Дель

Векторный дифференциальный оператор

Оператор Del,
представленный
символом набла

Del , или nabla , — оператор, используемый в математике (в частности, в векторном исчислении ) как векторный дифференциальный оператор , обычно представленный символом набла ∇ . При применении к функции, определенной в одномерной области, он обозначает стандартную производную функции, как определено в исчислении . При применении к полю (функции, определенной в многомерной области) он может обозначать любую из трех операций в зависимости от способа его применения: градиент или (локально) самый крутой наклон скалярного поля ( или иногда векторного поля , как в уравнениях Навье–Стокса ); дивергенция векторного поля; или ротор (вращение) векторного поля.

Del — очень удобная математическая нотация для этих трех операций (градиента, расхождения и ротора), которая упрощает написание и запоминание многих уравнений . Символ del (или nabla) можно формально определить как векторный оператор, компонентами которого являются соответствующие операторы частных производных . Как векторный оператор, он может действовать на скалярные и векторные поля тремя различными способами, что приводит к трем различным дифференциальным операциям: во-первых, он может действовать на скалярные поля посредством формального скалярного умножения — чтобы получить векторное поле, называемое градиентом; во-вторых, он может действовать на векторные поля посредством формального скалярного произведения — чтобы получить скалярное поле, называемое дивергенцией; и, наконец, он может действовать на векторные поля посредством формального перекрестного произведения — чтобы получить векторное поле, называемое ротором. Эти формальные произведения не обязательно коммутируют с другими операторами или произведениями. Эти три использования, подробно описанные ниже, суммируются следующим образом:

• Градиент: ${\displaystyle \operatorname {grad} f=\nabla f}$
• Расхождение: ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {v} =\nabla \cdot \mathbf {v} }$
• Завиток: ${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {v} }$

Определение

В декартовой системе координат с координатами и стандартным базисом del — векторный оператор, компонентами которого являются операторы частных производных ; то есть, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\partial \over \partial x_{1}},\dots ,{\partial \over \partial x_{n}}}$

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}=\left({\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}\right)}$

Где выражение в скобках — вектор-строка. В трехмерной декартовой системе координат с координатами и стандартным базисом или единичными векторами осей del записывается как ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}\}}$

${\displaystyle \nabla =\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}$

Как векторный оператор, del естественным образом действует на скалярные поля посредством скалярного умножения, а на векторные поля естественным образом действует посредством скалярных произведений и перекрестных произведений.

Более конкретно, для любого скалярного поля и любого векторного поля , если определить ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)f:={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}f)={\partial f \over \partial x_{i}}\mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)\cdot \mathbf {F} :={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {F} )={\partial F_{i} \over \partial x_{i}}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial x}(\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial y}(\mathbf {e} _{y}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial z}(\mathbf {e} _{z}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0),}$

тогда, используя приведенное выше определение , можно написать ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla f=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)f+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)f+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)f={\partial f \over \partial x}\mathbf {e} _{x}+{\partial f \over \partial y}\mathbf {e} _{y}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {e} _{z}}$

и

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\cdot \mathbf {F} \right)={\partial F_{x} \over \partial x}+{\partial F_{y} \over \partial y}+{\partial F_{z} \over \partial z}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\times \mathbf {F} \right)\\&={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})+{\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})+{\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0)\\&=\left({\partial F_{z} \over \partial y}-{\partial F_{y} \over \partial z}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\partial F_{x} \over \partial z}-{\partial F_{z} \over \partial x}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\partial F_{y} \over \partial x}-{\partial F_{x} \over \partial y}\right)\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$

Пример:

${\displaystyle f(x,y,z)=x+y+z}$

${\displaystyle \nabla f=\mathbf {e} _{x}{\partial f \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial f \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial f \over \partial z}=\left(1,1,1\right)}$

Del также может быть выражен в других системах координат, см., например, del в цилиндрических и сферических координатах .

Обозначения используются

Del используется как сокращенная форма для упрощения многих длинных математических выражений. Чаще всего он используется для упрощения выражений для градиента , дивергенции , ротора , производной по направлению и Лапласа .

