Теорема Радона–Никодима.

Выражение меры как интеграла от другой

В математике теорема Радона-Никодима является результатом теории меры , который выражает связь между двумя мерами, определенными в одном и том же измеримом пространстве . Мера — это функция множества , которая присваивает постоянную величину измеримым подмножествам измеримого пространства. Примеры меры включают площадь и объем, где подмножества представляют собой наборы точек; или вероятность события, которая представляет собой подмножество возможных результатов в более широком вероятностном пространстве .

Один из способов получить новую меру из уже заданной — это присвоить плотность каждой точке пространства, а затем проинтегрировать интересующее измеримое подмножество. Это можно выразить как

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu ,}$

где ν — новая мера, определяемая для любого измеримого подмножества A , а функция f — плотность в данной точке. Интеграл относится к существующей мере µ , которая часто может быть канонической мерой Лебега на вещественной прямой R или n -мерном евклидовом пространстве Rn (соответствующем нашим стандартным понятиям длины, площади и объема) ^. Например, если бы f представляла плотность массы, а μ была мерой Лебега в трехмерном пространстве R ³ , то ν ( A ) равнялось бы общей массе в пространственной области A .

Теорема Радона–Никодима по существу утверждает, что при определенных условиях любая мера ν может быть выражена таким образом относительно другой меры µ в том же пространстве. Функция f тогда называется производной Радона–Никодима и обозначается . ^[1] Важным применением является теория вероятностей , приводящая к функции плотности вероятности случайной величины .   ${\displaystyle {\tfrac {d\nu }{d\mu }}}$

Теорема названа в честь Иоганна Радона , который доказал теорему для частного случая, когда базовым пространством является R ⁿ в 1913 году, и Отто Никодима , который доказал общий случай в 1930 году. ^[2] В 1936 году Ганс Фройденталь обобщил теорему Радона-Никодима. теорема путем доказательства спектральной теоремы Фрейденталя , результата теории пространств Рисса ; это содержит теорему Радона – Никодима как частный случай. ^[3]

Говорят, что банахово пространство Y обладает свойством Радона–Никодима, если обобщение теоремы Радона–Никодима также справедливо, mutatis mutandis , для функций со значениями в Y . Все гильбертовы пространства обладают свойством Радона–Никодима.

Формальное описание

Теорема Радона–Никодима.

Теорема Радона-Никодима включает измеримое пространство , на котором определены две σ-конечные меры , и утверждает, что если (т. е. если абсолютно непрерывно относительно ), то существует - измеримая функция такая, что для любого измеримого набор ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu .}$ ${\displaystyle \nu \ll \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle f:X\to [0,\infty ),}$ ${\displaystyle A\in \Sigma ,}$

$${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu .}$$

Производное радона – Никодима

Функция , удовлетворяющая приведенному выше равенству, определена однозначно с точностью до нулевого множества , то есть если есть другая функция, удовлетворяющая тому же свойству, то — почти всюду . Функция обычно пишется и называется ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\frac {d\nu }{d\mu }}$Производная Радона–Никодима . Выбор обозначений и названия функции отражает тот факт, что функция аналогична производнойвисчислениивтом смысле, что она описывает скорость изменения плотности одной меры относительно другой (способиспользованияопределителя Якобианапри многомерном интегрировании).

Распространение на подписанные или комплексные меры

Аналогичная теорема может быть доказана для знаковых и комплексных мер : а именно, что если - неотрицательная σ-конечная мера и является конечнозначной знаковой или комплексной мерой, такой что , то есть, абсолютно непрерывна относительно, то существует - интегрируемая действительная или комплексная функция на такой, что для каждого измеримого множества ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$

$${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}g\,d\mu .}$$

Примеры

В следующих примерах множество X представляет собой вещественный интервал [0,1] и является сигма-алгеброй Бореля на X . ${\displaystyle \Sigma }$

