреднении Рейнольдса нет ничего, что могло бы этому помешать, но модели турбулентности, используемые для замыкания уравнений, действительны только до тех пор, пока время, в течение которого происходят эти изменения среднего, велико по сравнению с временными масштабами турбулентного движения, содержащего большую часть энергии.

Модели RANS можно разделить на два основных подхода:

гипотеза Буссинеска

Этот метод включает использование алгебраического уравнения для напряжений Рейнольдса, которые включают определение турбулентной вязкости, и в зависимости от уровня сложности модели, решение транспортных уравнений для определения турбулентной кинетической энергии и диссипации. Модели включают k-ε ( Лаундер и Сполдинг ), ^[61] Модель длины смешивания ( Прандтль ), ^[62] и Модель нулевого уравнения (Себеси и Смит ). ^[62] Модели, доступные в этом подходе, часто называют по количеству транспортных уравнений, связанных с методом. Например, модель длины смешивания является моделью «нулевого уравнения», поскольку не решаются никакие транспортные уравнения; является моделью «двух уравнений», поскольку решаются два транспортных уравнения (одно для и одно для ). ${\displaystyle k-\epsilon }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \epsilon }$

Модель напряжений Рейнольдса (RSM)

Этот подход пытается фактически решить уравнения переноса для напряжений Рейнольдса. Это означает введение нескольких уравнений переноса для всех напряжений Рейнольдса, и, следовательно, этот подход гораздо более затратен в плане усилий ЦП. ^{[ необходима цитата ]}

Моделирование больших вихрей

Объемная визуализация вихревого пламени без предварительного смешивания, смоделированная с помощью LES

Моделирование больших вихрей (LES) — это метод, в котором самые мелкие масштабы потока удаляются с помощью операции фильтрации, а их влияние моделируется с использованием моделей подсеточного масштаба. Это позволяет разрешить самые крупные и важные масштабы турбулентности, при этом значительно сокращая вычислительные затраты, связанные с самыми мелкими масштабами. Этот метод требует больших вычислительных ресурсов, чем методы RANS, но гораздо дешевле DNS.

Моделирование отдельных вихрей

Моделирование отдельных вихрей (DES) представляет собой модификацию модели RANS, в которой модель переключается на формулировку подсеточного масштаба в областях, достаточно мелких для расчетов LES. Областям вблизи твердых границ и там, где масштаб турбулентной длины меньше максимального размера сетки, назначается режим решения RANS. Поскольку масштаб турбулентной длины превышает размер сетки, регионы решаются с использованием режима LES. Поэтому разрешение сетки для DES не такое требовательное, как для чистого LES, что значительно сокращает стоимость вычислений. Хотя DES изначально была сформулирована для модели Спаларта-Аллмараса (Philippe R. Spalart et al., 1997), ее можно реализовать с другими моделями RANS (Strelets, 2001) путем соответствующей модификации масштаба длины, который явно или неявно задействован в модели RANS. Таким образом, в то время как модель Спаларта–Аллмараса на основе DES действует как LES с моделью стенки, DES на основе других моделей (например, двух моделей уравнений) ведут себя как гибридная модель RANS-LES. Генерация сетки сложнее, чем для простого случая RANS или LES из-за переключения RANS-LES. DES является незональным подходом и обеспечивает единое гладкое поле скорости в областях RANS и LES решений.

IDDES-симуляция BMW Karel Motorsports. Это тип DES-симуляции, выполненной в OpenFOAM. График — коэффициент давления.

Прямое численное моделирование

Прямое численное моделирование (DNS) разрешает весь диапазон масштабов турбулентной длины. Это маргинализирует эффект моделей, но является чрезвычайно дорогим. Вычислительная стоимость пропорциональна . ^[63] DNS не поддается обработке для потоков со сложной геометрией или конфигурациями потока. ${\displaystyle Re^{3}}$

