В физике преобразования Лоренца представляют собой шестипараметрическое семейство линейных преобразований из системы координат в пространстве-времени в другую систему координат, которая движется с постоянной скоростью относительно первой. Соответствующее обратное преобразование затем параметризуется отрицательным значением этой скорости. Преобразования названы в честь голландского физика Хендрика Лоренца .
Наиболее распространенная форма преобразования, параметризованная реальной константой, представляющей скорость, ограниченную направлением x , выражается как [1] [2]
Выражение скорости как эквивалентной формы преобразования имеет вид [3]
Системы отсчета можно разделить на две группы: инерциальные (относительное движение с постоянной скоростью) и неинерциальные (ускоряющиеся, движущиеся по криволинейным траекториям, вращательное движение с постоянной угловой скоростью и т. д.). Термин «преобразования Лоренца» относится только к преобразованиям между инерциальными системами отсчета, обычно в контексте специальной теории относительности.
В каждой системе отсчета наблюдатель может использовать локальную систему координат (в данном контексте обычно декартовы координаты ) для измерения длин и часы для измерения временных интервалов. Событие — это то, что происходит в определенной точке пространства в определенный момент времени или, более формально, в точке пространства -времени . Преобразования связывают пространственные и временные координаты события , измеренные наблюдателем в каждом кадре. [номер 1]
Исторически эти преобразования были результатом попыток Лоренца и других объяснить, как скорость света не зависит от системы отсчета , и понять симметрию законов электромагнетизма . Преобразования позже стали краеугольным камнем специальной теории относительности .
Преобразование Лоренца является линейным преобразованием . Это может включать в себя вращение пространства; Преобразование Лоренца без вращения называется усилением Лоренца . В пространстве Минковского — математической модели пространства-времени в специальной теории относительности — преобразования Лоренца сохраняют пространственно-временной интервал между любыми двумя событиями. Это свойство является определяющим свойством преобразования Лоренца. Они описывают только преобразования, при которых пространственно-временное событие в начале координат остается фиксированным. Их можно рассматривать как гиперболическое вращение пространства Минковского. Более общий набор преобразований, который также включает в себя переводы, известен как группа Пуанкаре .
Лоренц (1892–1904) и Лармор (1897–1900), верившие в гипотезу светоносного эфира, также искали преобразование, при котором уравнения Максвелла остаются инвариантными при преобразовании из эфира в движущуюся систему отсчета. Они расширили гипотезу сокращения Фитцджеральда-Лоренца и обнаружили, что необходимо также изменить временную координату (« местное время »). Анри Пуанкаре дал физическую интерпретацию местного времени (в первом порядке по v / c , относительная скорость двух систем отсчета, нормированная на скорость света) как следствие синхронизации часов в предположении, что скорость света постоянна. в движущихся кадрах. [8] Лармор считается первым, кто понял решающее свойство замедления времени, присущее его уравнениям. [9]
В 1905 году Пуанкаре первым признал, что преобразование обладает свойствами математической группы , и назвал его в честь Лоренца. [10]
Позже в том же году Альберт Эйнштейн опубликовал то, что сейчас называется специальной теорией относительности , выведя преобразование Лоренца в предположениях принципа относительности и постоянства скорости света в любой инерциальной системе отсчета и отказавшись от механистического подхода. эфир за ненадобностью. [11]
Вывод группы преобразований Лоренца.
Событие — это то, что происходит в определенной точке пространства-времени или, в более общем смысле, в самой точке пространства-времени. В любой инерциальной системе отсчета событие задается временной координатой ct и набором декартовых координат x , y , z для указания положения в пространстве в этой системе отсчета. Нижние индексы отмечают отдельные события.
во всех инерциальных системах отсчета для событий, связанных световыми сигналами . Величина слева называется пространственно-временным интервалом между событиями a 1 = ( t 1 , x 1 , y 1 , z 1 ) и a 2 = ( t 2 , x 2 , y 2 , z 2 ) . Интервал между любыми двумя событиями, не обязательно разделенными световыми сигналами, на самом деле инвариантен, т. е. не зависит от состояния относительного движения наблюдателей в разных инерциальных системах отсчета, что показывается с помощью однородности и изотропии пространства . Таким образом, искомое преобразование должно обладать свойством, которое:
где ( t , x , y , z ) — координаты пространства-времени, используемые для определения событий в одном кадре, а ( t ’, x ’, y ’, z ’) — координаты в другом кадре. Прежде всего заметим, что ( D2 ) выполняется, если к событиям a 1 и a 2 добавляется произвольная четверка чисел b . Такие преобразования называются перемещениями пространства-времени и далее здесь не рассматриваются. Затем можно заметить, что линейное решение, сохраняющее начало более простой задачи, решает и общую задачу:
(решение, удовлетворяющее первой формуле, автоматически удовлетворяет и второй; см. поляризационное тождество ). Поиск решения более простой задачи — это всего лишь вопрос поиска в теории классических групп , сохраняющих билинейные формы различной сигнатуры. [nb 2] Первое уравнение в ( D3 ) можно записать более компактно как:
где (·, ·) относится к билинейной форме сигнатуры (1, 3) на R 4 , представленной правой формулой в ( D3 ). Альтернативное обозначение, определенное справа, называется релятивистским скалярным произведением . Пространство-время, математически рассматриваемое как R 4 , наделенное этой билинейной формой, известно как пространство Минковского M . Таким образом, преобразование Лоренца является элементом группы O(1, 3) , группы Лоренца или, для тех, кто предпочитает другую метрическую сигнатуру , O(3, 1) (также называемой группой Лоренца). [nb 3] У одного есть:
что и есть сохранение билинейной формы ( D3 ), что означает (в силу линейности Λ и билинейности формы), что ( D2 ) выполняется. Элементами группы Лоренца являются вращения , повышения и их сочетания. Если учитывать сдвиги пространства-времени, то получается неоднородная группа Лоренца или группа Пуанкаре .
