Закрытие (топология)

Все точки и предельные точки в подмножестве топологического пространства

В топологии замыкание подмножества S точек в топологическом пространстве состоит из всех точек в S вместе со всеми предельными точками S. Замыкание S может быть эквивалентно определено как объединение S и его границы , а также как пересечение всех замкнутых множеств, содержащих S. Интуитивно замыкание можно рассматривать как все точки, которые находятся либо в S , либо «очень близко» к S. Точка , которая находится в замыкании S, является точкой замыкания S. Понятие замыкания во многих отношениях двойственно понятию внутренности .

Определения

Точка закрытия

Для подмножества евклидова пространства , является точкой замыкания , если каждый открытый шар с центром в содержит точку (этой точкой может быть он сам). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Это определение обобщается на любое подмножество метрического пространства Полностью выражено, поскольку метрическое пространство с метрикой является точкой замыкания , если для каждого существует такое , что расстояние ( является допустимым). Другой способ выразить это — сказать, что является точкой замыкания , если расстояние , где является инфимумом . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle d(x,s)<r}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,s)=0}$ ${\displaystyle \inf }$

Это определение обобщается на топологические пространства путем замены «открытый шар» или «шар» на « окрестность ». Пусть будет подмножеством топологического пространства Тогда является точкой замыкания или точкой присоединения , если каждая окрестность содержит точку (опять же, для допускается). ^[1] Обратите внимание, что это определение не зависит от того, должны ли окрестности быть открытыми. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle s\in S}$

Предельная точка

Определение точки замыкания множества тесно связано с определением предельной точки множества . Разница между двумя определениями тонкая, но важная, а именно, в определении предельной точки множества каждая окрестность множества должна содержать точку из , отличную от нее самой , т. е. каждая окрестность из очевидно имеет , но она также должна иметь точку из , которая не равна , чтобы быть предельной точкой . Предельная точка из имеет более строгое условие, чем точка замыкания из в определениях. Множество всех предельных точек множества называется производным множеством . Предельная точка множества также называется точкой кластера или точкой накопления множества. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Таким образом, каждая предельная точка является точкой замыкания, но не каждая точка замыкания является предельной точкой . Точка замыкания, которая не является предельной точкой, является изолированной точкой . Другими словами, точка является изолированной точкой , если она является элементом , и существует окрестность , которая не содержит других точек , кроме себя самой. ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Для заданного множества точка является точкой замыкания тогда и только тогда, когда является элементом или является предельной точкой (или и тем, и другим). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$

Закрытие набора

Замыкание подмножества топологического пространства, обозначаемого как или, возможно, как ( если подразумевается), где если и как очевидны из контекста, то его также можно обозначать как или (более того, иногда пишется с заглавной буквы .), можно определить с помощью любого из следующих эквивалентных определений: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}},}$ ${\displaystyle S{}^{-}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} }$

1. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$это множество всех точек закрытия ${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$представляет собой множество вместе со всеми его предельными точками . (Каждая точка является точкой замыкания , а каждая предельная точка также является точкой замыкания .) ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
3. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$является пересечением всех замкнутых множеств, содержащих ${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$наименьшее замкнутое множество, содержащее ${\displaystyle S.}$
5. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$это объединение и его граница ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial (S).}$
6. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$это множество всех , для которых существует сеть (со значением) в , которая сходится к в ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Замыкание множества имеет следующие свойства. ^[4]

• ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$является замкнутым надмножеством . ${\displaystyle S}$
• Множество замкнуто тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {cl} S}$
• Если то это подмножество ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} T.}$
• Если — замкнутое множество, то содержит тогда и только тогда, когда содержит ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S.}$

Иногда второе или третье свойство выше принимается за определение топологического замыкания, которое по-прежнему имеет смысл при применении к другим типам замыканий (см. ниже). ^[5]

В пространстве с первой аксиомой счетности (таком как метрическое пространство ) — это множество всех пределов всех сходящихся последовательностей точек в Для общего топологического пространства это утверждение остается верным, если заменить «последовательность» на « сеть » или « фильтр » (как описано в статье о фильтрах в топологии ). ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ ${\displaystyle S.}$

Обратите внимание, что эти свойства также выполняются, если "closure", "superset", "intersection", "contains/contenting", "smallest" и "closed" заменить на "interior", "subset", "union", "contained in", "largest" и "open". Подробнее об этом см. ниже оператор замыкания.

