Обобщенная функция

В математике обобщенные функции — это объекты, расширяющие понятие функций на действительных или комплексных числах. Существует более одной признанной теории, например, теория распределений . Обобщенные функции особенно полезны для обработки разрывных функций, больше похожих на гладкие функции , и описания дискретных физических явлений, таких как точечные заряды . Они широко применяются, особенно в физике и технике . Важными мотивами были технические требования теорий уравнений с частными производными и представлений групп .

Общей чертой некоторых подходов является то, что они строятся на операторных аспектах повседневных числовых функций. Ранняя история связана с некоторыми идеями операционного исчисления , а некоторые современные разработки тесно связаны с алгебраическим анализом Микио Сато .

Немного ранней истории

В математике девятнадцатого века появились аспекты теории обобщенных функций, например, в определении функции Грина , в преобразовании Лапласа и в теории тригонометрических рядов Римана , которые не обязательно были рядами Фурье интегрируемой функции . Это были разрозненные аспекты математического анализа того времени.

Интенсивное использование преобразования Лапласа в инженерии привело к эвристическому использованию символических методов, называемых операционным исчислением . Поскольку были даны обоснования, использующие расходящиеся ряды , эти методы были сомнительными с точки зрения чистой математики . Они типичны для более позднего применения методов обобщенных функций. Влиятельной книгой по операционному исчислению была «Электромагнитная теория» Оливера Хевисайда 1899 года.

Когда был введен интеграл Лебега , впервые появилось понятие обобщенной функции, центральное в математике. Интегрируемая функция в теории Лебега эквивалентна любой другой, которая одинакова почти всюду . Это означает, что ее значение в каждой точке (в некотором смысле) не является ее самой важной особенностью. В функциональном анализе дается ясная формулировка существенной особенности интегрируемой функции, а именно способа, которым она определяет линейный функционал на других функциях. Это позволяет определить слабую производную .

В конце 1920-х и 1930-х годах были предприняты дальнейшие основные шаги. Дельта-функция Дирака была смело определена Полем Дираком (аспект его научного формализма ); это было сделано для того, чтобы рассматривать меры , рассматриваемые как плотности (например, плотность заряда ), как настоящие функции. Сергей Соболев , работая в области теории уравнений с частными производными , определил первую строгую теорию обобщенных функций, чтобы определить слабые решения уравнений с частными производными (т. е. решения, которые являются обобщенными функциями, но могут не быть обычными функциями). ^[1] Другими, кто предлагал связанные теории в то время, были Саломон Бохнер и Курт Фридрихс . Работа Соболева была расширена Лораном Шварцем . ^[2]

Распределения Шварца

Наиболее окончательным развитием стала теория распределений, разработанная Лораном Шварцем , систематически разрабатывающим принцип двойственности для топологических векторных пространств . Ее главным конкурентом в прикладной математике является теория успокоения , которая использует последовательности гладких приближений (объяснение « Джеймса Лайтхилла »). ^[3]

Эта теория была очень успешной и до сих пор широко используется, но страдает от главного недостатка, что распределения обычно не могут быть умножены: в отличие от большинства классических функциональных пространств , они не образуют алгебру . Например, бессмысленно возводить в квадрат дельта-функцию Дирака . Работа Шварца около 1954 года показала, что это внутренняя трудность.

Алгебры обобщенных функций

Было предложено несколько решений проблемы умножения. Одно из них основано на простом определении Ю. В. Егорова ^[4] (см. также его статью в книге Демидова в списке книг ниже), которое допускает произвольные операции над обобщенными функциями и между ними.

Другое решение, допускающее умножение, предлагается формулировкой интеграла по траектории квантовой механики . Поскольку это должно быть эквивалентно теории Шредингера квантовой механики, которая инвариантна относительно преобразований координат, это свойство должно разделяться интегралами по траектории. Это фиксирует все произведения обобщенных функций, как показано Х. Кляйнертом и А. Червяковым. ^[5] Результат эквивалентен тому, что можно вывести из размерной регуляризации . ^[6]

Было предложено несколько конструкций алгебр обобщенных функций, среди которых Ю. М. Широков ^[7] , Э. Розингер, Ю. Егоров и Р. Робинсон. ^{[ требуется ссылка ]} В первом случае умножение определяется некоторой регуляризацией обобщенной функции. Во втором случае алгебра строится как умножение распределений . Оба случая обсуждаются ниже.