Общие сведения
Отношения между координатами пространства-времени со штрихом и без штриха представляют собой преобразования Лоренца , каждая координата в одной системе отсчета является линейной функцией всех координат в другой системе отсчета, а обратные функции представляют собой обратное преобразование. В зависимости от того, как кадры движутся относительно друг друга и как они ориентированы в пространстве относительно друг друга, в уравнения преобразования входят и другие параметры, описывающие направление, скорость и ориентацию.
Преобразования, описывающие относительное движение с постоянной (равномерной) скоростью и без вращения осей пространственных координат, называются бустами Лоренца или просто бустами , а параметром преобразования является относительная скорость между кадрами. Другой основной тип преобразования Лоренца - это вращение только в пространственных координатах, подобные ускорениям являются инерционными преобразованиями, поскольку относительного движения нет, рамки просто наклонены (а не вращаются непрерывно), и в этом случае величины, определяющие вращение, являются параметры преобразования (например, представление оси-угла или углы Эйлера и т. д.). Комбинация вращения и повышения представляет собой однородное преобразование , которое преобразует начало координат обратно в начало координат.
Полная группа Лоренца O(3, 1) также содержит специальные преобразования, которые не являются ни поворотами, ни ускорениями, а скорее отражениями в плоскости, проходящей через начало координат. Можно выделить два из них; пространственная инверсия , при которой пространственные координаты всех событий меняются местами, и временная инверсия , при которой временная координата каждого события меняет знак.
Ускорения не следует путать с простыми перемещениями в пространстве-времени; в этом случае системы координат просто смещаются и относительного движения нет. Однако они также считаются симметриями, обусловленными специальной теорией относительности, поскольку они оставляют пространственно-временной интервал неизменным. Комбинация вращения с ускорением, за которым следует сдвиг пространства-времени, представляет собой неоднородное преобразование Лоренца , элемент группы Пуанкаре, которую еще называют неоднородной группой Лоренца.
Физическая формулировка повышения Лоренца
Преобразование координат
«Неподвижный» наблюдатель в системе координат F определяет события с координатами t , x , y , z . Другая система отсчета F ′ движется со скоростью v относительно F , и наблюдатель в этой «движущейся» системе отсчета F ′ определяет события с помощью координат t ′, x ′, y ′, z ′ .
Оси координат в каждом кадре параллельны ( оси x и x ' параллельны, оси y и y ' параллельны, а оси z и z ' параллельны), остаются взаимно перпендикулярными, а относительное движение происходит вдоль совпадающих xx ' оси. При t = t ′ = 0 начало обеих систем координат одинаковое: ( x, y, z ) = ( x ′, y ′, z ′) = (0, 0, 0) . Другими словами, время и положение на этом мероприятии совпадают. Если все это верно, то говорят, что системы координат находятся в стандартной конфигурации или синхронизированы .
Если наблюдатель в F записывает событие t , x , y , z , то наблюдатель в F ′ записывает это же событие с координатами [13]
Повышение Лоренца ( направление x )
где v — относительная скорость между кадрами в направлении x , c — скорость света , а
Здесь v — параметр преобразования, для данного буста это постоянное число, но может принимать непрерывный диапазон значений. В используемой здесь установке положительная относительная скорость v > 0 — это движение вдоль положительных направлений осей xx ′ , нулевая относительная скорость v = 0 — отсутствие относительного движения, а отрицательная относительная скорость v < 0 — относительное движение вдоль отрицательных направлений оси xx ' . Величина относительной скорости v не может равняться или превышать c , поэтому допускаются только субсветовые скорости — c < v < c . Соответствующий диапазон γ составляет 1 ≤ γ < ∞ .
Преобразования не определены, если v находится за пределами этих пределов. При скорости света ( v = c ) γ бесконечно, а быстрее света ( v > c ) γ — комплексное число , каждое из которых делает преобразования нефизическими. Пространственные и временные координаты являются измеримыми величинами и численно должны быть действительными числами.
В качестве активного преобразования наблюдатель в F ' замечает, что координаты события «увеличиваются» в отрицательных направлениях осей xx ' из-за - v в преобразованиях. Это имеет эквивалентный эффект системы координат F', усиленной в положительных направлениях осей xx ' , в то время как событие не меняется и просто представляется в другой системе координат, пассивное преобразование .
Обратные отношения ( t , x , y , z через t ', x ', y ', z ' ) можно найти путем алгебраического решения исходного набора уравнений. Более эффективный способ — использовать физические принципы. Здесь F ′ — «неподвижный» кадр, а F — «движущийся» кадр. Согласно принципу относительности, не существует привилегированной системы отсчета, поэтому преобразования из F ' в F должны принимать точно такую же форму, как преобразования из F в F ' . Единственное отличие состоит в том, что F движется со скоростью − v относительно F ′ (т. е. относительная скорость имеет ту же величину, но противоположно направлена). Таким образом, если наблюдатель в F ′ отмечает событие t ′, x ′, y ′, z ′ , то наблюдатель в F отмечает то же событие с координатами
Обратное усиление Лоренца ( направление x )
а значение γ остается неизменным. Этот «трюк» простого изменения направления относительной скорости с сохранением ее величины и замены штрихованных и нештрихованных переменных всегда применим к нахождению обратного преобразования каждого повышения в любом направлении.
Иногда удобнее использовать β = v / c (строчная бета ) вместо v , так что
vβ−1 < β < 1βγ
Преобразования Лоренца также можно получить способом, напоминающим круговые вращения в трехмерном пространстве, с использованием гиперболических функций . Для повышения в направлении x результаты следующие:
Повышение Лоренца ( направление x с быстротой ζ )
где ζ (строчная дзета ) — параметр, называемый быстротой (используется множество других символов, включая θ, φ, φ, η, ψ, ξ ). Учитывая сильное сходство с вращением пространственных координат в трехмерном пространстве в декартовых плоскостях xy, yz и zx, усиление Лоренца можно рассматривать как гиперболическое вращение координат пространства-времени в декартовых плоскостях xt, yt и zt. 4D пространство Минковского . Параметр ζ — это гиперболический угол поворота, аналогичный обычному углу круговых вращений. Это преобразование можно проиллюстрировать диаграммой Минковского .
