Релятивистский угловой момент

Угловой момент в специальной и общей теории относительности

В физике релятивистский угловой момент относится к математическим формализмам и физическим концепциям, которые определяют угловой момент в специальной теории относительности (СТО) и общей теории относительности (ОТО). Релятивистская величина слегка отличается от трехмерной величины в классической механике .

Угловой момент — важная динамическая величина, зависящая от положения и импульса. Это мера вращательного движения объекта и сопротивления изменениям его вращения. Кроме того, точно так же, как сохранение импульса соответствует трансляционной симметрии, сохранение углового момента соответствует вращательной симметрии - связь между симметриями и законами сохранения осуществляется теоремой Нётер . Хотя эти концепции были первоначально открыты в классической механике , они также верны и важны в специальной и общей теории относительности. С точки зрения абстрактной алгебры, инвариантность углового момента, четырехимпульса и других симметрий в пространстве-времени описывается группой Лоренца или, в более общем смысле, группой Пуанкаре .

Физические величины , которые остаются отдельными в классической физике, естественным образом объединяются в СТО и ОТО, обеспечивая соблюдение постулатов относительности. В частности, координаты пространства и времени объединяются в четыре позиции , а энергия и импульс объединяются в четыре позиции . Компоненты этих четырехвекторов зависят от используемой системы отсчета и при преобразованиях Лоренца изменяются в другие инерциальные или ускоренные системы отсчета .

Релятивистский угловой момент менее очевиден. Классическое определение углового момента — это векторное произведение положения x на импульс p для получения псевдовектора x × p или, альтернативно, как внешнее произведение для получения антисимметричного тензора второго порядка x ∧ p . С чем это сочетается, если что-нибудь? Существует еще одна векторная величина, которая не часто обсуждается – это изменяющийся во времени момент полярного вектора массы ( а не момент инерции ), связанный с ускорением центра масс системы, и он сочетается с классическим псевдовектором углового момента. образовать антисимметричный тензор второго порядка точно так же, как полярный вектор электрического поля объединяется с псевдовектором магнитного поля, образуя антисимметричный тензор электромагнитного поля. Для вращающихся распределений массы и энергии (таких как гироскопы , планеты , звезды и черные дыры ) вместо точечных частиц тензор углового момента выражается через тензор энергии-напряжения вращающегося объекта.

Только в специальной теории относительности в системе покоя вращающегося объекта существует собственный угловой момент, аналогичный «спину» в квантовой механике и релятивистской квантовой механике , но для протяженного тела, а не для точечной частицы. В релятивистской квантовой механике элементарные частицы имеют спин , и это является дополнительным вкладом в оператор орбитального углового момента, что дает оператор тензора полного углового момента. В любом случае собственная «спиновая» добавка к орбитальному угловому моменту объекта может быть выражена через псевдовектор Паули – Любанского . ^[1]

Определения

3-угловой момент как бивектор (плоский элемент) и аксиальный вектор частицы массы m с мгновенным 3-положением x и 3-импульсом p .

Орбитальный 3D угловой момент

Для справки и справки приведены две тесно связанные формы углового момента.

В классической механике _{орбитальный} угловой момент частицы с мгновенным трехмерным вектором положения x = ( x , y , z ) и вектором импульса p = ( p _x , py , p _z ) определяется как аксиальный вектор

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$$

циклическими перестановкамиxyyzzx

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}&=yp_{z}-zp_{y}\,,\\L_{y}&=zp_{x}-xp_{z}\,,\\L_{z}&=xp_{y}-yp_{x}\,.\end{aligned}}}$$

Родственное определение состоит в том, чтобы рассматривать орбитальный угловой момент как плоский элемент . Этого можно добиться, заменив векторное произведение внешним произведением на языке внешней алгебры , и угловой момент станет контравариантным антисимметричным тензором второго порядка ^[2]

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} }$$

или записывая x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = ( x , y , z ) и вектор импульса p = ( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) = ( p _x , p _y , p _z ) , компоненты можно компактно сократить в обозначениях тензорного индекса

$${\displaystyle L^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}}$$

ijантисимметричной матрице 3 × 3.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &={\begin{pmatrix}L^{11}&L^{12}&L^{13}\\L^{21}&L^{22}&L^{23}\\L^{31}&L^{32}&L^{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&L_{xz}\\L_{yx}&0&L_{yz}\\L_{zx}&L_{zy}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&-L_{zx}\\-L_{xy}&0&L_{yz}\\L_{zx}&-L_{yz}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&xp_{y}-yp_{x}&-(zp_{x}-xp_{z})\\-(xp_{y}-yp_{x})&0&yp_{z}-zp_{y}\\zp_{x}-xp_{z}&-(yp_{z}-zp_{y})&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Эта величина аддитивна, и для изолированной системы сохраняется полный момент импульса системы.