Некоммутативная алгебра обобщенных функций

Алгебра обобщенных функций может быть построена с помощью соответствующей процедуры проекции функции на ее гладкую и сингулярную части. Произведение обобщенных функций и выглядит как $F=F(x)$ $F_{\rm {гладкий}}$ $F_{\rm {единственное число}}$ $F$ $G$

Такое правило применимо как к пространству основных функций, так и к пространству операторов, которые действуют на пространстве основных функций. Достигается ассоциативность умножения; и функция signum определяется таким образом, что ее квадрат равен единице всюду (включая начало координат). Обратите внимание, что произведение сингулярных частей не появляется в правой части ( 1 ); в частности, . Такой формализм включает в себя обычную теорию обобщенных функций (без их произведения) как частный случай. Однако полученная алгебра некоммутативна: обобщенные функции signum и delta антикоммутируют. ^[7] Было предложено несколько приложений алгебры. ^[8]^[9] $\дельта (x)^{2}=0$

Умножение распределений

Проблема умножения распределений , являющаяся ограничением теории распределений Шварца, становится серьезной для нелинейных задач.

Сегодня используются различные подходы. Самый простой из них основан на определении обобщенной функции, данном Ю. В. Егоровым. ^[4] Другой подход к построению ассоциативных дифференциальных алгебр основан на конструкции Ж.-Ф. Коломбо: см. Алгебра Коломбо . Это фактор-пространства

G=M/N

«умеренных» по модулю «незначительных» сетей функций, где «умеренность» и «незначительность» относятся к росту по отношению к индексу семейства.

Пример: алгебра Коломбо

Простой пример получается при использовании полиномиальной шкалы на N , . Тогда для любой полунормированной алгебры (E,P) фактор-пространство будет $s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}$

G_{s}(E,P)={\frac {\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\exists m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}{\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\forall m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}}.

В частности, для ( E , P )=( C ,|.|) мы получаем обобщенные комплексные числа (Коломбо) (которые могут быть «бесконечно большими» и «бесконечно малыми» и все еще допускать строгую арифметику, очень похожую на нестандартные числа ). Для ( E , P ) = ( C∞ ⁽ R ),{ pk _} ) ₍ где pk — супремум всех производных порядка, меньшего или равного k на шаре радиуса k ) мы получаем упрощенную алгебру Коломбо .

Введение распределений Шварца

Эта алгебра «содержит» все распределения T из D' посредством инъекции

j ( Т ) = (φ _n ∗ Т ) _n + N ,

где ∗ — операция свертки , а

φn ( x ) = nφ ( nx ) _.

Эта инъекция неканоническая в том смысле, что она зависит от выбора смягчителя φ , который должен быть C ^∞ , целым и иметь все свои производные в 0, обращающиеся в нуль. Чтобы получить каноническую инъекцию, набор индексов можно изменить так, чтобы он был N × D ( R ), с удобной базой фильтра на D ( R ) (функции исчезающих моментов до порядка q ).

Структура пучка

Если ( E , P ) является (пред-) пучком полунормированных алгебр на некотором топологическом пространстве X , то G _s ( E , P ) также будет обладать этим свойством. Это означает, что будет определено понятие ограничения , которое позволяет определить носитель обобщенной функции относительно подпучка, в частности:

Для подпучка {0} получается обычная поддержка (дополнение наибольшего открытого подмножества, где функция равна нулю).
Для подпучка E (вложенного с помощью канонической (константной) инъекции) получается то, что называется сингулярным носителем , т.е., грубо говоря, замыкание множества, где обобщенная функция не является гладкой функцией (для E = C ^∞ ).

Микролокальный анализ

Поскольку преобразование Фурье (хорошо) определено для обобщенных функций с компактным носителем (покомпонентно), можно применить ту же конструкцию, что и для распределений, и определить волновой фронт Ларса Хёрмандера также для обобщенных функций.

Это имеет особенно важное применение в анализе распространения особенностей .

Другие теории

К ним относятся: теория коэффициентов свертки Яна Микусинского , основанная на поле дробей алгебр свертки , которые являются областями целостности ; и теории гиперфункций , основанные (в своей первоначальной концепции) на граничных значениях аналитических функций , а теперь использующие теорию пучков .

Топологические группы

Брюа ввел класс тестовых функций , функции Шварца–Брюа , на классе локально компактных групп , которые выходят за рамки многообразий , которые являются типичными областями функций . Приложения в основном в теории чисел , в частности, к адельным алгебраическим группам . Андре Вейль переписал диссертацию Тейта на этом языке, характеризуя дзета-распределение на группе иделей ; а также применил его к явной формуле L-функции .

Обобщенный раздел

Еще один способ, которым теория была расширена, — это обобщенные сечения гладкого векторного расслоения . Это по образцу Шварца, конструирующего объекты, двойственные к тестовым объектам, гладкие сечения расслоения, которые имеют компактный носитель . Наиболее развитая теория — это теория токов Де Рама , двойственная дифференциальным формам . Они гомологичны по своей природе, в том смысле, в котором дифференциальные формы порождают когомологии Де Рама . Их можно использовать для формулировки очень общей теоремы Стокса .

