Уравнения движения

В физике уравнения движения — это уравнения , которые описывают поведение физической системы в терминах ее движения как функции времени. ^[1] Более конкретно, уравнения движения описывают поведение физической системы как набор математических функций в терминах динамических переменных. Эти переменные обычно являются пространственными координатами и временем, но могут включать компоненты импульса . Наиболее общим выбором являются обобщенные координаты, которые могут быть любыми удобными переменными, характерными для физической системы. ^[2] Функции определены в евклидовом пространстве в классической механике , но заменяются искривленными пространствами в теории относительности . Если динамика системы известна, уравнения являются решениями для дифференциальных уравнений, описывающих движение динамики.

Типы

Существует два основных описания движения: динамика и кинематика . Динамика является общей, поскольку учитываются импульсы, силы и энергия частиц . В этом случае иногда термин динамика относится к дифференциальным уравнениям, которым удовлетворяет система (например, второй закон Ньютона или уравнения Эйлера–Лагранжа ), а иногда к решениям этих уравнений.

Однако кинематика проще. Она касается только переменных, полученных из положений объектов и времени. В условиях постоянного ускорения эти более простые уравнения движения обычно называются уравнениями SUVAT, вытекающими из определений кинематических величин : смещения ( $s$ ), начальной скорости ( $u$ ), конечной скорости ( $v$ ), ускорения ( $a$ ) и времени ( $t$ ).

Дифференциальное уравнение движения, обычно определяемое как некоторый физический закон (например, F = ma) и применяющее определения физических величин , используется для составления уравнения для задачи. ^{[ необходимо пояснение ]} Решение дифференциального уравнения приведет к общему решению с произвольными константами, произвольность которого соответствует семейству решений. Частное решение может быть получено путем задания начальных значений , что фиксирует значения констант.

$Если выразить$ это формально, то в общем случае уравнение движения $M$ является функцией положения r объекта, его скорости (первой производной по времени от $r$ , $v$ $=$ $⁠$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}д р/дт⁠$ ) и его ускорение (вторая производная от $r$ , $a = ⁠ д 2 р / дт 2 ⁠$ ) и время $t$ . Евклидовы векторы в 3D везде обозначены жирным шрифтом. Это эквивалентно тому, что уравнение движения в $r$ является обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ)второго порядка $в r$ ,

$M\left[\mathbf {r} (t),\mathbf {\dot {r}} (t),\mathbf {\ddot {r}} (t),t\right]=0\,,$

где $t$ — время, а каждая точка сверху обозначает одну производную по времени . Начальные условия задаются постоянными значениями при $t = 0$ ,

$\mathbf {r} (0)\,,\quad \mathbf {\dot {r}} (0)\,.$

Решение $r (t)$ уравнения движения с указанными начальными значениями описывает систему для всех моментов времени $t$ после $t = 0.$ Другие динамические переменные, такие как импульс $p$ объекта, или величины, полученные из $r$ и $p,$ такие как угловой момент , могут использоваться вместо $r$ в качестве величины для решения из некоторого уравнения движения, хотя положение объекта в момент времени $t$ является, безусловно, наиболее востребованной величиной.

Иногда уравнение будет линейным и, скорее всего, будет точно решено. В общем случае уравнение будет нелинейным и не может быть решено точно, поэтому необходимо использовать различные приближения. Решения нелинейных уравнений могут демонстрировать хаотическое поведение в зависимости от того, насколько чувствительна система к начальным условиям.

История

Кинематика, динамика и математические модели вселенной развивались постепенно на протяжении трех тысячелетий благодаря многим мыслителям, имена лишь некоторых из которых нам известны. В древности жрецы , астрологи и астрономы предсказывали солнечные и лунные затмения , солнцестояния и равноденствия Солнца и период Луны . Но у них не было ничего, кроме набора алгоритмов, чтобы ими руководить. Уравнения движения не были записаны еще тысячу лет.

Средневековые ученые XIII века — например, в относительно новых университетах Оксфорда и Парижа — опирались на труды древних математиков (Евклида и Архимеда) и философов (Аристотеля) для разработки новой области знаний, которая теперь называется физикой.

В Оксфорде Мертон-колледж приютил группу учёных, преданных естественным наукам, в основном физике, астрономии и математике, которые были такого же статуса, как интеллектуалы Парижского университета. Томас Брэдуордин расширил аристотелевские величины, такие как расстояние и скорость, и приписал им интенсивность и протяженность. Брэдуордин предложил экспоненциальный закон, включающий силу, сопротивление, расстояние, скорость и время. Николас Орем ещё больше расширил аргументы Брэдуордина. Школа Мертона доказала, что количество движения тела, совершающего равномерно ускоренное движение, равно количеству равномерного движения со скоростью, достигнутой на полпути через ускоренное движение.

Для авторов по кинематике до Галилея , поскольку малые интервалы времени не могли быть измерены, связь между временем и движением была неясной. Они использовали время как функцию расстояния, а при свободном падении большую скорость как результат большей высоты. Только Доминго де Сото , испанский теолог, в своем комментарии к « Физике» Аристотеля , опубликованном в 1545 году, после определения «равномерно разного» движения (которое является равномерно ускоренным движением) — слово скорость не использовалось — как пропорционального времени, правильно заявил, что этот вид движения можно отождествить со свободно падающими телами и снарядами, без его доказательства этих положений или предложения формулы, связывающей время, скорость и расстояние. Комментарии де Сото удивительно верны в отношении определений ускорения (ускорение было скоростью изменения движения (скорости) во времени) и наблюдения, что ускорение будет отрицательным во время подъема.

Подобные рассуждения распространились по всей Европе, сформировав работы Галилео Галилея и других, и помогли заложить основы кинематики. ^[3] Галилей вывел уравнение $s = ⁠ 1 / 2 ⁠ gt 2$ в своей работе геометрически,^[4] используя правило Мертона , ныне известное как частный случай одного из уравнений кинематики.

Галилей был первым, кто показал, что траектория снаряда представляет собой параболу . Галилей понимал центробежную силу и дал правильное определение импульса . Этот акцент на импульсе как на фундаментальной величине в динамике имеет первостепенное значение. Он измерял импульс произведением скорости и веса; масса — это более позднее понятие, разработанное Гюйгенсом и Ньютоном. При качании простого маятника Галилей говорит в « Рассуждениях^{» [5]} , что «всякий импульс, приобретенный при спуске по дуге, равен тому, который заставляет то же самое движущееся тело подниматься по той же дуге». Его анализ снарядов показывает, что Галилей усвоил первый закон и второй закон движения. Он не обобщил и не сделал их применимыми к телам, не подверженным земному тяготению. Этот шаг был вкладом Ньютона.

Термин «инерция» был использован Кеплером, который применил его к телам, находящимся в покое. (Первый закон движения теперь часто называют законом инерции.)

Галилей не полностью понял третий закон движения, закон равенства действия и противодействия, хотя он исправил некоторые ошибки Аристотеля. Вместе со Стевином и другими Галилей также писал о статике. Он сформулировал принцип параллелограмма сил, но он не полностью осознал его область действия.

Галилей также интересовался законами маятника, первые наблюдения за которыми он сделал еще в молодости. В 1583 году, когда он молился в соборе в Пизе, его внимание привлекло движение большой зажженной лампы, которая качалась, сверяясь с его собственным пульсом для отсчета времени. Для него период казался тем же самым, даже после того, как движение значительно уменьшилось, что открыло изохронность маятника.

Более тщательные эксперименты, проведенные им позднее и описанные в его «Рассуждениях», показали, что период колебаний изменяется пропорционально квадратному корню из длины, но не зависит от массы маятника.

Таким образом, мы приходим к Рене Декарту , Исааку Ньютону , Готфриду Лейбницу и др., а также к развитым формам уравнений движения, которые начинают признаваться современными.

Позже уравнения движения также появились в электродинамике , при описании движения заряженных частиц в электрических и магнитных полях, сила Лоренца является общим уравнением, которое служит определением того, что подразумевается под электрическим полем и магнитным полем . С появлением специальной теории относительности и общей теории относительности теоретические модификации пространства-времени означали, что классические уравнения движения также были изменены для учета конечной скорости света и кривизны пространства-времени . Во всех этих случаях дифференциальные уравнения были в терминах функции, описывающей траекторию частицы в терминах пространственных и временных координат, как под влиянием сил или преобразований энергии. ^[6]

Однако уравнения квантовой механики также можно считать «уравнениями движения», поскольку они являются дифференциальными уравнениями волновой функции , которая описывает, как квантовое состояние ведет себя аналогично, используя пространственные и временные координаты частиц. Аналоги уравнений движения существуют и в других областях физики, для совокупностей физических явлений, которые можно считать волнами, жидкостями или полями.

Кинематические уравнения для одной частицы

Кинематические величины

Из мгновенного положения $r = r (t)$ , мгновенного значения в мгновенное значение времени $t$ , мгновенная скорость $v = v (t)$ и ускорение $a = a (t)$ имеют общие, не зависящие от координат определения; ^[7]

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$

Обратите внимание, что скорость всегда указывает в направлении движения, другими словами, для криволинейной траектории это касательный вектор . Грубо говоря, производные первого порядка связаны с касательными кривых. Тем не менее, для криволинейных траекторий ускорение направлено к центру кривизны траектории. Опять же, грубо говоря, производные второго порядка связаны с кривизной.

Аналогами вращения являются «угловой вектор» (угол, на который частица поворачивается вокруг некоторой оси) $θ = θ (t)$ , угловая скорость $ω = ω (t)$ и угловое ускорение $α = α (t)$ :

$θ = θ n ^ , ω = d θ d t , α = d ω d t , {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\mathbf {n} }}\,,\quad {\boldsymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}\,,\quad {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\,,}$

где $n̂$ — единичный вектор в направлении оси вращения, а $θ$ — угол, на который объект поворачивается вокруг оси.

Для точечной частицы, вращающейся вокруг некоторой оси с угловой скоростью $ω$ , справедливо следующее соотношение : ^[8]

$v = ω × r {\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$

где $r$ — радиус-вектор частицы (радиальный от оси вращения), а $v —$ тангенциальная скорость частицы. Для вращающегося твердого тела сплошной среды эти соотношения справедливы для каждой точки твердого тела.

Равномерное ускорение

Дифференциальное уравнение движения частицы с постоянным или равномерным ускорением по прямой линии простое: ускорение постоянно, поэтому вторая производная положения объекта постоянна. Результаты этого случая суммированы ниже.

Постоянное поступательное ускорение по прямой линии

Эти уравнения применяются к частице, движущейся линейно в трех измерениях по прямой линии с постоянным ускорением . ^[9] Поскольку положение, скорость и ускорение коллинеарны (параллельны и лежат на одной линии), необходимы только величины этих векторов, и поскольку движение происходит по прямой линии, задача фактически сводится из трех измерений в одно.

${\begin{aligned}v&=at+v_{0}&[1]\\r&=r_{0}+v_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{a}t^{2}&[2]\\r&=r_{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(v+v_{0}\right)t&[3]\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2a\left(r-r_{0}\right)&[4]\\r&=r_{0}+vt-{\tfrac {1}{2}}{a}t^{2}&[5]\\\end{aligned}}$

где:

$r 0$ — начальное положение частицы
$r$ — конечное положение частицы
$v 0$ — начальная скорость частицы
$v$ — конечная скорость частицы
$а$ — ускорение частицы
$t$ — интервал времени

Вывод

Уравнения [1] и [2] получены путем интегрирования определений скорости и ускорения ^[9] при начальных условиях $r (t 0) = r 0$ и $v (t 0) = v 0$ ;

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=\int \mathbf {a} dt=\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}\,,&[1]\\\mathbf {r} &=\int (\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0})dt={\frac {\mathbf {a} t^{2}}{2}}+\mathbf {v} _{0}t+\mathbf {r} _{0}\,,&[2]\\\end{aligned}}$

в величинах,

${\begin{aligned}v&=at+v_{0}\,,&[1]\\r&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+v_{0}t+r_{0}\,.&[2]\\\end{aligned}}$

Уравнение [3] включает среднюю скорость $⁠$ $в + в 0 / 2 ⁠$ . Интуитивно, скорость увеличивается линейно, поэтому средняя скорость, умноженная на время, представляет собой расстояние, пройденное при увеличении скорости от $v 0$ до $v$ , что можно проиллюстрировать графически, построив график скорости против времени в виде прямой линии. Алгебраически это следует из решения [1] для

$a = ( v − v 0 ) t {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})}{t}}}$

и подставляя в [2]

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {t}{2}}(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})\,,$

затем упрощаем, чтобы получить

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+{\frac {t}{2}}(\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0})$

или в величинах

$r=r_{0}+\left({\frac {v+v_{0}}{2}}\right)t\quad [3]$

Из [3],

$t=\left(r-r_{0}\right)\left({\frac {2}{v+v_{0}}}\right)$

подставляя вместо $t$ в [1]:

${\begin{aligned}v&=a\left(r-r_{0}\right)\left({\frac {2}{v+v_{0}}}\right)+v_{0}\\v\left(v+v_{0}\right)&=2a\left(r-r_{0}\right)+v_{0}\left(v+v_{0}\right)\\v^{2}+vv_{0}&=2a\left(r-r_{0}\right)+v_{0}v+v_{0}^{2}\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2a\left(r-r_{0}\right)&[4]\\\end{aligned}}$

Из [3],

$2\left(r-r_{0}\right)-vt=v_{0}t$

подставляя в [2]:

${\begin{aligned}r&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+2r-2r_{0}-vt+r_{0}\\0&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+r-r_{0}-vt\\r&=r_{0}+vt-{\frac {{a}t^{2}}{2}}&[5]\end{aligned}}$

Обычно необходимы только первые четыре, пятый необязателен.

Здесь $a$ — постоянное ускорение, или в случае тел, движущихся под действием силы тяжести , используется стандартная сила тяжести $g$ . Обратите внимание, что каждое из уравнений содержит четыре из пяти переменных, поэтому в этой ситуации достаточно знать три из пяти переменных, чтобы вычислить оставшиеся две.

В некоторых программах, таких как программы IGCSE Physics и IB DP Physics (международные программы, но особенно популярные в Великобритании и Европе), те же формулы будут записаны с другим набором предпочтительных переменных. Там $u$ заменяет $v 0$ , а $s$ заменяет $r - r 0$ . Их часто называют уравнениями SUVAT , где "SUVAT" - это аббревиатура от переменных: $s$ = смещение, $u$ = начальная скорость, $v$ = конечная скорость, $a$ = ускорение, $t$ = время. ^[10]^[11] В этих переменных уравнения движения будут записаны

${\begin{aligned}v&=u+at&[1]\\s&=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}&[2]\\s&={\tfrac {1}{2}}(u+v)t&[3]\\v^{2}&=u^{2}+2as&[4]\\s&=vt-{\tfrac {1}{2}}at^{2}&[5]\\\end{aligned}}$

Постоянное линейное ускорение в любом направлении

Начальное положение, начальная скорость и векторы ускорения не обязательно должны быть коллинеарными, и уравнения движения принимают почти идентичную форму. Единственное отличие состоит в том, что квадратные величины скоростей требуют скалярного произведения . Выводы по сути такие же, как и в коллинеарном случае,

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}&[1]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&[2]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}\right)t&[3]\\\mathbf {v} ^{2}&=\mathbf {v} _{0}^{2}+2\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)&[4]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} t-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&[5]\\\end{aligned}}$ хотя уравнение Торричелли [4] можно вывести с использованием распределительного свойства скалярного произведения следующим образом: $v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)\cdot (\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)=v_{0}^{2}+2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}$ $(2\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=(2\mathbf {a} )\cdot \left(\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}\right)=2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}=v^{2}-v_{0}^{2}$ $\therefore v^{2}=v_{0}^{2}+2(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}))$

Приложения

Элементарные и частые примеры в кинематике включают снаряды , например, мяч, брошенный вверх в воздух. При заданной начальной скорости $u$ можно рассчитать, как высоко поднимется мяч, прежде чем начнет падать. Ускорение — это локальное ускорение силы тяжести $g$ . Хотя эти величины кажутся скалярными , направление смещения, скорости и ускорения важны. Фактически их можно рассматривать как однонаправленные векторы. Выбирая $s$ для измерения вверх от земли, ускорение $a$ должно быть фактически $-g$ , поскольку сила тяжести действует вниз, а следовательно, и ускорение на мяч из-за нее.

В самой высокой точке шар будет находиться в состоянии покоя: поэтому $v = 0.$ Используя уравнение [4] в приведенном выше наборе, имеем:

$s={\frac {v^{2}-u^{2}}{-2g}}.$

Подстановка и отмена знаков минус дает:

$s={\frac {u^{2}}{2g}}.$

Постоянное круговое ускорение

Аналоги приведенных выше уравнений можно записать для вращения . Опять же, все эти аксиальные векторы должны быть параллельны оси вращения, поэтому необходимы только величины векторов,

${\begin{aligned}\omega &=\omega _{0}+\alpha t\\\theta &=\theta _{0}+\omega _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\theta &=\theta _{0}+{\tfrac {1}{2}}(\omega _{0}+\omega )t\\\omega ^{2}&=\omega _{0}^{2}+2\alpha (\theta -\theta _{0})\\\theta &=\theta _{0}+\omega t-{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\end{aligned}}$

где $α$ — постоянное угловое ускорение , $ω$ — угловая скорость , $ω 0$ — начальная угловая скорость, $θ$ — угол поворота ( угловое смещение ), $θ 0$ — начальный угол, а $t$ — время, необходимое для поворота из начального состояния в конечное.

Общее плоскостное движение

Кинематические векторы в полярных координатах плоскости. Обратите внимание, что настройка не ограничена двумерным пространством, а плоскостью в любом более высоком измерении.

Это кинематические уравнения для частицы, проходящей путь в плоскости, описываемый положением $r = r (t)$ . ^[12] Это просто производные по времени вектора положения в плоских полярных координатах с использованием определений физических величин выше для угловой скорости $ω$ и углового ускорения $α$ . Это мгновенные величины, которые изменяются со временем.

Положение частицы:

$\mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r(t),\theta (t)\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}$

где $ê r$ и $ê θ$ — полярные единичные векторы. Дифференцирование по времени дает скорость

$\mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {dr}{dt}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }$

с радиальной составляющей $⁠$ $доктор / дт ⁠$ и дополнительный компонент $rω$ из-за вращения. Дифференцируя по времени снова получаем ускорение

$\mathbf {a} =\left({\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r\omega ^{2}\right)\mathbf {\hat {e}} _{r}+\left(r\alpha +2\omega {\frac {dr}{dt}}\right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }$

которое распадается на радиальное ускорение $⁠$ $д 2 р / дт 2 ⁠$ , центростремительное ускорение $- rω 2$ , ускорение Кориолиса $2 ω ⁠ доктор / дт ⁠$ и угловое ускорение $rα$ .

Особые случаи движения, описываемые этими уравнениями, качественно суммированы в таблице ниже. Два из них уже обсуждались выше, в случаях, когда либо радиальные компоненты, либо угловые компоненты равны нулю, а ненулевой компонент движения описывает равномерное ускорение.

Общие 3D движения

В трехмерном пространстве уравнения в сферических координатах $(r, θ, φ)$ с соответствующими единичными векторами $ê r$ , $ê θ$ и $ê φ$ , положением, скоростью и ускорением обобщаются соответственно до

${\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} \left(t\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}\\\mathbf {v} &=v\mathbf {\hat {e}} _{r}+r\,{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{\theta }+r\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta \mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\\\mathbf {a} &=\left(a-r\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{r}\\&+\left(r{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+2v{\frac {d\theta }{dt}}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }\\&+\left(r{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,\sin \theta +2v\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta +2r\,{\frac {d\theta }{dt}}\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\end{aligned}}\,\!$

В случае постоянного $φ$ это сводится к приведенным выше плоским уравнениям.

Динамические уравнения движения

Ньютоновская механика

Первое общее уравнение движения было разработано как второй закон движения Ньютона . В своей наиболее общей форме он утверждает, что скорость изменения импульса $p = p (t) = m v (t)$ объекта равна силе $F = F (x (t), v (t), t),$ действующей на него, ^[13]^{: 1112}

$F знак равно d п d т {\displaystyle \mathbf {F} = {\frac {d\mathbf {p} {dt}}}$

Сила в уравнении — это не сила, которую оказывает объект. Заменяя импульс массой, умноженной на скорость, закон также записывается более известным образом:

$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$

поскольку $m$ является константой в ньютоновской механике .

Второй закон Ньютона применим к точечным частицам и ко всем точкам в твердом теле . Они также применимы к каждой точке в континууме масс, например, к деформируемым твердым телам или жидкостям, но движение системы должно быть учтено; см. производная материала . В случае, если масса не является постоянной, недостаточно использовать правило произведения для производной по времени от массы и скорости, и второй закон Ньютона требует некоторой модификации, соответствующей закону сохранения импульса ; см. система с переменной массой .

Может быть просто записать уравнения движения в векторной форме, используя законы движения Ньютона, но компоненты могут меняться сложным образом в зависимости от пространственных координат и времени, и решить их нелегко. Часто бывает избыток переменных для полного решения задачи, поэтому законы Ньютона не всегда являются наиболее эффективным способом определения движения системы. В простых случаях прямоугольной геометрии законы Ньютона прекрасно работают в декартовых координатах, но в других системах координат могут стать существенно сложными.

Форма импульса предпочтительнее, поскольку она легко обобщается на более сложные системы, такие как специальная и общая теория относительности (см. four-momentum ). ^[13]^{: 112} Она также может использоваться с сохранением импульса. Однако законы Ньютона не более фундаментальны, чем сохранение импульса, потому что законы Ньютона просто согласуются с тем фактом, что нулевая результирующая сила, действующая на объект, подразумевает постоянный импульс, в то время как результирующая сила подразумевает, что импульс не является постоянным. Сохранение импульса всегда верно для изолированной системы, не подверженной действию результирующих сил.

Для ряда частиц (см. задачу многих тел ) уравнение движения одной частицы $i,$ находящейся под влиянием других частиц, имеет вид ^[7]^[1] ${\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}$

где $p i$ - импульс частицы $i$ , $F ij$ - сила, действующая на частицу $i$ со стороны частицы $j$ , а $F E$ - результирующая внешняя сила, вызванная любым агентом, не являющимся частью системы. Частица $i$ не оказывает силы на себя.

Законы движения Эйлера похожи на законы Ньютона, но они применяются специально к движению твердых тел . Уравнения Ньютона–Эйлера объединяют силы и моменты, действующие на твердое тело, в одно уравнение.

Второй закон Ньютона для вращения имеет форму, аналогичную поступательному случаю, ^[13]

${\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\,,$

приравнивая крутящий момент, действующий на тело, к скорости изменения его момента импульса $L.$ Аналогично произведению массы на ускорение, тензор момента инерции $I$ зависит от распределения массы вокруг оси вращения, а угловое ускорение — это скорость изменения угловой скорости,

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} {\boldsymbol {\alpha }}.$

Опять же, эти уравнения применимы к точечным частицам или к каждой точке твердого тела.

Аналогично, для ряда частиц уравнение движения одной частицы $i$ имеет вид ^[7]

${\frac {d\mathbf {L} _{i}}{dt}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}\,,$

где $L i$ — момент импульса частицы $i$ , $τ ij —$ крутящий момент частицы $j$ , действующий на частицу $i$ , а $τ$ $E$ — результирующий внешний крутящий момент (из-за любого агента, не являющегося частью системы). Частица $i$ не оказывает крутящего момента на себя.

Приложения

Некоторые примеры ^[14] закона Ньютона включают описание движения простого маятника ,

$-mg\sin \theta =m{\frac {d^{2}(\ell \theta )}{dt^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta \,,$

и затухающий, синусоидально управляемый гармонический осциллятор ,

$F_{0}\sin(\omega t)=m\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x\right)\,.$

Для описания движения масс под действием силы тяжести закон тяготения Ньютона можно объединить со вторым законом Ньютона. Для двух примеров, мяч массой $m,$ брошенный в воздух, в воздушных потоках (таких как ветер), описываемых векторным полем сил сопротивления $R = R (r, t)$ ,

$-{\frac {GmM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {R} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}+0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=-{\frac {GM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {A}$

где $G$ — гравитационная постоянная , $M —$ масса Земли, а $A = ⁠ Р / м ⁠$ — ускорение снаряда, вызванное потоками воздуха в точке $r$ и в момент времени $t$ .

Классическая задача N тел для $N$ частиц, каждая из которых взаимодействует друг с другом под действием гравитации, представляет собой набор $N$ нелинейных связанных ОДУ второго порядка,

${\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}=G\sum _{i\neq j}{\frac {m_{j}}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|^{3}}}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})$

где $i = 1, 2, ..., N$ обозначает величины (массу, положение и т. д.), связанные с каждой частицей.

Аналитическая механика

Использование всех трех координат трехмерного пространства необязательно, если на систему наложены ограничения. Если система имеет $N$ степеней свободы , то можно использовать набор из $N$ обобщенных координат $q (t) = [q 1 (t), q 2 (t) ... q N (t)]$ , чтобы определить конфигурацию системы. Они могут быть в форме длин дуг или углов . Они являются значительным упрощением для описания движения, поскольку они используют внутренние ограничения, которые ограничивают движение системы, а число координат сводится к минимуму. Производные по времени обобщенных координат являются обобщенными скоростями

$\mathbf {\dot {q}} ={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}\,.$

Уравнения Эйлера–Лагранжа имеют вид ^[2]^[16]

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\,,$

где лагранжиан является функцией конфигурации $q$ и скорости ее изменения во времени $⁠$ $д д / дт ⁠$ (и возможно время $t$ )

$L=L\left[\mathbf {q} (t),\mathbf {\dot {q}} (t),t\right]\,.$

Создав лагранжиан системы, затем подставив его в уравнения, вычислив частные производные и упростив, получаем набор связанных $N$ ОДУ второго порядка в координатах.

Уравнения Гамильтона ^[2]^[16]

$\mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {q}} =+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\,,$

где гамильтониан

$H=H\left[\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t),t\right]\,,$

является функцией конфигурации $q$ и сопряженных «обобщенных» импульсов

$\mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\,,$

в котором $⁠$ $\partial / \partial q ⁠ = (⁠ \partial / \partial q 1 ⁠, ⁠ \partial / \partial q 2 ⁠, \dots, ⁠ \partial / \partial q Н ⁠)$ — это сокращенная запись вектора частных производных по указанным переменным (см., например, матричное исчисление для этой записи знаменателя), и, возможно, времени $t$ ,

Создав гамильтониан системы, затем подставив его в уравнения, вычислив частные производные и упростив, получаем набор связанных $2 N$ ОДУ первого порядка в координатах $q i$ и импульсах $p i .$

Уравнение Гамильтона–Якоби имеет вид ^[2]

$-{\frac {\partial S(\mathbf {q} ,t)}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t\right)\,.$

где

$S[\mathbf {q} ,t]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)\,dt\,,$

— главная функция Гамильтона , также называемая классическим действием $,$ является функционалом L. В этом случае импульсы задаются как

$\mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\,.$

Хотя уравнение имеет простую общую форму, для данного гамильтониана это фактически одно нелинейное уравнение в частных производных первого порядка с $N + 1$ переменными. Действие $S$ позволяет идентифицировать сохраняющиеся величины для механических систем, даже когда сама механическая задача не может быть решена полностью, поскольку любая дифференцируемая симметрия действия физической системы имеет соответствующий закон сохранения , теорему Эмми Нётер .

Все классические уравнения движения можно вывести из вариационного принципа, известного как принцип наименьшего действия Гамильтона.

$\delta S=0\,,$

утверждая, что путь, по которому система проходит через конфигурационное пространство, — это путь с наименьшим действием $S.$

Электродинамика

В электродинамике сила, действующая на заряженную частицу с зарядом $q,$ называется силой Лоренца : ^[17]

$F = q ( E + v × B ) {\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$

В сочетании со вторым законом Ньютона получается дифференциальное уравнение движения первого порядка относительно положения частицы:

$m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=q\left(\mathbf {E} +{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {B} \right)$

или его импульс:

${\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {p} \times \mathbf {B} }{m}}\right)$

Это же уравнение можно получить, используя лагранжиан (и применяя уравнения Лагранжа выше) для заряженной частицы с массой $m$ и зарядом $q$ : ^[16]

$L={\tfrac {1}{2}}m\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi$

где $A$ и $ϕ$ — электромагнитные скалярные и векторные потенциальные поля. Лагранжиан указывает на дополнительную деталь: канонический импульс в лагранжевой механике задается как: вместо просто $m$ $v$ , подразумевая, что движение заряженной частицы фундаментально определяется массой и зарядом частицы. Выражение Лагранжа было впервые использовано для вывода уравнения силы. $\mathbf {P} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A}$

Альтернативно, используя гамильтониан (и подставляя в уравнения): ^[16], можно вывести уравнение силы Лоренца. $H={\frac {\left(\mathbf {P} -q\mathbf {A} \right)^{2}}{2m}}+q\phi$

Общая теория относительности

Геодезическое уравнение движения

Приведенные выше уравнения справедливы в плоском пространстве-времени. В искривленном пространстве-времени математически все становится сложнее, поскольку нет прямой линии; это обобщается и заменяется геодезической искривленного пространства-времени (кратчайшая длина кривой между двумя точками). Для искривленных многообразий с метрическим тензором $g$ метрика обеспечивает понятие длины дуги ( подробнее см. элемент линии ). Дифференциальная длина дуги определяется как: ^[19]^{: 1199}

$d s знак равно грамм α β d Икс α d Икс β {\displaystyle ds={\sqrt {g_ {\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}}}$

и геодезическое уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка относительно координат. Общее решение является семейством геодезических: ^[19]^{: 1200}

${\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}{\frac {dx^{\beta }}{ds}}$

где $Γ μ αβ$ — символ Кристоффеля второго рода , содержащий метрику (относительно системы координат).

Учитывая распределение массы и энергии, обеспечиваемое тензором энергии-импульса $T αβ$ , уравнения поля Эйнштейна представляют собой набор нелинейных уравнений в частных производных второго порядка в метрике и подразумевают, что кривизна пространства-времени эквивалентна гравитационному полю (см. принцип эквивалентности ). Масса, падающая в искривленном пространстве-времени, эквивалентна массе, падающей в гравитационном поле, поскольку гравитация является фиктивной силой . Относительное ускорение одной геодезической к другой в искривленном пространстве-времени задается уравнением отклонения геодезической :

${\frac {D^{2}\xi ^{\alpha }}{ds^{2}}}=-R^{\alpha }{}_{\beta \gamma \delta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}\xi ^{\gamma }{\frac {dx^{\delta }}{ds}}$

где $ξ α = x 2 α - x 1 α$ — вектор разделения между двумя геодезическими, $⁠$ $Д / дс ⁠$ ( не только $⁠$ $г / дс ⁠$ ) — ковариантная производная , а $R α βγδ$ — тензор кривизны Римана , содержащий символы Кристоффеля. Другими словами, уравнение геодезического отклонения — это уравнение движения масс в искривленном пространстве-времени, аналогичное уравнению силы Лоренца для зарядов в электромагнитном поле.^[18]^{: 34–35}

Для плоского пространства-времени метрика является постоянным тензором, поэтому символы Кристоффеля исчезают, а геодезическое уравнение имеет решения прямых линий. Это также предельный случай, когда массы движутся согласно закону тяготения Ньютона .

Вращающиеся предметы

В общей теории относительности вращательное движение описывается релятивистским тензором углового момента , включающим тензор спина , который входит в уравнения движения под ковариантными производными по собственному времени . Уравнения Матиссона–Папапетру–Диксона описывают движение вращающихся объектов, движущихся в гравитационном поле .

Аналоги волн и полей

В отличие от уравнений движения для описания механики частиц, которые являются системами связанных обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичные уравнения, управляющие динамикой волн и полей, всегда являются частными дифференциальными уравнениями , поскольку волны или поля являются функциями пространства и времени. Для конкретного решения необходимо указать граничные условия вместе с начальными условиями.

Иногда в следующих контекстах волновые или полевые уравнения также называются «уравнениями движения».

Уравнения поля

Уравнения, описывающие пространственную зависимость и временную эволюцию полей, называются уравнениями поля . К ним относятся

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля ,
Уравнение Пуассона для ньютоновских гравитационных или электростатических потенциалов поля,
уравнение поля Эйнштейна для гравитации ( закон тяготения Ньютона является частным случаем для слабых гравитационных полей и малых скоростей частиц).

Эта терминология не является универсальной: например, хотя уравнения Навье–Стокса управляют полем скоростей жидкости , их обычно не называют «уравнениями поля», поскольку в этом контексте они представляют импульс жидкости и вместо этого называются «уравнениями импульса».

Волновые уравнения

Уравнения волнового движения называются волновыми уравнениями . Решения волнового уравнения дают временную и пространственную зависимость амплитуды . Граничные условия определяют, описывают ли решения бегущие волны или стоячие волны .

Из классических уравнений движения и уравнений поля можно вывести механические, гравитационно-волновые и электромагнитные волновые уравнения. Общее линейное волновое уравнение в 3D имеет вид:

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial t^{2}}}=\nabla ^{2}X$

где $X = X (r, t)$ — амплитуда любого механического или электромагнитного поля, например: ^[20]

поперечное или продольное смещение вибрирующего стержня, провода, кабеля, мембраны и т. д. ,
флуктуационное давление среды, звуковое давление ,
электрические поля $E$ или $D$ , или магнитные поля $B$ или $H$ ,
напряжение $V$ или ток $I$ в цепи переменного тока ,

и $v$ — фазовая скорость . Нелинейные уравнения моделируют зависимость фазовой скорости от амплитуды, заменяя $v$ на $v (X)$ . Существуют и другие линейные и нелинейные волновые уравнения для очень специфических приложений, см., например, уравнение Кортевега–де Фриза .

Квантовая теория

В квантовой теории появляются как волновые, так и полевые концепции.

В квантовой механике аналогом классических уравнений движения (закон Ньютона, уравнение Эйлера–Лагранжа, уравнение Гамильтона–Якоби и т. д.) является уравнение Шредингера в его наиболее общем виде:

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \,,$

где $Ψ$ — волновая функция системы, $Ĥ$ — квантовый оператор Гамильтона , а не функция, как в классической механике, а $ħ$ — постоянная Планка, деленная на 2 $π$ . Настройка гамильтониана и подстановка его в уравнение приводит к волновому уравнению, решением которого является волновая функция как функция пространства и времени. Само уравнение Шредингера сводится к уравнению Гамильтона–Якоби, если рассмотреть принцип соответствия , в пределе, когда $ħ$ становится равным нулю. Для сравнения с измерениями операторы для наблюдаемых должны применяться к квантовой волновой функции в соответствии с выполненным экспериментом, что приводит либо к волноподобным, либо к частицеподобным результатам.

Во всех аспектах квантовой теории, как релятивистской, так и нерелятивистской, существуют различные формулировки, альтернативные уравнению Шредингера, которые управляют временной эволюцией и поведением квантовой системы, например:

Уравнение движения Гейзенберга напоминает временную эволюцию классических наблюдаемых как функций положения, импульса и времени, если заменить динамические наблюдаемые их квантовыми операторами , а классическую скобку Пуассона — коммутатором ,
Формулировка фазового пространства тесно связана с классической гамильтоновой механикой, в которой положение и импульс рассматриваются на равных основаниях,
Формулировка интеграла по траекториям Фейнмана распространяет принцип наименьшего действия на квантовую механику и теорию поля, делая акцент на использовании лагранжианов, а не гамильтонианов.

Смотрите также

Ссылки

^ ab RG Lerner ; George L. Trigg (1991). Энциклопедия физики (второе изд.). Нью-Йорк: VCH Publishers. ISBN 0-89573-752-3. OCLC 20853637.
^ abcd Hand, Louis N.; Janet D. Finch (1998). Аналитическая механика. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57572-0. OCLC 37903527.
^ Британский путеводитель по истории математики, изд. Эрик Грегерсен
^ Рассуждения, Галилей
↑ «Диалоги о двух новых науках» Галилео Галилея; перевод Генри Крю, Альфонсо Де Сальвио
^ Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (2004-06-16). Основы физики (7-е изд.). Wiley. ISBN 0-471-23231-9.
^ abc Forshaw, JR; A. Gavin Smith (2009). Динамика и теория относительности. Чичестер, Великобритания: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-01460-8. OCLC 291193458.
^ Г-н Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ . Очерки Шаума (2-е изд.). МакГроу Хилл. п. 33. ISBN 978-0-07-161545-7.
^ ab Whelan, PM; Hodgson, MJ (1978). Essential Principles of Physics (второе изд.). Лондон: John Murray. ISBN 0-7195-3382-1. OCLC 7102249.
^ Ханрахан, Вал; Поркесс, Р. (2003). Дополнительная математика для OCR . Лондон: Hodder & Stoughton. стр. 219. ISBN 0-340-86960-7.
^ Джонсон, Кит (2001). Физика для вас: пересмотренное издание национальной учебной программы для GCSE (4-е изд.). Нельсон Торнес. стр. 135. ISBN 978-0-7487-6236-1. 5 символов запоминаются "суватом". Если даны любые три, то можно найти два других.
^ Halpern, Alvin M. (1988). 3000 решенных задач по физике. Серия Шаума. Нью-Йорк: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-025734-4. OCLC 27398318.
^ abc Клеппнер, Дэниел; Роберт Дж. Коленков (2010). Введение в механику. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19821-9. OCLC 573196466.
^ Pain, HJ (1983). Физика вибраций и волн (3-е изд.). Чичестер [Сассекс]: Wiley. ISBN 0-471-90182-2. OCLC 9392845.
^ Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Старинные книги. стр. 474. ISBN 978-0-679-77631-4.
^ abcd Kibble, TWB (1973). Классическая механика. Европейская серия физики (второе изд.). Лондон, Великобритания: McGraw Hill. ISBN 0-07-084018-0. OCLC 856410.
^ Грант, И.С.; Филлипс, В.Р. (1990). Электромагнетизм. Manchester Physics Series (2-е изд.). Wiley. ISBN 0-471-92712-0. OCLC 21447877.
^ ab JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
^ ab CB Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (второе издание). ISBN 0-07-051400-3.
^ HD Young; RA Freedman (2008). University Physics (12-е изд.). Addison-Wesley (Pearson International). ISBN 978-0-321-50130-1.