.png/1280px-Abacus_(PSF).png)
Абак ( мн. ч.: абаки или абакусы ) , также называемый счетной рамкой , представляет собой ручной счетный инструмент, который использовался с древних времен на древнем Ближнем Востоке , в Европе, Китае и России до принятия арабской системы счисления . [1] Абак состоит из двумерного массива скользящих бусин (или подобных объектов). В своих самых ранних конструкциях бусины могли свободно располагаться на плоской поверхности или скользить в канавках. Позже бусины стали скользить по стержням и встраиваться в рамку, что позволяло быстрее манипулировать.
Каждый стержень обычно представляет одну цифру многозначного числа, выложенного с использованием позиционной системы счисления, такой как основание десять (хотя некоторые культуры использовали другие числовые основания ). Римские и восточноазиатские счеты используют систему, напоминающую би-пятеричную кодированную десятичную систему , с верхней палубой (содержащей одну или две бусины), представляющей пятерки, и нижней палубой (содержащей четыре или пять бусинок), представляющей единицы. Обычно используются натуральные числа , но некоторые допускают простые дробные компоненты (например, 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 4 и 1 ⁄ 12 в римских счетах ), а десятичную точку можно представить для арифметики с фиксированной точкой .
Любая конкретная конструкция счет поддерживает несколько методов выполнения вычислений, включая сложение , вычитание , умножение , деление , а также квадратные и кубические корни . Сначала бусины располагаются так, чтобы представлять число, затем манипулируются для выполнения математической операции с другим числом, и их конечное положение может быть прочитано как результат (или может быть использовано как начальное число для последующих операций).
В древнем мире счеты были практическим инструментом для вычислений. Хотя сегодня вместо счетов обычно используются калькуляторы и компьютеры , в некоторых странах счеты по-прежнему используются повседневно. У счетов есть преимущество в том, что они не требуют письменных принадлежностей и бумаги (необходимых для алгоритмов ) или источника электроэнергии . Купцы, торговцы и клерки в некоторых частях Восточной Европы , России, Китая и Африки используют счеты. Счеты по-прежнему широко используются в качестве системы подсчета очков в неэлектронных настольных играх. Другие могут использовать счеты из-за нарушения зрения , которое не позволяет использовать калькулятор. [1] Счеты по-прежнему используются для обучения детей основам математики в большинстве стран. [ требуется ссылка ]
Слово abacus датируется по крайней мере 1387 годом нашей эры, когда среднеанглийская работа заимствовала слово из латыни , описывая песчаную доску абак. Латинское слово происходит от древнегреческого ἄβαξ ( abax ), что означает что-то без основания, а в разговорной речи — любой кусок прямоугольного материала. [2] [3] [4] В качестве альтернативы, без ссылки на древние тексты по этимологии, было высказано предположение, что оно означает «квадратная табличка, покрытая пылью», [5] или «чертежная доска, покрытая пылью (для использования в математике)» [6] (точная форма латинского слова, возможно, отражает родительную форму греческого слова ἄβακoς ( abakos )). Хотя определение «таблица, покрытая пылью» популярно, некоторые утверждают, что для такого вывода недостаточно доказательств. [7] [nb 1] Греческое слово ἄβαξ, вероятно, заимствовано из северо-западного семитского языка , например финикийского , о чем свидетельствует родственное ему еврейское слово ʾābāq ( אבק ), или «пыль» (в постбиблейском смысле «песок, используемый в качестве поверхности для письма»). [8]
Оба слова abacuses [9] и abaci [9] используются во множественном числе. Пользователь abacus называется abacist . [10]
Шумерский счет появился между 2700 и 2300 годами до нашей эры. Он содержал таблицу из последовательных столбцов, которые разграничивали последовательные порядки величин их шестидесятеричной ( основание 60) системы счисления. [11]
Некоторые ученые указывают на символ в вавилонской клинописи , который мог быть получен из изображения абака. [12] Ученые Древнего Вавилона [13] , такие как Этторе Карруччо, полагают , что Древние Вавилоняне «судя по всему, использовали абак для операций сложения и вычитания; однако это примитивное устройство оказалось сложным для использования при более сложных вычислениях». [14]
Греческий историк Геродот упоминал абак в Древнем Египте . Он писал, что египтяне манипулировали камешками справа налево, в противоположном направлении греческому методу слева направо. Археологи нашли древние диски разных размеров, которые, как считается, использовались в качестве счетчиков. Однако настенные изображения этого инструмента еще не обнаружены. [15]
Около 600 г. до н. э. персы впервые начали использовать абак во времена империи Ахеменидов . [16] В Парфянской , Сасанидской и Иранской империях ученые сосредоточились на обмене знаниями и изобретениями с окружающими их странами — Индией, Китаем и Римской империей — и именно так абак мог экспортироваться в другие страны.
Самые ранние археологические свидетельства использования греческих абаков датируются V веком до н. э. [17] Демосфен (384–322 гг. до н. э.) жаловался, что необходимость использовать гальку для вычислений была слишком сложной. [18] [19] В пьесе Алексиса IV века до н. э. упоминаются абак и галька для бухгалтерского учета, а Диоген и Полибий используют абак как метафору человеческого поведения, заявляя, что «люди, которые иногда обозначали больше, а иногда меньше», как камешки на абаке. [19] Греческие абаки представляли собой стол из дерева или мрамора, предварительно оснащенный небольшими деревянными или металлическими счетчиками для математических вычислений. [ необходима цитата ] Эти греческие абаки использовались в Ахеменидской Персии, этрусской цивилизации , Древнем Риме и западном христианском мире до Французской революции .
Табличка, найденная на греческом острове Саламин в 1846 году нашей эры ( Саламинская табличка ), датируется 300 годом до нашей эры, что делает ее старейшей счетной доской, обнаруженной до сих пор. Это плита из белого мрамора длиной 149 см (59 дюймов), шириной 75 см (30 дюймов) и толщиной 4,5 см (2 дюйма), на которой расположены 5 групп отметок. В центре таблички находится набор из 5 параллельных линий, поровну разделенных вертикальной линией, увенчанных полукругом на пересечении самой нижней горизонтальной линии и единственной вертикальной линии. Под этими линиями находится широкое пространство с горизонтальной трещиной, разделяющей его. Под этой трещиной находится еще одна группа из одиннадцати параллельных линий, снова разделенных на две секции линией, перпендикулярной им, но с полукругом в верхней части пересечения; третья, шестая и девятая из этих линий отмечены крестом там, где они пересекаются с вертикальной линией. [20] Также к этому периоду относится ваза Дария , найденная в 1851 году. Она была покрыта изображениями, включая «казначея», держащего в одной руке восковую табличку, а другой рукой перебирающего фишки на столе. [18]
Обычный метод расчета в Древнем Риме, как и в Греции, заключался в перемещении фишек на гладком столе. Первоначально использовались камешки ( лат . calculi ). Размеченные линии обозначали единицы, пятерки, десятки и т. д., как в римской системе счисления .
В своем произведении, датируемом первым веком до нашей эры, Гораций упоминает восковые счеты — доску, покрытую тонким слоем черного воска, на которой с помощью стилуса вырезались столбцы и цифры. [21]
Один из примеров археологических свидетельств существования римского абака , показанный рядом в реконструкции, датируется 1-м веком н. э. Он имеет восемь длинных канавок, содержащих до пяти бусин в каждой, и восемь более коротких канавок, содержащих либо одну, либо ни одной бусины в каждой. Канавка, обозначенная I, обозначает единицы, X — десятки и так далее до миллионов. Бусины в более коротких канавках обозначают пятерки (пять единиц, пять десятков и т. д.), что напоминает би-пятеричную кодированную десятичную систему, связанную с римскими цифрами . Короткие канавки справа, возможно, использовались для обозначения римских «унций» (т. е. дробей).
Римская система «счетчиков» широко использовалась в средневековой Европе и сохранялась в ограниченном использовании вплоть до девятнадцатого века. [22] Богатые абакисты использовали декоративные чеканные счетчики, называемые жетонами .
Благодаря тому, что Папа Сильвестр II вновь ввел в обращение счеты с некоторыми изменениями, они снова стали широко использоваться в Европе в XI веке [23] [24]. В отличие от традиционных римских счетных досок, в них использовались бусины на проволоке, что означало, что счеты можно было использовать гораздо быстрее и их было легче перемещать. [25]
Самые ранние известные письменные упоминания о китайских счетах датируются II веком до н. э. [26]
Китайские счеты, также известные как суанпань (算盤/算盘, дословно «счетный лоток»), бывают разной длины и ширины, в зависимости от оператора. Обычно они имеют более семи стержней. На каждом стержне в верхней части находится по две бусины, а в нижней — по пять бусин, чтобы представлять числа в двоично-пятеричной кодированной десятичной системе. Бусины обычно округлые и сделаны из твердой древесины . Бусины подсчитываются путем их перемещения вверх или вниз по направлению к балке; бусины, перемещаемые по направлению к балке, считаются, а те, которые перемещаются от нее, — нет. [27] Одна из верхних бусин — 5, а одна из нижних — 1. Под каждым стержнем есть число, показывающее разрядное значение. Суанпань можно мгновенно вернуть в исходное положение быстрым движением вдоль горизонтальной оси, чтобы отвести все бусины от горизонтальной балки в центре.
Прототип китайского счеты появился во времена династии Хань , и бусины были овальными. Династия Сун и ранее использовала счеты типа 1:4 или с четырьмя бусинами, похожие на современные счеты, включая форму бусин, обычно известную как счеты в японском стиле. [28]
В начале династии Мин абак начал появляться в соотношении 1:5. Верхняя дека имела одну бусину, а нижняя — пять бусин. [29] В конце династии Мин стили абака появились в соотношении 2:5. [29] Верхняя дека имела две бусины, а нижняя — пять.
Для Suanpan были разработаны различные методы расчета, позволяющие проводить эффективные расчеты. Некоторые школы обучают студентов, как им пользоваться.
На длинном свитке « Вдоль реки во время праздника Цинмин» , написанном Чжан Цзэдуанем во времена династии Сун (960–1297), суаньпань отчетливо виден рядом с бухгалтерской книгой и рецептами врачей на прилавке аптекаря ( Фэйбао).
Сходство римского абака с китайским предполагает, что один мог вдохновить другой, учитывая доказательства торговых отношений между Римской империей и Китаем. Однако никакой прямой связи не было продемонстрировано, и сходство абаков может быть совпадением, оба в конечном итоге возникли из-за счета с пятью пальцами на руке. В то время как римская модель (как и большинство современных корейских и японских) имеет 4 плюс 1 бусину на десятичную позицию, стандартный суанпан имеет 5 плюс 2. Между прочим, это позволяет использовать шестнадцатеричную систему счисления (или любую базу до 18), которая могла использоваться для традиционных китайских мер веса. (Вместо работы на проволоках, как в китайских, корейских и японских моделях, римская модель использовала канавки, предположительно, делая арифметические вычисления намного медленнее.)
Другим возможным источником суаньпаня являются китайские счетные палочки , которые работали с десятичной системой, но не имели концепции нуля в качестве заполнителя. [ необходима цитата ] Ноль, вероятно, был представлен китайцам во времена династии Тан (618–907), когда путешествия по Индийскому океану и Ближнему Востоку обеспечивали прямой контакт с Индией, что позволило им получить концепцию нуля и десятичной точки от индийских торговцев и математиков. [ необходима цитата ]
В «Абхидхармакошабхашье» Васубандху ( 316–396 ) , санскритском труде по буддийской философии , говорится, что философ II века н. э . Васумитра сказал, что «размещение фитиля (санскр. vartikā ) на цифре один ( ekāṅka ) означает, что это один, в то время как размещение фитиля на цифре сто означает, что она называется сотней, а на цифре тысяча означает, что это тысяча». Неясно, как именно это расположение могло быть. Около V века индийские клерки уже находили новые способы записи содержимого абака. [30] В индуистских текстах термин шунья (ноль) использовался для обозначения пустого столбца на абаке. [31]
В Японии счеты называются соробан (算盤, そろばん, дословно «счетный лоток»). Они были импортированы из Китая в XIV веке. [32] Вероятно, они использовались рабочим классом за столетие или более до того, как правящий класс принял их, поскольку классовая структура препятствовала таким изменениям. [33] Счеты 1:4, в которых удалены редко используемые вторая и пятая бусины, стали популярными в 1940-х годах.
Сегодняшние японские счеты — это счеты типа 1:4 с четырьмя бусинами, привезенные из Китая в эпоху Муромати . Они имеют форму верхней палубы с одной бусиной и нижней с четырьмя бусинами. Верхняя бусина на верхней палубе была равна пяти, а нижняя похожа на китайские или корейские счеты, и десятичное число может быть выражено, поэтому счеты спроектированы как устройство один:четыре. Бусины всегда имеют форму ромба. Деление частного обычно используется вместо метода деления; в то же время, чтобы сделать цифры умножения и деления последовательно, используют умножение деления. Позже в Японии был счет 3:5, называемый 天三算盤, который сейчас находится в коллекции Изэ Ронгцзи в деревне Шаньси в городе Ямагата . Япония также использовала счеты типа 2:5.
Четырехбусинные счеты распространились и стали обычным явлением во всем мире. Усовершенствования японских счетов возникали в разных местах. В Китае использовались алюминиевые рамы пластиковых бусинок счетов. Файл находится рядом с четырьмя бусинами, и нажатие кнопки «очистка» переводит верхнюю бусину в верхнее положение, а нижнюю — в нижнее.
Счеты по-прежнему производятся в Японии, несмотря на распространение, практичность и доступность карманных электронных калькуляторов . Использование соробана по-прежнему преподается в японских начальных школах как часть математики , в первую очередь как помощь для более быстрого устного счета. Использование визуальных образов может завершить расчет так же быстро, как и физический инструмент. [34]
Китайские счеты мигрировали из Китая в Корею около 1400 г. н.э. [18] [35] [36] Корейцы называют их дзюпан (주판), супан (수판) или дзюсан (주산). [37] Четырех-бусинные счеты (1:4) были введены во времена династии Корё . Счеты 5:1 были введены в Корею из Китая во времена династии Мин.
Некоторые источники упоминают использование счетов, называемых nepohualtzintzin , в древней ацтекской культуре. [38] Этот мезоамериканский счет использовал 5-значную систему счисления с основанием 20. [39] Слово Nepōhualtzintzin на науатле произношение: [nepoːwaɬˈt͡sint͡sin] происходит от науатле , образованного корнями; Ne – личный -; pōhual или pōhualli на науатле произношение: [ˈpoːwalːi] – счет -; и tzintzin на науатле произношение: [ˈt͡sint͡sin] – небольшие похожие элементы. Его полное значение было принято как: подсчет с небольшими похожими элементами. Его использованию в Кальмекаке обучали темальпукех (произношение на языке науатль: [temaɬˈpoʍkeʔ]) , учеников, посвятивших себя изучению небес с самого детства.
Nepōhualtzintzin был разделен на две основные части, разделенные перекладиной или промежуточным шнуром. В левой части было четыре бусины. Бусины в первом ряду имели единичные значения (1, 2, 3 и 4), а в правой части три бусины имели значения 5, 10 и 15 соответственно. Чтобы узнать значение соответствующих бусин верхних рядов, достаточно умножить на 20 (по каждому ряду) значение соответствующего счета в первом ряду.
Устройство состояло из 13 рядов с 7 бусинами, всего 91. Это было базовое число для этой культуры. Оно имело тесную связь с природными явлениями, подземным миром и циклами небес. Один Непухуальцинцин (91) представлял количество дней, которое длится сезон года, два Непухуальцинцин (182) — количество дней цикла кукурузы от посева до сбора урожая, три Непухуальцинцин (273) — количество дней беременности ребенка, а четыре Непухуальцинцин (364) завершали цикл и приблизительно составляли один год. При переводе на современную компьютерную арифметику Непухуальцинцин составлял ранг от 10 до 18 в числах с плавающей точкой , что точно вычисляло большие и маленькие суммы, хотя округление не допускалось.
Повторное открытие инструмента Nepōhualtzintzin произошло благодаря мексиканскому инженеру Давиду Эспарсе Идальго [40] , который во время своих путешествий по Мексике нашел разнообразные гравюры и рисунки этого инструмента и реконструировал несколько из них в золоте, нефрите, инкрустациях из ракушек и т. д. [41] Очень древние Nepōhualtzintzin приписываются культуре ольмеков , а некоторые браслеты — майяскому происхождению, а также разнообразным формам и материалам в других культурах.
Санчес писал в «Арифметике майя» , что на полуострове Юкатан был найден еще один счет с основанием 5 и основанием 4, который также вычислял календарные данные. Это был счет с пальцами, с одной стороны, использовались 0, 1, 2, 3 и 4; а с другой стороны, использовались 0, 1, 2 и 3. Обратите внимание на использование нуля в начале и конце двух циклов.
Кипу инков представляло собой систему цветных узловатых шнуров, используемых для записи числовых данных, [ 42] как усовершенствованные счетные палочки – но не используемых для выполнения вычислений. Вычисления проводились с использованием юпаны ( на языке кечуа «счетный инструмент»; см. рисунок), которая все еще использовалась после завоевания Перу. Принцип работы юпаны неизвестен, но в 2001 году итальянский математик Де Паскуале предложил объяснение. Сравнивая форму нескольких юпан, исследователи обнаружили, что вычисления основывались на последовательности Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5 и степенях 10, 20 и 40 в качестве значений мест для различных полей в инструменте. Использование последовательности Фибоначчи позволяло удерживать количество зерен в любом одном поле на минимуме. [43]
Русский счет, счеты ( ‹See Tfd› русский : счёты , множественное число от ‹See Tfd› русский : счёт , подсчёт), обычно имеет одну наклонную колоду, с десятью бусинами на каждой проволоке (за исключением одной проволоки с четырьмя бусинами для дробей четверти рубля ). 4-бусинная проволока была введена для четвертей копеек , которые чеканились до 1916 года. [44] Русский счет используется вертикально, причем каждая проволока проходит горизонтально. Проволоки обычно изогнуты вверх в центре, чтобы удерживать бусины закрепленными по обе стороны. Он очищается, когда все бусины перемещаются вправо. Во время манипуляций бусины перемещаются влево. Для удобства просмотра средние 2 бусины на каждой проволоке (5-я и 6-я бусины) обычно имеют другой цвет, чем остальные восемь. Аналогично, левая бусина тысячной проволоки (и миллионной проволоки, если она присутствует) может иметь другой цвет.
Русский счет использовался в магазинах и на рынках по всему бывшему Советскому Союзу , и его использование преподавалось в большинстве школ до 1990-х годов. [45] [46] Даже изобретение механического калькулятора 1874 года , арифмометра Однера , не заменило их в России. По словам Якова Перельмана , некоторые бизнесмены, пытавшиеся импортировать калькуляторы в Российскую империю, были известны тем, что в отчаянии уходили, наблюдая за искусным оператором счет. [47] Аналогичным образом, массовое производство арифмометров Felix с 1924 года не привело к значительному сокращению использования счет в Советском Союзе . [48] Русский счет начал терять популярность только после массового производства отечественных микрокалькуляторов в 1974 году. [49]
Русский счет был привезен во Францию около 1820 года математиком Жаном-Виктором Понселе , который служил в армии Наполеона и был военнопленным в России. [50] Счеты вышли из употребления в Западной Европе в XVI веке с появлением десятичной системы счисления и алгоритмических методов. [ требуется ссылка ] Для французских современников Понселе это было что-то новое. Понселе использовал его не для каких-либо прикладных целей, а как учебное и демонстрационное пособие. [51] Турки и армяне использовали счеты, похожие на русские счеты. Турки называли его кулба , а армяне — хореб . [52]
Во всем мире счеты использовались в дошкольных учреждениях и начальных школах в качестве вспомогательного средства при обучении системе счисления и арифметике .
В западных странах распространена счетная рама, похожая на русские счеты, но с прямыми проволоками и вертикальной рамкой (см. изображение).
Каркас может использоваться либо с позиционной нотацией, как и другие счеты (так, версия с 10 проводами может представлять числа до 9 999 999 999), либо каждая бусина может представлять одну единицу (например, 74 может быть представлено путем смещения всех бусин на 7 проводах и 4 бусин на 8-м проводе, так что числа до 100 могут быть представлены). В показанной рамке из бусин зазор между 5-м и 6-м проводом, соответствующий изменению цвета между 5-м и 6-м бусинами на каждом проводе, предполагает последнее использование. Обучение умножению, например, 6 раз по 7, может быть представлено путем смещения 7 бусин на 6 проводах.
Красно-белые счеты используются в современных начальных школах для широкого спектра уроков, связанных с числами. Двадцатибусинная версия, называемая по голландскому названию rekenrek («счетная рамка»), часто используется либо на нитке бусин, либо на жесткой рамке. [53]
Физик Ричард Фейнман был известен своей легкостью в математических вычислениях. Он написал о встрече в Бразилии с японским экспертом по счету, который бросил ему вызов, чтобы состязаться в скорости между ручкой и бумагой Фейнмана и счетами. Счеты были намного быстрее при сложении, немного быстрее при умножении, но Фейнман был быстрее при делении. Когда счеты использовались для более сложных операций, то есть кубических корней, Фейнман легко побеждал. Однако число, выбранное наугад, было близко к числу, которое Фейнман случайно знал как точный куб, что позволило ему использовать приближенные методы. [54]
Обучение вычислениям с помощью счетов может улучшить способность к устному счету. Устный счет на основе счетов (AMC), который произошел от счетов, представляет собой процесс выполнения вычислений, включая сложение, вычитание, умножение и деление, в уме путем манипулирования воображаемыми счетами. Это когнитивный навык высокого уровня, который выполняет вычисления с помощью эффективного алгоритма. Люди, проходящие долгосрочное обучение AMC, демонстрируют более высокую емкость числовой памяти и испытывают более эффективно связанные нейронные пути. [55] [56] Они способны извлекать память для работы со сложными процессами. [57] AMC включает как зрительно-пространственную, так и зрительно-моторную обработку, которая генерирует визуальные счеты и перемещает воображаемые бусины. [58] Поскольку для этого требуется только запомнить конечное положение бусинок, это занимает меньше памяти и меньше времени на вычисления. [58]
.png/1280px-Gregor_Reisch,_Margarita_Philosophica,_1508_(1230x1615).png)
Двоичные счеты используются для объяснения того, как компьютеры манипулируют числами. [59] Счеты показывают, как числа, буквы и знаки могут храниться в двоичной системе на компьютере или через ASCII . Устройство состоит из ряда бусин на параллельных проводах, расположенных в три отдельных ряда. Бусины представляют собой переключатель на компьютере в положении «вкл» или «выкл».
Адаптированные счеты, изобретенные Тимом Кранмером и называемые счетами Кранмера, обычно используются пользователями с нарушениями зрения. Кусок мягкой ткани или резины помещается за бусины, удерживая их на месте, пока пользователи манипулируют ими. Затем устройство используется для выполнения математических функций умножения, деления, сложения, вычитания, извлечения квадратного корня и кубического корня. [60]
Хотя слепые ученики извлекли пользу из говорящих калькуляторов, счеты часто преподаются им в младших классах. [61] Слепые ученики также могут выполнять математические задания, используя машинку для письма по Брайлю и код Немета (тип кода Брайля для математики), но большие задачи на умножение и деление столбиком утомительны. Счеты дают этим ученикам инструмент для вычисления математических задач, который равен скорости и математическим знаниям, требуемым их зрячим сверстникам с использованием карандаша и бумаги. Многие слепые люди считают эту числовую машину полезным инструментом на протяжении всей жизни. [60]
Тексты на Викиресурсе:
