Ограничение (математика)

Функция с меньшей областью определения

Функция с областью определения не имеет обратной функции . Если мы ограничимся неотрицательными действительными числами , то у них действительно будет обратная функция, известная как квадратный корень из ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x.}$

В математике ограничение функции — это новая функция, обозначаемая или полученная путем выбора меньшей области определения для исходной функции. Тогда говорят, что функция расширяется . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{A}}$ ${\displaystyle f{\upharpoonright _{A}},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{A}.}$

Формальное определение

Пусть будет функцией от множества к множеству. Если множество является подмножеством , то ограничением является функция ^[1] ${\displaystyle f:E\to F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {f|}_{A}:A\to F}$$

${\displaystyle {f|}_{A}(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in A.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle A}$

Если функцию рассматривать как отношение к декартову произведению , то ограничение to может быть представлено ее графиком : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle E\times F,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}$

где пары представляют собой упорядоченные пары в графе ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle G.}$

Расширения

Говорят, что функция – это ${\displaystyle F}$расширение другой функции,если всякий раз, когдаона находится в области определения,тотакже находится в области областии То есть, еслии ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(x)=F(x).}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F}$ ${\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f.}$

Алинейное продолжение (соответственнонепрерывное продолжение и т. д.) функцииесть расширение,которое также являетсялинейным отображением(соответственно,непрерывным отображениеми т. д.). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Примеры

1. Ограничением неинъективной функции на область определения является инъекция ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}.}$
2. Функция факториала представляет собой ограничение гамма-функции целыми положительными числами со сдвигом аргумента на единицу: ${\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}$

Свойства ограничений

• Ограничение функции на всю ее область определения возвращает исходную функцию, то есть: ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f|_{X}=f.}$
• Ограничить функцию дважды — это то же самое, что ограничить ее один раз, т. е. если тогда ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f,}$ ${\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}.}$
• Ограничение тождественной функции на множестве до подмножества - это просто отображение включения из в ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Ограничение непрерывной функции непрерывно. ^{[3] [4]}

Приложения

Обратные функции

Чтобы функция имела обратную, она должна быть взаимно однозначной . Если функция не является взаимно однозначной, можно определить частичную обратную функцию , ограничив область определения. Например, функция ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$$

${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty ),}$

$${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$$

(Если вместо этого мы ограничимся областью определения , то обратная функция будет отрицательным квадратным корнем из ). Альтернативно, нет необходимости ограничивать область определения, если мы позволим обратной функции быть многозначной функцией . ${\displaystyle (-\infty ,0],}$ ${\displaystyle y.}$

Операторы выбора

В реляционной алгебре выбор (иногда называемый ограничением, чтобы избежать путаницы с использованием SELECT в SQL ) — это унарная операция, записанная как или где: ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$ ${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$

• ${\displaystyle a}$и являются именами атрибутов, ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \theta }$— бинарная операция в множестве ${\displaystyle \{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\},}$
• ${\displaystyle v}$является константой значения,
• ${\displaystyle R}$это отношение .

При выборе выбираются все кортежи , для которых находится между атрибутом и . ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

При выборе выбираются все те кортежи, для которых есть совпадения между атрибутом и значением. ${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle v.}$

Таким образом, оператор выбора ограничивается подмножеством всей базы данных.

Лемма о вставке

Лемма о вставке — это результат топологии , который связывает непрерывность функции с непрерывностью ее ограничений на подмножества.

Пусть два замкнутых подмножества (или два открытых подмножества) топологического пространства такие, что и пусть также топологическое пространство. If является непрерывным, если ограничено обоими , и тогда является непрерывным. ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=X\cup Y,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$

Этот результат позволяет взять две непрерывные функции, определенные на замкнутых (или открытых) подмножествах топологического пространства, и создать новую.

Шкивы

Пучки предоставляют способ обобщения ограничений для объектов, помимо функций.

В теории пучков каждому открытому множеству топологического пространства присваивается объект категории и требуется, чтобы объекты удовлетворяли определенным условиям. Наиболее важным условием является наличие морфизмов ограничения между каждой парой объектов, связанных с вложенными открытыми множествами; то есть, если существует морфизм, удовлетворяющий следующим свойствам, которые предназначены для имитации ограничения функции: ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V\subseteq U,}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}$

• Для каждого открытого множества морфизм ограничения является тождественным морфизмом на ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}$ ${\displaystyle F(U).}$
• Если у нас есть три открытых множества , то составное ${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U,}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{W,V}\circ \operatorname {res} _{V,U}=\operatorname {res} _{W,U}.}$
• (Локальность) Если — открытое покрытие открытого множества и таковы, что для каждого множества покрытия, то ; и ${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle s,t\in F(U)}$ ${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=t{\big \vert }_{U_{i}}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle s=t}$
• (Склейка) Если — открытое покрытие открытого множества и если для каждого задано сечение такое, что для каждой пары покрытий заданы ограничения и согласованы перекрытия: то существует сечение такое, что для каждого ${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}\in F\left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle U_{i},U_{j}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle s_{i}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}},}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=s_{i}}$ ${\displaystyle i.}$

Совокупность всех таких объектов называется пучком . Если удовлетворяются только первые два свойства, это предпучок .

Левое и правое ограничение

В более общем смысле, ограничение (или ограничение домена или левое ограничение ) бинарного отношения между и может быть определено как отношение, имеющее кодомен домена и граф. Аналогично, можно определить правое ограничение или ограничение диапазона. Действительно, можно определить ограничение к -арным отношениям, а также к подмножествам , понимаемым как отношения, например, к декартову произведению для бинарных отношений. Эти случаи не укладываются в схему пучков . ^{[ нужны разъяснения ]} ${\displaystyle A\triangleleft R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G(A\triangleleft R)=\{(x,y)\in F(R):x\in A\}.}$ ${\displaystyle R\triangleright B.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E\times F}$

Антиограничение

Антиограничение домена ( или вычитание домена ) функции или бинарного отношения (с доменом и кодоменом ) набором может быть определено как ; он удаляет все элементы из области определения. Иногда его обозначают  ⩤  ^[5] Аналогично, антиограничение диапазона (или вычитание диапазона ) функции или бинарного отношения набором определяется как ; он удаляет все элементы из кодомена. Иногда его обозначают  ⩥  ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (E\setminus A)\triangleleft R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R\triangleright (F\setminus B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B.}$

Смотрите также

• Ограничение  - условие задачи оптимизации, которому должно удовлетворять решение.
• Ретракт деформации  - непрерывное, сохраняющее положение отображение топологического пространства в подпространство.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Локальное свойство  - свойство, которое встречается в достаточно малых или сколь угодно малых окрестностях точек.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Функция (математика) § Ограничение и расширение
• Бинарное отношение § Ограничение
• Реляционная алгебра § Выбор (σ)

Рекомендации

1. Столл, Роберт (1974). Множества, логика и аксиоматические теории (2-е изд.). Сан-Франциско: WH Freeman and Company. стр. [36]. ISBN 0-7167-0457-9.
2. Халмос, Пол (1960). Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Д. Ван Ностранд.Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974 г. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).  
3. Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Река Аппер-Седл: Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2.
4. Адамс, Колин Конрад; Францоза, Роберт Дэвид (2008). Введение в топологию: чистую и прикладную . Пирсон Прентис Холл. ISBN 978-0-13-184869-6.
5. Данн, С. и Стоддарт, Билл, объединяющий теории программирования: Первый международный симпозиум, UTP 2006, Замок Уолворт, графство Дарем, Великобритания, 5–7 февраля 2006 г., Пересмотренное избранное ... Информатика и общие вопросы) . Спрингер (2006)