Моделирование когерентного вихря

Подход моделирования когерентного вихря разлагает турбулентное поле потока на когерентную часть, состоящую из организованного вихревого движения, и некогерентную часть, которая является случайным фоновым потоком. ^[64] Это разложение выполняется с использованием вейвлет -фильтрации. Подход имеет много общего с LES, поскольку он использует разложение и разрешает только отфильтрованную часть, но отличается тем, что не использует линейный фильтр нижних частот. Вместо этого операция фильтрации основана на вейвлетах, и фильтр может быть адаптирован по мере развития поля потока. Фардж и Шнайдер протестировали метод CVS с двумя конфигурациями потока и показали, что когерентная часть потока демонстрировала энергетический спектр, демонстрируемый общим потоком, и соответствовала когерентным структурам ( вихревым трубкам ), в то время как некогерентные части потока составляли однородный фоновый шум, который не демонстрировал никаких организованных структур. Голдштейн и Васильев ^[65] применили модель FDV к моделированию крупных вихрей, но не предполагали, что вейвлет-фильтр устраняет все когерентные движения из масштабов подфильтра. Используя как LES, так и CVS-фильтрацию, они показали, что диссипация SFS доминируется когерентной частью поля потока SFS. ${\displaystyle -{\frac {40}{39}}}$

PDF-методы

Методы функции плотности вероятности (PDF) для турбулентности, впервые введенные Лундгреном ^[66], основаны на отслеживании одноточечной функции распределения вероятностей скорости, , которая дает вероятность того, что скорость в точке находится между и . Этот подход аналогичен кинетической теории газов , в которой макроскопические свойства газа описываются большим числом частиц. Методы распределения вероятностей уникальны тем, что их можно применять в рамках ряда различных моделей турбулентности; основные различия возникают в форме уравнения переноса PDF. Например, в контексте моделирования крупных вихрей PDF становится отфильтрованным PDF. ^[67] Методы распределения вероятностей также могут использоваться для описания химических реакций ^{[68] [69]} и особенно полезны для моделирования химически реагирующих потоков, поскольку химический исходный член закрыт и не требует модели. PDF обычно отслеживается с помощью методов лагранжевых частиц; в сочетании с моделированием крупных вихрей это приводит к уравнению Ланжевена для эволюции частиц подфильтра. ${\displaystyle f_{V}({\boldsymbol {v}};{\boldsymbol {x}},t)d{\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}+d{\boldsymbol {v}}}$

Метод ограничения вихреобразования

Метод ограничения вихреобразования (VC) — это эйлеров метод, используемый при моделировании турбулентных следов. Он использует подход, подобный уединенной волне, для получения устойчивого решения без численного разброса. VC может захватывать мелкомасштабные особенности с точностью до 2 ячеек сетки. В пределах этих особенностей решается нелинейное разностное уравнение, а не конечно-разностное уравнение . VC похож на методы захвата ударных волн , где выполняются законы сохранения, так что основные интегральные величины вычисляются точно.

Линейная вихревая модель

Линейная вихревая модель — это метод, используемый для моделирования конвективного перемешивания, которое происходит в турбулентном потоке. ^[70] В частности, она предоставляет математический способ описания взаимодействий скалярной переменной в векторном поле потока. Она в основном используется в одномерных представлениях турбулентного потока, поскольку ее можно применять в широком диапазоне масштабов длины и чисел Рейнольдса. Эта модель обычно используется в качестве строительного блока для более сложных представлений потока, поскольку она обеспечивает прогнозы с высоким разрешением, которые сохраняются в широком диапазоне условий потока.

Двухфазный поток

Моделирование скопления пузырьков с использованием метода объема жидкости

Моделирование двухфазного потока все еще находится в стадии разработки. Были предложены различные методы, включая метод объема жидкости , метод установки уровня и отслеживание фронта. ^{[71] [72]} Эти методы часто подразумевают компромисс между поддержанием четкой границы раздела или сохранением массы ^{[ по мнению кого? ]} . Это имеет решающее значение, поскольку оценка плотности, вязкости и поверхностного натяжения основана на значениях, усредненных по границе раздела. ^{[ необходима цитата ]}