Градиент

Векторная производная скалярного поля называется градиентом и может быть представлена ​​как: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {grad} f={\partial f \over \partial x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\partial f \over \partial y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\partial f \over \partial z}{\hat {\mathbf {z} }}=\nabla f}$

Он всегда указывает в направлении наибольшего увеличения , и имеет величину, равную максимальной скорости увеличения в точке — как и стандартная производная. В частности, если холм определен как функция высоты над плоскостью , градиент в заданном месте будет вектором в плоскости xy (визуализируемым как стрелка на карте), указывающим вдоль самого крутого направления. Величина градиента — это значение этого самого крутого склона. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h(x,y)}$

В частности, эта нотация является мощной, поскольку правило градиентного произведения выглядит очень похоже на случай 1d-производной:

${\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}$

Однако правила для скалярных произведений не оказываются простыми, как показано ниже:

${\displaystyle \nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )}$

Дивергенция

Дивергенция векторного поля — это скалярное поле , которое можно представить как: ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {v} ={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=\nabla \cdot \mathbf {v} }$

Дивергенция — это, грубо говоря, мера увеличения векторного поля в направлении, в котором оно указывает; но, если говорить точнее, это мера тенденции этого поля сходиться к точке или расходиться от нее.

Сила записи del показана в следующем правиле произведения:

${\displaystyle \nabla \cdot (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\cdot \mathbf {v} +f(\nabla \cdot \mathbf {v} )}$

Формула для векторного произведения немного менее интуитивна, поскольку это произведение не является коммутативным:

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(\nabla \times \mathbf {u} )\cdot \mathbf {v} -\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )}$

Завиток

Ротор векторного поля — это векторная функция , которую можно представить в виде: ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {v} =\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right){\hat {\mathbf {x} }}+\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right){\hat {\mathbf {y} }}+\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right){\hat {\mathbf {z} }}=\nabla \times \mathbf {v} }$

Завихрение в точке пропорционально крутящему моменту на оси, которому подвергалась бы крошечная вертушка, если бы она была центрирована в этой точке.

Операция векторного произведения может быть визуализирована как псевдодетерминант :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\left|{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {x} }}&{\hat {\mathbf {y} }}&{\hat {\mathbf {z} }}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|}$

И снова сила нотации демонстрируется правилом произведения:

${\displaystyle \nabla \times (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )}$

Правило для векторного произведения оказывается не таким уж простым:

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} }$

Направленная производная

Направленная производная скалярного поля по направлению определяется как: ${\displaystyle f(x,y,z)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} (x,y,z)=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )f=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+a_{x}h,y+a_{y}h,z+a_{z}h)-f(x,y,z)}{h}}.}$

Что равно следующему, когда градиент существует

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \operatorname {grad} f=a_{x}{\partial f \over \partial x}+a_{y}{\partial f \over \partial y}+a_{z}{\partial f \over \partial z}=\mathbf {a} \cdot (\nabla f)}$

Это дает скорость изменения поля в направлении , масштабированную по величине . В операторной нотации элемент в скобках можно считать единой связной единицей; динамика жидкости широко использует это соглашение, называя его конвективной производной — «движущейся» производной жидкости. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

Обратите внимание, что это оператор, который переводит скаляр в скаляр. Его можно расширить для работы с вектором, работая отдельно с каждым из его компонентов. ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )}$

Лапласиан

Оператор Лапласа — скалярный оператор, который может применяться как к векторным, так и к скалярным полям; для декартовых систем координат он определяется как:

${\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$

а определение для более общих систем координат дано в векторном Лапласиане .

Лапласиан повсеместно используется в современной математической физике , появляясь, например, в уравнении Лапласа , уравнении Пуассона , уравнении теплопроводности , волновом уравнении и уравнении Шредингера .

Матрица Гессе

В то время как обычно представляет собой лапласиан , иногда также представляет собой матрицу Гессе . Первый относится к внутреннему произведению , в то время как последний относится к двоичному произведению : ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla ^{T}}$.

Поэтому речь идет о матрице Лапласа или Гессе, зависит от контекста. ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Производная тензора

Del также может быть применен к векторному полю, результатом чего будет тензор . Производная тензора векторного поля (в трех измерениях) является 9-членным тензором второго ранга, то есть матрицей 3×3, но может быть обозначена просто как , где представляет собой двоичное произведение . Эта величина эквивалентна транспонированию матрицы Якоби векторного поля относительно пространства. Тогда дивергенция векторного поля может быть выражена как след этой матрицы. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \nabla \otimes \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \otimes }$

При малом смещении изменение векторного поля определяется выражением: ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$

${\displaystyle \delta \mathbf {v} =(\nabla \otimes \mathbf {v} )^{T}\cdot \delta \mathbf {r} }$

Правила продукта

Для векторного исчисления :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} \\\nabla \cdot (f\mathbf {v} )&=f(\nabla \cdot \mathbf {v} )+\mathbf {v} \cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {v} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )-\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (f\mathbf {v} )&=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Для матричного исчисления (для которого можно записать ): ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{\text{T}}\mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \nabla \right)^{\text{T}}\mathbf {u} &=\nabla ^{\text{T}}\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {u} \right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}}$

Другое интересное соотношение (см., например, уравнения Эйлера ) заключается в следующем, где — тензор внешнего произведения : ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Вторые производные

Диаграмма DCG: Простая диаграмма, иллюстрирующая все правила, относящиеся ко вторым производным. D, C, G, L и CC обозначают дивергенцию, завиток, градиент, лапласиан и завиток завитка соответственно. Стрелки указывают на существование вторых производных. Синий круг в середине представляет завиток завитка, тогда как два других красных круга (пунктирные) означают, что DD и GG не существуют.