1. ${\displaystyle \mu }$— мера длины на X. присваивает каждому подмножеству Y из X двойную длину Y . Затем, . ${\displaystyle \nu }$ ${\textstyle {\frac {d\nu }{d\mu }}=2}$
2. ${\displaystyle \mu }$— мера длины на X. присваивает каждому подмножеству Y из X количество точек из набора {0.1, …, 0,9}, содержащихся в Y . Тогда не является абсолютно непрерывным относительно, поскольку присваивает ненулевую меру точкам нулевой длины. Действительно, не существует производной : не существует конечной функции, которая при интегрировании, например, от до , дает для всех . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle {\frac {d\nu }{d\mu }}}$ ${\displaystyle (0.1-\varepsilon )}$ ${\displaystyle (0.1+\varepsilon )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$
3. ${\displaystyle \mu =\nu +\delta _{0}}$, где — мера длины на X, а — мера Дирака на 0 (она присваивает меру 1 любому набору, содержащему 0, и меру 0 любому другому набору). Тогда абсолютно непрерывен по , и – производная равна 0 при и 1 при . ^[4] ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \delta _{0}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle {\frac {d\nu }{d\mu }}=1_{X\setminus \{0\}}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x>0}$

Характеристики

• Пусть ν , µ и λ — σ-конечные меры в одном и том же измеримом пространстве. Если ν ≪ λ и µ ≪ λ ( оба ν и µ абсолютно непрерывны относительно λ ), то
  $${\displaystyle {\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-almost everywhere}}.}$$
• Если ν ≪ µ ≪ λ , то
  $${\displaystyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-almost everywhere}}.}$$
• В частности, если µ ≪ ν и ν ≪ µ , то
  $${\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}\quad \nu {\text{-almost everywhere}}.}$$
• Если µ ≪ λ и g — µ -интегрируемая функция, то
  $${\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .}$$
• Если ν — конечная знаковая или комплексная мера, то
  $${\displaystyle {d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.}$$

Приложения

Теория вероятности

Теорема очень важна для распространения идей теории вероятностей от вероятностных масс и плотностей вероятностей, определенных над действительными числами, к вероятностным мерам , определенным над произвольными множествами. Он показывает, можно ли перейти от одной вероятностной меры к другой и если да, то как. В частности, функция плотности вероятности случайной величины представляет собой производную Радона – Никодима индуцированной меры относительно некоторой базовой меры (обычно меры Лебега для непрерывных случайных величин ).

Например, его можно использовать для доказательства существования условного ожидания для вероятностных мер. Последнее само по себе является ключевым понятием в теории вероятностей , поскольку условная вероятность является лишь частным случаем ее.

Финансовая математика

Среди других областей финансовая математика широко использует эту теорему, в частности, через теорему Гирсанова . Такие изменения меры вероятности являются краеугольным камнем рационального ценообразования деривативов и используются для преобразования фактических вероятностей в вероятности, нейтральные к риску .

Информационные расхождения

Если µ и ν — меры над X и µ ≪ ν

• Расхождение Кульбака – Лейблера от ν до µ определяется как
  $${\displaystyle D_{\text{KL}}(\mu \parallel \nu )=\int _{X}\log \left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)\;d\mu .}$$
• Для α > 0, α ≠ 1 дивергенция Реньи порядка α от ν до µ определяется как
  $${\displaystyle D_{\alpha }(\mu \parallel \nu )={\frac {1}{\alpha -1}}\log \left(\int _{X}\left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)^{\alpha -1}\;d\mu \right).}$$

Предположение об σ-конечности

Приведенная выше теорема Радона–Никодима предполагает, что мера µ , относительно которой вычисляется скорость изменения ν , является σ-конечной .

Отрицательный пример

Вот пример, когда µ не является σ-конечным и теорема Радона–Никодима не выполняется.