Алгоритмы решения

Дискретизация в пространстве производит систему обыкновенных дифференциальных уравнений для нестационарных задач и алгебраических уравнений для стационарных задач. Неявные или полунеявные методы обычно используются для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, производя систему (обычно) нелинейных алгебраических уравнений. Применение итерации Ньютона [ ^{сломанного якоря ]} или Пикара производит систему линейных уравнений, которая является несимметричной при наличии адвекции и неопределенной при наличии несжимаемости. Такие системы, особенно в 3D, часто слишком велики для прямых решателей, поэтому используются итерационные методы, либо стационарные методы, такие как последовательная сверхрелаксация , либо методы подпространства Крылова . Методы Крылова, такие как GMRES , обычно используемые с предобусловливанием , работают путем минимизации остатка по последовательным подпространствам, генерируемым предобусловленным оператором.

Multigrid имеет преимущество асимптотически оптимальной производительности для многих задач. Традиционные ^{[ по мнению кого? ]} решатели и предобуславливатели эффективны для уменьшения высокочастотных компонентов остатка, но для уменьшения низкочастотных компонентов обычно требуется много итераций. Работая в нескольких масштабах, multigrid уменьшает все компоненты остатка на схожие коэффициенты, что приводит к независимому от сетки числу итераций. ^{[ необходима цитата ]}

Для неопределенных систем предварительные обусловливатели, такие как неполная LU-факторизация , аддитивный метод Шварца и многосеточный метод , работают плохо или полностью не работают, поэтому для эффективной предварительной обработки необходимо использовать структуру задачи. ^[73] Методы, обычно используемые в вычислительной гидродинамике, — это алгоритмы SIMPLE и Удзавы , которые демонстрируют зависящие от сетки скорости сходимости, но недавние достижения, основанные на блочной LU-факторизации в сочетании с многосеточным методом для полученных определенных систем, привели к предварительным обусловливателям, которые обеспечивают независимые от сетки скорости сходимости. ^[74]

Неустойчивая аэродинамика

Вычислительная гидродинамика совершила большой прорыв в конце 70-х годов с введением LTRAN2, двумерного кода для моделирования колеблющихся аэродинамических профилей на основе теории малых околозвуковых возмущений Баллхауса и его коллег. ^[75] Он использует алгоритм переключения Мурмана-Коула для моделирования движущихся ударных волн. ^[26] Позднее он был расширен до трехмерного с использованием вращающейся разностной схемы AFWAL/Boeing, что привело к появлению LTRAN3. ^{[76] [77]}

Биомедицинская инженерия

Моделирование кровотока в аорте человека

Исследования CFD используются для уточнения характеристик аортального потока в деталях, которые выходят за рамки возможностей экспериментальных измерений. Для анализа этих условий извлекаются модели САПР сосудистой системы человека с использованием современных методов визуализации, таких как МРТ или компьютерная томография . Из этих данных реконструируется 3D-модель, и поток жидкости может быть вычислен. Необходимо учитывать такие свойства крови, как плотность и вязкость, а также реалистичные граничные условия (например, системное давление). Таким образом, становится возможным анализировать и оптимизировать поток в сердечно-сосудистой системе для различных приложений. ^[78]

Центральный процессор против графического процессора

Традиционно моделирование вычислительной гидродинамики выполняется на центральных процессорах. ^[79]

В более поздней тенденции симуляции также выполняются на графических процессорах. Они обычно содержат более медленные, но больше процессоров. Для алгоритмов CFD, которые показывают хорошую производительность параллелизма (т. е. хорошее ускорение за счет добавления большего количества ядер), это может значительно сократить время симуляции. Методы Fluid-implicit частиц ^[80] и решетка-Больцман ^[81] являются типичными примерами кодов, которые хорошо масштабируются на графических процессорах.

Смотрите также

• Применение CFD на тепловых электростанциях
• Теория элемента лезвия
• Граничные условия в динамике жидкости
• Моделирование кавитации
• Центральная схема разности
• Вычислительная магнитогидродинамика
• Метод дискретных элементов
• Метод конечных элементов
• Метод конечных объемов для нестационарного течения
• Плавная анимация
• Метод погруженной границы
• Методы решеточного Больцмана
• Список пакетов программного обеспечения для конечно-элементного анализа
• Методы без сетки
• Полунеявный метод перемещения частиц
• Динамика многочастичных столкновений
• Оптимизация многопрофильного дизайна
• Численные методы в механике жидкости
• Оптимизация формы
• Гидродинамика сглаженных частиц
• Стохастический эйлеров метод Лагранжа
• Моделирование турбулентности
• Унифицированные методы расчета несжимаемых и сжимаемых течений
• Визуализация (графика)
• Аэродинамическая труба

Ссылки

1. Милн-Томсон, Луис Мелвилл (1973). Теоретическая аэродинамика . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-61980-4.^{[ нужна страница ]}
2. МакМертри, Патрик А.; Гансоге, Тодд К.; Керштейн, Алан Р.; Крюгер, Стивен К. (апрель 1993 г.). «Линейное вихревое моделирование смешивания в однородном турбулентном потоке». Физика жидкостей A: Гидродинамика . 5 (4): 1023–1034. Bibcode : 1993PhFlA...5.1023M. doi : 10.1063/1.858667.
3. Ричардсон, Л. Ф.; Чепмен, С. (1965). Прогноз погоды с помощью численного процесса . Dover Publications.
4. Хант, JCR (январь 1998 г.). «Льюис Фрай Ричардсон и его вклад в математику, метеорологию и модели конфликта». Annual Review of Fluid Mechanics . 30 (1): xiii–xxxvi. Bibcode : 1998AnRFM..30D..13H. doi : 10.1146/annurev.fluid.30.1.0.
5. "Наследие группы Т-3" . Получено 13 марта 2013 г.
6. Харлоу, Фрэнсис Х. (апрель 2004 г.). «Динамика жидкости в группе T-3 Лос-Аламосской национальной лаборатории». Журнал вычислительной физики . 195 (2): 414–433. Bibcode : 2004JCoPh.195..414H. doi : 10.1016/j.jcp.2003.09.031.
7. Харлоу, Фрэнсис Харви; Эванс, Марта; Рихтмайер, Роберт Д. (1955). Метод машинного расчета для гидродинамических задач . Лос-Аламосская научная лаборатория Калифорнийского университета. hdl :2027/mdp.39015095283399. OCLC  1288309947.^{[ нужна страница ]}
8. Джентри, Ричард А.; Мартин, Роберт Э.; Дейли, Барт Дж. (август 1966 г.). «Метод дифференцирования Эйлера для задач нестационарного сжимаемого потока». Журнал вычислительной физики . 1 (1): 87–118. Bibcode : 1966JCoPh...1...87G. doi : 10.1016/0021-9991(66)90014-3.
9. Фромм, Якоб Э.; Харлоу, Фрэнсис Х. (июль 1963 г.). «Численное решение проблемы развития вихревой дорожки». Физика жидкостей . 6 (7): 975–982. Bibcode : 1963PhFl....6..975F. doi : 10.1063/1.1706854.
10. Харлоу, Фрэнсис Х.; Уэлч, Дж. Эдди (декабрь 1965 г.). «Численный расчет зависящего от времени вязкого несжимаемого потока жидкости со свободной поверхностью». Физика жидкостей . 8 (12): 2182–2189. Bibcode : 1965PhFl....8.2182H. doi : 10.1063/1.1761178.
11. Hess, JL; Smith, AMO (1967). «Расчет потенциального потока вокруг произвольных тел». Progress in Aerospace Sciences . 8 : 1–138. Bibcode :1967PrAeS...8....1H. doi :10.1016/0376-0421(67)90003-6.
12. Rubbert, P.; Saaris, G. (1972). «Обзор и оценка метода расчета трехмерного потенциального потока подъемной силы для произвольных конфигураций». 10-е совещание по аэрокосмическим наукам . doi :10.2514/6.1972-188.
13. Кармайкл, Р.; Эриксон, Л. (1981). "PAN AIR - Панельный метод более высокого порядка для прогнозирования дозвуковых или сверхзвуковых линейных потенциальных потоков вокруг произвольных конфигураций". 14-я конференция по динамике жидкости и плазмы . doi :10.2514/6.1981-1255.
14. Youngren, H.; Bouchard, E.; Coopersmith, R.; Miranda, L. (1983). "Сравнение формулировок панельного метода и его влияние на разработку QUADPAN, усовершенствованного метода низкого порядка". Конференция по прикладной аэродинамике . doi :10.2514/6.1983-1827.
15. Хесс, Дж.; Фридман, Д. (1983). «Анализ сложных конфигураций входных отверстий с использованием метода панелей более высокого порядка». Конференция по прикладной аэродинамике . doi :10.2514/6.1983-1828.
16. Бристоу, Д.Р., «Разработка панельных методов для дозвукового анализа и проектирования», NASA CR-3234, 1980.
17. Эшби, Дейл Л.; Дадли, Майкл Р.; Игучи, Стив К.; Браун, Линдси и Кац, Джозеф, «Руководство по теории потенциального потока и эксплуатации для панельного кода PMARC», NASA NASA-TM-102851 1991.
18. Вудворд, ФА, Дворак, ФА и Геллер, Э.У., «Компьютерная программа для трехмерных подъемных тел в дозвуковом невязком потоке», Технический отчет USAAMRDL, TR 74-18, Форт-Юстис, Вирджиния, апрель 1974 г.
19. Кац, Джозеф; Маскью, Брайан (апрель 1988 г.). «Нестационарная низкоскоростная аэродинамическая модель для полных конфигураций самолетов». Journal of Aircraft . 25 (4): 302–310. doi :10.2514/3.45564.
20. Маскью, Брайан (февраль 1982 г.). «Прогнозирование дозвуковых аэродинамических характеристик: случай панельных методов низкого порядка». Журнал авиации . 19 (2): 157–163. doi :10.2514/3.57369.
21. Маскью, Брайан, «Программа VSAERO Theory Document: Компьютерная программа для расчета нелинейных аэродинамических характеристик произвольных конфигураций», NASA CR-4023, 1987.
22. Пинелла, Дэвид и Гаррисон, Питер, «Цифровая аэродинамическая труба CMARC; Трехмерные панельные коды низкого порядка», Aerologic, 2009.
23. Эпплер, Р.; Сомерс, Д.М., «Компьютерная программа для проектирования и анализа низкоскоростных аэродинамических профилей», NASA TM-80210, 1980.
24. Дрела, Марк, «XFOIL: система анализа и проектирования для аэродинамических профилей с низким числом Рейнольдса», в Springer-Verlag Lecture Notes in Engineering, № 54, 1989.
25. Боппе, К. (1977). «Расчет трансзвуковых крыльевых потоков путем встраивания сетки». 15-е совещание по аэрокосмическим наукам . doi :10.2514/6.1977-207.
26. Murman, Earll M.; Cole, Julian D. (январь 1971). «Расчет плоских стационарных трансзвуковых потоков». Журнал AIAA . 9 (1): 114–121. Bibcode : 1971AIAAJ...9..114C. doi : 10.2514/3.6131.
27. Теория сверхкритических сечений крыла с компьютерными программами и примерами . Конспект лекций по экономике и математическим системам. Том 66. 1972. doi :10.1007/978-3-642-80678-0. ISBN 978-3-540-05807-6.^{[ нужна страница ]}
28. Мид, Х.Р.; Мельник, Р.Э., «GRUMFOIL: компьютерный код для расчета вязкого трансзвукового потока над аэродинамическими профилями», NASA CR-3806, 1985.
29. Джеймсон, А.; Коги, Д. (1977). "Метод конечного объема для расчетов трансзвукового потенциального потока". 3-я конференция по вычислительной гидродинамике . doi :10.2514/6.1977-635.
30. Samant, S.; Bussoletti, J.; Johnson, F.; Burkhart, R.; Everson, B.; Melvin, R.; Young, D.; Erickson, L.; Madson, M. (1987). "TRANAIR - компьютерный код для трансзвукового анализа произвольных конфигураций". 25-я конференция AIAA по аэрокосмическим наукам . doi :10.2514/6.1987-34.
31. Джеймсон, А.; Шмидт, Вольфганг; Туркель, Э.Л. (1981). «Численное решение уравнений Эйлера методами конечных объемов с использованием схем Рунге-Кутты с шагами по времени». 14-я конференция по динамике жидкости и плазмы . doi :10.2514/6.1981-1259.
32. Радж, Прадип; Бреннан, Джеймс Э. (1989). «Усовершенствования аэродинамического метода Эйлера для анализа трансзвукового потока». Journal of Aircraft . 26 : 13–20. doi : 10.2514/3.45717.
33. Тидд, Д.; Страш, Д.; Эпштейн, Б.; Лунц, А.; Нахшон, А.; Рубин, Т. (1991). «Применение эффективного трехмерного многосеточного метода Эйлера (MGAERO) для завершения конфигураций самолетов». 9-я конференция по прикладной аэродинамике . doi :10.2514/6.1991-3236.
34. Мелтон, Джон; Бергер, Марша; Афтосмис, Майкл; Вонг, Майкл (1995). «Трехмерные приложения метода Эйлера декартовой сетки». 33-я конференция и выставка по аэрокосмическим наукам . doi :10.2514/6.1995-853.
35. Карман, Л., младший, Стив (1995). "SPLITFLOW - 3D неструктурированный декартово/призматический сеточный CFD-код для сложных геометрий". 33-я конференция и выставка по аэрокосмическим наукам . doi :10.2514/6.1995-343.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
36. Маршалл, Дэвид; Раффин, Стивен (2004). «Схема встроенной граничной декартовой сетки для вязких потоков с использованием нового граничного условия вязкой стенки». 42-я конференция и выставка AIAA Aerospace Sciences. doi :10.2514/6.2004-581. ISBN 978-1-62410-078-9.
37. Джеймсон, А.; Бейкер, Т.; Везерилл, Н. (1986). «Расчет невязкого трансзвукового потока над полным самолетом». 24-я конференция по аэрокосмическим наукам . doi :10.2514/6.1986-103.
38. Джайлс, М.; Дрела, М.; Томпкинс, младший, В. (1985). "Ньютоновское решение прямых и обратных трансзвуковых уравнений Эйлера". 7-я конференция по вычислительной физике . doi :10.2514/6.1985-1530.
39. Дрела, Марк (1990). "Ньютоновское решение связанных вязких/невязких многоэлементных аэродинамических потоков". 21-я конференция по гидродинамике, плазменной динамике и лазерам . doi :10.2514/6.1990-1470.
40. Дрела, М. и Янгрен Х., «Руководство пользователя по MISES 2.53», Лаборатория вычислительных наук Массачусетского технологического института, декабрь 1998 г.
41. Джоп, Пьер; Фортерре, Йоэль; Пуликен, Оливье (июнь 2006 г.). «Основной закон для плотных сыпучих потоков». Природа . 441 (7094): 727–730. arXiv : cond-mat/0612110 . Бибкод : 2006Natur.441..727J. дои : 10.1038/nature04801. ISSN  1476-4687.
42. Biroun, Mehdi H.; Mazzei, Luca (июнь 2024 г.). «Неканалированные гранулярные потоки: влияние начальной геометрии гранулярной колонны на динамику жидкости». Chemical Engineering Science . 292 : 119997. doi :10.1016/j.ces.2024.119997. ISSN  0009-2509.
43. Ферцигер, Дж. Х. и Перик, М. (2002). Вычислительные методы для динамики жидкости . Springer-Verlag.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
44. "Уравнения Навье-Стокса" . Получено 2020-01-07 .
45. Panton, RL (1996). Несжимаемый поток . John Wiley and Sons.
46. Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Э. М. (2007). Механика жидкости . Elsevier.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
47. Fox, RW и McDonald, AT (1992). Введение в механику жидкости . John Wiley and Sons.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
48. Poinsot, T. и Veynante, D. (2005). Теоретическое и численное горение . RT Edwards.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
49. Кунду, П. (1990). Механика жидкости . Academic Press.
50. "Усредненные по Фавре уравнения Навье-Стокса" . Получено 2020-01-07 .