Гиперболические функции возникают из разницы между квадратами времени и пространственных координат в пространственно-временном интервале, а не из суммы. Геометрическое значение гиперболических функций можно визуализировать, приняв в преобразованиях x = 0 или ct = 0 . Возводя в квадрат и вычитая результаты, можно получить гиперболические кривые постоянных значений координат, но изменяющихся ζ , что параметризует кривые по тождеству
И наоборот, оси ct и x могут быть построены для переменных координат, но постоянного ζ . Определение
осив
Сравнивая преобразования Лоренца по относительной скорости и быстроте или используя приведенные выше формулы, связи между β , γ и ζ таковы:
Взятие обратного гиперболического тангенса дает быстроту
Поскольку −1 < β < 1 , отсюда следует −∞ < ζ < ∞ . Из соотношения между ζ и β положительная быстрота ζ > 0 — это движение вдоль положительных направлений осей xx ′ , нулевая быстрота ζ = 0 — отсутствие относительного движения, а отрицательная быстрота ζ < 0 — относительное движение вдоль отрицательных направлений оси. хх ' оси.
Обратные преобразования получаются путем замены величин со штрихом и без штриха для переключения системы координат и отрицания быстроты ζ → - ζ , поскольку это эквивалентно отрицанию относительной скорости. Поэтому,
Обратное усиление Лоренца ( направление x с быстротой ζ )
Обратные преобразования можно аналогичным образом визуализировать, рассмотрев случаи, когда x ′ = 0 и ct ′ = 0 .
До сих пор преобразования Лоренца применялись к одному событию . Если есть два события, между ними существует пространственное разделение и временной интервал. Из линейности преобразований Лоренца следует , что можно выбрать два значения пространственных и временных координат, к каждому можно применить преобразования Лоренца, а затем вычесть их, чтобы получить преобразования Лоренца разностей;
где Δ ( дельта в верхнем регистре ) указывает на разницу величин; например, Δ x = x 2 − x 1 для двух значений координат x и так далее.
Эти преобразования различий , а не пространственных точек или моментов времени, полезны по ряду причин:
в расчетах и экспериментах измеряются или представляют интерес длины между двумя точками или интервалами времени (например, длина движущегося транспортного средства или время, необходимое для перемещения из одного места в другое),
преобразования скорости можно легко получить, сделав разницу бесконечно малой и разделив уравнения, и повторив процесс для преобразования ускорения,
если системы координат никогда не совпадают (т. е. не в стандартной конфигурации), и если оба наблюдателя могут договориться о событии t 0 , x 0 , y 0 , z 0 в F и t 0 ′, x 0 ′, y 0 ′ , z 0 ′ в F ′ , то они могут использовать это событие в качестве начала координат, а разности координат пространства-времени — это разности между их координатами и этим началом координат, например, Δ x = x − x 0 , Δ x ′ = x ′ − х 0 ' и т. д.
Физические последствия
Критическим требованием преобразований Лоренца является неизменность скорости света, факт, использованный при их выводе и содержащийся в самих преобразованиях. Если в F уравнение для импульса света вдоль направления x имеет вид x = ct , то в F ′ преобразования Лоренца дают x ′ = ct ′ , и наоборот, для любого − c < v < c .
Для относительных скоростей, намного меньших скорости света, преобразования Лоренца сводятся к преобразованию Галилея.
Предположим, что два события происходят вдоль оси x одновременно ( Δ t = 0 ) в F , но разделены ненулевым смещением Δ x . Затем в F ′ мы находим это , так что события больше не являются одновременными с точки зрения движущегося наблюдателя.
Предположим, что в F находятся часы в состоянии покоя . Если временной интервал измеряется в одной и той же точке этого кадра, так что Δ x = 0 , то преобразования дают этот интервал в F ′ как Δ t ′ = γ Δ t . Обратно, предположим, что в F ′ покоятся часы . Если интервал измеряется в одной и той же точке этого кадра, так что Δ x ′ = 0 , то преобразования дают этот интервал в F по формуле Δ t = γ Δ t ′ . В любом случае каждый наблюдатель измеряет временной интервал между тиканьями движущихся часов так, чтобы он был в γ раз длиннее , чем временной интервал между тиканьями его собственных часов.
Предположим, что в F находится стержень, выровненный вдоль оси x, длиной Δ x . В F ' стержень движется со скоростью - v , поэтому его длину необходимо измерить, выполнив два одновременных ( Δ t ' = 0 ) измерения на противоположных концах. В этих условиях обратное преобразование Лоренца показывает, что Δ x = γ Δ x ′ . В F два измерения больше не происходят одновременно, но это не имеет значения , поскольку стержень покоится в F. Таким образом, каждый наблюдатель измеряет расстояние между концами движущегося стержня так, чтобы оно было в 1/ γ раз короче , чем конечные точки идентичного стержня, покоящегося в его собственной системе отсчета. Сокращение длины влияет на любую геометрическую величину, связанную с длиной, поэтому с точки зрения движущегося наблюдателя площади и объемы также будут уменьшаться в направлении движения.
Векторные преобразования
Использование векторов позволяет компактно выражать положения и скорости в произвольных направлениях. Одиночный импульс в любом направлении зависит от полного вектора относительной скорости v с величиной | в | = v , который не может быть равен или превышать c , так что 0 ≤ v < c .
