Параболоид

Квадрическая поверхность с одной осью симметрии и без центра симметрии

Параболоид вращения

В геометрии параболоид — это квадратичная поверхность , имеющая ровно одну ось симметрии и не имеющая центра симметрии . Термин «параболо́ид» происходит от слова parabola , которое относится к коническому сечению , имеющему аналогичное свойство симметрии.

Каждое плоское сечение параболоида плоскостью, параллельной оси симметрии, является параболой. Параболоид является гиперболическим, если каждое другое плоское сечение является либо гиперболой , либо двумя пересекающимися прямыми (в случае сечения касательной плоскостью). Параболоид является эллиптическим, если каждое другое непустое плоское сечение является либо эллипсом , либо одной точкой (в случае сечения касательной плоскостью). Параболоид является либо эллиптическим, либо гиперболическим.

Эквивалентно, параболоид может быть определен как квадратичная поверхность, которая не является цилиндром и имеет неявное уравнение , часть степени два которого может быть разложена по комплексным числам на два различных линейных множителя. Параболоид является гиперболическим, если множители действительны; эллиптическим, если множители являются комплексно сопряженными .

Эллиптический параболоид имеет форму овальной чаши и имеет максимальную или минимальную точку, когда его ось вертикальна. В подходящей системе координат с тремя осями x , y и z его можно представить уравнением ^[1], где a и b — константы, которые определяют уровень кривизны в плоскостях xz и yz соответственно. В этом положении эллиптический параболоид открывается вверх. $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$$

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид (не путать с гиперболоидом ) — это дважды линейчатая поверхность в форме седла . В подходящей системе координат гиперболический параболоид можно представить уравнением ^{[2] [3]} В этом положении гиперболический параболоид направлен вниз вдоль оси x и вверх вдоль оси y (то есть парабола в плоскости x = 0 направлена ​​вверх, а парабола в плоскости y = 0 — вниз). $${\displaystyle z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.}$$

Любой параболоид (эллиптический или гиперболический) является поверхностью трансляции , поскольку он может быть образован движущейся параболой, направленной второй параболой.

Свойства и применение

Эллиптический параболоид

Полигональная сетка кругового параболоида

Круговой параболоид

В подходящей декартовой системе координат эллиптический параболоид имеет уравнение $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$$

Если a = b , эллиптический параболоид — это круговой параболоид или параболоид вращения . Это поверхность вращения, полученная вращением параболы вокруг ее оси.

Круговой параболоид содержит окружности. Это справедливо и в общем случае (см. Круговое сечение ).

С точки зрения проективной геометрии эллиптический параболоид — это эллипсоид , касающийся плоскости в бесконечности .

Сечения плоскости

Плоские сечения эллиптического параболоида могут быть:

• парабола , если плоскость параллельна оси,
• точка , если плоскость является касательной .
• в противном случае — эллипс или пустое поле .

Параболический отражатель

На оси кругового параболоида есть точка, называемая фокусом (или фокальной точкой ), так что, если параболоид является зеркалом, свет (или другие волны) от точечного источника в фокусе отражается в параллельный луч, параллельный оси параболоида. Это также работает и наоборот: параллельный луч света, параллельный оси параболоида, концентрируется в фокальной точке. Для доказательства см. Парабола § Доказательство отражательного свойства .

Поэтому форма кругового параболоида широко используется в астрономии для параболических рефлекторов и параболических антенн.

Поверхность вращающейся жидкости также представляет собой круговой параболоид. Это используется в жидкозеркальных телескопах и при изготовлении твердых зеркал телескопов (см. вращающаяся печь ).

• 
  Параллельные лучи, попадающие в круглое параболоидальное зеркало, отражаются в фокусную точку F или наоборот.
• 
  Параболический отражатель
• Вращение воды в стакане

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид с линиями, содержащимися в нем

Жареные снеки Pringles имеют форму гиперболического параболоида.

Гиперболический параболоид является дважды линейчатой ​​поверхностью : он содержит два семейства взаимно скрещивающихся прямых . Прямые в каждом семействе параллельны общей плоскости, но не друг другу. Следовательно, гиперболический параболоид является коноидом .

Эти свойства характеризуют гиперболические параболоиды и используются в одном из старейших определений гиперболических параболоидов: гиперболический параболоид — это поверхность, которая может быть образована движущейся линией, параллельной фиксированной плоскости и пересекающей две фиксированные скрещивающиеся прямые .

Это свойство упрощает изготовление гиперболического параболоида из различных материалов и для различных целей: от бетонных крыш до закусок. В частности, жареные закуски Pringles напоминают усеченный гиперболический параболоид. ^[4]

Гиперболический параболоид является седловой поверхностью , поскольку его гауссова кривизна отрицательна в каждой точке. Поэтому, хотя это линейчатая поверхность, она неразвертываема .

С точки зрения проективной геометрии гиперболический параболоид — это однополостный гиперболоид , касающийся плоскости в бесконечности .

Гиперболический параболоид уравнения или (это одно и то же с точностью до поворота осей ) можно назвать прямоугольным гиперболическим параболоидом , по аналогии с прямоугольными гиперболами . ${\displaystyle z=axy}$ ${\displaystyle z={\tfrac {a}{2}}(x^{2}-y^{2})}$

Сечения плоскости

Гиперболический параболоид с гиперболами и параболами

Плоское сечение гиперболического параболоида с уравнением может быть $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$$

• линия , если плоскость параллельна оси z , и имеет уравнение вида , ${\displaystyle bx\pm ay+b=0}$
• парабола , если плоскость параллельна оси z , а сечение не является прямой ,
• пара пересекающихся прямых , если плоскость является касательной ,
• в противном случае — гипербола .

Модель гиперболического параболоида STL

Примеры в архитектуре

Седловые крыши часто представляют собой гиперболические параболоиды, поскольку их легко построить из прямых секций материала. Некоторые примеры:

• Павильон Philips Expo '58, Брюссель (1958)
• IIT Дели - Крыша зала Догра
• Собор Святой Марии, Токио , Япония (1964)
• Церковь Святого Ричарда, Хэм , в Хэме, Лондон, Англия (1966)
• Собор Успения Пресвятой Богородицы , Сан-Франциско, Калифорния, США (1971)
• Сэдлдоум в Калгари, Альберта, Канада (1983)
• Скандинавиум в Гетеборге, Швеция (1971)
• L'Oceanogràfic в Валенсии, Испания (2003)
• London Velopark , Англия (2011)
• Центр досуга и отдыха Waterworld , Рексем , Уэльс (1970)
• Крыша станции техобслуживания Markham Moor , A1 (в южном направлении), Ноттингемшир, Англия
• Кафе «Комета», Сокольский район, Москва, Россия (1960). Архитектор В.Володин, инженер Н.Дроздов. Снесен.

• 
  Железнодорожная станция Варшава Охота , пример гиперболической параболоидной структуры
• 
  Поверхность, иллюстрирующая гиперболический параболоид
• 
  Ресторан Los Manantiales, Сочимилько, Мексика
• 
  Гиперболические параболоидные тонкослойные крыши в L'Oceanogràfic , Валенсия, Испания (снято в 2019 году)
• 
  Крыша станции техобслуживания Markham Moor, Ноттингемшир (фото 2009 г.)

Цилиндр между пучками эллиптических и гиперболических параболоидов

эллиптический параболоид, параболический цилиндр, гиперболический параболоид

Пучок эллиптических параболоидов и пучок гиперболических параболоидов приближаются к одной и той же поверхности при , которая представляет собой параболический цилиндр (см. изображение). $${\displaystyle z=x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$$ $${\displaystyle z=x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$$ $${\displaystyle z=x^{2}}$$ ${\displaystyle b\rightarrow \infty }$

Кривизна

Эллиптический параболоид, параметризованный просто как имеющий гауссову кривизну и среднюю кривизну , которые обе всегда положительны, имеет максимум в начале координат, становится меньше по мере удаления точки на поверхности от начала координат и асимптотически стремится к нулю, когда указанная точка бесконечно удаляется от начала координат. $${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle K(u,v)={\frac {4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$$ $${\displaystyle H(u,v)={\frac {a^{2}+b^{2}+{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}}$$

Гиперболический параболоид ^[2] при параметризации имеет гауссову кривизну и среднюю кривизну $${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}-{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$$ $${\displaystyle H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}.}$$

Геометрическое изображение таблицы умножения

Если гиперболический параболоид повернуть на угол ⁠ $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$$π/4⁠ в направлении + z (согласно правилу правой руки ) результатом является поверхность, и если a = b , то это упрощается до Наконец, полагая a = √ 2 , мы видим, что гиперболический параболоид конгруэнтен поверхности так сказать, трехмерную номограмму ) таблицы умножения . $${\displaystyle z=\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}\right)+xy\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle z={\frac {2xy}{a^{2}}}.}$$ $${\displaystyle z={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}.}$$ $${\displaystyle z=xy}$$

Две параболоидальные функции R ² → R и являются гармонически сопряженными и вместе образуют аналитическую функцию , которая является аналитическим продолжением параболической функции R → R f ( x ) = ⁠ $${\displaystyle z_{1}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}}$$ $${\displaystyle z_{2}(x,y)=xy}$$ $${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{2}}=f(x+yi)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)}$$х ²/2⁠ .

Размеры параболоидной тарелки

Размеры симметричной параболоидной тарелки связаны уравнением , где F — фокусное расстояние, D — глубина тарелки (измеренная вдоль оси симметрии от вершины до плоскости обода), а R — радиус обода. Все они должны быть в одной и той же единице длины . Если известны две из этих трех длин, это уравнение можно использовать для расчета третьей. $${\displaystyle 4FD=R^{2},}$$

Для нахождения диаметра тарелки, измеренного вдоль ее поверхности , требуется более сложный расчет . Иногда его называют «линейным диаметром», и он равен диаметру плоского круглого листа материала, обычно металла, который имеет правильный размер для резки и изгиба для изготовления тарелки. Для расчета полезны два промежуточных результата: P = 2 F (или эквивалент: P = ⁠Р ²/2 Д⁠ ) ​​и Q = √ P ² + R ² , где F , D , и R определены как указано выше. Диаметр тарелки, измеренный вдоль поверхности, затем определяется как , где ln x означает натуральный логарифм x, т.е. его логарифм по основанию e . $${\displaystyle {\frac {RQ}{P}}+P\ln \left({\frac {R+Q}{P}}\right),}$$

Объем тарелки, количество жидкости, которое она могла бы вместить, если бы ее ободок был горизонтальным, а вершина находилась внизу (например, емкость параболоидального вока ), определяется по формуле , где символы определены, как указано выше. Это можно сравнить с формулами для объемов цилиндра ( π R 2 ^D ) , полушария ( ⁠ $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}R^{2}D,}$$2π/3⁠ R ² D , где D = R ), и конус ( ⁠π/3⁠ R ² D ). π R ² — площадь апертуры тарелки, площадь, заключенная в ободок, которая пропорциональна количеству солнечного света, которое может перехватить отражающая тарелка. Площадь поверхности параболической тарелки можно найти с помощью формулы площади для поверхности вращения , которая дает $${\displaystyle A={\frac {\pi R\left({\sqrt {(R^{2}+4D^{2})^{3}}}-R^{3}\right)}{6D^{2}}}.}$$

Смотрите также

• Математический портал

• Эллипсоид  – квадратичная поверхность, которая выглядит как деформированная сфера.
• Гиперболоид  – Неограниченная квадратичная поверхность
• Параболический громкоговоритель  – динамик параболической формы, создающий когерентные плоские волны.
• Параболический отражатель  – отражатель, имеющий форму параболоида.

Ссылки

1. Томас, Джордж Б.; Морис Д. Вейр; Джоэл Хасс ; Фрэнк Р. Джордиано (2005). Исчисление Томаса, 11-е изд . Pearson Education, Inc., стр. 892. ISBN 0-321-18558-7.
2. Weisstein, Eric W. "Гиперболический параболоид". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicParaboloid.html
3. Томас, Джордж Б.; Морис Д. Вейр; Джоэл Хасс; Фрэнк Р. Джордиано (2005). Исчисление Томаса, 11-е изд . Pearson Education, Inc., стр. 896. ISBN 0-321-18558-7.
4. Зилл, Деннис Г.; Райт, Уоррен С. (2011), Исчисление: Ранние трансцендентали, Jones & Bartlett Publishers, стр. 649, ISBN 9781449644482.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с параболоидом на Wikimedia Commons