Когда del работает со скаляром или вектором, возвращается либо скаляр, либо вектор. Из-за разнообразия векторных произведений (скаляр, точка, крест) одно применение del уже приводит к трем основным производным: градиенту (скалярное произведение), дивергенции (скалярное произведение) и ротору (перекрестное произведение). Применение этих трех видов производных снова друг к другу дает пять возможных вторых производных для скалярного поля f или векторного поля v ; использование скалярного лапласиана и векторного лапласиана дает еще два:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f\\\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)\\\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {v} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\operatorname {curl} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \times (\nabla \times \mathbf {v} )\\\Delta f&=\nabla ^{2}f\\\Delta \mathbf {v} &=\nabla ^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Они интересны в основном потому, что они не всегда уникальны или независимы друг от друга. Пока функции ведут себя хорошо ( в большинстве случаев), две из них всегда равны нулю: ${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)=0\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0\end{aligned}}}$

Два из них всегда равны:

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f}$

Три оставшиеся векторные производные связаны уравнением:

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {v} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\nabla ^{2}\mathbf {v} }$

И один из них можно даже выразить с помощью тензорного произведения, если функции ведут себя хорошо:

${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )=\nabla \cdot (\mathbf {v} \otimes \nabla )}$

Меры предосторожности

Большинство из вышеперечисленных векторных свойств (за исключением тех, которые явно опираются на дифференциальные свойства del, например, правило произведения) опираются только на перестановку символов и должны обязательно сохраняться, если символ del заменяется любым другим вектором. Это часть ценности, которая должна быть получена при обозначении этого оператора как вектора.

Хотя часто можно заменить del вектором и получить векторную идентичность, сделав эти идентичности мнемоническими, обратное не обязательно надежно, поскольку del в общем случае не коммутирует.

Контрпример, демонстрирующий, что оператор дивергенции ( ) и оператор адвекции ( ) не являются коммутативными: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )f&\equiv (\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )f\\(\nabla \cdot \mathbf {v} )f&=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f\\(\mathbf {v} \cdot \nabla )f&=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}\\\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {v} )f&\neq (\mathbf {v} \cdot \nabla )f\\\end{aligned}}}$

Контрпример, основанный на дифференциальных свойствах Дэля:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla x)\times (\nabla y)&=\left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial x}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial x}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial x}{\partial z}}\right)\times \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial y}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial y}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\\&=(\mathbf {e} _{x}\cdot 1+\mathbf {e} _{y}\cdot 0+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\times (\mathbf {e} _{x}\cdot 0+\mathbf {e} _{y}\cdot 1+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\\&=\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {e} _{y}\\&=\mathbf {e} _{z}\\(\mathbf {u} x)\times (\mathbf {u} y)&=xy(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )\\&=xy\mathbf {0} \\&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$

Центральным в этих различиях является тот факт, что del — это не просто вектор; это векторный оператор . В то время как вектор — это объект, имеющий как величину, так и направление, del не имеет ни величины, ни направления, пока не работает с функцией.

По этой причине тождества, включающие del, следует выводить с осторожностью, используя как векторные тождества, так и тождества дифференциации, такие как правило произведения.

Смотрите также

• Del в цилиндрических и сферических координатах
• Обозначение для дифференциации
• Тождества векторного исчисления
• Уравнения Максвелла
• Уравнения Навье–Стокса
• Таблица математических символов
• Оператор Quabla

Ссылки

• Уиллард Гиббс и Эдвин Бидвелл Уилсон (1901) Векторный анализ , Издательство Йельского университета , 1960: Dover Publications .
• Schey, HM (1997). Div, Grad, Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению . Нью-Йорк: Norton. ISBN 0-393-96997-5.
• Миллер, Джефф. «Древнейшее использование символов исчисления».
• Арнольд Ноймайер (26 января 1998 г.). Клив Молер (ред.). «История Наблы». NA Digest, том 98, выпуск 03. netlib.org.

Внешние ссылки

• Обзор неправильного использования ∇ в векторном анализе (1994) Тай, Чен