Изменяются только время и координаты, параллельные направлению относительного движения, а координаты, перпендикулярные, — нет. Имея это в виду, разделите вектор пространственного положения r , измеренный в F , и r ′ , измеренный в F′ , каждый на компоненты, перпендикулярные (⊥) и параллельные (‖) v ,
Вводя единичный вектор n = v / v = β / β в направлении относительного движения, относительная скорость равна v = v n с величиной v и направлением n , а векторная проекция и отклонение дают соответственно
Накопление результатов дает полные преобразования,
Повышение Лоренца ( в направлении n с величиной v )
Проекция и отклонение также применимы к r ′ . Для обратных преобразований поменяйте местами r и r ′ , чтобы переключить наблюдаемые координаты, и отмените относительную скорость v → − v (или просто единичный вектор n → − n , поскольку величина v всегда положительна), чтобы получить
Обратное усиление Лоренца ( в направлении n с величиной v )
Единичный вектор имеет то преимущество, что упрощает уравнения для одного повышения, позволяет восстановить либо v , либо β, когда это удобно, а параметризация быстроты немедленно получается путем замены β и βγ . Для многократного буста это не удобно.
Векторная связь между относительной скоростью и быстротой равна [15]
ζ0 ≤ ζ < ∞0 ≤ β < 1
Преобразование скоростей
Определение координатных скоростей и фактора Лоренца по формуле
взятие дифференциалов по координатам и времени векторных преобразований, а затем деление уравнений приводит к
Скорости u и u ′ — это скорость некоторого массивного объекта. Они также могут быть для третьей инерциальной системы отсчета (скажем F »), и в этом случае они должны быть постоянными . Обозначим любой объект через X. Тогда X движется со скоростью u относительно F или, что то же самое, со скоростью u ' относительно F', в свою очередь F' движется со скоростью v относительно F. Обратные преобразования можно получить аналогичным образом: или, как и в случае с координатами положения, поменяйте местами u и u ′ и измените v на − v .
Преобразования ускорения Лоренца можно получить аналогичным образом, взяв дифференциал векторов скорости и разделив его на дифференциал времени.
Преобразование других величин
В общем, для данных четырех величин A и Z = ( Z x , Z y , Z z ) и их усиленных по Лоренцу аналогов A ′ и Z ′ = ( Z ′ x , Z ′ y , Z ′ z ) соотношение форма
Разложение Z (и Z ′ ) на компоненты, перпендикулярные и параллельные v , точно такое же, как и для вектора положения, как и процесс получения обратных преобразований (обмен ( A , Z ) и ( A ′, Z ′) переключить наблюдаемые величины и изменить направление относительного движения на противоположное путем замены n ↦ − n ).
Величины ( A , Z ) вместе составляют четырехвектор , где A — «времяподобный компонент», а Z — «пространственноподобный компонент». Примеры A и Z следующие:
Для данного объекта (например, частицы, жидкости, поля, материала), если A или Z соответствуют свойствам, специфичным для объекта, таким как его плотность заряда , плотность массы , спин и т. д., его свойства могут быть зафиксированы в системе покоя этот объект. Тогда преобразования Лоренца придают соответствующие свойства в системе отсчета, движущейся относительно объекта с постоянной скоростью. Это нарушает некоторые представления, которые считаются само собой разумеющимися в нерелятивистской физике. Например, энергия E объекта является скаляром в нерелятивистской механике, но не в релятивистской механике, поскольку энергия изменяется при преобразованиях Лоренца; ее значение различно для различных инерциальных систем отсчета. В системе покоя объекта он имеет энергию покоя и нулевой импульс. В усиленном кадре его энергия другая, и кажется, что он имеет импульс. Точно так же в нерелятивистской квантовой механике спин частицы является постоянным вектором, но в релятивистской квантовой механике спин s зависит от относительного движения. В системе покоя частицы псевдовектор спина может быть зафиксирован как ее обычный нерелятивистский спин с нулевой времениподобной величиной st , однако усиленный наблюдатель будет воспринимать ненулевой времениподобный компонент и измененный спин. [16]
Не все величины инвариантны в форме, показанной выше, например, орбитальный угловой момент L не имеет времениподобной величины, равно как и электрическое поле E , и магнитное поле B. Определение углового момента: L = r × p , а в усиленной системе отсчета измененный угловой момент равен L ′ = r ′ × p ′ . Применение этого определения с использованием преобразований координат и импульса приводит к преобразованию углового момента. Оказывается, L преобразуется с другой векторной величиной N = ( E / c 2 ) r − t p , связанной с наддувом, подробности см. в релятивистском угловом моменте . В случае полей E и B преобразования невозможно получить непосредственно с помощью векторной алгебры. Сила Лоренца является определением этих полей, и в F это F = q ( E + v × B ) , а в F ′ это F ′ = q ( E ′ + v ′ × B ′) . Метод эффективного получения преобразований электромагнитного поля, который также иллюстрирует единицы измерения электромагнитного поля, использует тензорную алгебру, приведенную ниже.
Математическая формулировка
Везде заглавные буквы, выделенные курсивом и нежирные, представляют собой матрицы 4×4, а буквы, выделенные не курсивом, — это матрицы 3×3.
Однородная группа Лоренца
Запись координат в вектор-столбцах и метрики Минковского η в виде квадратной матрицы
Множество всех преобразований Лоренца в этой статье обозначается . Этот набор вместе с умножением матриц образует группу , в данном контексте известную как группа Лоренца . Кроме того, приведенное выше выражение X · X представляет собой квадратичную форму сигнатуры (3,1) в пространстве-времени, а группа преобразований, которая оставляет эту квадратичную форму инвариантной, представляет собой неопределенную ортогональную группу O(3,1), группу Ли . Другими словами, группа Лоренца равна O(3,1). Как представлено в этой статье, любые упомянутые группы Ли являются матричными группами Ли . В этом контексте операция композиции сводится к умножению матриц .
Из инвариантности пространственно-временного интервала следует
Записав метрику Минковского в виде блочной матрицы, а преобразование Лоренца в самом общем виде:
Γ, a , b , M
b T b ≥ 0
Отрицательное неравенство может быть неожиданным, поскольку Γ умножает временную координату, и это влияет на временную симметрию . Если выполнено положительное равенство, то Γ является фактором Лоренца.
