Шулва -сутры или Шулбасутры ( санскрит : शुल्बसूत्र; śulba : «нитка, шнур, веревка») — это тексты сутр , принадлежащие ритуалу Шраута и содержащие геометрию, связанную со строительством огненного алтаря .
Шульба-сутры являются частью более крупного корпуса текстов, называемых Шраута-сутры , которые считаются приложениями к Ведам . Они являются единственными источниками знаний индийской математики ведического периода . Уникальные формы огненного алтаря ассоциировались с уникальными дарами богов. Например, «кто желает неба, тот должен построить огненный жертвенник в виде сокола»; «огненный алтарь в форме черепахи должен быть построен тем, кто желает завоевать мир Брахмана» и «те, кто желает уничтожить существующих и будущих врагов, должны построить огненный алтарь в форме ромба». [1]
Четыре основные Шулба-сутры, которые являются наиболее значимыми с математической точки зрения, принадлежат Баудхаяне , Манаве , Апастамбе и Катьяяне . [2] Их язык — поздний ведический санскрит , что указывает на то, что они возникли примерно в 1-м тысячелетии до нашей эры . [2] Самая старая из них — сутра, приписываемая Баудхаяне, вероятно, составленная примерно между 800 и 500 годами до нашей эры. [2] Пингри говорит, что Апастамба, вероятно, следующий по возрасту; он помещает Катьяяну и Манаву на третье и четвертое места в хронологическом порядке на основании очевидных заимствований. [3] По словам Плофкера, Катьяяна была составлена после «великой грамматической кодификации санскрита Панини, вероятно , в середине четвертого века до нашей эры», но она относит Манаву к тому же периоду, что и Баудхаяну. [4]
Что касается состава ведических текстов, Плофкер пишет:
Ведическое почитание санскрита как священной речи, чьи божественно открытые тексты предназначались для чтения, прослушивания и запоминания, а не для передачи в письменной форме, помогло сформировать санскритскую литературу в целом. ... Таким образом, тексты составлялись в форматах, которые можно было легко запомнить: либо сжатые прозаические афоризмы ( сутры , слово, позже примененное для обозначения правила или алгоритма в целом), либо стихи, особенно в классический период. Естественно, простота запоминания иногда мешала легкости понимания. В результате большинство трактатов были дополнены одним или несколькими комментариями в прозе...» [5]
К каждой из «Шульба-сутр» имеется множество комментариев, но они были написаны намного позже оригинальных произведений. Комментарий Сундарараджи к Апастамбе, например, датируется концом 15-го века нашей эры [6] , а комментарий Дваракнатхи к Баудхаяне, по-видимому, заимствован у Сундараджи. [7] По мнению Стаала, некоторые аспекты традиции, описанной в «Шульба-сутрах», могли быть «передавались устно», и он указывает на места на юге Индии, где до сих пор практикуется ритуал огненного алтаря и сохранилась устная традиция. [8] Однако традиция огненного алтаря в Индии в значительной степени вымерла, и Плофкер предупреждает, что те районы, где эта практика сохранилась, могут отражать более позднее ведическое возрождение, а не непрерывную традицию. [4] Археологические свидетельства алтарных конструкций, описанных в «Шулба-сутрах», скудны. Большой огненный алтарь в форме сокола ( śyenaciti ), датируемый вторым веком до нашей эры, был найден при раскопках Г. Р. Шармы в Каусамби , но этот алтарь не соответствует размерам, предписанным Шулба-сутрами. [3] [9]
Содержание Шульба-сутр, вероятно, старше самих произведений. В «Сатапатха-брахмане» и « Тайттирия-самхите» , содержание которых датируется концом второго тысячелетия или началом первого тысячелетия до н . Баудхаяна Шульба Сутра. [10] [11]
Некоторые математики и историки отмечают, что самые ранние тексты были написаны начиная с 800 г. до н.э. ведическими индуистами на основе компиляций устной традиции, датируемой 2000 г. до н.э. [12] [13] Возможно, как предположил Гупта, геометрия была разработана для удовлетворения потребностей ритуала. [14] Некоторые ученые идут еще дальше: Стаал выдвигает гипотезу об общем ритуальном происхождении индийской и греческой геометрии, ссылаясь на схожий интерес и подход к удвоению и другим проблемам геометрического преобразования. [15] Зайденберг, а затем ван дер Варден, рассматривают ритуальное происхождение математики в более широком смысле, постулируя, что основные достижения, такие как открытие теоремы Пифагора, произошли только в одном месте и распространились оттуда по остальному миру. . [16] [17] Ван дер Варден упоминает, что автор сутр Сулбха существовал до 600 г. до н.э. и не мог находиться под влиянием греческой геометрии. [18] [19] Хотя Бойер упоминает древневавилонскую математику (ок. 2000 г. до н.э. – 1600 г. до н.э.) как возможное происхождение, однако также утверждает, что сутры Шульбы содержат формулу, которой нет в вавилонских источниках. [20] [1] К.С. Кришнан упоминает, что сутры Шульбы появились раньше месопотамских троек Пифагора. [21] Зайденберг утверждает, что либо «Старая Вавилония получила теорему Пифагора из Индии, либо что Старая Вавилония и Индия получили ее из третьего источника». Зайденберг предполагает, что этот источник может быть шумерским и датироваться более 1700 годом до нашей эры. [22] Напротив, Пингри предупреждает, что «было бы ошибкой видеть в работах [строителей алтарей] уникальное происхождение геометрии; другие в Индии и других местах, будь то в ответ на практические или теоретические проблемы, вполне могли продвинуться вперед». пока их решения не были запомнены или в конечном итоге записаны в рукописях». [23] Плофкер также предполагает, что «существующие геометрические знания [были] сознательно включены в ритуальную практику». [24]
Сутры содержат утверждения теоремы Пифагора как в случае равнобедренного прямоугольного треугольника , так и в общем случае, а также списки пифагорейских троек . [25] В Баудхаяне, например, правила сформулированы следующим образом:
1.9. Диагональ квадрата дает двойную площадь [квадрата].