Динамический момент массы

В классической механике трехмерная величина для частицы массы m , движущейся со скоростью u ^{[2] [3]}

$${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {u} \right)=m\mathbf {x} -t\mathbf {p} }$$

размерымассымассt = 0лабораторных условияхμNпреобразование Галилея

Этот вектор также аддитивен: для системы частиц векторная сумма есть результирующая

$${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {N} _{n}=\sum _{n}m_{n}\left(\mathbf {x} _{n}-t\mathbf {u} _{n}\right)=\left(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }\sum _{n}m_{n}-t\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}\right)=M_{\text{tot}}(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }-\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }t)}$$

где положение центра масс

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {x} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]M_{\text{tot}}&=\sum _{n}m_{n}.\end{aligned}}}$$

Для изолированной системы N сохраняется во времени, в чем можно убедиться, дифференцируя по времени. Угловой момент L является псевдовектором, но N является «обычным» (полярным) вектором и поэтому инвариантен относительно инверсии.

Результирующее значение N _tot для многочастичной системы имеет физическое представление о том, что каким бы сложным ни было движение всех частиц, они движутся таким образом, что СОМ системы движется по прямой линии. Это не обязательно означает, что все частицы «следуют» за COM или что все частицы одновременно движутся почти в одном направлении, а лишь то, что коллективное движение частиц ограничено по отношению к центру масс.

В специальной теории относительности, если частица движется со скоростью u относительно лабораторной системы отсчета, то

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2},&\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}$$

фактор ЛоренцаmmupE

$${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {x} -\mathbf {p} t=m\gamma (\mathbf {u} )(\mathbf {x} -\mathbf {u} t).}$$

Декартовы компоненты

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}=mx-p_{x}t&={\frac {E}{c^{2}}}x-p_{x}t=m\gamma (u)(x-u_{x}t)\\N_{y}=my-p_{y}t&={\frac {E}{c^{2}}}y-p_{y}t=m\gamma (u)(y-u_{y}t)\\N_{z}=mz-p_{z}t&={\frac {E}{c^{2}}}z-p_{z}t=m\gamma (u)(z-u_{z}t)\end{aligned}}}$$

Специальная теория относительности

Преобразования координат для ускорения в направлении x

Рассмотрим систему координат F ' , которая движется со скоростью v = ( v , 0, 0) относительно другой системы координат F вдоль направления совпадающих осей xx ' . Начало двух систем координат совпадает в моменты времени t = t ′ = 0 . Масса-энергия E = mc ² и компоненты импульса p = ( p _x , p _y , p _z ) объекта, а также координаты положения x = ( x , y , z ) и время t в системе отсчета F преобразуются в E ′ = m ′ c ² , p ′ = ( p _x ′, p _y ′, p _z ′) , x ′ = ( x ′, y ′, z ′) и t ′ в F ′ в соответствии с преобразованиями Лоренца

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma (v)\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\,,\quad &E'&=\gamma (v)\left(E-vp_{x}\right)\\x'&=\gamma (v)(x-vt)\,,\quad &p_{x}'&=\gamma (v)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\,,\quad &p_{y}'&=p_{y}\\z'&=z\,,\quad &p_{z}'&=p_{z}\\\end{aligned}}}$$

Фактор Лоренца здесь применяется к скорости v , относительной скорости между кадрами. Это не обязательно то же самое, что скорость u объекта.

Для орбитального 3-углового момента L как псевдовектора имеем

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}'&=y'p_{z}'-z'p_{y}'=L_{x}\\L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'=\gamma (v)(L_{y}-vN_{z})\\L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'=\gamma (v)(L_{z}+vN_{y})\\\end{aligned}}}$$

Вывод

Для x-компоненты

$${\displaystyle L_{x}'=y'p_{z}'-z'p_{y}'=yp_{z}-zp_{y}=L_{x}}$$

Y-компонент

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'\\&=z\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(x-vt\right)p_{z}\\&=\gamma \left[zp_{x}-z{\frac {vE}{c^{2}}}-xp_{z}+vtp_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left(zp_{x}-xp_{z}\right)+v\left(p_{z}t-z{\frac {E}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{y}-vN_{z}\right)\end{aligned}}}$$

и z-компонента

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'\\&=\gamma \left(x-vt\right)p_{y}-y\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma \left[xp_{y}-vtp_{y}-yp_{x}+y{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma \left[\left(xp_{y}-yp_{x}\right)+v\left(y{\frac {E}{c^{2}}}-tp_{y}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{z}+vN_{y}\right)\end{aligned}}}$$

Во вторых членах L _y ′ и L _z ′ компоненты y и z векторного произведения v × N можно вывести, распознав циклические перестановки v x ₌ v и v y ₌ v z ₌ 0 с компонентами N ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}-vN_{z}&=v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{y}\\vN_{y}&=v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{z}\\\end{aligned}}}$$