Определитель и неравенство обеспечивают четыре способа классификации преобразований Лоренца ( здесь для краткости LT ) . Любая конкретная ЛП имеет только один знак определителя и только одно неравенство. Существует четыре набора, которые включают в себя все возможные пары, заданные пересечениями ( «n»-образный символ, означающий «и») этих классифицирующих наборов.
где «+» и «-» обозначают знак определителя, а «↑» для ≥ и «↓» для ≤ обозначают неравенства.
Подгруппа группы должна быть замкнута той же операцией группы (здесь умножение матриц). Другими словами, для двух преобразований Лоренца Λ и L из конкретной подгруппы составные преобразования Лоренца Λ L и L Λ должны находиться в той же подгруппе, что и Λ и L . Это не всегда так: композиция двух антихронных преобразований Лоренца ортохронна, а композиция двух несобственных преобразований Лоренца — собственная. Другими словами, хотя множества , , и все образуют подгруппы, множества, содержащие несобственные и/или антихронные преобразования без достаточного количества правильных ортохронных преобразований (например , , ), не образуют подгруппы.
Правильные преобразования
Если ковариантный 4-вектор Лоренца измеряется в одной инерциальной системе отсчета с результатом , а то же измерение, выполненное в другой инерциальной системе отсчета (с той же ориентацией и началом координат), дает результат , эти два результата будут связаны соотношением
[17]
где – величина скорости, – фактор Лоренца. Эта формула представляет собой пассивное преобразование, поскольку описывает, как координаты измеряемой величины изменяются от незаштрихованной системы к штрихованной системе координат. Активное преобразование определяется выражением .
Если кадр F ' увеличивается со скоростью u относительно кадра F , а другой кадр F ' увеличивается со скоростью v относительно F ' , то отдельные повышения будут
Если u и v не коллинеарны, а направлены в разные стороны, ситуация существенно усложняется. Повышение Лоренца по разным направлениям не коммутирует: B ( v ) B ( u ) и B ( u ) B ( v ) не равны. Хотя каждая из этих композиций не является единичным повышением, каждая композиция по-прежнему является преобразованием Лоренца, поскольку сохраняет пространственно-временной интервал. Оказывается, композиция любых двух усилений Лоренца эквивалентна усилению, за которым или которому предшествует вращение пространственных координат в форме R ( ρ ) B ( w ) или B ( w ) R ( ρ ) . w и w — составные скорости , а ρ и ρ — параметры вращения (например, переменные оси -угла , углы Эйлера и т. д.). Вращение в форме блочной матрицы просто
В этой статье для ρ используется представление оси-угла . Вращение происходит вокруг оси в направлении единичного вектора e на угол θ (положительный против часовой стрелки, отрицательный по часовой стрелке, согласно правилу правой руки ). «Вектор оси-угла»
Сами по себе пространственные вращения также являются преобразованиями Лоренца, поскольку они оставляют пространственно-временной интервал неизменным. Как и ускорения, последовательные вращения вокруг разных осей не коммутируют. В отличие от усилений, комбинация любых двух вращений эквивалентна одному вращению. Некоторые другие сходства и различия между матрицами повышения и вращения включают в себя:
обратные : B ( v ) −1 = B (- v ) (относительное движение в противоположном направлении) и R ( θ ) −1 = R (- θ ) (вращение в противоположном направлении вокруг той же оси)
Наиболее общее правильное преобразование Лоренца Λ( v , θ ) включает в себя одновременно повышение и вращение и является несимметричной матрицей. В особых случаях Λ( 0 , θ ) = R ( θ ) и Λ ( v , 0 ) = B ( v ) . Явный вид общего преобразования Лоренца записывать громоздко и здесь приводиться не будет. Тем не менее, выражения в замкнутой форме для матриц преобразования будут приведены ниже с использованием теоретико-групповых аргументов. Будет проще использовать параметризацию быстроты для повышения, и в этом случае пишут Λ( ζ , θ ) и B ( ζ ) .
Для простоты рассмотрим бесконечно малое усиление Лоренца в направлении x (исследование повышения в любом другом направлении или вращения вокруг любой оси следует идентичной процедуре). Бесконечно малое повышение - это небольшое повышение, отличающееся от идентичности, полученное путем разложения Тейлора матрицы повышения до первого порядка относительно ζ = 0 ,
На данный момент K x определяется этим результатом (его значение будет объяснено позже). В пределе бесконечного числа бесконечно малых шагов получается конечное преобразование буста в виде матричной экспоненты.
Вектор оси-угла θ и вектор быстроты ζ представляют собой шесть непрерывных переменных, которые составляют параметры группы (в этом конкретном представлении), а генераторы группы — K = ( K x , K y , K z ) и J = ( J x , J y , J z ) , каждые векторы матриц с явными формами [nb 6]
Все они определяются аналогично K x выше, хотя знаки минус в повышающих генераторах являются обычными. Физически генераторы группы Лоренца соответствуют важным симметриям в пространстве-времени: J — генераторы вращения , соответствующие угловому моменту , а K — буст-генераторы , соответствующие движению системы в пространстве-времени. Производная любой гладкой кривой C ( t ) с C (0) = I в группе, зависящей от некоторого параметра группы t относительно этого параметра группы, оцененного при t = 0 , служит определением соответствующего генератора группы G , и это отражает бесконечно малую трансформацию от идентичности. Гладкую кривую всегда можно рассматривать как экспоненту, поскольку экспонента всегда плавно отображает G обратно в группу через t → exp( tG ) для всех t ; эта кривая снова даст G при дифференцировании при t = 0 .