51. Bailly, C. и Daniel J. (2000). «Численное решение задач распространения звука с использованием линеаризованных уравнений Эйлера». Журнал AIAA . 38 (1): 22–29. Bibcode : 2000AIAAJ..38...22B. doi : 10.2514/2.949.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
52. Harley, JC и Huang, Y. и Bau, HH и Zemel, JN (1995). «Газовый поток в микроканалах». Журнал механики жидкости . 284 : 257–274. Bibcode : 1995JFM...284..257H. doi : 10.1017/S0022112095000358. S2CID  122833857.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
53. "Одномерные уравнения Эйлера" . Получено 2020-01-12 .
54. Каваццути, М. и Кортичелли, МА и Караяннис, ТГ (2019). «Сжимаемые потоки Фанно в микроканалах: улучшенная квазидвумерная численная модель для ламинарных потоков». Thermal Science and Engineering Progress . 10 : 10–26. doi : 10.1016/j.tsep.2019.01.003 . hdl : 11392/2414220 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
55. Патанкар, Сухас В. (1980). Численный перенос тепла и поток жидкости . Hemisphere Publishing Corporation. ISBN 978-0891165224.
56. "Подробное объяснение метода конечных элементов (FEM)". www.comsol.com . Получено 2022-07-15 .
57. Anderson, John David (1995). Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-113210-7.
58. Surana, KA; Allu, S.; Tenpas, PW; Reddy, JN (февраль 2007 г.). "k-версия метода конечных элементов в газовой динамике: численные решения с глобальной дифференцируемостью более высокого порядка". International Journal for Numerical Methods in Engineering . 69 (6): 1109–1157. Bibcode : 2007IJNME..69.1109S. doi : 10.1002/nme.1801. S2CID  122551159.
59. Хюбнер, К. Х.; Торнтон, Э. А.; и Байрон, Т. Д. (1995). Метод конечных элементов для инженеров (третье изд.). Wiley Interscience.
60. Котте, Жорж-Анри; Кумутсакос, Петрос Д. (2000). Методы вихрей: теория и практика . Кембридж, Великобритания: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-62186-0.
61. Launder, BE; DB Spalding (1974). «Численное вычисление турбулентных потоков». Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении . 3 (2): 269–289. Bibcode : 1974CMAME...3..269L. doi : 10.1016/0045-7825(74)90029-2.
62. Wilcox, David C. (2006). Моделирование турбулентности для вычислительной гидродинамики (3-е изд.). DCW Industries, Inc. ISBN 978-1-928729-08-2.
63. Поуп, СБ (2000). Турбулентные потоки . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59886-6.
64. Фарж, Мари ; Шнайдер, Кай (2001). «Моделирование когерентного вихря (CVS), полудетерминированная модель турбулентности с использованием вейвлетов». Поток, турбулентность и горение . 66 (4): 393–426. doi :10.1023/A:1013512726409. S2CID  53464243.
65. Голдштейн, Даниэль; Васильев, Олег (1995). "Стохастический когерентный адаптивный метод моделирования больших вихрей". Physics of Fluids A . 24 (7): 2497. Bibcode :2004PhFl...16.2497G. CiteSeerX 10.1.1.415.6540 . doi :10.1063/1.1736671. 
66. Lundgren, TS (1969). "Модельное уравнение для неоднородной турбулентности". Physics of Fluids A. 12 ( 3): 485–497. Bibcode :1969PhFl...12..485L. doi :10.1063/1.1692511.
67. Colucci, PJ; Jaberi, FA; Givi, P.; Pope, SB (1998). «Фильтрованная функция плотности для моделирования крупных вихрей турбулентных реагирующих потоков». Physics of Fluids A. 10 ( 2): 499–515. Bibcode :1998PhFl...10..499C. doi :10.1063/1.869537.
68. Фокс, Родни (2003). Вычислительные модели для турбулентных реагирующих потоков . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65049-6.
69. Поуп, СБ (1985). "Методы PDF для турбулентных реактивных потоков". Прогресс в энергетике и науке о горении . 11 (2): 119–192. Bibcode :1985PrECS..11..119P. doi :10.1016/0360-1285(85)90002-4.
70. Крюгер, Стивен К. (1993). «Линейное вихревое моделирование смешивания в однородном турбулентном потоке». Физика жидкостей . 5 (4): 1023–1034. Bibcode : 1993PhFlA...5.1023M. doi : 10.1063/1.858667.
71. Hirt, CW; Nichols, BD (январь 1981). «Метод объема жидкости (VOF) для динамики свободных границ». Журнал вычислительной физики . 39 (1): 201–225. Bibcode :1981JCoPh..39..201H. doi :10.1016/0021-9991(81)90145-5.
72. Unverdi, Salih Ozen; Tryggvason, Grétar (май 1992). "Метод отслеживания фронта для вязких, несжимаемых, многожидкостных потоков". Journal of Computational Physics . 100 (1): 25–37. Bibcode :1992JCoPh.100...25U. doi :10.1016/0021-9991(92)90307-K. hdl : 2027.42/30059 .
73. Бензи, Микеле; Голуб, Джин Х.; Лизен, Йорг (май 2005 г.). «Численное решение задач седла». Акта Нумерика . 14 : 1–137. Бибкод : 2005AcNum..14....1B. CiteSeerX 10.1.1.409.4160 . дои : 10.1017/S0962492904000212. S2CID  122717775. 
74. Элман, Ховард; Хоул, В. Э.; Шадид, Джон; Шаттлворт, Роберт; Туминаро, Рэй (январь 2008 г.). «Таксономия и сравнение параллельных блочных многоуровневых предобуславливателей для несжимаемых уравнений Навье–Стокса». Журнал вычислительной физики . 227 (3): 1790–1808. Bibcode : 2008JCoPh.227.1790E. doi : 10.1016/j.jcp.2007.09.026. S2CID  16365489.
75. Адамсон, MR (январь 2006 г.). «Биографии». IEEE Annals of the History of Computing . 28 (1): 99–103. doi :10.1109/MAHC.2006.5.
76. Джеймсон, Энтони (май 1974). «Итеративное решение трансзвуковых потоков над аэродинамическими профилями и крыльями, включая потоки при числе Маха 1». Сообщения по чистой и прикладной математике . 27 (3): 283–309. doi :10.1002/cpa.3160270302.
77. Борланд, К.Дж., «XTRAN3S — трансзвуковая стационарная и нестационарная аэродинамика для аэроупругих приложений», AFWAL-TR-85-3214, Авиационные лаборатории ВВС Райт, авиабаза Райт-Паттерсон, Огайо, январь 1986 г.
78. Кауфманн, Т.А.С., Грефе, Р., Хормес, М., Шмитц-Роде, Т. и Штайнсайферанд, У., «Вычислительная гидродинамика в биомедицинской инженерии», Вычислительная гидродинамика: теория, анализ и приложения, стр. 109–136
79. Лао, Шаньдун; Холт, Аарон; Вайдхинатан, Дипти; Ситараман, Харисваран; Хренья, Кристин М.; Хаузер, Томас (2021). «Сравнение производительности решателя CFD-DEM MFiX-Exa на графических процессорах и центральных процессорах». arXiv : 2108.08821 [cs.DC].
80. Wu, Kui; Truong, Nghia; Yuksel, Cem; Hoetzlein, Rama (май 2018 г.). «Быстрое моделирование жидкости с разреженными объемами на GPU». Computer Graphics Forum . 37 (2): 157–167. doi :10.1111/cgf.13350. S2CID  43945038.
81. «Поддержка приложений Intersect 360 HPC» (PDF) .

Примечания

• Андерсон, Джон Д. (1995). Вычислительная гидродинамика: основы с приложениями . Наука/Инженерное дело/Математика. McGraw-Hill Science. ISBN 978-0-07-001685-9.
• Патанкар, Сухас (1980). Численный перенос тепла и течение жидкости . Серия Hemisphere по вычислительным методам в механике и термической науке. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-89116-522-4.

Внешние ссылки

• Курс: Вычислительная гидродинамика – Суман Чакраборти ( Индийский технологический институт Харагпур )
• Курс: Численные методы PDE для ученых и инженеров, открытый доступ к лекциям и кодам для численных PDE, включая современный взгляд на сжимаемую CFD