Теперь L _x параллельна относительной скорости v , а другие компоненты L _y и L _z перпендикулярны v . Соответствию параллельно-перпендикулярно можно облегчить, разбив весь 3-мерный псевдовектор углового момента на компоненты, параллельные (∥) и перпендикулярные (⊥) v в каждой системе отсчета:

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {L} _{\parallel }+\mathbf {L} _{\perp }\,,\quad \mathbf {L} '=\mathbf {L} _{\parallel }'+\mathbf {L} _{\perp }'\,.}$$

Тогда уравнения составляющих можно собрать в псевдовекторные уравнения

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{\parallel }'&=\mathbf {L} _{\parallel }\\\mathbf {L} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)\\\end{aligned}}}$$

Поэтому компоненты момента количества движения вдоль направления движения не изменяются, а компоненты, перпендикулярные направлению движения, изменяются. В отличие от преобразований пространства и времени, время и пространственные координаты изменяются вдоль направления движения, а перпендикулярные — нет.

Эти преобразования справедливы для всех v , а не только для движения вдоль осей xx' .

Рассматривая L как тензор, получаем аналогичный результат

$${\displaystyle \mathbf {L} _{\perp }'=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{zx}\\v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{xy}\\\end{aligned}}}$$

Увеличение динамического момента массы вдоль направления x равно

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&=m'x'-p_{x}'t'=N_{x}\\N_{y}'&=m'y'-p_{y}'t'=\gamma (v)\left(N_{y}+{\frac {vL_{z}}{c^{2}}}\right)\\N_{z}'&=m'z'-p_{z}'t'=\gamma (v)\left(N_{z}-{\frac {vL_{y}}{c^{2}}}\right)\\\end{aligned}}}$$

Вывод

Для x-компоненты

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&={\frac {E'}{c^{2}}}x'-t'p_{x}'\\&={\frac {\gamma }{c^{2}}}(E-vp_{x})\gamma (x-vt)-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {1}{c^{2}}}\left(E-vp_{x}\right)(x-vt)-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}-{\frac {Evt}{c^{2}}}-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}+{\frac {vp_{x}vt}{c^{2}}}-tp_{x}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}+t{\frac {vE}{c^{2}}}-{\frac {xv}{c^{2}}}{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}{\cancel {-{\frac {Evt}{c^{2}}}}}{\cancel {-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}p_{x}t-tp_{x}{\cancel {+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}}}{\cancel {+t{\frac {vE}{c^{2}}}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {Ex}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[\left({\frac {Ex}{c^{2}}}-tp_{x}\right)+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left(p_{x}t-{\frac {Ex}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]N_{x}\\&=\gamma ^{2}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}N_{x}\end{aligned}}}$$

Y-компонент

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{y}'&={\frac {E'}{c^{2}}}y'-t'p_{y}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})y-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})y-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ey-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{x}y-tp_{y}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{y}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ey-tp_{y}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{y}-yp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}L_{z}\right)\end{aligned}}}$$

и z-компонента

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{z}'&={\frac {E'}{c^{2}}}z'-t'p_{z}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})z-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})z-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ez-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{z}z-tp_{z}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ez-tp_{z}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{z}-zp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}L_{y}\right)\end{aligned}}}$$

Сбор параллельных и перпендикулярных компонентов, как и раньше.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{\parallel }'&=\mathbf {N} _{\parallel }\\\mathbf {N} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} _{\perp }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)\\\end{aligned}}}$$

Опять же, компоненты, параллельные направлению относительного движения, не меняются, а перпендикулярные меняются.

Векторные преобразования для ускорения в любом направлении

Пока это только параллельное и перпендикулярное разложение векторов. Преобразования полных векторов можно построить из них следующим образом (здесь L — псевдовектор для конкретности и совместимости с векторной алгеброй).

Введите единичный вектор в направлении v , заданный как n = v / v . Параллельные компоненты задаются векторной проекцией L или N на n .

$${\displaystyle \mathbf {L} _{\parallel }=(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\parallel }=(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$

в товекторного отклонения LN

$${\displaystyle \mathbf {L} _{\perp }=\mathbf {L} -(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\perp }=\mathbf {N} -(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {v}{c^{2}}}\mathbf {n} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\end{aligned}}}$$

v = v n

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {L} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {N} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

Они очень похожи на преобразования Лоренца электрического поля E и магнитного поля B , см. Классический электромагнетизм и специальная теория относительности .