Рассмотрим борелевскую σ-алгебру на вещественной прямой . Пусть считающая мера , , борелевского множества A определяется как количество элементов A , если A конечно, и ∞ в противном случае. Можно проверить, что µ действительно является мерой. Оно не является σ -конечным, поскольку не каждое борелевское множество является не более чем счетным объединением конечных множеств. Пусть ν — обычная мера Лебега на этой борелевской алгебре. Тогда ν абсолютно непрерывен относительно µ , поскольку для множества A µ ( A ) = 0 только в том случае, если A — пустое множество , и тогда ν ( A ) также равно нулю.

Предположим, что справедлива теорема Радона–Никодима, т. е. для некоторой измеримой функции f имеет место

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$

для всех наборов Бореля. Приняв A за одноэлементное множество , A = { a } и используя приведенное выше равенство, можно найти

${\displaystyle 0=f(a)}$

для всех действительных чисел a . Отсюда следует, что функция f и, следовательно, мера Лебега ν равна нулю, что является противоречием.  

Положительный результат

Предполагая, что теорема Радона–Никодима также верна, если локализуема и достижима относительно , ​​[ ^{5] : с. 189, упражнение 9О} т.е. для всех ^{[6] : Теорема 1.111 (Радон–Никодим, II)  [5] : с. 190, Упражнение 9T(ii)} ${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu (A)=\sup\{\nu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\operatorname {pre} }(\mathbb {R} _{\geq 0})\}}$ ${\displaystyle A\in \Sigma .}$

Доказательство

В этом разделе дается теоретико-мерное доказательство теоремы. Существует также функционально-аналитическое доказательство с использованием методов гильбертового пространства, которое впервые было дано фон Нейманом .

Для конечных мер µ и ν идея состоит в том, чтобы рассмотреть функции f с f dµ ≤ dν . Супремум всех таких функций вместе с теоремой о монотонной сходимости затем дает производную Радона – Никодима. Тот факт, что оставшаяся часть µ сингулярна относительно ν , следует из технического факта о конечных мерах. Как только результат установлен для конечных мер, расширение до σ -конечных, знаковых и комплексных мер может быть сделано естественным образом. Подробности приведены ниже.  

Для конечных мер

Построение кандидата с расширенными значениями. Сначала предположим, что µ и ν являются конечными неотрицательными мерами. Пусть F будет набором тех измеримых функций расширенного значения f   : X → [0, ∞] таких, что:

${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\qquad \int _{A}f\,d\mu \leq \nu (A)}$

F ≠ ∅ , поскольку он содержит хотя бы нулевую функцию. Теперь пусть f ₁ ,   f ₂ ∈ F и предположим, что A — произвольное измеримое множество, и определим:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\left\{x\in A:f_{1}(x)>f_{2}(x)\right\},\\A_{2}&=\left\{x\in A:f_{2}(x)\geq f_{1}(x)\right\}.\end{aligned}}}$

Тогда у человека есть

${\displaystyle \int _{A}\max \left\{f_{1},f_{2}\right\}\,d\mu =\int _{A_{1}}f_{1}\,d\mu +\int _{A_{2}}f_{2}\,d\mu \leq \nu \left(A_{1}\right)+\nu \left(A_{2}\right)=\nu (A),}$

и, следовательно, max{  f  ₁ ,   f  ₂ } ∈ F .

Теперь пусть {  f _n  } — последовательность функций из F такая, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .}$

Заменив f _n на максимальную из первых n функций, можно считать, что последовательность {  f _n  } возрастает. Пусть g — расширенная функция, определенная как  

${\displaystyle g(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).}$

По теореме о монотонной сходимости Лебега имеем

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu =\int _{A}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,d\mu (x)=\int _{A}g\,d\mu \leq \nu (A)}$

для каждого A ∈ Σ и, следовательно, g ∈ F . Кроме того, по построению g ,

${\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .}$

Доказательство равенства. Теперь, поскольку g ∈ F ,

${\displaystyle \nu _{0}(A):=\nu (A)-\int _{A}g\,d\mu }$

определяет неотрицательную меру на Σ . Для доказательства равенства покажем, что ν ₀ = 0 .

