Соленоид (математика)

Класс компактных связных топологических пространств

На этой странице обсуждается класс топологических групп. Для обернутой петли провода см. Соленоид .

Соленоид Смейла-Вильямса.

В математике соленоид — это компактное связное топологическое пространство (т.е. континуум ), которое может быть получено как обратный предел обратной системы топологических групп и непрерывных гомоморфизмов.

${\displaystyle f_{i}:S_{i+1}\to S_{i}\quad \forall i\geq 0}$

где каждое из них является окружностью , а f _i — отображение, равномерно оборачивающее окружность за раз ( ) вокруг окружности . ^{[1] : Гл. 2 Определение. (10.12)} Это построение можно осуществить геометрически в трехмерном евклидовом пространстве R ³ . Соленоид — это однородный однородный неразложимый континуум , имеющий структуру абелевой компактной топологической группы . ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i+1}}$ ${\displaystyle n_{i+1}}$ ${\displaystyle n_{i+1}\geq 2}$ ${\displaystyle S_{i}}$

Соленоиды были впервые введены Виеторисом для случая ^[2] и ван Данцигом для случая, когда фиксировано. ^[3] Такой соленоид возникает как одномерный расширяющийся аттрактор , или аттрактор Смейла–Вильямса , и образует важный пример в теории гиперболических динамических систем . ${\displaystyle n_{i}=2}$ ${\displaystyle n_{i}=n}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Строительство

Геометрическое построение и аттрактор Смейла–Вильямса

Твердый тор, дважды обернутый вокруг другого сплошного тора в R ³

Первые шесть шагов построения аттрактора Смейла-Вильямса.

Каждый соленоид может быть построен как пересечение вложенной системы вложенных полноторий в R ³ .

Зафиксируем последовательность натуральных чисел { n _i }, n _i ≥ 2. Пусть T ₀ = S ¹ × D — полноторий . Для каждого i ≥ 0 выберем полноторий T _{i +1} , который продольно обернут n _i раз внутри полнотора T _i . Тогда их пересечение

${\displaystyle \Lambda =\bigcap _{i\geq 0}T_{i}}$

гомеоморфен соленоиду , построенному как обратный предел системы окружностей с отображениями, определяемыми последовательностью { n _i }.

Вот вариант этой конструкции, выделенный Стивеном Смейлом в качестве примера расширяющегося аттрактора в теории гладких динамических систем. Обозначим угловую координату на окружности S ¹ через t (она определена mod 2π) и рассмотрим комплексную координату z на двумерном единичном круге D . Пусть f — отображение полнотория T = S ¹ × D в себя, заданное явной формулой

${\displaystyle f(t,z)=\left(2t,{\tfrac {1}{4}}z+{\tfrac {1}{2}}e^{it}\right).}$

Это отображение является гладким вложением T в себя, сохраняющим слоение меридиональными дисками (константы 1/2 и 1/4 несколько произвольны, но существенно, что 1/4 < 1/2 и 1/4 + 1/2 < 1). Если представить T как резиновую трубку, отображение f растягивает ее в продольном направлении, сжимает каждый меридиональный диск и дважды обертывает деформированную трубку внутри T с закручиванием, но без самопересечений. Гиперболическое множество Λ дискретной динамической системы ( T , f ) является пересечением последовательности вложенных полноторий, описанной выше, где T _i - образ T при i -й итерации отображения f . Это множество является одномерным (в смысле топологической размерности ) аттрактором , а динамика f на Λ обладает следующими интересными свойствами:

• Меридиональные диски — это устойчивые многообразия , каждое из которых пересекает Λ по множеству Кантора.
• Периодические точки f плотны в Λ​
• отображение f топологически транзитивно на Λ

Общая теория соленоидов и расширяющихся аттракторов, не обязательно одномерных, была разработана Р. Ф. Уильямсом и включает в себя проективную систему бесконечного числа копий компактного разветвленного многообразия вместо окружности, вместе с расширяющимся самопогружением .

Построение в тороидальных координатах

В тороидальных координатах с радиусом соленоид можно параметризовать следующим образом : где ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \zeta =2\pi t,\quad re^{i\theta }=\sum _{k=1}^{\infty }r_{k}e^{2\pi i\omega _{k}t}}$$

${\displaystyle \omega _{k}={\frac {1}{n_{1}\cdots n_{k}}},\quad r_{k}=R\delta _{1}\cdots \delta _{k}}$

Здесь, регулируемые параметры формы, с ограничением . В частности, работает. ${\displaystyle \delta _{k}}$ ${\displaystyle 0<\delta <1-{\frac {1}{1+\sin {\frac {\pi }{n_{k}}}}}}$ ${\displaystyle \delta ={\frac {1}{2n_{k}}}}$

Пусть — соленоид, построенный таким образом, тогда топология соленоида — это просто топология подмножества, индуцированная евклидовой топологией на . ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Поскольку параметризация является биективной, мы можем оттянуть топологию на , что делает себя соленоидом. Это позволяет нам явно построить обратные предельные отображения: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle g_{k}:\mathbb {R} \to S_{k},\quad g_{k}(t)=(r,\theta ,\zeta ){\text{ in toroidal coordinates, where }}\zeta =2\pi t,\quad re^{i\theta }=\sum _{k=1}^{k}r_{k}e^{2\pi i\omega _{k}t}}$$

Конструкция посредством символической динамики

Рассматриваемый как набор, соленоид представляет собой просто континуум Кантора из окружностей, соединенных вместе определенным образом. Это подсказывает нам конструкцию с помощью символической динамики , где мы начинаем с окружности как «гоночной трассы» и добавляем «одометр», чтобы отслеживать, на какой окружности мы находимся.

Определим как соленоид. Далее, определим сложение на одометре , так же как p-адические числа. Далее, определим сложение на соленоиде с помощью Топология на соленоиде генерируется базисом, содержащим подмножества , где — любой открытый интервал в , а — множество всех элементов , начиная с начального сегмента . ${\displaystyle S=S^{1}\times \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}\to \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$ ${\displaystyle +:\mathbb {R} \times S\to S}$ $${\displaystyle r+(\theta ,n)=((r+\theta \mod 1),\lfloor r+\theta \rfloor +n)}$$ ${\displaystyle S'\times Z'_{(m_{1},...,m_{k})}}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle Z'_{(m_{1},...,m_{k})}}$ ${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$ ${\displaystyle (m_{1},...,m_{k})}$

Патологические свойства

Соленоиды — это компактные метризуемые пространства , которые связны , но не локально связны или не связаны путями . Это отражается в их патологическом поведении по отношению к различным теориям гомологии , в отличие от стандартных свойств гомологии для симплициальных комплексов . В гомологии Чеха можно построить неточную длинную гомологическую последовательность, используя соленоид. В теориях гомологии в стиле Стинрода ^[4] 0-я группа гомологии соленоида может иметь довольно сложную структуру, даже если соленоид является связным пространством.

Смотрите также

• Протор , класс топологических групп, включающий соленоиды
• Двойственность Понтрягина
• Обратный предел
• p-адическое число
• Проконечное целое число

Ссылки

1. Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1979). Абстрактный гармонический анализ I: Структура топологических групп. Теория интеграции. Групповые представления . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Том. 115. Берлин-Нью-Йорк: Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4419-8638-2. ISBN 978-0-387-94190-5.
2. Виеторис, Л. (декабрь 1927 г.). «Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen». Математические Аннален . 97 (1): 454–472. дои : 10.1007/bf01447877. ISSN  0025-5831. S2CID  121172198.
3. ван Данциг, Д. (1930). «Ueber топологически гомогенный континуум». Фундамента Математика . 15 : 102–125. дои : 10.4064/fm-15-1-102-125 . ISSN  0016-2736.
4. "Гомологии Стинрода-Ситникова - Энциклопедия математики".

• Д. ван Данциг, Ueber topologisch homogene Kontinua , Fund. Математика. 15 (1930), стр. 102–125.
• «Соленоид», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Кларк Робинсон, Динамические системы: Устойчивость, Символическая динамика и хаос , 2-е издание, CRC Press, 1998 ISBN 978-0-8493-8495-0 
• С. Смейл, Дифференцируемые динамические системы, Бюлл. Американского математического общества , 73 (1967), 747 – 817.
• Л. Виеторис, Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen , Math. Энн. 97 (1927), стр. 454–472.
• Роберт Ф. Уильямс, Расширяющиеся аттракторы, Publ. Math. IHÉS, т. 43 (1974), стр. 169–203

Дальнейшее чтение

• Semmes, Stephen (12 января 2012 г.), Некоторые замечания о соленоидах , arXiv : 1201.2647 , Bibcode : 2012arXiv1201.2647S