Нётерово кольцо

Математическое кольцо с хорошими идеалами

В математике нётерово кольцо — это кольцо , которое удовлетворяет условию возрастающей цепи на левых и правых идеалах ; если условие цепочки выполняется только для левых идеалов или для правых идеалов, то кольцо называется левонетеровым или правонетеровым соответственно. То есть каждая возрастающая последовательность левых (или правых) идеалов имеет наибольший элемент; то есть существует n такое , что: ${\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\cdots .}$

Эквивалентно, кольцо нётерово слева (соответственно нётерово справа), если каждый левый идеал (соответственно правый идеал) конечно порождён . Кольцо нётерово, если оно нётерово одновременно слева и справа.

Нётеровы кольца являются фундаментальными как в коммутативной , так и в некоммутативной теории колец, поскольку многие кольца, встречающиеся в математике, являются нётеровыми (в частности, кольца целых чисел , кольца многочленов и кольца целых алгебраических чисел в числовых полях), а многие общие теоремы о кольцах сильно зависят от о нётеровости (например, теорема Ласкера–Нётер и теорема Крулля о пересечении ).

Нётеровы кольца названы в честь Эмми Нётер , но важность этой концепции была признана ранее Дэвидом Гильбертом с доказательством базовой теоремы Гильберта (которая утверждает, что полиномиальные кольца нётеровы) и теоремы Гильберта о сизигиях .

Характеристики

Для некоммутативных колец необходимо различать три очень похожих понятия:

• Кольцо нётерово слева, если оно удовлетворяет условию возрастающей цепи на левых идеалах.
• Кольцо нётерово справа , если оно удовлетворяет условию возрастающей цепочки правых идеалов.
• Кольцо нётерово, если оно нётерово одновременно слева и справа.

Для коммутативных колец все три понятия совпадают, но в целом они различны. Существуют кольца левонетеровы, а не правонетеровы, и наоборот.

Существуют и другие, эквивалентные определения того, что кольцо R нётерово слева:

• Каждый левый идеал I в R конечно порождён , т.е. существуют элементы I такие, что . ^[1] ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle I=Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}}$
• Каждое непустое множество левых идеалов R , частично упорядоченное по включению, имеет максимальный элемент . ^[1]

Аналогичные результаты справедливы и для нётеровых справа колец.

Следующее условие также является эквивалентным условием нётеровости кольца R слева и является оригинальной формулировкой Гильберта: [ ^2]

• Учитывая последовательность элементов в R , существует целое число , каждое из которых представляет собой конечную линейную комбинацию с коэффициентами из R. ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\textstyle f_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{j}f_{j}}$ ${\displaystyle r_{j}}$

Для того чтобы коммутативное кольцо было нётеровым, достаточно, чтобы каждый простой идеал кольца был конечно порождён. ^[3] Однако недостаточно требовать, чтобы все максимальные идеалы были конечно порождены, поскольку существует ненетерово локальное кольцо , максимальный идеал которого является главным (см. контрпример к теореме Крулла о пересечении в локальном кольце#Коммутативный случай ).