Предположим, ν ₀ ≠ 0 ; тогда, поскольку µ конечно, существует ε > 0 такое, что ν ₀ ( X ) > ε µ ( X ) . Чтобы вывести противоречие из того, что ν ₀ ≠ 0 , мы ищем положительное множество P ∈ Σ для знаковой меры ν ₀ − ε µ (т.е. измеримое множество P , все измеримые подмножества которого имеют неотрицательную меру ν ₀  −  εμ ). , где также P имеет положительную µ -меру. Концептуально мы ищем набор P , где ν ₀ ≥ ε µ в каждой части P . Удобный подход — использовать разложение Хана ( P , N ) для знаковой меры ν ₀ − ε µ .

Заметим тогда, что для каждого A ∈ Σ имеет место ν ₀ ( A ∩ P ) ≥ ε µ ( A ∩ P ) и, следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (A)&=\int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A\cap P)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\varepsilon \mu (A\cap P)=\int _{A}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu ,\end{aligned}}}$

где 1 _P – индикаторная функция P . Также обратите внимание, что µ ( P ) > 0 по желанию; ибо если µ ( P ) = 0 , то (поскольку ν абсолютно непрерывен относительно µ ) ν0 ( _P ) ≤ ν ( P ) = 0 , поэтому ν0 ( _P ) = 0 и

${\displaystyle \nu _{0}(X)-\varepsilon \mu (X)=\left(\nu _{0}-\varepsilon \mu \right)(N)\leq 0,}$

что противоречит тому факту, что ν ₀ ( X ) > εμ ( X ) .

Тогда, поскольку также

${\displaystyle \int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu \leq \nu (X)<+\infty ,}$

g + ε  1 _P ∈ F и удовлетворяет условию

${\displaystyle \int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu >\int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .}$

Это невозможно , поскольку нарушает определение супремума ; следовательно, первоначальное предположение о том, что ν ₀ ≠ 0, должно быть ложным. Следовательно, ν ₀ = 0 , как и хотелось.

Ограничение конечными значениями Теперь, поскольку g µ -интегрируемо , множество { x ∈ X  : g ( x ) = ∞} является µ - нулевым . Следовательно, если f определяется как  

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&{\text{if }}g(x)<\infty \\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

тогда f обладает желаемыми свойствами.

Единственность. Что касается единственности, то пусть f , g  : X → [0, ∞) — измеримые функции, удовлетворяющие 

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu =\int _{A}g\,d\mu }$

для каждого измеримого множества A . Тогда g − f  µ -интегрируема и

${\displaystyle \int _{A}(g-f)\,d\mu =0.}$

В частности, для A = { x ∈ X  : f ( x ) > g ( x )} или { x ∈ X  : f ( x ) < g ( x )} . Следует, что

${\displaystyle \int _{X}(g-f)^{+}\,d\mu =0=\int _{X}(g-f)^{-}\,d\mu ,}$

и так, что ( g − f  ) ⁺ = 0 µ - почти всюду; то же самое верно для ( g − f  ) ⁻ , и, таким образом, f  = g µ -почти всюду, как и хотелось.

Для σ -конечных положительных мер

Если µ и ν σ -конечны , то X можно записать как объединение последовательности { B _n } _n непересекающихся множеств в Σ , каждое из которых имеет конечную меру как относительно µ, так и ν . Для каждого n в конечном случае существует Σ -измеримая функция fn   : Bn _→ [0, ∞) такая, _что 

${\displaystyle \nu _{n}(A)=\int _{A}f_{n}\,d\mu }$

для каждого Σ _- измеримого подмножества A в Bn . Сумма этих функций тогда является искомой функцией такой, что . ${\textstyle \left(\sum _{n}f_{n}1_{B_{n}}\right):=f}$ ${\textstyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$

Что касается единственности, поскольку каждая из f _n µ -почти всюду уникальна, то и f .