Альтернативно, начиная с векторных преобразований Лоренца времени, пространства, энергии и импульса, для ускорения со скоростью v ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(t-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} )t\mathbf {v} \,,\\\mathbf {p} '&=\mathbf {p} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} ){\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {v} \,,\\E'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(E-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} \right)\,,\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,&\mathbf {N} '&={\frac {E'}{c^{2}}}\mathbf {r} '-t'\mathbf {p} '\end{aligned}}}$$

Непосредственный вывод векторных преобразований

Орбитальный угловой момент в каждой системе отсчета равен

$${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,\quad \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$

поэтому берем векторное произведение преобразований

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\left[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \right]\times \left[\mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {n} \right]\\&=[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \times \mathbf {p} -\gamma tv\mathbf {n} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {r} \times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {r} \times \mathbf {n} \\&=\mathbf {L} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right]\mathbf {r} \times \mathbf {v} \\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {p} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right)\mathbf {r} \right]\\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\left((\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} \right)+\gamma \left({\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {r} -t\mathbf {p} \right)\right]\end{aligned}}}$$

Использование правила тройного произведения

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} \\\end{aligned}}}$$

дает

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\times \mathbf {v} &=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} \\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} &=\mathbf {L} \times \mathbf {v} \\\end{aligned}}}$$

и наряду с определением N мы имеем

$${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {L} \times \mathbf {v} +\gamma \mathbf {N} \right]}$$

Восстановление единичного вектора n ,

$${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {n} \times \left[(\gamma -1)\mathbf {L} \times \mathbf {n} +v\gamma \mathbf {N} \right]}$$

Поскольку при преобразовании слева находится векторное произведение с n ,

$${\displaystyle \mathbf {n} \times (\mathbf {L} \times \mathbf {n} )=\mathbf {L} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )-\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )=\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )}$$

затем

$${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +(\gamma -1)(\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} ))+\beta \gamma c\mathbf {n} \times \mathbf {N} =\gamma (\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma -1)\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )}$$

4d угловой момент как бивектор

В релятивистской механике импульс СОМ и орбитальный трехмерный угловой момент вращающегося объекта объединяются в четырехмерный бивектор с точки зрения четырехпозиционного X и четырехимпульса P объекта ^{[4] [5]}

$${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }$$

В компонентах

$${\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }}$$

XPM

$${\displaystyle M^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}=L^{ij}}$$

$${\displaystyle M^{0i}=x^{0}p^{i}-x^{i}p^{0}=c\,\left(tp^{i}-x^{i}{\frac {E}{c^{2}}}\right)=-cN^{i}}$$

− c

$${\displaystyle M^{\alpha \beta }=-M^{\beta \alpha }}$$

Компоненты тензора можно систематически отображать в виде матрицы .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} &={\begin{pmatrix}M^{00}&M^{01}&M^{02}&M^{03}\\M^{10}&M^{11}&M^{12}&M^{13}\\M^{20}&M^{21}&M^{22}&M^{23}\\M^{30}&M^{31}&M^{32}&M^{33}\end{pmatrix}}\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|ccc}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\\hline N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{array}}\right)\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|c}0&-\mathbf {N} c\\\hline \mathbf {N} ^{\mathrm {T} }c&\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \\\end{array}}\right)\end{aligned}}}$$

блочную матрицуNвектора-строкипреобразуетсявектор-столбец NTx ∧ pантисимметричная матрица 3 ^×

Опять же, этот тензор аддитивен: полный угловой момент системы представляет собой сумму тензоров углового момента для каждого компонента системы:

$${\displaystyle \mathbf {M} _{\text{tot}}=\sum _{n}\mathbf {M} _{n}=\sum _{n}\mathbf {X} _{n}\wedge \mathbf {P} _{n}\,.}$$

Каждый из шести компонентов образует сохраняющуюся величину при агрегировании с соответствующими компонентами других объектов и полей.

Тензор углового момента M действительно является тензором, компоненты изменяются в соответствии с матрицей преобразования Лоренца Λ, что обычно иллюстрируется обозначением тензорного индекса.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{M'}^{\alpha \beta }&={X'}^{\alpha }{P'}^{\beta }-{X'}^{\beta }{P'}^{\alpha }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }X^{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }P^{\delta }-{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }X^{\delta }{\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }P^{\gamma }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }\left(X^{\gamma }P^{\delta }-X^{\delta }P^{\gamma }\right)\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }M^{\gamma \delta }\\\end{aligned}},}$$

β = v / c

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{0}}_{0}&=\gamma \\{\Lambda ^{i}}_{0}&={\Lambda ^{0}}_{i}=-\gamma \beta ^{i}\\{\Lambda ^{i}}_{j}&={\delta ^{i}}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{i}\beta _{j}\end{aligned}}}$$

β _iβ ⁱβ

Другими словами, можно преобразовать Лоренца четыре положения и четыре импульса отдельно, а затем антисимметризировать эти вновь найденные компоненты, чтобы получить тензор углового момента в новой системе отсчета.

Векторные преобразования, полученные из тензорных преобразований

Преобразование компонентов наддува

$${\displaystyle {\begin{aligned}M'^{k0}&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{0}}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\\end{aligned}}}$$

что касается орбитального углового момента

$${\displaystyle {\begin{aligned}{M'}^{k\ell }&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{\ell }}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\end{aligned}}}$$

Выражения в записях преобразования Лоренца имеют вид

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left(-\gamma \beta ^{\ell }\right)-\left(-\gamma \beta ^{k}\right)\left[{\delta ^{\ell }}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right]\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\gamma -(-\gamma \beta ^{k})(-\gamma \beta ^{i})\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}-\gamma \beta ^{k}\beta ^{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}-\gamma \right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -\gamma \beta ^{2}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma ^{-1}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left[{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right]\beta ^{k}\beta _{i}\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left[{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\right]\\&={\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\end{aligned}}}$$

дает

$${\displaystyle {\begin{aligned}cN'^{k}&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\left[\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]cN^{i}+-\gamma \beta ^{j}\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}{\delta ^{k}}_{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}-\gamma {\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{j}\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}\\\end{aligned}}}$$

или в векторной форме, разделив на c

$${\displaystyle \mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {N} \right)-{\frac {1}{c}}\gamma {\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} }$$

или восстановив β = v / c ,

$${\displaystyle \mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\right)\mathbf {v} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {N} \right)-\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {L} }$$

и

$${\displaystyle {\begin{aligned}L'^{k\ell }&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right)N^{i}+\left[{\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\right]L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+L^{k\ell }+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}L^{kj}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}L^{i\ell }\\\end{aligned}}}$$

или преобразование в псевдовекторную форму

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{k\ell n}L'_{n}&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+\varepsilon ^{k\ell n}L_{n}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\left(\beta ^{\ell }\beta _{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}-\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{\ell in}L_{n}\right)\\\end{aligned}}}$$

в векторной записи

$${\displaystyle \mathbf {L} '=\gamma c{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\times ({\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} )}$$

или восстановив β = v / c ,

$${\displaystyle \mathbf {L} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {v} \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)}$$

Жесткое вращение тела

Для частицы, движущейся по кривой, векторное произведение ее угловой скорости ω (псеввектор) и положения x дает ее тангенциальную скорость.

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} }$$

которая не может превышать величину c , поскольку в СТО поступательная скорость любого массивного объекта не может превышать скорость света c . Математически это ограничение равно 0 ≤ | ты | < c , вертикальные полосы обозначают величину вектора. Если угол между ω и x равен θ (считается ненулевым, в противном случае u был бы равен нулю, что соответствует полному отсутствию движения), то | ты | = | ω | | х | sin θ , а угловая скорость ограничена

$${\displaystyle 0\leq |{\boldsymbol {\omega }}|<{\frac {c}{|\mathbf {x} |\sin \theta }}}$$

Таким образом, максимальная угловая скорость любого массивного объекта зависит от размера объекта. Для данного | x | минимальный верхний предел возникает, когда ω и x перпендикулярны, так что θ = π /2 и sin θ = 1 .

Для вращающегося твердого тела , вращающегося с угловой скоростью ω , u — это касательная скорость в точке x внутри объекта. Для каждой точки объекта существует максимальная угловая скорость.

Угловая скорость (псевдовектор) связана с угловым моментом (псевдовектор) через тензор момента инерции I

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\quad \rightleftharpoons \quad L_{i}=I_{ij}\omega _{j}}$$

·тензорное сжатие

Спин в специальной теории относительности

Четырехспиновый

Частица может иметь «встроенный» угловой момент, независимый от ее движения, называемый спином и обозначаемый s . Это трехмерный псевдовектор, подобный орбитальному угловому моменту L.

Спин имеет соответствующий спиновый магнитный момент , поэтому, если частица подвержена взаимодействиям (например, электромагнитным полям или спин-орбитальному взаимодействию ), направление вектора вращения частицы изменится, но его величина будет постоянной.

Расширение специальной теории относительности является простым. ^[6] Для некоторой лабораторной системы отсчета F пусть F 'будет системой покоя частицы и предположим, что частица движется с постоянной 3-скоростью u . Затем F' увеличивается с той же скоростью, и преобразования Лоренца применяются как обычно; удобнее использовать β = u / c . Как четырех-вектор в специальной теории относительности, четырехспиновый S обычно принимает обычную форму четырех-вектора с времяподобным компонентом _st и пространственными компонентами s в лабораторной системе координат.

$${\displaystyle \mathbf {S} \equiv \left(S^{0},S^{1},S^{2},S^{3}\right)=(s_{t},s_{x},s_{y},s_{z})}$$

s

$${\displaystyle \mathbf {S} '\equiv \left({S'}^{0},{S'}^{1},{S'}^{2},{S'}^{3}\right)=\left(0,s_{x}',s_{y}',s_{z}'\right)}$$

Приравнивание норм приводит к инвариантному соотношению

$${\displaystyle s_{t}^{2}-\mathbf {s} \cdot \mathbf {s} =-\mathbf {s} '\cdot \mathbf {s} '}$$

s _t

Векторные преобразования, полученные из тензорных преобразований

Усиленные компоненты четырех вращений относительно лабораторного кадра:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{S'}^{0}&={\Lambda ^{0}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{0}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{0}}_{i}S^{i}=\gamma \left(S^{0}-\beta _{i}S^{i}\right)\\&=\gamma \left({\frac {c}{c}}S^{0}-{\frac {u_{i}}{c}}S^{i}\right)={\frac {1}{c}}U_{0}S^{0}-{\frac {1}{c}}U_{i}S^{i}\\[3pt]{S'}^{i}&={\Lambda ^{i}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{i}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{i}}_{j}S^{j}\\&=-\gamma \beta ^{i}S^{0}+\left[\delta _{ij}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta _{i}\beta _{j}\right]S^{j}\\&=S^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}S^{j}-\gamma \beta ^{i}S^{0}\end{aligned}}}$$

Здесь γ знак равно γ ( ты ) . S ′ находится в системе покоя частицы, поэтому ее времениподобный компонент равен нулю, S ′ ⁰ = 0 , а не S ⁰ . Кроме того, первое эквивалентно скалярному произведению четырехскорости (деленной на c ) и четырехспину. Сочетание этих фактов приводит к

$${\displaystyle {S'}^{0}={\frac {1}{c}}U_{\alpha }S^{\alpha }=0}$$

что является инвариантом. Затем это в сочетании с преобразованием времениподобного компонента приводит к воспринимаемому компоненту в лабораторной системе координат;

$${\displaystyle S^{0}=\beta _{i}S^{i}}$$

Обратные отношения

$${\displaystyle {\begin{aligned}S^{0}&=\gamma \left({S'}^{0}+\beta _{i}{S'}^{i}\right)\\S^{i}&={S'}^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}{S'}^{j}+\gamma \beta ^{i}{S'}^{0}\end{aligned}}}$$

Ковариантное ограничение на спин ортогонально вектору скорости:

$${\displaystyle U_{\alpha }S^{\alpha }=0}$$

В 3-векторной записи для ясности преобразования имеют вид

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \\\mathbf {s} '&=\mathbf {s} +{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \right)-\gamma {\boldsymbol {\beta }}s_{t}\end{aligned}}}$$

Обратные отношения

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\\\mathbf {s} &=\mathbf {s} '+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\right)\end{aligned}}}$$

Псевдовектор Паули–Любанского.

Псевдектор Паули – Любанского.

$${\displaystyle S_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },}$$

безмассовым частицам

Спин-орбитальный распад

В общем, тензор полного углового момента распадается на орбитальную составляющую и спиновую составляющую :

$${\displaystyle J^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }+S^{\mu \nu }~.}$$

Угловой момент распределения масса-энергия-импульс

Угловой момент из тензора массы-энергии-импульса

Ниже приводится резюме от MTW . ^[7] Везде для простоты предполагаются декартовы координаты. В специальной и общей теории относительности распределение массы-энергии-импульса, например, жидкости или звезды, описывается тензором энергии-напряжения T ^βγ ( тензорное поле второго порядка, зависящее от пространства и времени). Поскольку T ⁰⁰ — плотность энергии, T ^{j 0} для j = 1, 2, 3 — j -я компонента 3d-импульса объекта на единицу объема, а T ^ij образуют компоненты тензора напряжений , включая сдвиговые и нормальные напряжения, орбитальный Плотность углового момента относительно положения 4-вектора X ^β задается тензором 3-го порядка

$${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }=\left(X^{\alpha }-{\bar {X}}^{\alpha }\right)T^{\beta \gamma }-\left(X^{\beta }-{\bar {X}}^{\beta }\right)T^{\alpha \gamma }}$$

Это антисимметрично по α и β . В специальной и общей теории относительности T является симметричным тензором, но в других контекстах (например, в квантовой теории поля) это может быть не так.

Пусть Ω — область 4-мерного пространства-времени. Граница представляет собой трехмерную гиперповерхность пространства-времени («объем поверхности пространства-времени» в отличие от «площади пространственной поверхности»), обозначаемую ∂Ω, где «∂» означает «граница» . Интегрирование плотности углового момента по трехмерной гиперповерхности пространства-времени дает тензор углового момента относительно X ,

$${\displaystyle M^{\alpha \beta }\left({\bar {X}}\right)=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }d\Sigma _{\gamma }}$$

_γ1-форма,единичного вектора,XX.

$${\displaystyle M^{ij}=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{ij0}d\Sigma _{0}=\oint _{\partial \Omega }\left[\left(X^{i}-Y^{i}\right)T^{j0}-\left(X^{j}-Y^{j}\right)T^{i0}\right]dx\,dy\,dz}$$

Угловой момент относительно центра масс

В системе центра масс существует собственный угловой момент, другими словами, угловой момент любого события.

$${\displaystyle \mathbf {X} _{\text{COM}}=\left(X_{\text{COM}}^{0},X_{\text{COM}}^{1},X_{\text{COM}}^{2},X_{\text{COM}}^{3}\right)}$$

наT ⁰⁰масс

$${\displaystyle X_{\text{COM}}^{i}={\frac {1}{m_{0}}}\int _{\partial \Omega }X^{i}T^{00}dxdydz}$$

Установка Y = X _COM позволяет получить орбитальную плотность углового момента относительно центра масс объекта.

Сохранение углового момента

Сохранение энергии- импульса в дифференциальной форме задается уравнением неразрывности

$${\displaystyle \partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }=0}$$

_∂γчетырехградиентпроизводной

$${\displaystyle \partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }=0}$$

Интегральные уравнения используют теорему Гаусса в пространстве-времени.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}T^{\beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\\\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\end{aligned}}}$$

Крутящий момент в специальной теории относительности

Крутящий момент, действующий на точечную частицу, определяется как производная приведенного выше тензора момента импульса по собственному времени: ^{[8] [9]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }$$

$${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}$$

FX.

Угловой момент как генератор ускорений и вращений пространства-времени

Тензор углового момента является генератором ускорений и вращений для группы Лоренца . ^{[10] [11]} Повышение Лоренца может быть параметризовано быстротой и трехмерным единичным вектором n, указывающим в направлении повышения, которые объединяются в «вектор быстроты»

$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta }$$

β = v / cпредставления ось-уголθa,

$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {a} }$$

Каждый единичный вектор имеет только две независимые компоненты, третья определяется по единичной величине. Всего существует шесть параметров группы Лоренца; три для вращений и три для усилений. (Однородная) группа Лоренца шестимерна.

Бустер-генераторы K и генераторы вращения J можно объединить в один генератор преобразований Лоренца; M - антисимметричный тензор углового момента с компонентами

$${\displaystyle M^{0i}=-M^{i0}=K_{i}\,,\quad M^{ij}=\varepsilon _{ijk}J_{k}\,.}$$

ω

$${\displaystyle \omega _{0i}=-\omega _{i0}=\zeta _{i}\,,\quad \omega _{ij}=\varepsilon _{ijk}\theta _{k}\,,}$$

соглашение о суммированииi, j, kпреобразование Лоренцаматричной экспонентой

$${\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left({\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \right)}$$

αβ

Общее преобразование Лоренца Λ — это закон преобразования любых четырех векторов A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ), задающий компоненты этого же 4-вектора в другой инерциальной системе отсчета.

$${\displaystyle \mathbf {A} '=\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\mathbf {A} }$$

Тензор углового момента образует 6 из 10 генераторов группы Пуанкаре , остальные четыре являются компонентами четырёхимпульса для сдвигов пространства-времени.

Угловой момент в общей теории относительности

Угловой момент пробных частиц на слегка искривленном фоне в ОТО более сложен, но его можно обобщить простым образом. Если лагранжиан выражается по угловым переменным как обобщенные координаты , то угловые моменты являются функциональными производными лагранжиана по угловым скоростям . Что касается декартовых координат, они обычно задаются недиагональными сдвиговыми членами пространственноподобной части тензора энергии-напряжения . Если пространство-время поддерживает векторное поле Киллинга, касательное к окружности, то угловой момент вокруг оси сохраняется.

Также хотелось бы изучить влияние компактной вращающейся массы на окружающее ее пространство-время. Прототипом решения является метрика Керра , которая описывает пространство-время вокруг аксиально-симметричной черной дыры . Очевидно, невозможно нарисовать точку на горизонте событий черной дыры Керра и наблюдать, как она вращается вокруг нее. Однако решение поддерживает константу системы, которая математически действует аналогично угловому моменту.

Смотрите также

• Прецессия Томаса  – релятивистская поправка
• Угловой момент света  - физическая величина, переносимая фотонами.
• Задача двух тел в общей теории относительности  - Взаимодействие двух тел в общей теории относительности
• Релятивистская механика  - Теория движения и сил для объектов, близких к скорости света.
• Уравнения Матиссона–Папапетру–Диксона.

