Роджер Коутс

Роджер Котес FRS (10 июля 1682 – 5 июня 1716) был английским математиком , известным тем, что тесно сотрудничал с Исааком Ньютоном, корректируя второе издание его знаменитой книги Principia перед публикацией. Он также изобрел квадратурные формулы, известные как формулы Ньютона–Котеса , и выдвинул геометрическое доказательство, которое можно интерпретировать как логарифмическую версию формулы Эйлера . ^[4] Он был первым профессором-плюмианцем в Кембриджском университете с 1707 года до своей смерти.

Ранний период жизни

Коутс родился в Бербедже, Лестершир . Его родителями были Роберт, ректор Бербеджа, и его жена Грейс, урожденная Фармер. У Роджера был старший брат Энтони (родился в 1681 году) и младшая сестра Сюзанна (родилась в 1683 году), оба из которых умерли молодыми. Сначала Роджер посещал школу Лестера, где его математический талант был признан. Его тетя Ханна вышла замуж за преподобного Джона Смита, и Смит взял на себя роль наставника, чтобы поощрять талант Роджера. Сын Смитов, Роберт Смит , стал близким соратником Роджера Коутса на протяжении всей его жизни. Позже Коутс учился в школе Святого Павла в Лондоне и поступил в Тринити-колледж в Кембридже в 1699 году. ^[5] Он получил степень бакалавра в 1702 году и степень магистра в 1706 году. ^[2]

Астрономия

Вклад Роджера Котса в современные вычислительные методы в значительной степени лежит в области астрономии и математики. Котс начал свою педагогическую карьеру, сосредоточившись на астрономии . Он стал членом Тринити-колледжа в 1707 году, а в возрасте 26 лет стал первым профессором астрономии и экспериментальной философии Плюмиана. После своего назначения профессором он открыл подписной лист в попытке обеспечить обсерваторию для Тринити. К сожалению, обсерватория все еще не была достроена, когда Котс умер, и была снесена в 1797 году. ^[2]

В переписке с Исааком Ньютоном Котес спроектировал гелиостатный телескоп с зеркалом, вращающимся с помощью часового механизма. ^[6][ ^7] Он пересчитал солнечные и планетарные таблицы Джованни Доменико Кассини и Джона Флемстида и намеревался создать таблицы движения Луны , основанные на ньютоновских принципах. ^[^{требуется ссылка}^] Наконец, в 1707 году он основал школу физических наук в Тринити в партнерстве с Уильямом Уистоном . ^[2]

TheПринципы

С 1709 по 1713 год Котс активно участвовал во втором издании «Начал» Ньютона , книги, в которой объяснялась теория всемирного тяготения Ньютона . Первое издание « Начал» было напечатано тиражом всего в несколько экземпляров и нуждалось в доработке, чтобы включить в него труды Ньютона и принципы лунной и планетарной теории. ^[2] Сначала Ньютон относился к доработке небрежно, так как он почти отказался от научной работы. ^{[ требуется ссылка ]} Однако благодаря неистовой страсти, проявленной Котсом, научный голод Ньютона снова разгорелся. ^{[ требуется ссылка ]} Они провели почти три с половиной года, сотрудничая над работой, в которой они полностью вывели из законов движения Ньютона теорию Луны , равноденствий и орбит комет . Было напечатано всего 750 экземпляров второго издания ^[2], хотя пиратские копии из Амстердама также распространялись, чтобы удовлетворить спрос на работу. ^{[ необходима цитата ]} В качестве награды Котсу была предоставлена доля прибыли и 12 его собственных экземпляров. ^{[ необходима цитата ]} Первоначальным вкладом Котса в работу было предисловие, в котором поддерживалось научное превосходство принципов Ньютона над популярной тогда вихревой теорией гравитации, отстаиваемой Рене Декартом . Котс пришел к выводу, что закон тяготения Ньютона подтверждается наблюдением небесных явлений, которые не согласуются с вихревой теорией. ^[2]