Примеры

Рассмотрим сферу в трехмерном пространстве. Неявно существуют две области интереса, созданные этой сферой: сама сфера и ее внутренняя часть (которая называется открытым 3- шаром ). Полезно различать внутреннюю часть и поверхность сферы, поэтому мы различаем открытый 3-шар (внутреннюю часть сферы) и закрытый 3-шар – замыкание открытого 3-шара, которое является открытым 3-шаром плюс поверхность (поверхность как сама сфера).

В топологическом пространстве :

• В любом пространстве, . Другими словами, замыкание пустого множества есть оно само. ${\displaystyle \varnothing =\operatorname {cl} \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$
• В любом пространстве ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X=\operatorname {cl} X.}$

Даем и стандартную (метрическую) топологию : ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Если — евклидово пространство действительных чисел , то . Другими словами, замыкание множества как подмножества равно . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1]}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• Если - евклидово пространство , то замыкание множества рациональных чисел - это все пространство. Мы говорим, что является плотным в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Если - комплексная плоскость , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}\right)=\{z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1\}.}$
• Если — конечное подмножество евклидова пространства , то (для общего топологического пространства это свойство эквивалентно аксиоме T 1 .) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$

На множестве действительных чисел можно разместить и другие топологии, отличные от стандартной.

• Если наделено топологией нижнего предела , то ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1).}$
• Если рассматривать дискретную топологию , в которой каждое множество замкнуто (открыто), то ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=(0,1).}$
• Если рассмотреть тривиальную топологию , в которой единственными замкнутыми (открытыми) множествами являются пустое множество и оно само, то ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=\mathbb {R} .}$

Эти примеры показывают, что замыкание множества зависит от топологии базового пространства. Последние два примера являются частными случаями следующих.

• В любом дискретном пространстве , поскольку каждое множество замкнуто (а также открыто), каждое множество равно своему замыканию.
• В любом дискретном пространстве, поскольку единственными замкнутыми множествами являются пустое множество и оно само, мы имеем, что замыкание пустого множества является пустым множеством, и для каждого непустого подмножества Другими словами, каждое непустое подмножество дискретного пространства является плотным . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$

Замыкание множества также зависит от того, в каком пространстве мы берем замыкание. Например, если — множество рациональных чисел с обычной относительной топологией, индуцированной евклидовым пространством , и если то одновременно замкнуто и открыто в, поскольку ни одно из его дополнений не может содержать , что было бы нижней границей , но не может быть в , поскольку является иррациональным. Таким образом, не имеет четко определенного замыкания из-за того, что граничные элементы не находятся в . Однако, если вместо этого мы определим как множество действительных чисел и определим интервал таким же образом, то замыкание этого интервала будет четко определено и будет множеством всех действительных чисел, больших или равных . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}>2,q>0\},}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Оператор закрытия

Оператор замыкания на множестве — это отображение множества мощности , в себя , которое удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского . При заданном топологическом пространстве топологическое замыкание индуцирует функцию , которая определяется путем отправки подмножества в , где вместо этого может использоваться обозначение или . Наоборот, если — оператор замыкания на множестве , то топологическое пространство получается путем определения замкнутых множеств как в точности тех подмножеств , которые удовлетворяют (поэтому дополнения в этих подмножеств образуют открытые множества топологии). ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S^{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {c} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbb {c} (S)=S}$ ${\displaystyle X}$

Оператор замыкания является двойственным к внутреннему оператору, который обозначается в том смысле, что ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X},}$

${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$

а также

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S).}$

Таким образом, абстрактную теорию операторов замыкания и аксиомы замыкания Куратовского можно легко перевести на язык внутренних операторов, заменив множества их дополнениями в ${\displaystyle X.}$

В общем случае оператор замыкания не коммутирует с пересечениями. Однако в полном метрическом пространстве имеет место следующий результат:

Теорема ^[7]  (К. Урсеску)  —  Пусть — последовательность подмножеств полного метрического пространства ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X.}$

• Если каждый из них закрыт , то ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {int} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].}$$
• Если каждый открыт в то ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {int} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {int} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].}$$

Факты о закрытиях

Подмножество замкнуто в том и только том случае, если : В частности: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$

• Замыкание пустого множества — это пустое множество;
• Закрытие самого себя - это ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Замыкание пересечения множеств всегда является подмножеством (но не обязательно равно) пересечения замыканий множеств.
• В объединении конечного числа множеств замыкание объединения и объединение замыканий равны; объединение нулевых множеств является пустым множеством, и поэтому это утверждение содержит в себе предыдущее утверждение о замыкании пустого множества как частный случай.
• Замыкание объединения бесконечного числа множеств не обязательно равно объединению замыканий, но оно всегда является надмножеством объединения замыканий.
  • Таким образом, как объединение двух замкнутых множеств замкнуто, так и замыкание распределяется по бинарным объединениям: то есть, Но так же, как объединение бесконечного числа замкнутых множеств не обязательно замкнуто, так и замыкание не обязательно распределяется по бесконечным объединениям: то есть, возможно, когда бесконечно. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(S\cup T)=(\operatorname {cl} _{X}S)\cup (\operatorname {cl} _{X}T).}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)\neq \bigcup _{i\in I}\operatorname {cl} _{X}S_{i}}$ ${\displaystyle I}$

Если и если является подпространством ( то есть наделенным топологией подпространства , которая индуцирует на нем), то и замыкание вычисленного в равно пересечению и замыкания вычисленного в : ${\displaystyle S\subseteq T\subseteq X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S~=~T\cap \operatorname {cl} _{X}S.}$$

Отсюда следует, что является плотным подмножеством тогда и только тогда, когда является подмножеством Возможно, что является собственным подмножеством, например, взять и ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S;}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S=(0,1),}$ ${\displaystyle T=(0,\infty ).}$

Если но не обязательно является подмножеством , то всегда гарантируется только то, что это включение может быть строгим (рассмотрим, например, с обычной топологией и ^{[доказательство 1]} ), хотя если это происходит с открытым подмножеством , то равенство будет соблюдаться (независимо от связи между и ). ${\displaystyle S,T\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\subseteq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle T=(-\infty ,0],}$ ${\displaystyle S=(0,\infty )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

Следовательно, если является любым открытым покрытием и если является любым подмножеством, то: поскольку для каждого (где каждое наделено топологией подпространства, индуцированной на нем ). Это равенство особенно полезно, когда является многообразием , а множества в открытом покрытии являются областями координатных карт . На словах этот результат показывает, что замыкание в любого подмножества может быть вычислено «локально» в множествах любого открытого покрытия и затем объединено вместе. Таким образом, этот результат можно рассматривать как аналог известного факта, что подмножество замкнуто в тогда и только тогда, когда оно « локально замкнуто в », что означает, что если является любым открытым покрытием , то замкнуто в тогда и только тогда, когда замкнуто в для каждого ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {cl} _{U}(U\cap S)}$$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{U}(S\cap U)=U\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\cap U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}.}$

Функции и закрытие

Непрерывность

Функция между топологическими пространствами непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз каждого замкнутого подмножества кодомена замкнут в области; явно это означает: замкнута в всякий раз, когда является замкнутым подмножеством ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(C)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Y.}$

В терминах оператора замыкания, является непрерывным тогда и только тогда, когда для каждого подмножества То есть, если задан любой элемент , принадлежащий замыканию подмножества, обязательно принадлежит замыканию в Если мы заявляем, что точка близка к подмножеству , если то эта терминология допускает простое описание непрерывности на английском языке : является непрерывным тогда и только тогда, когда для каждого подмножества отображает точки, которые близки к в точки, которые близки к Таким образом, непрерывные функции — это в точности те функции, которые сохраняют (в прямом направлении) отношение «близости» между точками и множествами: функция является непрерывным тогда и только тогда, когда всякий раз, когда точка близка к множеству, то образ этой точки близок к образу этого множества. Аналогично, является непрерывным в фиксированной заданной точке тогда и только тогда, когда всякий раз, когда близка к подмножеству , то близка к ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ $${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).}$$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A).}$

Закрытые карты

Функция является (сильно) замкнутым отображением тогда и только тогда, когда является замкнутым подмножеством тогда является замкнутым подмножеством В терминах оператора замыкания является (сильно) замкнутым отображением тогда и только тогда, когда для каждого подмножества Эквивалентно является (сильно) замкнутым отображением тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подмножества ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}f(A)\subseteq f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)}$ ${\displaystyle A\subseteq X.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}f(C)\subseteq f(C)}$ ${\displaystyle C\subseteq X.}$

Категорическая интерпретация

Оператор замыкания можно определить в терминах универсальных стрелок следующим образом.

Множество множеств может быть реализовано как категория частичного порядка , в которой объекты являются подмножествами, а морфизмы являются отображениями включения всякий раз, когда является подмножеством Более того , топология на является подкатегорией с функтором включения Множество замкнутых подмножеств, содержащих фиксированное подмножество, можно отождествить с категорией запятой Эта категория — также частичный порядок — тогда имеет начальный объект Таким образом, существует универсальная стрелка от к заданная включением ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle I:T\to P.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle (A\downarrow I).}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle A\to \operatorname {cl} A.}$

Аналогично, поскольку каждое замкнутое множество, содержащее , соответствует открытому множеству, содержащемуся в , мы можем интерпретировать категорию как множество открытых подмножеств, содержащихся в , с конечным объектом внутри ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (I\downarrow X\setminus A)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (A),}$ ${\displaystyle A.}$

Все свойства замыкания могут быть выведены из этого определения и нескольких свойств вышеуказанных категорий. Более того, это определение уточняет аналогию между топологическим замыканием и другими типами замыканий (например, алгебраическим замыканием ), поскольку все они являются примерами универсальных стрелок .

Смотрите также

• Точка присоединения  – точка, принадлежащая замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
• Замыкающая алгебра  – Алгебраическая структураPages displaying short descriptions of redirect targets
• Замкнутое регулярное множество , множество, равное замыканию своей внутренней части.
• Производное множество (математика)  – множество всех предельных точек множества.
• Интерьер (топология)  – наибольшее открытое подмножество некоторого заданного множества.
• Предельная точка множества  – Точка кластера в топологическом пространствеPages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. Из и следует, что и что подразумевает ${\displaystyle T:=(-\infty ,0]}$ ${\displaystyle S:=(0,\infty )}$ ${\displaystyle S\cap T=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=[0,\infty ),}$ $${\displaystyle \varnothing ~=~\operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\neq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S~=~\{0\}.}$$

Ссылки

1. Шуберт 1968, стр. 20
2. Куратовский 1966, стр. 75
3. Хокинг и Янг 1988, стр. 4
4. Крум 1989, стр. 104
5. Gemignani 1990, стр. 55, Pervin 1965, стр. 40 и Baker 1991, стр. 38 используют второе свойство в качестве определения.
6. Первин 1965, стр. 41
7. Залинеску 2002, стр. 33.

Библиография

• Бейкер, Крамп В. (1991), Введение в топологию , издательство Wm. C. Brown, ISBN 0-697-05972-3
• Крум, Фред Х. (1989), Принципы топологии , Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
• Джеминьяни, Майкл С. (1990) [1967], Элементарная топология (2-е изд.), Довер, ISBN 0-486-66522-4
• Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология , Дувр, ISBN 0-486-65676-4
• Куратовский, К. (1966), Топология , т. I, Academic Press
• Первин, Уильям Дж. (1965), Основы общей топологии , Academic Press
• Шуберт, Хорст (1968), Топология , Аллин и Бэкон
• Zălinescu, Constantin (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – через Интернет-архив .

Внешние ссылки

• «Замыкание множества», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]