Характеристики

• Если R — нётерово кольцо, то кольцо многочленов нётерово по основной теореме Гильберта . По индукции — нетерово кольцо. Кроме того, R [[ X ]] , кольцо степенных рядов , является нетеровым кольцом. ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$
• Если R — нётерово кольцо, а I — двусторонний идеал, то факторкольцо R / I также нётерово. Другими словами, образ любого сюръективного гомоморфизма нётерового кольца нётеров.
• Любая конечно порожденная коммутативная алгебра над коммутативным нётеровым кольцом нётерова. (Это следует из двух предыдущих свойств.)
• Кольцо R нётерово слева тогда и только тогда, когда каждый конечно порожденный левый R -модуль является нетеровым модулем .
• Если коммутативное кольцо допускает над собой точный нетеров модуль, то это кольцо является нетеровым. ^[4]
• ( Икин – Нагата ) Если кольцо A является подкольцом коммутативного нётерова кольца B такого, что B — конечно порождённый модуль над A , то A — нётерово кольцо. ^[5]
• Аналогично, если кольцо A является подкольцом коммутативного нётерова кольца B такого, что B является точно плоским над A (или, в более общем смысле, представляет A как чистое подкольцо ), то A является нетеровым кольцом (см. статью «точно плоское» для рассуждения).
• Любая локализация коммутативного нётерова кольца нётерова.
• Следствием теоремы Акизуки–Хопкинса–Левицкого является то, что каждое артиново слева кольцо нётерово слева. Другое следствие состоит в том, что артиново слева кольцо нётерово справа тогда и только тогда, когда оно артиново справа. Аналогичные утверждения с поменянными местами «правыми» и «левыми» также верны.
• Левое нетерово кольцо является левокогерентным , а левая нётерова область является левой областью Оре .
• (Бас) Кольцо нётерово (слева/справа) тогда и только тогда, когда каждая прямая сумма инъективных (левых/правых) модулей инъективна. Каждый левый инъективный модуль над левым нетеровым модулем можно разложить в прямую сумму неразложимых инъективных модулей. ^[6] См. также #Импликация об инъективных модулях ниже.
• В коммутативном нётеровом кольце существует лишь конечное число минимальных простых идеалов . Кроме того, условие нисходящей цепи выполняется для простых идеалов.
• В коммутативной нетеровой области R каждый элемент может быть разложен на неприводимые элементы (короче говоря, R является областью факторизации ). Таким образом, если, кроме того, факторизация уникальна с точностью до умножения факторов на единицы , то R является уникальной областью факторизации .

Примеры

• Любое поле, включая поля рациональных чисел , действительных чисел и комплексных чисел , является нетеровым. (У поля есть только два идеала — оно само и (0).)
• Любое кольцо главных идеалов , например целых чисел, является нетеровым, поскольку каждый идеал порождается одним элементом. Сюда входят области главных идеалов и евклидовы области .
• Дедекиндова область (например, кольца целых чисел ) — это нётерова область, в которой каждый идеал порождается не более чем двумя элементами.
• Координатное кольцо аффинного многообразия является нетеровым кольцом как следствие базисной теоремы Гильберта.
• Обертывающая алгебра U конечномерной алгебры Ли является нетеровым кольцом как слева, так и справа; это следует из того факта, что ассоциированное градуированное кольцо U является фактором , который является кольцом полиномов над полем ( теорема PBW ); таким образом, нетеровский. ^[7] По той же причине алгебра Вейля и более общие кольца дифференциальных операторов нётеровы. ^[8] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}})}$
• Кольцо многочленов от конечного числа переменных над целыми числами или полем нётерово.

Кольца, которые не являются нетеровскими, обычно (в некотором смысле) очень большие. Вот несколько примеров ненётеровых колец:

• Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных: X ₁ , X ₂ , X ₃ и т. д. Последовательность идеалов ( X ₁ ), ( X ₁ , X ₂ ), ( X ₁ , X ₂ , X ₃ ) и т. д. .. возрастает и не заканчивается.
• Кольцо всех целых алгебраических чисел не нётерово. Например, он содержит бесконечную восходящую цепочку главных идеалов: (2), (2 ^1/2 ), (2 ^1/4 ), (2 ^1/8 ),...
• Кольцо непрерывных функций от действительных чисел до действительных чисел не нётерово: пусть I _n — идеал всех непрерывных функций f таких, что f ( x ) = 0 для всех x ≥ n . Последовательность идеалов I ₀ , I ₁ , I ₂ и т. д. представляет собой восходящую цепь, которая не заканчивается.
• Кольцо стабильных гомотопических групп сфер не нётерово. ^[9]

Однако ненетерово кольцо может быть подкольцом нётерова кольца. Поскольку любая область целостности является подкольцом поля, примером может служить любая область целостности, не являющаяся нетеровой. Приведем менее тривиальный пример:

• Кольцо рациональных функций , порожденное x и y  / x ⁿ над полем k , является подкольцом поля k ( x , y ) только с двумя переменными.

Действительно, существуют кольца нётеровы справа, но не нётеровы слева, так что нужно быть осторожным при измерении «размера» кольца таким способом. Например, если L — подгруппа группы Q 2 ^, изоморфная Z , пусть R — кольцо гомоморфизмов f из Q ² в себя, удовлетворяющее условию f ( L ) ⊂ L. Выбрав базис, мы можем описать то же кольцо R как

${\displaystyle R=\left\{\left.{\begin{bmatrix}a&\beta \\0&\gamma \end{bmatrix}}\,\right\vert \,a\in \mathbf {Z} ,\beta \in \mathbf {Q} ,\gamma \in \mathbf {Q} \right\}.}$

Это кольцо нётерово справа, но не нётерово слева; подмножество I ⊂ R , состоящее из элементов с a = 0 и γ = 0, является левым идеалом, который не является конечно порожденным как левый R -модуль.

Если R — коммутативное подкольцо нётерово слева кольца S и S конечно порождено как левый R -модуль, то R нётерово. ^[10] (В частном случае, когда S коммутативно, это известно как теорема Икина .) Однако это неверно, если R не коммутативно: кольцо R из предыдущего параграфа является подкольцом левого нетерова кольца S = Hom( Q ² , Q ² ), а S конечно порожден как левый R -модуль, но R не нётерово слева.

Уникальная область факторизации не обязательно является нетеровым кольцом. Он действительно удовлетворяет более слабому условию: условию восходящей цепи главных идеалов . Кольцо полиномов от бесконечного числа переменных является примером ненетеровой уникальной области факторизации.

Кольцо нормирования не является нетеровым, если оно не является областью главного идеала. Он дает пример кольца, которое естественным образом возникает в алгебраической геометрии , но не является нетеровым.

Нётеровы групповые кольца

Рассмотрим групповое кольцо группы над кольцом . Это кольцо , и ассоциативная алгебра над if коммутативна . Для группы и коммутативного кольца следующие два условия эквивалентны. ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$

• Кольцо левонетерово. ${\displaystyle R[G]}$
• Кольцо право-нётерово. ${\displaystyle R[G]}$

Это связано с тем, что в этом случае существует биекция между левым и правым идеалами группового кольца посредством гомоморфизма -ассоциативной алгебры. ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R[G]\to R[G]^{\operatorname {op} },}$

${\displaystyle g\mapsto g^{-1}\qquad (\forall g\in G).}$

Пусть группа и кольцо. Если лево/право/двусторонне нётерова, то она лево/право/двусторонне нётерова и является нётеровой группой . И наоборот, если это нётерово коммутативное кольцо и является расширением нётеровой разрешимой группы (т. е. полициклической группы ) с помощью конечной группы , то оно двусторонне нётерово. С другой стороны, однако, существует нётерова группа , групповое кольцо которой над любым нётеровым коммутативным кольцом не является двусторонним нетеровым. ^{[11] : 423, Теорема 38.1.} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle G}$

Ключевые теоремы

Многие важные теоремы теории колец (особенно теории коммутативных колец ) основаны на предположениях о нётеровости колец.

Коммутативный случай

• В коммутативном нётеровом кольце каждый идеал имеет первичное разложение , что означает, что его можно записать как пересечение конечного числа первичных идеалов ( все радикалы которых различны), где идеал Q называется первичным, если он собственный и всякий раз, когда xy ∈ Q либо x ∈ Q , либо y ⁿ ∈ Q для некоторого натурального числа n . Например, если элемент является произведением степеней различных простых элементов, то, следовательно, первичное разложение является прямым обобщением простой факторизации целых чисел и многочленов. ^[12] ${\displaystyle f=p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{r}^{n_{r}}}$ ${\displaystyle (f)=(p_{1}^{n_{1}})\cap \cdots \cap (p_{r}^{n_{r}})}$
• Нётерово кольцо определяется в терминах возрастающих цепочек идеалов. С другой стороны, лемма Артина-Риса дает некоторую информацию о нисходящей цепочке идеалов, заданной степенями идеалов . Это технический инструмент, который используется для доказательства других ключевых теорем, таких как теорема пересечения Крулла . ${\displaystyle I\supseteq I^{2}\supseteq I^{3}\supseteq \cdots }$
• Теория размерности коммутативных колец плохо работает над ненетеровыми кольцами; самая фундаментальная теорема, теорема Крулля о главном идеале , уже опирается на «нётерово» предположение. Здесь, на самом деле, «нетеровского» предположения часто недостаточно, и вместо него часто используются (нетеровы) универсально цепные кольца , удовлетворяющие определенному теоретико-размерному предположению. Нётеровы кольца, встречающиеся в приложениях, в основном являются цепными.

Некоммутативный случай

• Теорема Голди

Влияние на инъективные модули

Учитывая кольцо, существует тесная связь между поведением инъективных модулей над кольцом и тем, является ли оно нетеровым кольцом или нет. А именно, для кольца R следующие условия эквивалентны:

• R — нётерово слева кольцо.
• (Бас) Каждая прямая сумма инъективных левых R -модулей инъективна. ^[6]
• Каждый инъективный левый R -модуль является прямой суммой неразложимых инъективных модулей. ^[13]
• (Фейт – Уокер) Существует такое кардинальное число , что каждый инъективный левый модуль над R является прямой суммой -порожденных модулей (модуль является -порожденным, если он имеет порождающий набор мощности не более ). ^[14] ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$
• Существует левый R -модуль H такой, что каждый левый R -модуль вкладывается в прямую сумму копий H . ^[15]

Кольцо эндоморфизмов неразложимого инъективного модуля является локальным ^[16] , и поэтому теорема Азумая утверждает, что над левым нетеровым кольцом каждое неразложимое разложение инъективного модуля эквивалентно друг другу (вариант теоремы Крулла – Шмидта ).

Смотрите также

• Нётерова схема
• Артинианское кольцо

Примечания

1. Лам (2001), с. 19
2. Эйзенбуд 1995, Упражнение 1.1.
3. Коэн, Ирвин С. (1950). «Коммутативные кольца с ограниченным условием минимума». Математический журнал Дьюка . 17 (1): 27–42. дои : 10.1215/S0012-7094-50-01704-2. ISSN  0012-7094.
4. Мацумура 1989, Теорема 3.5.
5. Мацумура 1989, Теорема 3.6.
6. Anderson & Fuller 1992, Предложение 18.13.
7. Бурбаки 1989, Глава III, §2, вып. 10. Примечания в конце номера.
8. Хотта, Такеучи и Танисаки (2008, §D.1, предложение 1.4.6)
9. Кольцо стабильных гомотопических групп сфер не нётерово.
10. Форманек и Джатегаонкар 1974, Теорема 3
11. Ольшанский, Александр Юрьевич (1991). Геометрия определяющих отношений в группах . Математика и ее приложения. Советский сериал. Том. 70. Перевод Бахтурина Ю. А. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. дои : 10.1007/978-94-011-3618-1. ISBN 978-0-7923-1394-6. ISSN  0169-6378. МР  1191619. Збл  0732.20019.
12. Эйзенбуд 1995, Предложение 3.11.
13. Андерсон и Фуллер 1992, Теорема 25.6. (б)
14. Андерсон и Фуллер 1992, Теорема 25.8.
15. Андерсон и Фуллер 1992, следствие 26.3.
16. Андерсон и Фуллер 1992, Лемма 25.4.

Рекомендации

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , том. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, МР  1245487
• Атья, М.Ф., Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру. Аддисон-Уэсли-Лонгман. ISBN 978-0-201-40751-8 
• Бурбаки, Николя (1989). Коммутативная алгебра: главы 1-7. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-19371-7.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Тексты для аспирантов по математике. Том. 150. Шпрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.
• Форманек, Эдвард ; Джатегаонкар, Арун Винаяк (1974). «Подкольца нётеровых колец». Труды Американского математического общества . 46 (2): 181–186. дои : 10.2307/2039890 . JSTOR  2039890.
• Хотта, Рёши; Такеучи, Киёси; Танисаки, Тосиюки (2008), D-модули, извращенные пучки и теория представлений , Progress in Mathematics, vol. 236, Биркхойзер, номер домена : 10.1007/978-0-8176-4523-6, ISBN 978-0-8176-4363-8, МР  2357361, Збл  1292.00026
• Лам, Цит Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец . Тексты для аспирантов по математике. Том. 131 (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 19. дои : 10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 0387951830. МР  1838439.
• Глава X Ланга, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-55540-0, Збл  0848.13001
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6

Внешние ссылки

• «Нётерово кольцо», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]