Математика

Основная оригинальная работа Котса была в области математики, особенно в области интегрального исчисления , логарифмов и численного анализа . За всю свою жизнь он опубликовал только одну научную работу под названием «Logometria» , в которой успешно построил логарифмическую спираль . ^[8]^[9] После его смерти многие математические работы Котса были отредактированы его кузеном Робертом Смитом и опубликованы в книге «Harmonia mensurarum» . ^[2]^[10] Дополнительные работы Котса были позже опубликованы в книге Томаса Симпсона « Учение и применение флюксий » . ^[8] Хотя стиль Котса был несколько неясным, его систематический подход к интегрированию и математической теории высоко ценился его коллегами. ^{[ требуется ссылка ]} Котс открыл важную теорему о корнях n-й степени из единицы , ^[11] предвидел метод наименьших квадратов , ^[12] и открыл метод интегрирования рациональных дробей с биномиальными знаменателями . ^[8]^[13] Его также хвалили за его усилия в области численных методов, особенно в методах интерполяции и его методах построения таблиц. ^[8] Его считали одним из немногих британских математиков, способных следовать мощной работе сэра Исаака Ньютона. ^{[ необходима цитата ]}

Смерть и оценка

Коутс умер от сильной лихорадки в Кембридже в 1716 году в возрасте 33 лет. Исаак Ньютон заметил: «Если бы он был жив, мы бы кое-что знали». ^[2]

Смотрите также

Ссылки

↑ Гоуинг 2002, стр. 5.
^ abcdefghi Мели (2004)
^ Rusnock (2004) "Jurin, James (bap. 1684, d. 1750)", Oxford Dictionary of National Biography , Oxford University Press, дата обращения 6 сентября 2007 г. (требуется подписка или членство в публичной библиотеке Великобритании)
^
Котес писал: "Nam si quadrantis circuli quilibet arcus, radio CE descriptus, sinun habeat CX sinumque completi ad quadrantem XE ; sumendo radium CE pro Modulo, arcus erit rationis inter & $EX+XC{\sqrt {-1}}$ CE mensura ducta in ." ${\sqrt {-1}}$ (Таким образом, если любая дуга квадранта окружности, описанная радиусом CE , имеет синус CX и синус дополнения к квадранту XE ; взяв радиус CE в качестве модуля, дуга будет мерой отношения между & CE , умноженным на .) То есть, рассмотрим окружность с центром E (в начале координат плоскости (x, y)) и радиусом CE . Рассмотрим угол θ с вершиной в точке E , имеющий положительную ось x в качестве одной стороны и радиус CE в качестве другой стороны. Перпендикуляр из точки C на окружности к оси x является "синусом" CX ; линия между центром окружности E и точкой X у основания перпендикуляра — это XE , что является «синусом дополнения к квадранту» или «косинусом». Таким образом , отношение между и CE равно . В терминологии Котеса «мера» величины — это ее натуральный логарифм, а «модуль» — это коэффициент преобразования, который преобразует меру угла в длину дуги окружности (здесь модуль — это радиус ( CE ) окружности). По словам Котеса, произведение модуля и меры (логарифма) отношения, умноженное на , равно длине дуги окружности, охватываемой θ , что для любого угла, измеренного в радианах, равно CE • θ . Таким образом, . Это уравнение имеет неправильный знак: множитель должен быть в правой части уравнения, а не в левой. Если сделать это изменение, то после деления обеих сторон на CE и возведения обеих сторон в степень, результат будет: , что является формулой Эйлера. См.: $EX+XC{\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ $EX+XC{\sqrt {-1}}$ $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ${\sqrt {-1}}$ $\cos \theta +{\sqrt {-1}} \sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$
- Роджер Коутс (1714) «Логометрия», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 29 (338): 5-45; см. особенно стр. 32. Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust
- Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722 г.), глава: «Логометрия», стр. 28.
^ "Cotes, Roger (CTS699R)". База данных выпускников Кембриджа . Кембриджский университет.
^ Эдлстон, Дж., ред. (1850) Переписка сэра Исаака Ньютона и профессора Коутса, … (Лондон, Англия: Джон У. Паркер), «Письмо XCVIII. Коутс Джону Смиту». (10 февраля 1708 г.), стр. 197–200.
^ Кау, Аутар (1 января 2003 г.). "cotes - A Historical Anecdote". mathforcollege.com . Получено 12 декабря 2017 г. .
^ abcd О'Коннор и Робертсон (2005)
^ В «Логометрии » Котес оценил e, основание натуральных логарифмов , до 12 знаков после запятой. См.: Роджер Котес (1714) «Логометрия», Философские труды Королевского общества Лондона , 29 (338): 5-45; см. особенно нижнюю часть страницы 10. Со страницы 10: «Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, …» (Более того, то же самое отношение находится между 2,718281828459… и 1, … )
^ Harmonia mensurarum содержит главу с комментариями Роберта Смита к работе Котса. На странице 95 Смит впервые приводит значение 1 радиана . См.: Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722), глава: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, начало страницы 95. Со страницы 95: После утверждения, что 180° соответствует длине π (3,14159…) вдоль единичной окружности (т. е. π радиан), Смит пишет: "Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57,2957795130 &c. " (Отсюда появится коэффициент преобразования тригонометрической меры, 57,2957795130… [градусов на радиан].)
^ Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722), глава: «Theoremata tum logometrica tum triogonometrica datarum fluxionum fluentes exhibentia, per методум mensurarum ulterius extensam» (Теоремы, некоторые логорифмические, некоторые тригонометрические, которые получить флюенты данных флюксий с помощью разработанного далее метода измерений), страницы 113-114.
^ Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722), глава: «Aestimatio errorum in mixta mathesis pervaries partium trianguli plani et sphaerici» Harmonia mensurarum…, страницы 1–22, см. особенно стр. 22. Со стр. 22: «Sit p locus Objecti alicujus ex Observatione prima definitus,… ejus loco tutissime haberi potest». (Пусть p будет местоположением некоторого объекта, определенным наблюдением, q, r, s — местоположениями того же объекта из последующих наблюдений. Пусть также будут веса P, Q, R, S, обратно пропорциональные смещениям, которые могут возникнуть из-за ошибки в отдельных наблюдениях, и которые даны из заданных пределов ошибок; и веса P, Q, R, S задуманы как помещенные в p, q, r, s, и их центр тяжести Z находится : Я утверждаю, что точка Z является наиболее вероятным местоположением объекта и может быть с большой долей уверенности принята за его истинное место. [Рональд Гоуинг, 1983, стр. 107])
↑ Котс представил свой метод в письме Уильяму Джонсу от 5 мая 1716 года. Отрывок из письма, в котором обсуждается метод, был опубликован в: [Anon.] (1722), Обзор книги: «Отчет о книге, озаглавленной Harmonia Mensurarum , …», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 32 : 139–150; см. страницы 146–148.

Источники

[Анон.] «Котс, Роджер» . Энциклопедия Британника . Т. 7 (11-е изд.). 1911.
Коэн, И. Б. (1971). Введение в «Начала» Ньютона . Гарвард: Издательство Гарвардского университета. ISBN 0-674-46193-2.
Эдлстон, Дж., ред. (1850). Переписка сэра Исаака Ньютона и профессора Коутса.через Интернет-архив
Гоуинг, Р. (2002). Роджер Коутс: натурфилософ . Лондон: Cambridge University Press. ISBN 0-521-52649-3.
Койре, А. (1965). Ньютоновские исследования . Лондон: Chapman & Hall. стр. 273–82. ISBN 0-412-42300-6.
Прайс, DJ (1952). «Ранние обсерваторские инструменты Тринити-колледжа, Кембридж». Annals of Science . 8 : 1–12. doi :10.1080/00033795200200012.
Turnbull, HW; et al. (1975–1976). Переписка Исаака Ньютона (7 томов). Лондон: Cambridge University Press. тома 5–6.
Уитмен, А., ред. (1972). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Исаака Ньютона: Третье издание (1726) с вариантами прочтения . Лондон: Cambridge University Press. стр. 817–26. ISBN 0-521-07960-8.

Внешние ссылки

«Гармония Мензурарум». Математические страницы . Проверено 7 сентября 2007 г.- Более полный отчет об участии Котса в работе над Principia , за которым следует еще более подробное обсуждение его математических работ.
Роджер Коутс в проекте «Генеалогия математики»
О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Роджер Коутс», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
Meli, DB (2004) «Cotes, Roger (1682–1716)», Oxford Dictionary of National Biography , Oxford University Press, дата обращения 7 сентября 2007 г. (требуется подписка или членство в публичной библиотеке Великобритании)