Рекомендации

1. DSA Фрид; ККА Уленбек (1995). Геометрия и квантовая теория поля (2-е изд.). Институт перспективных исследований (Принстон, Нью-Джерси): Американское математическое общество . ISBN 0-8218-8683-5.
2. Р. Пенроуз (2005). Дорога к реальности . старинные книги. п. 433. ИСБН 978-0-09-944068-0.Пенроуз включает коэффициент 2 в произведение клина, другие авторы также могут это сделать.
3. М. Файнгольд (2008). Специальная теория относительности и как она работает. Джон Уайли и сыновья . п. 138. ИСБН 978-3-527-40607-4.
4. Р. Пенроуз (2005). Дорога к реальности . старинные книги. стр. 437–438, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0. Примечание. Некоторые авторы, в том числе Пенроуз, используют в этом определении латинские буквы, хотя общепринято использовать греческие индексы для векторов и тензоров в пространстве-времени.
5. М. Файнгольд (2008). Специальная теория относительности и как она работает. Джон Уайли и сыновья. стр. 137–139. ISBN 978-3-527-40607-4.
6. Джексон, JD (1975) [1962]. «Глава 11» . Классическая электродинамика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . стр. 556–557. ISBN 0-471-43132-Х.Обозначения Джексона: S (спин в F, лабораторная система отсчета), s (спин в F ', система покоя частицы), S ⁰ (времяподобная компонента в лабораторной системе отсчета), S' ⁰ = 0 (времяподобная компонента в системе покоя частицы) , нет символа для 4-спина как 4-вектора
7. Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 156–159, §5.11. ISBN 0-7167-0344-0.
8. С. Аранов (1969). «Крутящий момент и угловой момент в равновесной системе в специальной теории относительности». Американский журнал физики . 37 (4): 453–454. Бибкод : 1969AmJPh..37..453A. дои : 10.1119/1.1975612.Этот автор использует T для крутящего момента, здесь мы используем заглавную букву Gamma Γ , поскольку T чаще всего используется для обозначения тензора энергии-напряжения .
9. С. Аранов (1972). «Равновесие в специальной теории относительности» (PDF) . Нуово Чименто . 10 (1): 159. Бибкод : 1972NCimB..10..155A. дои : 10.1007/BF02911417. S2CID  117291369. Архивировано из оригинала (PDF) 28 марта 2012 г. Проверено 27 октября 2013 г.
10. Э. Аберс (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. стр. 11, 104, 105, 410–411. ISBN 978-0-13-146100-0.
11. HL Берк; К. Чайчердсакул; Т. Удагава (2001). «Правильный оператор однородного преобразования Лоренца eL = e− ω·S − ξ·K, куда он идет, в чем поворот» (PDF) . Американский журнал физики . 69 (996). дои : 10.1119/1.1371919.

• К. Хрисомалакос; Х. Эрнандес-Коронадо; Э. Окон (2009). «Центр масс в специальной и общей теории относительности и его роль в эффективном описании пространства-времени». Дж. Физ. Конф. Сер . Мексика. 174 (1): 012026. arXiv : 0901.3349 . Бибкод : 2009JPhCS.174a2026C. дои : 10.1088/1742-6596/174/1/012026. S2CID  17734387.
• У.Э. Шредер (1990). Специальная теория относительности. Конспекты лекций в серии «Физика». Том. 33. Всемирный научный . п. 139. ИСБН 981-02-0132-Х.

дальнейшее чтение

Специальная теория относительности

• Р. Торретти (1996). Относительность и геометрия. Серия Дуврских книг по физике. Публикации Courier Dover. ISBN 0-486-69046-6.

Общая теория относительности

• Л. Бланше; А. Спалличчи; Б. Уайтинг (2011). Масса и движение в общей теории относительности. Фундаментальные теории физики. Том. 162. Спрингер. п. 87. ИСБН 978-90-481-3015-3.
• М. Людвигсен (1999). Общая теория относительности: геометрический подход. Издательство Кембриджского университета . п. 77. ИСБН 0-521-63976-Х.
• Н. Эшби, Д. Ф. Бартлетт, В. Висс (1990). Общая теория относительности и гравитация 1989: Материалы 12-й Международной конференции по общей теории относительности и гравитации. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38428-1.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• БЛ Ху; член парламента Райан; член парламента Райан; CV Вишвешвара (2005). Направления общей теории относительности: Том 1: Материалы 1993 года. Направления общей теории относительности: Материалы Международного симпозиума 1993 года, Мэриленд: Статьи в честь Чарльза Миснера. Том. 1. Издательство Кембриджского университета. п. 347. ИСБН 0-521-02139-1.
• А. Папапетру (1974). Лекции по общей теории относительности. Спрингер. ISBN 90-277-0514-3.

Внешние ссылки

• Н. Меникуччи (2001). «Релятивистский угловой момент» (PDF) .
• «Специальная теория относительности» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 4 ноября 2013 г. Проверено 30 октября 2013 г.