[...]
1.12. Площади [квадратов], полученные по отдельности из длин прямоугольника, вместе взятые, равны площади [квадрата], полученной из диагонали.
1.13. Это наблюдается в прямоугольниках, имеющих стороны 3 и 4, 12 и 5, 15 и 8, 7 и 24, 12 и 35, 15 и 36. [26]
Точно так же в правилах Апастамбы для построения прямых углов в огненных алтарях используются следующие пифагорейские тройки: [27] [28]
Кроме того, в сутрах описаны процедуры построения квадрата, площадь которого равна сумме или разности двух данных квадратов. Обе конструкции основаны на том, что самый большой из квадратов является квадратом на диагонали прямоугольника, а два меньших квадрата — квадратами на сторонах этого прямоугольника. Утверждение о том, что каждая процедура дает квадрат нужной площади, эквивалентно утверждению теоремы Пифагора. Другая конструкция дает квадрат с площадью, равной площади данного прямоугольника. Процедура заключается в том, чтобы отрезать прямоугольный кусок от конца прямоугольника и приклеить его в сторону, чтобы сформировать гномон с площадью, равной исходному прямоугольнику. Поскольку гномон — это разность двух квадратов, задачу можно решить, используя одну из предыдущих конструкций. [29]
Сутра Баудхаяны Шульбы дает построение геометрических фигур, таких как квадраты и прямоугольники. [30] Он также дает, иногда приблизительные, геометрические преобразования одной геометрической формы в другую, сохраняющие площадь. К ним относятся преобразование квадрата в прямоугольник , равнобедренная трапеция , равнобедренный треугольник , ромб и круг , а также преобразование круга в квадрат. [30] В этих текстах приближения, такие как преобразование круга в квадрат, появляются рядом с более точными утверждениями. Например, утверждение об обходе квадрата дано в Баудхаяне следующим образом:
2.9. Если желательно превратить квадрат в круг, [шнур длиной в половину диагонали [квадрата] протягивается от центра к востоку [часть его, лежащая за пределами восточной стороны квадрата]; прибавив одну треть [части, лежащей снаружи] к остатку [половины диагонали], рисуется [нужный] круг. [31]
а утверждение квадратуры круга задается как:
2.10. Чтобы превратить круг в квадрат, диаметр делят на восемь частей; одна [такая] часть после разделения на двадцать девять частей уменьшается на двадцать восемь из них и далее на шестую [из оставшейся части] за вычетом восьмой [из шестой части].
2.11. Альтернативно разделите [диаметр] на пятнадцать частей и уменьшите его на две из них; это дает приблизительную сторону квадрата [желаемая]. [31]
Конструкции в 2.9 и 2.10 дают значение π как 3,088, а конструкция в 2.11 дает π как 3,004. [32]
Строительство алтаря также привело к оценке квадратного корня из 2 , как это указано в трех сутрах. В сутре Баудаяны это звучит так:
2.12. Меру следует увеличить на треть, а эту [третью] снова на свою четверть за вычетом тридцать четвертой части [этой четверти]; это [значение] диагонали квадрата, [сторона которого является мерой]. [31]
что приводит к тому, что значение квадратного корня из двух равно:
Действительно, ранний метод вычисления квадратных корней можно найти в некоторых сутрах . Этот метод включает в себя рекурсивную формулу: для больших значений x, которая основана на нерекурсивном тождестве для значений r , чрезвычайно малых по сравнению с а .
Также было высказано предположение, например, Бюрком [35] , что это приближение √2 подразумевает знание того, что √2 иррационально . В своем переводе « Начал» Евклида Хит выделяет ряд вех, необходимых для того, чтобы иррациональность считалась открытой, и указывает на отсутствие доказательств того, что индийская математика достигла этих вех в эпоху Шульба-сутр. [36]