Смотрите также

Книги

Шварц, Л. (1950). Теория распределений . Том. 1. Париж: Германн. ОСЛК 889264730.Том 2. OCLC 889391733
Бёрлинг, А. (1961). О квазианалитичности и общих распределениях (мультиграфические лекции). Летний институт, Стэнфордский университет. OCLC 679033904.
Гельфанд, Израиль Моисеевич ; Виленкин, Наум Яковлевич (1964). Обобщенные функции . Том. I–VI. Академическая пресса. ОСЛК 728079644.
Хермандер, Л. (2015) [1990]. Анализ линейных частных дифференциальных операторов (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3-642-61497-2.
Х. Комацу, Введение в теорию распределений, Второе издание, Iwanami Shoten, Токио, 1983.
Коломбо, Ж.-Ф. (2000) [1983]. Новые обобщенные функции и умножение распределений. Elsevier. ISBN 978-0-08-087195-0.
Владимиров В.С.; Дрожжинов, Ю. Н.; Завьялов, Б.И. (2012) [1988]. Тауберовы теоремы для обобщенных функций. Спрингер. ISBN 978-94-009-2831-2.
Обергуггенбергер, М. (1992). Умножение распределений и приложения к уравнениям с частными производными . Longman. ISBN 978-0-582-08733-0. OCLC 682138968.
Моримото, М. (1993). Введение в гиперфункции Сато. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-8767-7.
Демидов, А.С. (2001). Обобщенные функции в математической физике: основные идеи и концепции. Nova Science. ISBN 9781560729051.
Гроссер, М.; Кунцингер, М.; Обергуггенбергер, Михаэль; Штайнбауэр, Р. (2013) [2001]. Геометрическая теория обобщенных функций с приложениями к общей теории относительности. Springer. ISBN 978-94-015-9845-3.
Эстрада, Р.; Канвал, Р. (2012). Распределительный подход к асимптотике. Теория и приложения (2-е изд.). Birkhäuser Boston. ISBN 978-0-8176-8130-2.
Владимиров, ВС (2002). Методы теории обобщенных функций. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-415-27356-5.
Кляйнерт, Х. (2009). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках (5-е изд.). World Scientific. ISBN 9789814273572.(онлайн здесь). См. Главу 11 для произведений обобщенных функций.
Пилипович, С.; Станкович, Б.; Виндас, Дж. (2012). Асимптотическое поведение обобщенных функций. World Scientific. ISBN 9789814366847.

Ссылки

^ Колмогоров, АН; Фомин, СВ (1999) [1957]. Элементы теории функций и функционального анализа. Mineola, NY: Dover. ISBN 0-486-40683-0. OCLC 44675353.
^ Шварц, Л. (1952). «Теория распределений». Бык. амер. Математика. Соц . 58 : 78–85. дои : 10.1090/S0002-9904-1952-09555-0 .
^ Гальперин, И. и Шварц, Л. (1952). Введение в теорию распределений. Торонто: Издательство Торонтского университета. (Краткая лекция Гальперина о теории Шварца)
^ ab Ю. В. Егоров (1990). «Вклад в теорию обобщенных функций». Математические обзоры . 45 (5): 1–49. Bibcode :1990RuMaS..45....1E. doi :10.1070/rm1990v045n05abeh002683. S2CID 250877163.
^ H. Kleinert и A. Chervyakov (2001). «Правила для интегралов по произведениям распределений из независимости координат интегралов по траекториям» (PDF) . Eur. Phys. J. C . 19 (4): 743–747. arXiv : quant-ph/0002067 . Bibcode :2001EPJC...19..743K. doi :10.1007/s100520100600. S2CID 119091100.
^ H. Kleinert и A. Chervyakov (2000). "Независимость координат квантово-механических интегралов по траекториям" (PDF) . Phys. Lett . A 269 (1–2): 63. arXiv : quant-ph/0003095 . Bibcode :2000PhLA..273....1K. doi :10.1016/S0375-9601(00)00475-8.
^ ab Ю. М. Широков (1979). «Алгебра одномерных обобщенных функций». Теоретическая и математическая физика . 39 (3): 291–301. Bibcode :1979TMP....39..471S. doi :10.1007/BF01017992. S2CID 189852974.
^ О. Г. Горяга; Ю. М. Широков (1981). «Уровни энергии осциллятора с сингулярным сосредоточенным потенциалом». Теоретическая и математическая физика . 46 (3): 321–324. Bibcode :1981TMP....46..210G. doi :10.1007/BF01032729. S2CID 123477107.
^ Г. К. Толоконников (1982). «Дифференциальные кольца, используемые в алгебрах Широкова». Теоретическая и математическая физика . 53 (1): 952–954. Bibcode :1982TMP....53..952T. doi :10.1007/BF01014789. S2CID 123078052.