Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд ( нем. Julius Wilhelm Richard Dedekind ; 6 октября 1831 — 12 февраля 1916) — немецкий математик , внёсший важный вклад в теорию чисел , абстрактную алгебру (в частности, теорию колец ) и аксиоматические основы арифметики . Его наиболее известным вкладом является определение действительных чисел с помощью понятия сечения Дедекинда . Он также считается пионером в развитии современной теории множеств и философии математики, известной как логицизм .
Отцом Дедекинда был Юлиус Левин Ульрих Дедекинд, администратор Коллегиума Каролинум в Брауншвейге . Его матерью была Каролина Генриетта Дедекинд (урожденная Эмпериус), дочь профессора Коллегиума. [1] У Рихарда Дедекинда было трое старших братьев и сестер. Став взрослым, он никогда не использовал имя Юлиус Вильгельм. Он родился в Брауншвейге (часто называемом «Брансуиком» на английском языке), где он прожил большую часть своей жизни и умер. Его тело покоится на Главном кладбище Брауншвейга .
Сначала он поступил в Collegium Carolinum в 1848 году, а затем в 1850 году перевелся в Геттингенский университет. Там Дедекинд изучал теорию чисел у профессора Морица Штерна . Гаусс все еще преподавал, хотя в основном на начальном уровне, и Дедекинд стал его последним учеником. Дедекинд получил докторскую степень в 1852 году за диссертацию под названием Über die Theorie der Eulerschen Integrale («К теории эйлеровых интегралов »). Эта диссертация не проявила того таланта, который проявился в последующих публикациях Дедекинда.
В то время Берлинский университет , а не Гёттингенский , был основным учреждением для математических исследований в Германии. Таким образом, Дедекинд отправился в Берлин на два года обучения, где он и Бернхард Риман были современниками; они оба получили хабилитацию в 1854 году. Дедекинд вернулся в Гёттинген, чтобы преподавать в качестве приват-доцента , читая курсы по вероятности и геометрии . Некоторое время он учился у Петера Густава Лежена Дирихле , и они стали хорошими друзьями. Из-за сохраняющихся недостатков в своих математических знаниях он изучал эллиптические и абелевы функции . Тем не менее, он был также первым в Гёттингене, кто читал лекции по теории Галуа . Примерно в это же время он стал одним из первых, кто понял важность понятия групп для алгебры и арифметики .
В 1858 году он начал преподавать в Политехнической школе в Цюрихе (ныне ETH Zürich). Когда в 1862 году Collegium Carolinum был преобразован в Technische Hochschule (Технологический институт), Дедекинд вернулся в родной Брауншвейг, где провел остаток своей жизни, преподавая в Институте. Он вышел на пенсию в 1894 году, но время от времени преподавал и продолжал публиковаться. Он так и не женился, вместо этого живя со своей сестрой Юлией.
Дедекинд был избран в Берлинскую (1880) и Римскую академии, а также во Французскую академию наук (1900). Он получил почетные докторские степени от университетов Осло , Цюриха и Брауншвейга .
-Portrait-Portr_11953.tif_(cropped).jpg/1280px-ETH-BIB-Dedekind,_Julius_Wilhelm_Richard_(1831-1916)-Portrait-Portr_11953.tif_(cropped).jpg)
Впервые преподавая исчисление в Политехнической школе, Дедекинд разработал понятие, теперь известное как сечение Дедекинда (нем. Schnitt ), теперь стандартное определение действительных чисел. Идея сечения заключается в том, что иррациональное число делит рациональные числа на два класса ( множества ), причем все числа одного класса (большего) строго больше всех чисел другого (меньшего) класса. Например, квадратный корень из 2 определяет все неотрицательные числа, квадраты которых меньше 2, и отрицательные числа в меньший класс, а положительные числа, квадраты которых больше 2, в больший класс. Каждое место на континууме числовой прямой содержит либо рациональное, либо иррациональное число. Таким образом, нет пустых мест, пробелов или разрывов. Дедекинд опубликовал свои мысли об иррациональных числах, а Дедекинд вырезал их из брошюры «Stetigkeit und irrationale Zahlen» («Непрерывность и иррациональные числа»); [2] в современной терминологии Vollständigkeit , полнота .
Дедекинд определил два множества как «подобные», когда между ними существует взаимно-однозначное соответствие . [3] Он прибегнул к подобию, чтобы дать первое [4] точное определение бесконечного множества : множество бесконечно, когда оно «подобно собственной части самого себя», [5] в современной терминологии равночисленно одному из своих собственных подмножеств . Таким образом, можно показать, что множество N натуральных чисел подобно подмножеству N , элементы которого являются квадратами каждого элемента N , ( N → N 2 ):
Н 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
↓ Н 2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ...Работа Дедекинда в этой области предвосхитила работы Георга Кантора , которого обычно считают основателем теории множеств . Аналогичным образом, его вклад в основы математики предвосхитил более поздние работы крупных сторонников логицизма , таких как Готлоб Фреге и Бертран Рассел .
Дедекинд редактировал собрания сочинений Лежена Дирихле , Гаусса и Римана . Изучение Дедекиндом работ Лежена Дирихле привело его к более позднему изучению алгебраических числовых полей и идеалов . В 1863 году он опубликовал лекции Лежена Дирихле по теории чисел под названием Vorlesungen über Zahlentheorie («Лекции по теории чисел»), о которых было написано следующее:
Хотя книга, несомненно, основана на лекциях Дирихле и хотя сам Дедекинд на протяжении всей своей жизни называл ее книгой Дирихле, сама книга была полностью написана Дедекиндом, по большей части после смерти Дирихле.
— Эдвардс, 1983
Издания Vorlesungen 1879 и 1894 годов включали дополнения, вводящие понятие идеала, фундаментального для теории колец . (Слово «Кольцо», введенное позже Гильбертом , не появляется в работе Дедекинда.) Дедекинд определил идеал как подмножество множества чисел, составленное из алгебраических целых чисел , которые удовлетворяют полиномиальным уравнениям с целыми коэффициентами. Эта концепция получила дальнейшее развитие в руках Гильберта и, особенно, Эмми Нётер . Идеалы обобщают идеальные числа Эрнста Эдуарда Куммера , разработанные как часть попытки Куммера 1843 года доказать Великую теорему Ферма . (Таким образом, можно сказать, что Дедекинд был самым важным учеником Куммера.) В статье 1882 года Дедекинд и Генрих Мартин Вебер применили идеалы к римановым поверхностям , дав алгебраическое доказательство теоремы Римана–Роха .
В 1888 году он опубликовал короткую монографию под названием Was sind und was sollen die Zahlen? («Что такое числа и для чего они нужны?» Эвальд 1996: 790), [6] , в которую вошло его определение бесконечного множества . Он также предложил аксиоматическую основу для натуральных чисел, чьими примитивными понятиями были число один и функция-последователь . В следующем году Джузеппе Пеано , цитируя Дедекинда, сформулировал эквивалентный, но более простой набор аксиом , которые теперь являются стандартными.
Дедекинд внес и другие вклады в алгебру . Например, около 1900 года он написал первые статьи о модулярных решетках . В 1872 году, во время отпуска в Интерлакене , Дедекинд встретил Георга Кантора . Так начались прочные отношения взаимного уважения, и Дедекинд стал одним из первых математиков, восхищавшихся работой Кантора, касающейся бесконечных множеств, оказавшись ценным союзником в спорах Кантора с Леопольдом Кронекером , который был философски против трансфинитных чисел Кантора . [7]
Основная литература на английском языке:
Основная литература на немецком языке:
Существует онлайн-библиография вторичной литературы по Дедекинду. Также см. «Введение» Стиллвелла к Дедекинду (1996).