Для подписанных и комплексных мер

Если ν является σ -конечной знаковой мерой, то ее можно разложить Ханом–Жорданом как ν = ν ⁺ − ν ^−, где одна из мер конечна. Применяя предыдущий результат к этим двум мерам, можно получить две функции g , h  : X → [0, ∞) , удовлетворяющие теореме Радона–Никодима для ν ⁺ и ν ⁻ соответственно, по крайней мере одна из которых является µ -интегрируемой ( т. е. его интеграл по µ конечен). Тогда ясно, что f = g − h удовлетворяет требуемым свойствам, включая единственность, поскольку и g , и h единственны с точностью до µ -почти всюду равенства.

Если ν — комплексная мера , ее можно разложить как ν = ν ₁ + iν ₂ , где и ν _1, и ν ₂ — конечнозначные меры со знаком. Применяя приведенное выше рассуждение, получаем две функции g , h  : X → [0, ∞) , удовлетворяющие требуемым свойствам для ν ₁ и ν ₂ соответственно. Очевидно, f  = g + ih — искомая функция.

Теорема Лебега о разложении

Теорема Лебега о разложении показывает, что условия теоремы Радона–Никодима можно найти даже в, казалось бы, более общей ситуации. Рассмотрим σ-конечную положительную меру на пространстве с мерой и σ-конечную знаковую меру на , не предполагая абсолютной непрерывности. Тогда существуют единственные знаковые меры и такие , что , , и . Тогда к паре можно применить теорему Радона–Никодима . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \nu _{a}}$ ${\displaystyle \nu _{s}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \nu =\nu _{a}+\nu _{s}}$ ${\displaystyle \nu _{a}\ll \mu }$ ${\displaystyle \nu _{s}\perp \mu }$ ${\displaystyle \nu _{a},\mu }$

Смотрите также

• Теорема Гирсанова
• Набор Радон–Никодим

Примечания

1. Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера (Третье изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 419–427. ISBN 0-471-00710-2.
2. Никодим, О. (1930). «Sur une généralisation des Integrals de MJ Radon» (PDF) . Fundamenta Mathematicae (на французском языке). 15 : 131–179. дои : 10.4064/fm-15-1-131-179 . ЖФМ  56.0922.02 . Проверено 30 января 2018 г.
3. Заанен, Адриан К. (1996). Введение в теорию операторов в пространствах Рисса . Спрингер . ISBN 3-540-61989-5.
4. "Расчет производной радона Никодима" . Обмен стеками . 7 апреля 2018 г.
5. Браун, Арлен; Пирси, Карл (1977). Введение в теорию операторов I: Элементы функционального анализа . ISBN 978-1461299288.
6. Фонсека, Ирен; Леони, Джованни. Современные методы вариационного исчисления: пространства L ^p . Спрингер. п. 68. ИСБН 978-0-387-35784-3.

Рекомендации

• Ланг, Серж (1969). Анализ II: Реальный анализ . Аддисон-Уэсли.Содержит доказательство векторных мер, принимающих значения в банаховом пространстве.
• Ройден, ХЛ ; Фицпатрик, премьер-министр (2010). Реальный анализ (4-е изд.). Пирсон.Содержит наглядное доказательство в случае, если мера ν не является σ-конечной.
• Шилов, Г.Е.; Гуревич, Б.Л. (1978). Интеграл, мера и производная: единый подход . Ричард А. Сильверман, пер. Дуврские публикации . ISBN 0-486-63519-8.
• Штейн, Элиас М.; Шакарчи, Рами (2005). Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертово пространство . Принстонские лекции по анализу. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-11386-9.Содержит доказательство обобщения.
• Тешль, Джеральд . «Темы реального и функционального анализа». (конспект лекций).

Эта статья включает в себя материал из теоремы Радона-Никодима по PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .