Аттрактор Ресслера

Аттрактор хаотической системы Ресслера

Аттрактор Ресслера

Аттрактор Ресслера как стереограмма с , , ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=14}$

Аттрактор Ресслера / ˈ r ɒ s l ər / — это аттрактор системы Ресслера , системы трёх нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, первоначально изученной Отто Рёсслером в 1970-х годах. ^{[1] [2]} Эти дифференциальные уравнения определяют динамическую систему с непрерывным временем , которая демонстрирует хаотическую динамику, связанную с фрактальными свойствами аттрактора. ^[3] Рёсслер интерпретировал это как формализацию машины по вытягиванию ириски . ^[4]

Некоторые свойства системы Рёсслера можно вывести с помощью линейных методов, таких как собственные векторы , но основные особенности системы требуют нелинейных методов, таких как карты Пуанкаре и бифуркационные диаграммы . В оригинальной статье Рёсслера говорится, что аттрактор Рёсслера должен был вести себя аналогично аттрактору Лоренца , но при этом его было легче анализировать качественно. ^[1] Орбита внутри аттрактора следует по внешней спирали, близкой к плоскости , вокруг нестабильной фиксированной точки. Как только график достаточно сильно раскручивается, на него начинает влиять вторая фиксированная точка, вызывая подъем и скручивание -мерности . Во временной области становится очевидным, что, хотя каждая переменная колеблется в пределах фиксированного диапазона значений, колебания хаотичны. Этот аттрактор имеет некоторое сходство с аттрактором Лоренца, но проще и имеет только одно многообразие . Отто Рёсслер разработал аттрактор Рёсслера в 1976 году ^[1] , но позже было обнаружено, что первоначально теоретические уравнения полезны при моделировании равновесия в химических реакциях. ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle z}$

Определение

Определяющими уравнениями системы Ресслера являются: ^[3]

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-y-z\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz}{dt}}=b+z(x-c)\end{cases}}}$

Рёсслер изучал хаотический аттрактор с , , и , хотя с тех пор свойства , , и стали использоваться чаще. Другая линия пространства параметров была исследована с помощью топологического анализа. Он соответствует , , и был выбран в качестве параметра бифуркации. ^[5] Как Рёсслер открыл этот набор уравнений, исследовали Летелье и Мессагер. ^[6] ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$ ${\displaystyle a=0.1}$ ${\displaystyle b=0.1}$ ${\displaystyle c=14}$ ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle c=4}$ ${\displaystyle a}$

Анализ стабильности

${\displaystyle x,y}$плоскость аттрактора Ресслера с , , ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

Элегантность аттрактора Ресслера отчасти объясняется тем, что два его уравнения являются линейными; настройка позволяет проверить поведение в самолете ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{cases}}}$

Устойчивость на плоскости затем можно найти , вычислив собственные значения якобиана , которые равны . Отсюда мы видим, что когда собственные значения являются комплексными и оба имеют положительную действительную составляющую, что делает начало координат неустойчивым с направленной наружу спиралью на плоскости . Теперь рассмотрим поведение плоскости в контексте этого диапазона для . Таким образом, пока он меньше , этот член будет сохранять орбиту близкой к плоскости. Когда орбита приближается к величине, превышающей , значения - начинают расти. Однако по мере подъема в уравнении для останавливается рост . ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle (a\pm {\sqrt {a^{2}-4}})/2}$ ${\displaystyle 0<a<2}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle -z}$ ${\displaystyle dx/dt}$ ${\displaystyle x}$

Фиксированные точки

Чтобы найти неподвижные точки, три уравнения Ресслера приравниваются к нулю, а координаты ( , , ) каждой фиксированной точки определяются путем решения полученных уравнений. Это дает общие уравнения каждой из координат неподвижной точки: ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}}\\y=-\left({\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)\\z={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\end{cases}}}$

Что, в свою очередь, можно использовать для отображения фактических фиксированных точек для заданного набора значений параметров:

${\displaystyle \left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)}$

Как показано на общих графиках аттрактора Ресслера выше, одна из этих фиксированных точек находится в центре петли аттрактора, а другая находится относительно далеко от аттрактора.

Собственные значения и собственные векторы

Стабильность каждой из этих фиксированных точек можно проанализировать путем определения их соответствующих собственных значений и собственных векторов. Начиная с якобиана:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&-1\\1&a&0\\z&0&x-c\\\end{pmatrix}}}$

собственные значения можно определить, решив следующую кубику:

${\displaystyle -\lambda ^{3}+\lambda ^{2}(a+x-c)+\lambda (ac-ax-1-z)+x-c+az=0\,}$

Для центральной фиксированной точки исходные значения параметров Рёсслера a = 0,2, b = 0,2 и c = 5,7 дают собственные значения:

${\displaystyle \lambda _{1}=0.0971028+0.995786i\,}$

${\displaystyle \lambda _{2}=0.0971028-0.995786i\,}$

${\displaystyle \lambda _{3}=-5.68718\,}$

Величина отрицательного собственного значения характеризует уровень притяжения вдоль соответствующего собственного вектора. Аналогично величина положительного собственного значения характеризует уровень отталкивания вдоль соответствующего собственного вектора.

Собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям:

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}0.7073\\-0.07278-0.7032i\\0.0042-0.0007i\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{2}={\begin{pmatrix}0.7073\\0.07278+0.7032i\\0.0042+0.0007i\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{3}={\begin{pmatrix}0.1682\\-0.0286\\0.9853\\\end{pmatrix}}}$

Исследование собственных векторов центральной фиксированной точки: синяя линия соответствует стандартному аттрактору Ресслера, сгенерированному с помощью , и . ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

Аттрактор Ресслера с , , ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

Эти собственные векторы имеют несколько интересных последствий. Во-первых, две пары собственное значение/собственный вектор ( и ) отвечают за устойчивое скольжение наружу, которое происходит в главном диске аттрактора. Последняя пара собственное значение/собственный вектор притягивается вдоль оси, проходящей через центр многообразия и отвечающей за движение z, происходящее внутри аттрактора. Этот эффект примерно продемонстрирован на рисунке ниже. ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$

На рисунке показаны центральные собственные векторы с фиксированной точкой. Синяя линия соответствует стандартному аттрактору Ресслера, созданному с помощью , и . Красная точка в центре этого аттрактора . Красная линия, пересекающая эту фиксированную точку, иллюстрирует отталкивающую плоскость, создаваемую и . Зеленая линия — иллюстрация притяжения . Пурпурная линия создается путем перехода назад во времени от точки притягивающего собственного вектора, которая находится немного выше — она иллюстрирует поведение точек, в которых этот вектор полностью доминирует. Обратите внимание, что пурпурная линия почти касается плоскости аттрактора, прежде чем ее потянет вверх в фиксированную точку; это говорит о том, что общий вид и поведение аттрактора Ресслера во многом являются продуктом взаимодействия притягивающего , отталкивающего и плоскости. В частности, это означает, что последовательность, сгенерированная из уравнений Ресслера, начнет зацикливаться , начнет втягиваться вверх в вектор, создавая восходящее плечо кривой, которое слегка изгибается внутрь по направлению к вектору, а затем снова выталкивается наружу по мере того, как оно тянется обратно к вектору. отталкивающая плоскость. ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$ ${\displaystyle FP_{1}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle v_{3}}$ ${\displaystyle FP_{1}}$ ${\displaystyle v_{3}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle FP_{1}}$ ${\displaystyle v_{3}}$

Для фиксированной точки выброса исходные значения параметров Рёсслера , и дают собственные значения: ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

${\displaystyle \lambda _{1}=-0.0000046+5.4280259i}$

${\displaystyle \lambda _{2}=-0.0000046-5.4280259i}$

${\displaystyle \lambda _{3}=0.1929830}$

Собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям:

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}0.0002422+0.1872055i\\0.0344403-0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{2}={\begin{pmatrix}0.0002422-0.1872055i\\0.0344403+0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{3}={\begin{pmatrix}0.0049651\\-0.7075770\\0.7066188\\\end{pmatrix}}}$

Хотя эти собственные значения и собственные векторы существуют в аттракторе Ресслера, их влияние ограничивается итерациями системы Ресслера, начальные условия которых находятся в общей близости от этой фиксированной точки выброса. За исключением тех случаев, когда начальные условия лежат на притягивающей плоскости, порожденной и , это влияние фактически включает в себя подталкивание результирующей системы к общему аттрактору Ресслера. По мере приближения результирующей последовательности к центральной неподвижной точке и самому аттрактору влияние этой удаленной фиксированной точки (и ее собственных векторов) будет ослабевать. ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

Карта Пуанкаре

Отображение Пуанкаре для аттрактора Ресслера с , , ${\displaystyle a=0.1}$ ${\displaystyle b=0.1}$ ${\displaystyle c=14}$

Карта Пуанкаре строится путем нанесения значения функции каждый раз, когда она проходит через заданную плоскость в определенном направлении. Примером может служить отображение значения каждый раз, когда оно проходит через плоскость, где оно меняется с отрицательного на положительное, что обычно делается при изучении аттрактора Лоренца. В случае аттрактора Ресслера плоскость неинтересна, поскольку отображение всегда пересекает плоскость из -за природы уравнений Ресслера. В плоскости для , , карта Пуанкаре показывает подъем значений по мере увеличения, как и следовало ожидать из-за подъема и скручивания участка графика Ресслера. Количество точек на этом конкретном графике Пуанкаре бесконечно, но когда используется другое значение, количество точек может меняться. Например, при значении 4 на карте Пуанкаре есть только одна точка, поскольку функция дает периодическую орбиту с периодом один, или, если установлено значение 12,8, будет шесть точек, соответствующих орбите с периодом шесть. . ${\displaystyle y,z}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle x=0.1}$ ${\displaystyle a=0.1}$ ${\displaystyle b=0.1}$ ${\displaystyle c=14}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Карта Лоренца

Отображение Лоренца — это связь между последовательными максимумами координаты на траектории. Рассмотрим траекторию на аттракторе, и пусть – n-й максимум ее координаты x. Тогда - диаграмма рассеяния представляет собой почти кривую, а это означает, что, зная, можно почти точно предсказать . ^[8] ${\displaystyle x_{max}(n)}$ ${\displaystyle x_{max}(n)}$ ${\displaystyle x_{max}(n+1)}$ ${\displaystyle x_{max}(n)}$ ${\displaystyle x_{max}(n+1)}$

Отображение Лоренца для аттрактора Ресслера с a = 0,2, b = 0,2, c = 5.

Отображение локальных максимумов

${\displaystyle Z_{n}}$против. ${\displaystyle Z_{n+1}}$

В оригинальной статье об аттракторе Лоренца ^[9] Эдвард Лоренц проанализировал локальные максимумы в сравнении с непосредственно предшествующими локальными максимумами. При визуализации график напоминал карту палатки , подразумевая, что аналогичный анализ можно использовать между картой и аттрактором. Для аттрактора Ресслера, когда локальный максимум отображается в зависимости от следующего локального максимума, результирующий график (показанный здесь для , , ) является унимодальным, напоминающим перекошенную карту Энона . Зная, что аттрактор Ресслера можно использовать для создания псевдоодномерного отображения, следует использовать аналогичные методы анализа. Бифуркационная диаграмма является особенно полезным методом анализа. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{n+1}}$ ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

Изменение параметров

Поведение аттрактора Ресслера во многом зависит от значений его постоянных параметров , , и . В общем, изменение каждого параметра имеет сопоставимый эффект, заставляя систему сходиться к периодической орбите, фиксированной точке или уходить в бесконечность, однако конкретные диапазоны и вызванное поведение существенно различаются для каждого параметра. Периодические орбиты или «единичные циклы» системы Ресслера определяются количеством петель вокруг центральной точки, которые происходят до того, как серия петель начинает повторяться. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Бифуркационные диаграммы — распространенный инструмент анализа поведения динамических систем , одним из которых является аттрактор Ресслера. Они создаются путем выполнения уравнений системы, в которых все переменные, кроме одной, остаются постоянными и варьируется последняя. Затем строится график точек, которые посещает конкретное значение измененной переменной после нейтрализации переходных факторов. Хаотические регионы обозначены заполненными областями графика.

Изменение

Здесь зафиксировано значение 0,2, зафиксировано значение 5,7 и изменено. Численное исследование поведения аттрактора при изменении показывает, что оно оказывает непропорциональное влияние на поведение аттрактора. Результаты анализа: ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle a\leq 0}$: Сходится к центральной фиксированной точке
• ${\displaystyle a=0.1}$: Единичный цикл периода 1
• ${\displaystyle a=0.2}$: Стандартное значение параметра, выбранное Рёсслером, хаотичное.
• ${\displaystyle a=0.3}$: Хаотический аттрактор, значительно более похожий на ленту Мёбиуса (складывающуюся сам по себе).
• ${\displaystyle a=0.35}$: Похож на .3, но более хаотичен.
• ${\displaystyle a=0.38}$: Похож на .35, но более хаотичен.

Варьирование б

Бифуркационная диаграмма аттрактора Ресслера при изменении ${\displaystyle b}$

Здесь зафиксировано значение 0,2, зафиксировано значение 5,7 и изменено. Как показано на прилагаемой диаграмме, по мере приближения к 0 аттрактор приближается к бесконечности (обратите внимание на подъем при очень малых значениях ). По сравнению с другими параметрами, изменение создает больший диапазон, когда будут происходить орбиты периода 3 и периода 6. В отличие от и более высокие значения сходятся к периоду-1, а не к хаотическому состоянию. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$

Варьирование c

Бифуркационная диаграмма аттрактора Ресслера при изменении ${\displaystyle c}$

Вот и изменения. Бифуркационная диаграмма показывает, что низкие значения являются периодическими, но по мере увеличения быстро становятся хаотичными . Эта картина повторяется по мере увеличения – существуют участки периодичности, перемежающиеся периодами хаоса, и по мере увеличения наблюдается тенденция к орбитам с более высоким периодом. Например, орбита с периодом один появляется только для значений около 4 и больше никогда не встречается на бифуркационной диаграмме. То же явление наблюдается и в третьем периоде; до тех пор , пока можно найти орбиты периода три, но после этого они не появляются. ${\displaystyle a=b=0.1}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c=12}$

Графическая иллюстрация изменения аттрактора в диапазоне значений иллюстрирует общее поведение, наблюдаемое для всех этих анализов параметров – частые переходы между периодичностью и апериодичностью. ${\displaystyle c}$

Варьирование c

Приведенный выше набор изображений иллюстрирует изменения в постпереходной системе Ресслера, которые варьируются в диапазоне значений. Эти изображения были созданы с помощью . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a=b=.1}$

• ${\displaystyle c=4}$, орбита периода-1.
• ${\displaystyle c=6}$, орбита периода-2.
• ${\displaystyle c=8.5}$, орбита периода-4.
• ${\displaystyle c=8.7}$, орбита периода-8.
• ${\displaystyle c=9}$, разреженный хаотический аттрактор.
• ${\displaystyle c=12}$, орбита периода-3.
• ${\displaystyle c=12.6}$, орбита периода-6.
• ${\displaystyle c=13}$, разреженный хаотический аттрактор.
• ${\displaystyle c=15.4}$, орбита с периодом 5.
• ${\displaystyle c=18}$, заполненный хаотический аттрактор.

Периодические орбиты

Аттрактор плотно заполнен периодическими орбитами : решениями, для которых существует ненулевое значение такое, что . Эти интересные решения можно получить численно с помощью метода Ньютона . Периодические орбиты являются корнями функции , где – эволюция по времени , – тождество. Поскольку большая часть динамики происходит в плоскости xy, периодические орбиты можно классифицировать по числу их витков вокруг центрального равновесия после проецирования. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t+T)={\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle \Phi _{t}-Id}$ ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle Id}$

Таблица периодических орбит по номеру витка k

Время не масштабируется. Использовались исходные параметры (a,b,c) = (0,2,0,2,5,7).

Численные эксперименты показывают, что существует уникальная периодическая орбита для всех положительных чисел витков. Отсутствие вырождения, вероятно, связано с отсутствием симметрии задачи. Аттрактор можно разделить на более простые для понимания инвариантные многообразия : одномерные периодические орбиты и двумерные стабильные и нестабильные многообразия периодических орбит. Эти инвариантные многообразия являются естественным скелетом аттрактора, точно так же, как рациональные числа являются действительными числами .

Для целей теории динамических систем могут быть интересны топологические инварианты этих многообразий. Периодические орбиты являются копиями вложенных в , поэтому их топологические свойства можно понять с помощью теории узлов . Периодические орбиты с номерами витков 1 и 2 образуют зацепление Хопфа , показывая, что никакой диффеоморфизм не может разделить эти орбиты. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Ссылки на другие темы

Полосы, наблюдаемые в аттракторе Ресслера, аналогичны канторовскому множеству, повернутому вокруг своей средней точки. Кроме того, полуповорот, происходящий в аттракторе Ресслера, затрагивает только часть аттрактора. Ресслер показал, что его аттрактор на самом деле представляет собой комбинацию «нормальной ленты» и ленты Мёбиуса . ^[10]

Рекомендации

1. Rössler, OE (1976), «Уравнение непрерывного хаоса», Physics Letters , 57A (5): 397–398, Бибкод : 1976PhLA...57..397R, doi : 10.1016/0375-9601(76) 90101-8.
2. Рёсслер, О.Э. (1979), «Уравнение гиперхаоса», Physics Letters , 71A (2, 3): 155–157, Бибкод : 1979PhLA...71..155R, doi : 10.1016/0375-9601(79) 90150-6.
3. Пейтген, Хайнц-Отто ; Юргенс, Хартмут ; Саупе, Дитмар (2004), «12.3 Аттрактор Ресслера», Хаос и фракталы: новые рубежи науки , Springer, стр. 636–646..
4. Рёсслер, Отто Э. (1 июля 1983). «Хаотическая иерархия». Zeitschrift für Naturforschung A. 38 (7): 788–801. дои : 10.1515/zna-1983-0714 . ISSN  1865-7109.
5. Летелье, К.; П. Дутертр; Б. Маэ (1995). «Нестабильные периодические орбиты и шаблоны системы Ресслера: к систематической топологической характеристике». Хаос . 5 (1): 272–281. Бибкод : 1995Хаос...5..271Л. дои : 10.1063/1.166076 . ПМИД  12780181.
6. Летелье, К.; В. Мессагер (2010). «Влияние на самую раннюю статью Отто Э. Рёсслера о хаосе». Международный журнал бифуркации и хаоса . 20 (11): 3585–3616. Бибкод : 2010IJBC...20.3585L. дои : 10.1142/s0218127410027854.
7. Мартинес-Арано, Х.; Гарсиа-Перес, Бельгия; Видалес-Уртадо, Массачусетс; Трехо-Вальдес, М.; Эрнандес-Гомес, Л.Г.; Торрес-Торрес, К. (2019). «Хаотические сигнатуры, проявляемые плазмонными эффектами в наночастицах Au с клетками». Датчики . 19 (21): 4728. Бибкод : 2019Senso..19.4728M. дои : 10.3390/s19214728 . ПМК 6864870 . ПМИД  31683534. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. Олсен, Ларс Фольке; Дегн, Ганс (май 1985 г.). «Хаос в биологических системах». Ежеквартальные обзоры биофизики . 18 (2): 165–225. дои : 10.1017/S0033583500005175. ISSN  1469-8994.
9. Лоренц, Э.Н. (1963), «Детерминированный непериодический поток», J. Atmos. наук. , 20 (2): 130–141, Бибкод : 1963JAtS...20..130L, doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
10. Рёсслер, Отто Э. (1976). «Хаотическое поведение в простой реакционной системе». Zeitschrift für Naturforschung A. 31 (3–4): 259–264. Бибкод : 1976ZNatA..31..259R. дои : 10.1515/zna-1976-3-408 .

Внешние ссылки

• Flash-анимация с использованием PovRay
• Аттракторы Лоренца и Рёсслера – Java-анимация
• 3D Attractors: программа Mac для визуализации и исследования аттракторов Ресслера и Лоренца в трех измерениях.
• Аттрактор Ресслера в Scholarpedia
• Аттрактор Рёсслера: числовой интерактивный эксперимент в 3D - experience.math.cnrs.fr- (javascript/webgl)