Разложение экспонент в ряд Тейлора дает
Было заявлено, что общее собственное преобразование Лоренца является продуктом ускорения и вращения. На бесконечно малом уровне произведение
( θ · J )( ζ · K )( ζ · K )( θ · J )
Обратное также верно, но разложение конечного общего преобразования Лоренца на такие множители нетривиально. В частности,
Генераторы Лоренца можно складывать или умножать на действительные числа, чтобы получить больше генераторов Лоренца. Другими словами, совокупность всех генераторов Лоренца
Эти коммутационные отношения и векторное пространство образующих соответствуют определению алгебры Ли . Таким образом, алгебра Ли определяется как векторное пространство V над полем чисел и с бинарной операцией [ , ] (в данном контексте называемой скобкой Ли ) над элементами векторного пространства, удовлетворяющей аксиомам билинейности , альтернация и тождество Якоби . Здесь операция [, ] — это коммутатор, который удовлетворяет всем этим аксиомам, векторное пространство — это набор генераторов Лоренца V , как указано ранее, а поле — это набор действительных чисел.
Связь терминологии, используемой в математике и физике: Генератор группы — это любой элемент алгебры Ли. Групповой параметр — это компонента координатного вектора, представляющая произвольный элемент алгебры Ли относительно некоторого базиса. Таким образом, базис — это набор образующих, являющийся базисом алгебры Ли в обычном смысле векторного пространства.
Экспоненциальное отображение алгебры Ли в группу Ли,
Если Λ — собственное ортохронное преобразование Лоренца, то T Λ — несобственное антихронное, P Λ — несобственное ортохронное и TP Λ = PT Λ — собственное антихронное.
Неоднородная группа Лоренца
Две другие пространственно-временные симметрии не были учтены. Для того чтобы пространственно-временной интервал был инвариантным, можно показать [18], что необходимо и достаточно, чтобы преобразование координат имело вид
где нижние и верхние индексы обозначают ковариантные и контравариантные компоненты соответственно, [21] и применяется соглашение о суммировании . Стандартным соглашением является использование греческих индексов, которые принимают значение 0 для компонентов времени и 1, 2, 3 для компонентов пространства, тогда как латинские индексы просто принимают значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов (противоположное для Ландау и Лифшиц). Обратите внимание, что первый индекс (читается слева направо) соответствует в матричном обозначении индексу строки . Второй индекс соответствует индексу столбца.
Матрица преобразования универсальна для всех четырехвекторов , а не только для четырехмерных координат пространства-времени. Если A — любой четырехвектор, то в тензорных индексных обозначениях
Существуют также векторные величины с ковариантными индексами. Они обычно получаются из соответствующих им объектов с контравариантными индексами посредством операции понижения индекса ; например,
То есть это ( μ , ν ) -компонента обратного преобразования Лоренца. Определяют (в виде обозначений),
Теперь тонкость. Подразумеваемое суммирование в правой части
индекс строкиΛ −1обратную транспозициюдействующуюA µ
Это означает, что ковариантные векторы (считающиеся матрицами-столбцами) преобразуются в соответствии с двойственным представлением стандартного представления группы Лоренца. Это понятие обобщается на общие представления, просто замените Λ на Π(Λ) .
Тензоры
Если A и B — линейные операторы в векторных пространствах U и V , то линейный оператор A ⊗ B может быть определен на тензорном произведении U и V , обозначенном U ⊗ V согласно [22 ]
(Т1)
Отсюда сразу ясно, что если u и v — четырехвекторы в V , то u ⊗ v ∈ T 2 V ≡ V ⊗ V преобразуется как
(Т2)
На втором этапе используется билинейность тензорного произведения, а на последнем шаге определяется 2-тензор на компонентной форме, или, скорее, он просто переименовывает тензор u ⊗ v .
Эти наблюдения очевидным образом обобщаются на большее количество факторов, и, используя тот факт, что общий тензор в векторном пространстве V можно записать как сумму коэффициентов (компонент!), умноженных на тензорные произведения базисных векторов и базисных ковекторов, можно прийти к закон преобразования для любой тензорной величины T . Оно определяется [23]
(Т3)
где Λ χ' ψ определено выше. Эту форму обычно можно свести к форме для общих n -компонентных объектов, приведенной выше, с одной матрицей ( Π(Λ) ), работающей с векторами-столбцами. Эта последняя форма иногда предпочтительнее; например, для тензора электромагнитного поля.
Преобразование электромагнитного поля
Преобразования Лоренца также можно использовать, чтобы проиллюстрировать, что магнитное поле B и электрическое поле E являются просто разными аспектами одной и той же силы — электромагнитной силы , как следствие относительного движения между электрическими зарядами и наблюдателями. [24] Тот факт, что электромагнитное поле проявляет релятивистские эффекты, становится ясным при проведении простого мысленного эксперимента. [25]
Наблюдатель измеряет заряд в состоянии покоя в системе отсчета F. Наблюдатель обнаружит статическое электрическое поле. Поскольку заряд в этой системе координат неподвижен, электрический ток отсутствует, поэтому наблюдатель не наблюдает никакого магнитного поля.
Другой наблюдатель в системе F 'движется со скоростью v относительно F и заряда. Этот наблюдатель видит другое электрическое поле, потому что заряд движется со скоростью − v в системе покоя. Движение заряда соответствует электрическому току , поэтому наблюдатель в системе F' также видит магнитное поле.
Электрические и магнитные поля трансформируются иначе, чем пространство и время, но точно так же, как релятивистский угловой момент и вектор ускорения.
Тензор напряженности электромагнитного поля имеет вид
Здесь используется β = ( β , 0, 0) . Эти результаты можно обобщить
E → E ⁄ c3 + 1,геометрического представления
3 + 1любомпространстве-временипространствевремениEB(T1)(T2)(T3)и тому же событию в пространстве-времени
Сокращение длины влияет на плотность заряда ρ и плотность тока J , а замедление времени влияет на скорость потока заряда (тока), поэтому распределения заряда и тока должны соответствующим образом трансформироваться при повышении напряжения. Оказывается, они трансформируются точно так же, как четыре вектора пространства-времени и энергии-импульса:
или, в более простом геометрическом представлении,
Плотность заряда преобразуется как временная составляющая четырехвектора. Это вращательный скаляр. Плотность тока является 3-векторной.
Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца.
Спиноры
Уравнение (T1) остается неизменным для любого представления группы Лоренца, включая биспинорное представление. В (T2) все вхождения Λ просто заменяются биспинорным представлением Π(Λ) ,
(Т4)
Приведенное выше уравнение могло бы, например, представлять собой преобразование состояния в пространстве Фока, описывающее два свободных электрона.
Трансформация общих полей
Общее невзаимодействующее многочастичное состояние (состояние пространства Фока) в квантовой теории поля преобразуется по правилу [28]
где W (Λ, p ) — вращение Вигнера , а D ( j ) — (2 j + 1) -мерное представление SO(3) .
^ Можно представить, что в каждой инерциальной системе отсчета есть наблюдатели, расположенные в пространстве, каждый из которых имеет синхронизированные часы и находится в состоянии покоя в определенной инерциальной системе отсчета. Эти наблюдатели затем отчитываются в центральный офис, где собираются все отчеты. Когда говорят о конкретном наблюдателе, имеется в виду тот, кто имеет, по крайней мере в принципе, копию этого отчета. См., например, Сард (1970).
^ Отдельные требования трех уравнений приводят к трем различным группам. Второе уравнение удовлетворяется для сдвигов пространства-времени в дополнение к преобразованиям Лоренца, приводящим к группе Пуанкаре или неоднородной группе Лоренца . Первое уравнение (или второе, ограниченное светоподобным разделением) приводит к еще большей группе — конформной группе пространства-времени.
^ Группы O(3, 1) и O(1, 3) изоморфны. Широко распространено мнение, что выбор между двумя метрическими сигнатурами не имеет физического значения, хотя некоторые объекты, относящиеся к O(3, 1) и O(1, 3) соответственно, например, алгебры Клиффорда , соответствующие различным сигнатурам метрики, билинейные формы, связанные с двумя группами, неизоморфны.
^ Для двух квадратных матриц A и B det ( AB ) = det( A )det( B )
^ До сих пор термин «вектор» относился исключительно к « евклидову вектору », примерами являются положение r , скорость v и т. д. Термин «вектор» применяется гораздо шире, чем евклидовы векторы, векторы-строки или столбцы и т. д., см. Линейный алгебра и векторное пространство для деталей. Генераторы группы Ли также образуют векторное пространство над полем чисел (например, действительных чисел , комплексных чисел ), поскольку линейная комбинация генераторов также является генератором. Они просто живут в другом пространстве, чем векторы положения в обычном трехмерном пространстве.
^ В обычном трехмерном позиционном пространстве вектор положения r = x e x + y e y + z e z выражается как линейная комбинация декартовых единичных векторов e x , e y , e z , которые образуют базис, и декартовых координаты x, y, z являются координатами относительно этого базиса.
Примечания
^ Рао, К.Н. Шриниваса (1988). Группы вращения и Лоренца и их представления для физиков (иллюстрированное издание). Джон Уайли и сыновья. п. 213. ИСБН 978-0-470-21044-4.Уравнение 6-3.24, стр. 210
^ Форшоу и Смит, 2009 г.
^ Коттингем и Гринвуд 2007, с. 21
^ Лоренц 1904 г.
^ О'Коннор и Робертсон, 1996 г.
^ Браун 2003
^ Ротман 2006, стр. 112f.
^ Дарригол 2005, стр. 1–22.
^
Макроссан 1986, стр. 232–34.
^ Ссылка находится в следующей статье: Пуанкаре 1905, стр. 1504–1508.
^ Эйнштейн 1905, стр. 891–921.
^ Янг и Фридман, 2008 г.
^ Форшоу и Смит, 2009 г.
^ Эйнштейн 1916 г.
^ Барут 1964, с. 18–19
^ Чайчян и Хагедорн 1997, с. 239
^ Фурри, WH (11 ноября 1955 г.). «Преобразование Лоренца и прецессия Томаса». Американский журнал физики . 23 (8): 517–525. Бибкод : 1955AmJPh..23..517F. дои : 10.1119/1.1934085. ISSN 0002-9505.
О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1996), История специальной теории относительности
Браун, Харви Р. (2003), Майкельсон, Фитцджеральд и Лоренц: новый взгляд на истоки теории относительности
Статьи
Кушинг, Дж. Т. (1967). «Векторные преобразования Лоренца». Американский журнал физики . 35 (9): 858–862. Бибкод : 1967AmJPh..35..858C. дои : 10.1119/1.1974267.
Макфарлейн, Эй Джей (1962). «Об ограниченной группе Лоренца и гомоморфно связанных с ней группах». Журнал математической физики . 3 (6): 1116–1129. Бибкод : 1962JMP.....3.1116M. дои : 10.1063/1.1703854. hdl : 2027/mdp.39015095220474 .
Ротман, Тони (2006), «Затерянные в тени Эйнштейна» (PDF) , American Scientist , 94 (2): 112f
Дарригол, Оливье (2005), «Происхождение теории относительности» (PDF) , Séminaire Poincaré , 1 : 1–22, Бибкод : 2006eins.book....1D, doi : 10.1007/3-7643-7436- 5_1, ISBN 978-3-7643-7435-8
Макроссан, Майкл Н. (1986), «Заметки об относительности до Эйнштейна», Бр. Дж. Филос. наук. , 37 (2): 232–34, CiteSeerX 10.1.1.679.5898 , doi :10.1093/bjps/37.2.232, заархивировано из оригинала 29 октября 2013 г. , получено 2 апреля 2007 г.
Пуанкаре, Анри (1905), «О динамике электрона» , Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences , 140 : 1504–1508.
Эйнштейн, Альберт (1905), «Zur Elektrodynamik bewegter Körper» (PDF) , Annalen der Physik , 322 (10): 891–921, Бибкод : 1905AnP...322..891E, doi : 10.1002/andp.19053221004. См. также: английский перевод.
Лоренц, Хендрик Антон (1904). «Электромагнитные явления в системе, движущейся со скоростью, меньшей скорости света» . Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук . 6 : 809–831.
Эйнштейн, А. (1916). Теория относительности: специальная и общая теория . Проверено 23 января 2012 г. Эйнштейн, А. (1916). Теория относительности: специальная и общая теория. Нью-Йорк: Three Rivers Press (опубликовано в 1995 г.). ISBN 978-0-517-88441-6– через Справочный архив Альберта Эйнштейна.
Унгар, А.А. (1988). «Вращение Томаса и параметризация группы преобразований Лоренца». Основы физики письма . 1 (1): 55–89. Бибкод : 1988FoPhL...1...57U. дои : 10.1007/BF00661317. ISSN 0894-9875. S2CID 121240925.уравнение (55).
Унгар, А.А. (1989). «Парадокс релятивистского скоростного состава и вращение Томаса». Основы физики . 19 (11): 1385–1396. Бибкод : 1989FoPh...19.1385U. дои : 10.1007/BF00732759. S2CID 55561589.
Унгар, А.А. (2000). «Релятивистский принцип взаимности составных скоростей». Основы физики . 30 (2): 331–342. CiteSeerX 10.1.1.35.1131 . дои : 10.1023/А: 1003653302643. S2CID 118634052.
Мокану, CI (1986). «Некоторые трудности в рамках релятивистской электродинамики». Архив электротехники . 69 (2): 97–110. дои : 10.1007/bf01574845. S2CID 123543303.
Мокану, CI (1992). «О парадоксе релятивистского скоростного состава и вращении Томаса». Основы физики . 5 (5): 443–456. Бибкод : 1992FoPhL...5..443M. дои : 10.1007/bf00690425. S2CID 122472788.
Барут, Асим Орхан (1964). Электродинамика и классическая теория полей и частиц. Макмиллан. ISBN 978-0-486-64038-9.
Деннери, Филипп; Кшивицкий, Андре (2012). Математика для физиков. Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-15712-2.
Коттингем, Западная Нью-Йорк; Гринвуд, Д.А. (2007). Введение в стандартную модель физики элементарных частиц (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-139-46221-1.
Янг, HD; Фридман, РА (2008). Университетская физика - с современной физикой (12-е изд.). Пирсон Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-50130-1.
Халперн, А. (1988). 3000 решенных задач по физике . Серия Шаум. Мак Грау Хилл. п. 688. ИСБН 978-0-07-025734-4.
Форшоу, младший; Смит, АГ (2009). Динамика и относительность . Манчестерская серия по физике. John Wiley & Sons Ltd., стр. 124–126. ISBN 978-0-470-01460-8.
Кэрролл, С.М. (2004). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности (иллюстрированное издание). Эддисон Уэсли. п. 22. ISBN 978-0-8053-8732-2.
Грант, И.С.; Филлипс, WR (2008). «14». Электромагнетизм . Манчестерская физика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-92712-9.
Сард, Р.Д. (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN 978-0805384918.
Сексл, RU; Урбантке, Гонконг (2001) [1992]. Теория относительности, Группы частиц. Специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и элементарных частиц. Спрингер. ISBN 978-3211834435.
Гургульон, Эрик (2013). Специальная теория относительности в общих рамках: от частиц к астрофизике. Спрингер. п. 213. ИСБН 978-3-642-37276-6.
Чайчян, Масуд; Хагедорн, Рольф (1997). Симметрия в квантовой механике: От углового момента к суперсимметрии. ИоП. п. 239. ИСБН 978-0-7503-0408-5.
Эрнст, А.; Сюй, Ж.-П. (2001), «Первое предложение Фойгта 1887 года об универсальной скорости света» (PDF) , Китайский журнал физики , 39 (3): 211–230, Бибкод : 2001ChJPh..39..211E, заархивировано из оригинала ( PDF) от 16 июля 2011 г.
Торнтон, Стивен Т.; Мэрион, Джерри Б. (2004), Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.), Бельмонт, [Калифорния]: Brooks/Cole, стр. 546–579, ISBN 978-0-534-40896-1
Фойгт, Вольдемар (1887), «Über das Doppler'sche princip», Nachrichten von der Königlicher Gesellschaft den Wissenschaft zu Göttingen , 2 : 41–51
Внешние ссылки
В Wikisource есть оригинальные работы на тему: Относительность.
В Wikibooks есть книга на тему: специальная теория относительности.
В Викиверситете есть учебные ресурсы о преобразованиях Лоренца.
Вывод преобразований Лоренца. Эта веб-страница содержит более подробный вывод преобразования Лоренца с особым акцентом на групповые свойства.
Парадокс специальной теории относительности. Эта веб-страница представляет проблему, решением которой является преобразование Лоренца, графически представленное на следующей странице.
Относительность. Архивировано 29 августа 2011 г. в Wayback Machine - глава из онлайн-учебника.
Симулятор специальной теории относительности Warp. Компьютерная программа, демонстрирующая преобразования Лоренца на предметах повседневного обихода.
Анимационный клип на YouTube , визуализирующий преобразование Лоренца.
Видео MinutePhysics на YouTube, объясняющее и визуализирующее преобразование Лоренца с помощью механической диаграммы Минковского.
Интерактивный график на Desmos (график), показывающий преобразования Лоренца с виртуальной диаграммой Минковского
Интерактивный график на Desmos, показывающий преобразования Лоренца с точками и гиперболами.
Кадры Лоренца, анимация Джона де Пиллиса. Онлайн Flash-анимации систем Галилея и Лоренца, различных парадоксов, явлений ЭМ-волн и т. д .