stringtranslate.com

Папп Александрийский

Титульный лист Mathematicae Collectiones Паппа , переведенный на латынь Федерико Коммандино (1588 г.).

Папп Александрийский ( / ˈ p æ p ə s / ⓘ ;‹См. Tfd›Греческий:Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς;ок. 290 – ок.  350н. э.) былгреческим математикомпозднейантичности,известным своейСинагогой(Συναγωγή) илиСобранием(ок. 340),[1]итеоремой Паппа о шестиугольникевпроективной геометрии. О его жизни почти ничего не известно, за исключением того, что можно найти в его собственных сочинениях, многие из которых утеряны. Папп, по-видимому, жил вАлександрии, где он работалучителем математикидля учеников старших классов, одного из которых звали Гермодор.[2]

«Собрание » , его самая известная работа, представляет собой сборник математики в восьми томах, большая часть которого сохранилась. Он охватывает широкий спектр тем, которые были частью античной программы обучения математике, включая геометрию , астрономию и механику . [1]

Папп действовал в период, который обычно считается периодом застоя в математических исследованиях, и в этот период он выделяется как замечательное исключение. [3] Во многих отношениях его судьба поразительно напоминает судьбу Диофанта , изначально имевшего ограниченное значение, но ставшего очень влиятельным в периоды позднего Возрождения и раннего Нового времени.

Встречаться

В своих сохранившихся трудах Папп не дает никаких указаний на дату авторов, чьи работы он использует, или на время (но см. ниже), когда он сам писал. Если бы не было никакой другой информации о дате, все, что можно было бы знать, это то, что он был позже Птолемея (умер около 168 г. н. э.), которого он цитирует, и раньше Прокла (родился около  411 г. ), который его цитирует. [3]

Суда X века утверждает, что Папп был того же возраста, что и Теон Александрийский , который действовал в правление императора Феодосия I (372–395). [4] Другая дата указана в примечании на полях рукописи конца X века [3] (копия хронологической таблицы того же Теона), где рядом с записью об императоре Диоклетиане (правил в 284–305) указано, что «в то время писал Папп». [5]

Однако проверяемая дата исходит из датировки солнечного затмения, упомянутого самим Паппусом. В своем комментарии к Альмагесту он вычисляет «место и время соединения, которое дало начало затмению в Тиби в 1068 году после Набонассара ». Это получается 18 октября 320 года, и поэтому Паппус должен был быть активен около 320 года. [2]

Работы

Коллекции Mathematicae , 1660 г.

Великий труд Паппа в восьми книгах под названием «Синагога или Сборник » не сохранился в полном виде: первая книга утеряна, а остальные значительно пострадали. В Суде перечислены и другие произведения Паппа: Χωρογραφία οἰκουμενική ( Chorography oikoumenike или Описание обитаемого мира ), комментарий к четырем книгам Альмагеста Птолемея , Ποταμοὺς τοὺς Λιβύῃ ( «Реки в Ливии ») и Ὀνειροκριτικά ( «Толкование снов») . ). [4] Сам Папп упоминает еще один свой комментарий к Ἀνάλημμα ( Analemma ) Диодора Александрийского . Папп также написал комментарии к «Началам » Евклида ( фрагменты которых сохранились у Прокла и «Схолий» , в то время как комментарий к десятой книге были найдены в арабской рукописи) и в Ἁρμονικά ( Harmonika ) Птолемея . [3]

Федерико Коммандино перевел «Коллекцию Паппа» на латынь в 1588 году. Немецкий классицист и историк математики Фридрих Хультш (1833–1908) опубликовал окончательное трехтомное представление перевода Коммандино с греческой и латинской версиями (Берлин, 1875–1878). Используя работу Хультша, бельгийский историк математики Пауль вер Экке был первым, кто опубликовал перевод «Коллекции » на современный европейский язык; его двухтомный французский перевод имеет название Pappus d'Alexandrie. La Collection Mathématique. (Париж и Брюгге, 1933). [6]

Коллекция

Характерные черты Собрания Паппуса заключаются в том, что оно содержит систематически организованный отчет о наиболее важных результатах, полученных его предшественниками, и, во-вторых, пояснительные или расширяющие предыдущие открытия заметки. Эти открытия образуют, по сути, текст, который Папп расширяет дискурсивно. Хит считал систематические введения к различным книгам ценными, поскольку они ясно излагают план содержания и общий объем рассматриваемых тем. Из этих введений можно судить о стиле письма Паппуса, который превосходен и даже элегантен в тот момент, когда он освобождается от оков математических формул и выражений. Хит также обнаружил, что его характерная точность сделала его Собрание «самой замечательной заменой текстов многих ценных трактатов более ранних математиков, которых время лишило нас». [3]

Сохранившиеся части « Коллекции» можно резюмировать следующим образом. [7]

Страницы из Mathematicae Collectiones , изданные в Венеции в 1589 году.

Книга I

Книга I была полностью утеряна. Мы можем только предполагать, что утерянная Книга I, как и Книга II, была посвящена арифметике, поскольку Книга III была явно введена как начало нового предмета. [3]

Книга 2

Вся Книга II (первая часть которой утеряна, существующий фрагмент начинается с середины 14-го предложения) [3] обсуждает метод умножения из неназванной книги Аполлония Пергского . Заключительные предложения имеют дело с умножением числовых значений греческих букв в двух строках поэзии, что дает два очень больших числа, приблизительно равных2 × 10 54 и2 × 10 38 . [8]

Книга 3

Книга III содержит геометрические задачи, плоские и объемные. Ее можно разделить на пять частей: [3]

  1. О знаменитой задаче нахождения двух средних пропорциональных между двумя данными линиями, которая возникла из задачи удвоения куба, сведенной Гиппократом Хиосским к первой. Папп дает несколько решений этой задачи, включая метод последовательных приближений к решению, значение которого он, по-видимому, не оценил; он добавляет свое собственное решение более общей задачи геометрического нахождения стороны куба, содержимое которого находится в любом заданном отношении к содержимому данного куба. [3]
  2. Об арифметических, геометрических и гармонических средних между двумя прямыми и о проблеме представления всех трех в одной и той же геометрической фигуре. Это служит введением в общую теорию средних, из которых Паппус различает десять видов и дает таблицу, представляющую примеры каждого в целых числах. [3]
  3. О любопытной задаче, предложенной Евклидом I. 21. [3]
  4. О вписывании каждого из пяти правильных многогранников в сферу. [3] Здесь Паппус заметил, что правильный додекаэдр и правильный икосаэдр могут быть вписаны в одну и ту же сферу так, что их вершины лежат на тех же 4 кругах широты, с 3 из 12 вершин икосаэдра на каждом круге и 5 из 20 вершин додекаэдра на каждом круге. Это наблюдение было обобщено на более высокоразмерные двойственные многогранники . [9]
  5. Дополнение более позднего автора к другому решению первой проблемы книги. [3]

Книга четвертая

Заголовок и предисловие книги IV утеряны, так что программу приходится собирать из самой книги. В начале следует известное обобщение Евклида I.47 ( теорема Паппа о площадях ), затем следуют различные теоремы об окружности, приводящие к задаче построения окружности, которая должна описывать три заданных окружности, касающихся друг друга по два. Это и несколько других предложений о контакте, например, случаи окружностей, касающихся друг друга и вписанных в фигуру, сделанную из трех полуокружностей и известную как арбелос («нож сапожника»), образуют первый раздел книги; Затем Паппус обращается к рассмотрению некоторых свойств спирали Архимеда , конхоиды Никомеда (уже упомянутой в Книге I как дающей метод удвоения куба) и кривой, открытой, скорее всего, Гиппием из Элиды около 420 г. до н. э. и известной под названием τετραγωνισμός, или квадратрисы . Предложение 30 описывает построение кривой двойной кривизны, названной Паппусом спиралью на сфере; она описывается точкой, равномерно движущейся по дуге большого круга, который сам равномерно вращается вокруг своего диаметра, причем точка описывает квадрант и большой круг, совершая полный оборот за одно и то же время. Находится площадь поверхности, заключенной между этой кривой и ее основанием — первый известный пример квадратуры криволинейной поверхности. Остальная часть книги посвящена трисекции угла и решению более общих задач того же рода с помощью квадратрисы и спирали. В одном из решений первой задачи впервые зафиксировано использование свойства конического сечения (гиперболы) применительно к фокусу и директрисе. [10]

Книга V

В Книге V, после интересного предисловия, касающегося правильных многоугольников, и содержащего замечания о шестиугольной форме ячеек сот , Папп обращается к сравнению площадей различных плоских фигур, имеющих все одинаковый периметр (следуя трактату Зенодора по этому вопросу), и объемов различных объемных фигур, имеющих все одинаковую поверхностную площадь, и, наконец, к сравнению пяти правильных тел Платона . Между прочим, Папп описывает тринадцать других многогранников, ограниченных равносторонними и равноугольными, но не подобными многоугольниками, открытыми Архимедом , и находит, методом, напоминающим метод Архимеда, поверхность и объем сферы. [10]

Книга VI

Согласно предисловию, книга VI призвана разрешить трудности, возникающие в так называемых «Малых астрономических трудах» (Μικρὸς Ἀστρονομούμενος), т. е. работах, отличных от Альмагеста . Соответственно, она комментирует Сферику Феодосия, Движущуюся сферу Автолика , книгу Феодосия О дне и ночи , трактат Аристарха О размерах и расстояниях Солнца и Луны и Оптику и явления Евклида . [10 ]

Книга VII

С тех пор как Мишель Шаль процитировал эту книгу Паппа в своей истории геометрических методов [11] , она стала объектом значительного внимания.

В предисловии к Книге VII объясняются термины анализ и синтез, а также различие между теоремой и задачей. Затем Папп перечисляет труды Евклида , Аполлония , Аристея и Эратосфена , всего тридцать три книги, суть которых он намеревается изложить с леммами, необходимыми для их разъяснения. С упоминанием Поризм Евклида мы имеем отчет об отношении поризма к теореме и задаче. В том же предисловии включена (а) знаменитая задача, известная под именем Паппа, часто формулируемая следующим образом: задав ряд прямых линий, найти геометрическое место точек таким образом, чтобы длины перпендикуляров на них или (в более общем смысле) линий, проведенных из них наклонно под заданными наклонами, удовлетворяли условию, что произведение некоторых из них может иметь постоянное отношение к произведению остальных; (Паппус не выражает это в такой форме, а посредством композиции отношений, говоря, что если дано отношение, которое составлено из отношений пар, одна из одного набора и одна из другого, нарисованных таким образом линий, и отношения нечетной, если таковая имеется, к данной прямой линии, то точка будет лежать на кривой, заданной по положению); (б) теоремы, которые были переоткрыты и названы в честь Пола Гулдина , но, по-видимому, были открыты самим Паппусом. [10]

Книга VII также содержит

  1. под заголовком «De Sectione Determinata» Аполлония, леммы, которые при внимательном рассмотрении оказываются случаями инволюции шести точек; [10]
  2. важные леммы о поризмах Евклида, [10] включая то, что называется теоремой Паппа о шестиугольнике ; [12]
  3. лемма о поверхностных местах точек Евклида, которая утверждает, что геометрическое место точки, расстояние от которой до данной точки находится в постоянном отношении к расстоянию от данной прямой, является коническим сечением , и сопровождается доказательствами того, что коническое сечение является параболой , эллипсом или гиперболой в зависимости от того, равно ли постоянное отношение 1, меньше или больше 1 (первые зафиксированные доказательства свойств, которые не встречаются у Аполлония). [10]

Цитата Чазла о Паппе была повторена Вильгельмом Блашке [13] и Дирком Штруком . [14] В Кембридже, Англия, Джон Дж. Милн дал читателям возможность ознакомиться с его чтением Паппа. [15] В 1985 году Александр Джонс написал свою диссертацию в Университете Брауна на эту тему. Переработанная форма его перевода и комментариев была опубликована Springer-Verlag в следующем году. Джонсу удалось показать, как Папп манипулировал полным четырехугольником , использовал отношение проективных гармонических сопряжений и продемонстрировал знание перекрестных отношений точек и линий. Кроме того, концепция полюса и поляры раскрывается как лемма в Книге VII. [16]

Книга VIII

В книге VIII в основном рассматриваются механика, свойства центра тяжести и некоторые механические силы. Перемежаются некоторые предложения по чистой геометрии. Предложение 14 показывает, как провести эллипс через пять заданных точек, а Предложение 15 дает простое построение осей эллипса, когда дана пара сопряженных диаметров . [10]

Наследие

Собрание Паппа было практически неизвестно арабам и средневековым европейцам, но оказало большое влияние на математику 17-го века после того, как было переведено на латынь Федерико Коммандино . [17] «Арифметика » Диофанта и «Собрание » Паппа были двумя основными источниками « Исагоги в искусстве аналитических наук» Виета (1591). [18] Задача Паппа и ее обобщение привели Декарта к развитию аналитической геометрии . [19] Ферма также разработал свою версию аналитической геометрии и свой метод максимумов и минимумов на основе резюме Паппа утраченных работ Аполлония « Плоские места» и «Об определенном сечении» . [20] Другими математиками, на которых оказал влияние Паппус, были Пачоли , да Винчи , Кеплер , ван Роомен , Паскаль , Ньютон , Бернулли , Эйлер , Гаусс , Жергонн , Штейнер и Понселе . [21]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ ab Bird, John (14 июля 2017 г.). Инженерная математика. Taylor & Francis. стр. 590. ISBN 978-1-317-20260-8.
  2. ^ ab Pierre Dedron, J. Itard (1959) Mathematics And Mathematicians , Vol. 1, p. 149 (перевод Джудит В. Филд ) (Transworld Student Library, 1974)
  3. ^ abcdefghijklm Хит 1911, стр. 740.
  4. ^ ab Whitehead, David (ред.). "Suda On Line – Pappos". Suda On Line и Stoa Consortium . Получено 11 июля 2012 г. Александриец, философ, родился во времена старшего императора Феодосия, когда также процветал философ Теон, тот, кто писал о Каноне Птолемея. Его книги: Описание обитаемого мира ; комментарий к четырем книгам Великого синтаксиса Птолемея; Реки в Ливии ; и Толкование сновидений .
  5. ^ Райдаут, Бронвин (2008). Паппус возрождается: Паппус Александрийский и меняющийся облик анализа и синтеза в поздней античности (магистерская диссертация). Гуманитарные науки Кентерберийского университета. стр. 14. doi : 10.26021/3834. hdl : 10092/2329.
  6. ^ Смит, Дэвид Юджин (январь 1934 г.). «Обзор Паппуса д'Александрия. La Collection Mathématique. Поля вер Эке» (PDF) . Бык. Являюсь. Математика. Соц . 40 (1): 11–12. дои : 10.1090/S0002-9904-1934-05766-5 .
  7. ↑ Уивер, Джеймс Генри (1916). «Паппус. вступительная статья». Bull. Amer. Math. Soc . 23 (3): 127–135. doi : 10.1090/S0002-9904-1916-02895-3 .
  8. ^ Папп Александрийский, пер. на латынь Фридриха Хульча. Коллекция Pappi Alexandrini — суперсупер. Апуд Вайдманнос, 1877, стр. 19–29.
  9. ^ HSM Coxeter (23 мая 2012 г.). Правильные многогранники. Courier Corporation. стр. 88 238. ISBN 978-0-486-14158-9.
  10. ^ abcdefgh Хит 1911, стр. 741.
  11. ^ Мишель Шасль (1837) Aperçu historique sur l'origine et le développement des methodes en géométrie , особенно страница 302; см. также стр. 12, 78 и 518.
  12. ↑ Хит 1911б, стр. 102.
  13. ^ Вильгельм Блашке (1948) Projektiva Geometrie , страница 140
  14. ^ Дирк Стрюк (1953) Лекции по аналитической и проективной геометрии , стр. 19, Эддисон-Уэсли
  15. ↑ Милн 1911.
  16. ^ Джонс (1986). Для полного четырехугольника, перекрестных отношений и гармонических сопряжений см., например, стр. 560. Для обсуждения результатов Паппуса о полюсах и полярах см., например, стр. 568.
  17. ↑ Марчисотто, Елена Энн (июнь 2002 г.). «Теорема Паппуса: мост между алгеброй и геометрией». The American Mathematical Monthly . 109 (6): 497–516. doi :10.2307/2695440. JSTOR  2695440.
  18. ^ Форбс, Эрик Г. (май 1977 г.). «Декарт и рождение аналитической геометрии». Historia Mathematica . 4 (2): 141–151. doi : 10.1016/0315-0860(77)90105-7 .
  19. ^ Бойер, Карл Б. (1949). «Изобретение аналитической геометрии». Scientific American . 180 (1): 40–45. Bibcode : 1949SciAm.180a..40B. doi : 10.1038/scientificamerican0149-40.
  20. ↑ Махони, Майкл С. (6 октября 1972 г.). «Математика Ферма: доказательства и гипотезы: рабочие привычки Ферма как математика проливают новый свет на тайну его знаменитой «последней теоремы»". Наука . 178 (4056): 30–36. doi :10.1126/science.178.4056.30. JSTOR  1734005. PMID  17754730.
  21. ^ Ваннер, Герхард (2012). «Значение Паппуса для развития математики». Численный анализ и прикладная математика Icnaam 2012: Международная конференция по численному анализу и прикладной математике . Труды конференции AIP. 1479 (1): 9–10. Bibcode :2012AIPC.1479....9W. doi :10.1063/1.4756049.

Ссылки

Атрибуция:

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с Паппом Александрийским .