алгебра Ли

Алгебраическая структура, используемая в анализе

В математике алгебра Ли (произносится как / l iː / LEE ) — это векторное пространство вместе с операцией, называемой скобкой Ли , альтернирующим билинейным отображением , которое удовлетворяет тождеству Якоби . Другими словами, алгебра Ли — это алгебра над полем, для которого операция умножения (называемая скобкой Ли) является альтернирующей и удовлетворяет тождеству Якоби. Скобка Ли двух векторов и обозначается . Алгебра Ли, как правило, является неассоциативной алгеброй . Однако каждая ассоциативная алгебра порождает алгебру Ли, состоящую из того же векторного пространства с коммутаторной скобкой Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

Алгебры Ли тесно связаны с группами Ли , которые являются группами , также являющимися гладкими многообразиями : каждая группа Ли порождает алгебру Ли, которая является касательным пространством в единице. (В этом случае скобка Ли измеряет отсутствие коммутативности для группы Ли.) И наоборот, любой конечномерной алгебре Ли над действительными или комплексными числами соответствует связная группа Ли, единственная с точностью до покрывающих пространств ( третья теорема Ли ). Это соответствие позволяет изучать структуру и классификацию групп Ли в терминах алгебр Ли, которые являются более простыми объектами линейной алгебры.

Более подробно: для любой группы Ли операция умножения вблизи единичного элемента 1 коммутативна до первого порядка. Другими словами, каждая группа Ли G является (до первого порядка) приблизительно вещественным векторным пространством, а именно касательным пространством к G в единице. До второго порядка групповая операция может быть некоммутативной, а члены второго порядка, описывающие некоммутативность G вблизи единицы, дают структуру алгебры Ли. Примечательным фактом является то, что эти члены второго порядка (алгебра Ли) полностью определяют групповую структуру G вблизи единицы. Они даже определяют G глобально, с точностью до накрывающих пространств. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

В физике группы Ли появляются как группы симметрии физических систем, а их алгебры Ли (касательные векторы вблизи единицы) можно рассматривать как бесконечно малые движения симметрии. Таким образом, алгебры Ли и их представления широко используются в физике, особенно в квантовой механике и физике элементарных частиц.

Элементарным примером (не вытекающим напрямую из ассоциативной алгебры) является трехмерное пространство со скобкой Ли, определяемой векторным произведением Это кососимметрично, поскольку , и вместо ассоциативности оно удовлетворяет тождеству Якоби: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle [x,y]=x\times y.}$ ${\displaystyle x\times y=-y\times x}$

${\displaystyle x\times (y\times z)+\ y\times (z\times x)+\ z\times (x\times y)\ =\ 0.}$

Это алгебра Ли группы Ли вращений пространства , и каждый вектор может быть изображен как бесконечно малое вращение вокруг оси , с угловой скоростью, равной величине . Скобка Ли является мерой некоммутативности между двумя вращениями. Поскольку вращение коммутирует само с собой, оно имеет свойство чередования . ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle [x,x]=x\times x=0}$

История

Алгебры Ли были введены для изучения концепции бесконечно малых преобразований Софусом Ли в 1870-х годах ^[1] и независимо открыты Вильгельмом Киллингом ^[2] в 1880-х годах. Название алгебра Ли было дано Германом Вейлем в 1930-х годах; в более старых текстах использовался термин бесконечно малая группа .

Определение алгебры Ли

Алгебра Ли — это векторное пространство над полем вместе с бинарной операцией, называемой скобкой Ли, удовлетворяющее следующим аксиомам: ^[a] ${\displaystyle \,{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

• Билинейность ,

${\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],}$

${\displaystyle [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}$

для всех скаляров в и всех элементов в . ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• Свойство чередования ,

${\displaystyle [x,x]=0\ }$

для всех в . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• Тождество Якоби ,

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\ }$

для всех в . ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Если задана группа Ли, то тождество Якоби для ее алгебры Ли следует из ассоциативности групповой операции.

Использование билинейности для расширения скобки Ли и использование свойства чередования показывает, что для всех в . Таким образом, билинейность и свойство чередования вместе подразумевают ${\displaystyle [x+y,x+y]}$ ${\displaystyle [x,y]+[y,x]=0}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• Антикоммутативность ,

${\displaystyle [x,y]=-[y,x],\ }$

для всех в . Если поле не имеет характеристики 2, то антикоммутативность подразумевает свойство знакопеременности, поскольку из этого следует ^[3] ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [x,x]=-[x,x].}$

Алгебру Ли принято обозначать строчной буквой фрактура , например . Если алгебра Ли связана с группой Ли, то алгебра обозначается фракционной версией имени группы: например, алгебра Ли группы SU( n ) — . ${\displaystyle {\mathfrak {g,h,b,n}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

Генераторы и размерность

Размерность алгебры Ли над полем означает ее размерность как векторного пространства . В физике базис векторного пространства алгебры Ли группы Ли G можно назвать набором генераторов для G . (Они являются «бесконечно малыми генераторами» для G , так сказать.) В математике набор S генераторов для алгебры Ли означает подмножество , такое что любая подалгебра Ли (как определено ниже), содержащая S , должна быть полностью из . Эквивалентно, охватывается (как векторное пространство) всеми итерированными скобками элементов S . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Простые примеры

Абелевы алгебры Ли

Любое векторное пространство, снабженное тождественно нулевой скобкой Ли, становится алгеброй Ли. Такая алгебра Ли называется абелевой . Каждая одномерная алгебра Ли является абелевой по знакопеременному свойству скобки Ли. ${\displaystyle V}$

Алгебра Ли матриц

• На ассоциативной алгебре над полем с умножением, записанным как , скобка Ли может быть определена коммутатором . С этой скобкой является алгеброй Ли. (Тождество Якоби следует из ассоциативности умножения на .) ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• Кольцо эндоморфизмов -векторного пространства с указанной выше скобкой Ли обозначается . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$
• Для поля F и положительного целого числа n пространство матриц размера n × n над F , обозначаемое или , является алгеброй Ли со скобкой, заданной коммутатором матриц: . ^[5] Это частный случай предыдущего примера; это ключевой пример алгебры Ли. Она называется общей линейной алгеброй Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$

Когда F — действительные числа, — алгебра Ли общей линейной группы , группа обратимых n x n действительных матриц (или, что эквивалентно, матриц с ненулевым определителем ), где групповая операция — умножение матриц. Аналогично, — алгебра Ли комплексной группы Ли . Скобка Ли на описывает нарушение коммутативности для умножения матриц или , что эквивалентно, для композиции линейных отображений . Для любого поля F можно рассматривать как алгебру Ли алгебраической группы над F. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$

Определения

Подалгебры, идеалы и гомоморфизмы

Скобка Ли не обязана быть ассоциативной , то есть не обязательно должна быть равна . Тем не менее, большая часть терминологии для ассоциативных колец и алгебр (а также для групп) имеет аналоги для алгебр Ли. Подалгебра Ли — это линейное подпространство , замкнутое относительно скобки Ли. Идеал — это линейное подпространство, удовлетворяющее более сильному условию: ^[6] ${\displaystyle [[x,y],z]}$ ${\displaystyle [x,[y,z]]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}]\subseteq {\mathfrak {i}}.}$

В соответствии между группами Ли и алгебрами Ли подгруппы соответствуют подалгебрам Ли, а нормальные подгруппы соответствуют идеалам.

Гомоморфизм алгебры Ли — это линейное отображение, совместимое с соответствующими скобками Ли:

${\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},\quad \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\ {\text{for all}}\ x,y\in {\mathfrak {g}}.}$

Изоморфизм алгебр Ли — это биективный гомоморфизм .

Как и в случае с нормальными подгруппами в группах, идеалы в алгебрах Ли являются в точности ядрами гомоморфизмов. Для заданной алгебры Ли и идеала в ней определяется фактор-алгебра Ли с сюръективным гомоморфизмом алгебр Ли. Первая теорема об изоморфизме верна для алгебр Ли: для любого гомоморфизма алгебр Ли образом является подалгебра Ли , изоморфная . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\text{ker}}(\phi )}$

Для алгебры Ли группы Ли скобка Ли является своего рода инфинитезимальным коммутатором. В результате для любой алгебры Ли два элемента называются коммутирующими, если их скобка обращается в нуль: . ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [x,y]=0}$

Централизаторная подалгебра подмножества — это множество элементов, коммутирующих с : то есть, . Централизатор самого себя — это центр . Аналогично, для подпространства S нормализаторная подалгебра — это . ^[7] Если — подалгебра Ли, — это наибольшая подалгебра, такая что — идеал . ${\displaystyle S\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}:[x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}:[x,s]\in S\ {\text{ for all}}\ s\in S\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$

Пример

Подпространство диагональных матриц в является абелевой подалгеброй Ли. (Это подалгебра Картана в , аналогичная максимальному тору в теории компактных групп Ли .) Здесь не является идеалом в для . Например, при , это следует из вычисления: ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}\right]&={\begin{bmatrix}ax&by\\cx&dy\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}ax&bx\\cy&dy\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&b(y-x)\\c(x-y)&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

(что не всегда есть в ). ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{2}}$

Каждое одномерное линейное подпространство алгебры Ли является абелевой подалгеброй Ли, но оно не обязательно является идеалом. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Произведение и полупрямое произведение

Для двух алгебр Ли и произведение алгебры Ли представляет собой векторное пространство, состоящее из всех упорядоченных пар , со скобкой Ли [ ^8] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle (x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}}$

${\displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']).}$

Это произведение в категории алгебр Ли. Обратите внимание, что копии и в коммутируют друг с другом: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle [(x,0),(0,x')]=0.}$

Пусть — алгебра Ли и идеал в . Если каноническое отображение расщепляется (т.е. допускает сечение , как гомоморфизм алгебр Ли), то говорят, что является полупрямым произведением и , . См. также полупрямая сумма алгебр Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}}$

Производные

Для алгебры A над полем F вывод алгебры A над F является линейным отображением , удовлетворяющим правилу Лейбница ${\displaystyle D\colon A\to A}$

${\displaystyle D(xy)=D(x)y+xD(y)}$

для всех . (Определение имеет смысл для возможно неассоциативной алгебры .) При наличии двух выводов и их коммутатор снова является выводом. Эта операция превращает пространство всех выводов A над F в алгебру Ли. ^[9] ${\displaystyle x,y\in A}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle [D_{1},D_{2}]:=D_{1}D_{2}-D_{2}D_{1}}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{k}(A)}$

Неформально говоря, пространство выводов A является алгеброй Ли группы автоморфизмов A. (Это буквально верно, когда группа автоморфизмов является группой Ли, например, когда F — это действительные числа, а A имеет конечную размерность как векторное пространство.) По этой причине пространства выводов являются естественным способом построения алгебр Ли: они являются «бесконечно малыми автоморфизмами» A. Действительно, выписывая условие, что

${\displaystyle (1+\epsilon D)(xy)\equiv (1+\epsilon D)(x)\cdot (1+\epsilon D)(y){\pmod {\epsilon ^{2}}}}$

(где 1 обозначает тождественное отображение на A ) дает точное определение D как вывода.

Пример: алгебра Ли векторных полей. Пусть A — кольцо гладких функций на гладком многообразии X. Тогда вывод A по эквивалентен векторному полю на X. (Векторное поле v дает вывод пространства гладких функций путем дифференцирования функций в направлении v .) Это превращает пространство векторных полей в алгебру Ли (см. Скобка Ли векторных полей ). ^[10] Неформально говоря, — это алгебра Ли группы диффеоморфизмов X. Таким образом, скобка Ли векторных полей описывает некоммутативность группы диффеоморфизмов. Действие группы Ли G на многообразии X определяет гомоморфизм алгебр Ли . (Пример проиллюстрирован ниже. ) ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\text{Vect}}(X)}$

Алгебру Ли можно рассматривать как неассоциативную алгебру, и поэтому каждая алгебра Ли над полем F определяет свою алгебру Ли выводов, . То есть вывод — это линейное отображение, такое что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle D([x,y])=[D(x),y]+[x,D(y)]}$.

Внутренний вывод, связанный с любым, является сопряженным отображением, определяемым соотношением . (Это вывод как следствие тождества Якоби.) Это дает гомоморфизм алгебр Ли, . Образ является идеалом в , а алгебра Ли внешних выводов определяется как фактор-алгебра Ли, . (Это в точности аналогично внешней группе автоморфизмов группы.) Для полупростой алгебры Ли (определенной ниже) над полем нулевой характеристики каждое вывод является внутренним. ^[11] Это связано с теоремой о том, что внешняя группа автоморфизмов полупростой группы Ли конечна. ^[12] ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{Out}}_{F}({\mathfrak {g}})={\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})/{\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}$

Напротив, абелева алгебра Ли имеет много внешних выводов. А именно, для векторного пространства с нулевой скобкой Ли алгебра Ли может быть отождествлена ​​с . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\text{Out}}_{F}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

Примеры

Матричные алгебры Ли

Матричная группа — это группа Ли, состоящая из обратимых матриц , где групповая операция G — это умножение матриц. Соответствующая алгебра Ли — это пространство матриц, которые являются касательными векторами к G внутри линейного пространства : оно состоит из производных гладких кривых в G в единичной матрице : ${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb {R} ):{\text{ smooth }}c:\mathbb {R} \to G,\ c(0)=I\}.}$

Скобка Ли задается коммутатором матриц, . Если задана алгебра Ли , можно восстановить группу Ли как подгруппу, порожденную матричной экспонентой элементов . ^[13] (Если быть точным, это дает компонент тождества G , если G не является связным.) Здесь экспоненциальное отображение определяется как , которое сходится для каждой матрицы . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {R} )\to M_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+{\tfrac {1}{3!}}X^{3}+\cdots }$ ${\displaystyle X}$

Те же комментарии применимы к комплексным подгруппам Ли и комплексной матричной экспоненте (определяемой той же формулой). ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )}$

Вот некоторые матричные группы Ли и их алгебры Ли. ^[14]

• Для положительного целого числа n специальная линейная группа состоит из всех действительных матриц размера n  ×  n с определителем 1. Это группа линейных отображений из в себя, которые сохраняют объем и ориентацию . Более абстрактно, это коммутаторная подгруппа общей линейной группы . Ее алгебра Ли состоит из всех действительных матриц размера n  ×  n со следом 0. Аналогично можно определить аналогичную комплексную группу Ли и ее алгебру Ли . ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\rm {SL}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$
• Ортогональная группа играет основную роль в геометрии: это группа линейных отображений из в себя, которые сохраняют длину векторов. Например, вращения и отражения принадлежат . Эквивалентно, это группа ортогональных матриц n x n , что означает, что , где обозначает транспонирование матрицы. Ортогональная группа имеет две связные компоненты; единичный компонент называется специальной ортогональной группой , состоящей из ортогональных матриц с определителем 1. Обе группы имеют одну и ту же алгебру Ли , подпространство кососимметричных матриц в ( ). См. также бесконечно малые вращения с кососимметричными матрицами . ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1}}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X^{\rm {T}}=-X}$

Комплексная ортогональная группа , ее единичная компонента и алгебра Ли задаются теми же формулами, примененными к комплексным матрицам n x n . Эквивалентно, является подгруппой , которая сохраняет стандартную симметричную билинейную форму на . ${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• Унитарная группа — это подгруппа , которая сохраняет длину векторов в (относительно стандартного эрмитова скалярного произведения ). Эквивалентно, это группа унитарных матриц n  ×  n (удовлетворяющих , где обозначает сопряженное транспонирование матрицы). Ее алгебра Ли состоит из косоэрмитовых матриц в ( ). Это алгебра Ли над , а не над . (В самом деле, i раз косоэрмитова матрица является эрмитовой, а не косоэрмитовой.) Аналогично, унитарная группа — это вещественная подгруппа Ли комплексной группы Ли . Например, — это группа окружности , а ее алгебра Ли (с этой точки зрения) — . ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle A^{*}=A^{-1}}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X^{*}=-X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle i\mathbb {R} \subset \mathbb {C} ={\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )}$
• Специальная унитарная группа является подгруппой матриц с определителем 1 в . Ее алгебра Ли состоит из косоэрмитовых матриц со следом нуль. ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {su} (n)}$
• Симплектическая группа — это подгруппа , которая сохраняет стандартную знакопеременную билинейную форму на . Ее алгебра Ли — это симплектическая алгебра Ли . ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )}$
• Классические алгебры Ли — это те, что перечислены выше, а также их варианты над любым полем.

Два измерения

Некоторые алгебры Ли малой размерности описаны здесь. Дополнительные примеры см. в классификации вещественных алгебр Ли малой размерности .

• Над любым полем F существует единственная неабелева алгебра Ли размерности 2 с точностью до изоморфизма. ^[15] Здесь имеет базис, для которого скобка задается выражением . (Это полностью определяет скобку Ли, поскольку из аксиом следует, что и .) Над действительными числами можно рассматривать как алгебру Ли группы Ли аффинных преобразований действительной прямой, . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle \left[X,Y\right]=Y}$ ${\displaystyle [X,X]=0}$ ${\displaystyle [Y,Y]=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Aff} (1,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$

Аффинную группу G можно отождествить с группой матриц

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right)}$

при умножении матриц, с , . Его алгебра Ли является подалгеброй Ли , состоящей из всех матриц ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(2,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}c&d\\0&0\end{array}}\right).}$

В этих терминах, основа выше задается матрицами ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad Y=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right).}$

Для любого поля , 1-мерное подпространство является идеалом в 2-мерной алгебре Ли , по формуле . Обе алгебры Ли и являются абелевыми (потому что 1-мерны). В этом смысле может быть разбито на абелевы "куски", что означает, что оно разрешимо (хотя и не нильпотентно), в терминологии ниже. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\cdot Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [X,Y]=Y\in F\cdot Y}$ ${\displaystyle F\cdot Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/(F\cdot Y)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Три измерения

• Алгебра Гейзенберга над полем F — это трехмерная алгебра Ли с базисом таким, что ^[16] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

${\displaystyle [X,Y]=Z,\quad [X,Z]=0,\quad [Y,Z]=0}$.

Ее можно рассматривать как алгебру Ли 3×3 строго верхнетреугольных матриц с коммутаторной скобкой Ли и базисом

${\displaystyle X=\left({\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Y=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Z=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

Над действительными числами находится алгебра Ли группы Гейзенберга , то есть группа матриц ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right)}$

при умножении матриц.

Для любого поля F центр является одномерным идеалом , а фактор абелев, изоморфен . В терминологии ниже следует, что является нильпотентным (хотя и не абелевым). ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$ ${\displaystyle F\cdot Z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)/(F\cdot Z)}$ ${\displaystyle F^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$

• Алгебра Ли группы вращений SO(3) — это пространство кососимметричных матриц 3 x 3 над . Базис задается тремя матрицами ^[17] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle F_{1}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}}\right),\quad F_{2}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}}\right),\quad F_{3}=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

Коммутационные соотношения между этими генераторами следующие:

${\displaystyle [F_{1},F_{2}]=F_{3},}$

${\displaystyle [F_{2},F_{3}]=F_{1},}$

${\displaystyle [F_{3},F_{1}]=F_{2}.}$

Перекрестное произведение векторов в задается той же формулой в терминах стандартного базиса; так что алгебра Ли изоморфна . Кроме того, эквивалентно операторам компонент углового момента спина (физика) для частиц со спином 1 в квантовой механике . ^[18] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Алгебру Ли нельзя разбить на части так, как это можно было сделать в предыдущих примерах: она проста , то есть она не абелева, и ее единственными идеалами являются 0 и все . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

• Другая простая алгебра Ли размерности 3, в данном случае над , представляет собой пространство матриц 2 x 2 следа ноль. Базис задается тремя матрицами ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle H=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right),\ E=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right),\ F=\left({\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right).}$

Действие на сфере Римана . В частности, скобки Ли векторных полей показаны так: , , . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle [H,E]=2E}$ ${\displaystyle [H,F]=-2F}$ ${\displaystyle [E,F]=H}$

Скобка Ли задается формулой:

${\displaystyle [H,E]=2E,}$

${\displaystyle [H,F]=-2F,}$

${\displaystyle [E,F]=H.}$

Используя эти формулы, можно показать, что алгебра Ли проста, и классифицировать ее конечномерные представления (определенные ниже). ^[19] В терминологии квантовой механики можно рассматривать E и F как повышающие и понижающие операторы . Действительно, для любого представления соотношения выше подразумевают, что E отображает c - собственное пространство H (для комплексного числа c ) в - собственное пространство, в то время как F отображает c - собственное пространство в - собственное пространство. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle (c+2)}$ ${\displaystyle (c-2)}$

Алгебра Ли изоморфна комплексификации , то есть тензорному произведению . Формулы для скобок Ли проще анализировать в случае . В результате комплексные представления группы обычно анализируют, связывая их с представлениями алгебры Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Бесконечные измерения

• Алгебра Ли векторных полей на гладком многообразии положительной размерности является бесконечномерной алгеброй Ли над . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Алгебры Каца–Муди представляют собой большой класс бесконечномерных алгебр Ли, скажем, над , со структурой, очень похожей на структуру простых конечномерных алгебр Ли (таких как ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$
• Алгебра Мояла — бесконечномерная алгебра Ли, содержащая все классические алгебры Ли в качестве подалгебр.
• Алгебра Вирасоро играет важную роль в теории струн .
• Функтор, который переводит алгебру Ли над полем F в лежащее в основе векторное пространство, имеет левый сопряженный , называемый свободной алгеброй Ли на векторном пространстве V . Он охватывается всеми итерированными скобками Ли элементов V , по модулю только соотношений, вытекающих из определения алгебры Ли. Свободная алгебра Ли бесконечномерна для V размерности не менее 2. ^[20] ${\displaystyle V\mapsto L(V)}$ ${\displaystyle L(V)}$

Представления

Определения

Для данного векторного пространства V обозначим алгебру Ли, состоящую из всех линейных отображений из V в себя, со скобкой, заданной как . Представление алгебры Ли на V — это гомоморфизм алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).}$

То есть, переводит каждый элемент в линейное отображение из V в себя таким образом, что скобка Ли на соответствует коммутатору линейных отображений. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Представление называется точным , если его ядро ​​равно нулю. Теорема Адо утверждает, что каждая конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики имеет точное представление в конечномерном векторном пространстве. Кенкичи Ивасава распространил этот результат на конечномерные алгебры Ли над полем любой характеристики. ^[21] Эквивалентно, каждая конечномерная алгебра Ли над полем F изоморфна подалгебре Ли для некоторого положительного целого числа n . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$

Сопряженное представление

Для любой алгебры Ли присоединенное представление — это представление ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$

задано . (Это представление тождества Якоби.) ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Цели теории репрезентации

Одним из важных аспектов изучения алгебр Ли (особенно полупростых алгебр Ли, как определено ниже) является изучение их представлений. Хотя теорема Адо является важным результатом, основная цель теории представлений состоит не в том, чтобы найти точное представление данной алгебры Ли . Действительно, в полупростом случае присоединенное представление уже является точным. Скорее, цель состоит в том, чтобы понять все возможные представления . Для полупростой алгебры Ли над полем нулевой характеристики теорема Вейля ^[22] гласит, что каждое конечномерное представление является прямой суммой неприводимых представлений (представлений без нетривиальных инвариантных подпространств). Конечномерные неприводимые представления хорошо изучены с нескольких точек зрения; см. теорию представлений полупростых алгебр Ли и формулу характера Вейля . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Универсальная обертывающая алгебра

Функтор, который переводит ассоциативную алгебру A над полем F в A как алгебру Ли (посредством ), имеет левый сопряженный , называемый универсальной обертывающей алгеброй . Чтобы построить это: дана алгебра Ли над F , пусть ${\displaystyle [X,Y]:=XY-YX}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\mapsto U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle T({\mathfrak {g}})=F\oplus {\mathfrak {g}}\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus \cdots }$

— тензорная алгебра на , также называемая свободной ассоциативной алгеброй на векторном пространстве . Здесь обозначает тензорное произведение F -векторных пространств. Пусть I — двусторонний идеал в , порожденный элементами для ; тогда универсальная обертывающая алгебра — это фактор-кольцо . Оно удовлетворяет теореме Пуанкаре–Биркгофа–Витта : если — базис для как F -векторного пространства, то базис для задается всеми упорядоченными произведениями с натуральными числами. В частности, отображение инъективно . ^[23] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle XY-YX-[X,Y]}$ ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle e_{1}^{i_{1}}\cdots e_{n}^{i_{n}}}$ ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$

Представления эквивалентны модулям над универсальной обертывающей алгеброй. Тот факт, что является инъективным, подразумевает, что каждая алгебра Ли (возможно, бесконечной размерности) имеет точное представление (бесконечной размерности), а именно ее представление на . Это также показывает, что каждая алгебра Ли содержится в алгебре Ли, связанной с некоторой ассоциативной алгеброй. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Теория представлений в физике

Теория представлений алгебр Ли играет важную роль в различных разделах теоретической физики. Там рассматриваются операторы на пространстве состояний, которые удовлетворяют определенным естественным коммутационным соотношениям. Эти коммутационные соотношения обычно возникают из симметрии задачи — в частности, они являются соотношениями алгебры Ли соответствующей группы симметрии. Примером являются операторы углового момента , коммутационные соотношения которых являются соотношениями алгебры Ли группы вращения . Обычно пространство состояний далеко от неприводимости относительно соответствующих операторов, но можно попытаться разложить его на неприводимые части. При этом необходимо знать неприводимые представления данной алгебры Ли. Например, при изучении атома водорода учебники по квантовой механике классифицируют (более или менее явно) конечномерные неприводимые представления алгебры Ли . ^[18] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Теория структуры и классификация

Алгебры Ли можно классифицировать до некоторой степени. Это мощный подход к классификации групп Ли.

Абелево, нильпотентно и разрешимо

Аналогично абелевым , нильпотентным и разрешимым группам можно определить абелевы, нильпотентные и разрешимые алгебры Ли.

Алгебра Ли абелева . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$если скобка Ли равна нулю; то есть [ x , y ] = 0 для всех x и y в . В частности, алгебра Ли абелевой группы Ли (такой как группа по сложению или группа тора ) является абелевой. Каждая конечномерная абелева алгебра Ли над полем изоморфна для некоторого , что означает n -мерное векторное пространство с нулевой скобкой Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Более общий класс алгебр Ли определяется обращением в нуль всех коммутаторов заданной длины. Во-первых, коммутаторная подалгебра (или производная подалгебра ) алгебры Ли — это , что означает линейное подпространство, натянутое на все скобки с . Коммутационная подалгебра — это идеал в , фактически наименьший идеал такой, что фактор-алгебра Ли абелева. Она аналогична коммутаторной подгруппе группы. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Алгебра Ли нильпотентна , если нижний центральный ряд ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq \cdots }$

становится нулевым после конечного числа шагов. Эквивалентно, является нильпотентным, если существует конечная последовательность идеалов в , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0={\mathfrak {a}}_{0}\subseteq {\mathfrak {a}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {a}}_{r}={\mathfrak {g}},}$

такой, что является центральным в для каждого j . По теореме Энгеля алгебра Ли над любым полем нильпотентна тогда и только тогда, когда для каждого u в присоединенном эндоморфизме ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{j}/{\mathfrak {a}}_{j-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}_{j-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}$

нильпотентно . ^[24 ]

В более общем смысле алгебра Ли называется разрешимой, если производный ряд : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\supseteq \cdots }$

становится равным нулю после конечного числа шагов. Эквивалентно, разрешимо, если существует конечная последовательность подалгебр Ли, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0={\mathfrak {m}}_{0}\subseteq {\mathfrak {m}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {m}}_{r}={\mathfrak {g}},}$

такой, что является идеалом в с абелевой для каждого j . ^[25] ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j}/{\mathfrak {m}}_{j-1}}$

Каждая конечномерная алгебра Ли над полем имеет единственный максимальный разрешимый идеал, называемый ее радикалом . ^[26] При соответствии Ли нильпотентные (соответственно, разрешимые) группы Ли соответствуют нильпотентным (соответственно, разрешимым) алгебрам Ли над . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Например, для положительного целого числа n и поля F нулевой характеристики радикал является его центром, одномерным подпространством, натянутым на единичную матрицу. Примером разрешимой алгебры Ли является пространство верхнетреугольных матриц в ; оно не нильпотентно, когда . Примером нильпотентной алгебры Ли является пространство строго верхнетреугольных матриц в ; оно не абелево, когда . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Простые и полупростые

Алгебра Ли называется простой, если она не абелева и единственными идеалами в являются 0 и . (В частности, одномерная — обязательно абелева — алгебра Ли по определению не является простой, даже если ее единственными идеалами являются 0 и .) Конечномерная алгебра Ли называется полупростой , если единственным разрешимым идеалом в является 0. В нулевой характеристике алгебра Ли является полупростой тогда и только тогда, когда она изоморфна произведению простых алгебр Ли, . ^[27] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {g}}_{1}\times \cdots \times {\mathfrak {g}}_{r}}$

Например, алгебра Ли проста для любого и каждого поля F нулевой характеристики (или просто характеристики, не делящей n ). Алгебра Ли над проста для любого . Алгебра Ли над проста, если или . ^[28] (Существуют «исключительные изоморфизмы» и .) ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n\geq 5}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)\times {\mathfrak {su}}(2)}$

Понятие полупростоты для алгебр Ли тесно связано с полной приводимостью (полупростотой) их представлений. Когда основное поле F имеет нулевую характеристику, каждое конечномерное представление полупростой алгебры Ли является полупростым (то есть прямой суммой неприводимых представлений). ^[22]

Конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики называется редуктивной, если ее присоединенное представление полупросто. Всякая редуктивная алгебра Ли изоморфна произведению абелевой алгебры Ли и полупростой алгебры Ли. ^[29]

Например, является редуктивным для F нулевой характеристики: для он изоморфен произведению ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)\cong F\times {\mathfrak {sl}}(n,F),}$

где F обозначает центр , одномерное подпространство, натянутое на единичную матрицу. Поскольку специальная линейная алгебра Ли проста, содержит мало идеалов: только 0, центр F , , и все из . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$

Критерий Картана

Критерий Картана ( Эли Картана ) дает условия для конечномерной алгебры Ли характеристики ноль, чтобы быть разрешимой или полупростой. Он выражается в терминах формы Киллинга , симметричной билинейной формы на , определяемой ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),}$

где tr обозначает след линейного оператора. А именно: алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда форма Киллинга невырождена . Алгебра Ли разрешима тогда и только тогда, когда ^[30] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0.}$

Классификация

Разложение Леви утверждает, что каждая конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики является полупрямым произведением своего разрешимого радикала и полупростой алгебры Ли. ^[31] Более того, полупростая алгебра Ли в нулевой характеристике является произведением простых алгебр Ли, как упоминалось выше. Это фокусирует внимание на проблеме классификации простых алгебр Ли.

Простые алгебры Ли конечной размерности над алгебраически замкнутым полем F нулевой характеристики были классифицированы Киллингом и Картаном в 1880-х и 1890-х годах с использованием корневых систем . А именно, каждая простая алгебра Ли имеет тип A _n , B _n , C _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ или G ₂ . ^[32] Здесь простая алгебра Ли типа A _n — это , B _n — это , C _n — это , а D _n — это . Остальные пять известны как исключительные алгебры Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n,F)}$

Классификация конечномерных простых алгебр Ли над более сложна, но она также была решена Картаном (см. простую группу Ли для эквивалентной классификации). Можно проанализировать алгебру Ли над , рассмотрев ее комплексификацию . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

В годы, предшествовавшие 2004 году, конечномерные простые алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики были классифицированы Ричардом Эрлом Блоком , Робертом Ли Уилсоном, Александром Преметом и Хельмутом Штрейдом. (См. ограниченная алгебра Ли#Классификация простых алгебр Ли .) Оказывается, что существует гораздо больше простых алгебр Ли в положительной характеристике, чем в нулевой характеристике. ${\displaystyle p>3}$

Связь с группами Ли

Касательное пространство сферы в точке . Если бы было единичным элементом группы Ли, касательное пространство было бы алгеброй Ли. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Хотя алгебры Ли можно изучать сами по себе, исторически они возникли как средство изучения групп Ли .

Связь между группами Ли и алгебрами Ли можно резюмировать следующим образом. Каждая группа Ли определяет алгебру Ли над (конкретно, касательное пространство в единице). Наоборот, для каждой конечномерной алгебры Ли существует связанная группа Ли с алгеброй Ли . Это третья теорема Ли ; см. формулу Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа . Эта группа Ли не определяется однозначно; однако любые две группы Ли с одной и той же алгеброй Ли локально изоморфны , и, что более строго, они имеют одно и то же универсальное покрытие . Например, специальная ортогональная группа SO(3) и специальная унитарная группа SU(2) имеют изоморфные алгебры Ли, но SU(2) является односвязным двойным покрытием SO(3). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Для односвязных групп Ли существует полное соответствие: взятие алгебры Ли дает эквивалентность категорий из односвязных групп Ли алгебрам Ли конечной размерности над . ^[33] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Соответствие между алгебрами Ли и группами Ли используется несколькими способами, в том числе в классификации групп Ли и теории представлений групп Ли. Для конечномерных представлений существует эквивалентность категорий между представлениями вещественной алгебры Ли и представлениями соответствующей односвязной группы Ли. Это упрощает теорию представлений групп Ли: часто проще классифицировать представления алгебры Ли, используя линейную алгебру.

Каждая связная группа Ли изоморфна своему универсальному покрытию по модулю дискретной центральной подгруппы. ^[34] Таким образом, классификация групп Ли становится просто вопросом подсчета дискретных подгрупп центра , как только алгебра Ли известна. Например, действительные полупростые алгебры Ли были классифицированы Картаном, и поэтому классификация полупростых групп Ли хорошо понятна.

Для бесконечномерных алгебр Ли теория Ли работает хуже. Экспоненциальное отображение не обязательно должно быть локальным гомеоморфизмом (например, в группе диффеоморфизмов окружности существуют диффеоморфизмы, сколь угодно близкие к тождественному, но не являющиеся образом экспоненциального отображения). Более того, в терминах существующих понятий бесконечномерных групп Ли некоторые бесконечномерные алгебры Ли не происходят ни от какой группы. ^[35]

Теория Ли также не работает так аккуратно для бесконечномерных представлений конечномерной группы. Даже для аддитивной группы бесконечномерное представление обычно не может быть дифференцировано для получения представления ее алгебры Ли на том же пространстве, или наоборот. ^[36] Теория модулей Хариш-Чандры является более тонкой связью между бесконечномерными представлениями для групп и алгебр Ли. ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle G}$

Действительная форма и комплексификация

Если задана комплексная алгебра Ли , то говорят, что действительная алгебра Ли является действительной формой , если комплексификация изоморфна . Действительная форма не обязательно должна быть единственной; например, имеет две действительные формы с точностью до изоморфизма и . ^[37] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

Если задана полупростая комплексная алгебра Ли , то ее расщепляемая форма — это вещественная форма, которая расщепляется; т. е. она имеет подалгебру Картана, которая действует через присоединенное представление с вещественными собственными значениями. Расщепляемая форма существует и единственна (с точностью до изоморфизма). Компактная форма — это вещественная форма, которая является алгеброй Ли компактной группы Ли. Компактная форма существует и также единственна с точностью до изоморфизма. ^[37] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Алгебра Ли с дополнительными структурами

Алгебра Ли может быть снабжена дополнительными структурами, совместимыми со скобкой Ли. Например, градуированная алгебра Ли — это алгебра Ли (или, в более общем смысле, супералгебра Ли ) с совместимой градуировкой. Дифференциальная градуированная алгебра Ли также поставляется с дифференциалом, что делает базовое векторное пространство цепным комплексом .

Например, гомотопические группы односвязного топологического пространства образуют градуированную алгебру Ли, используя произведение Уайтхеда . В связанной конструкции Дэниел Квиллен использовал дифференциальные градуированные алгебры Ли над рациональными числами для описания рациональной гомотопической теории в алгебраических терминах. ^[38] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Кольцо лжи

Определение алгебры Ли над полем распространяется на определение алгебры Ли над любым коммутативным кольцом R. А именно, алгебра Ли над R — это R - модуль с чередующимся R -билинейным отображением , удовлетворяющим тождеству Якоби. Алгебра Ли над кольцом целых чисел иногда называется кольцом Ли . (Это не связано напрямую с понятием группы Ли.) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [\ ,\ ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Кольца Ли используются при изучении конечных p-групп (для простого числа p ) через соответствие Лазара . ^[39] Нижние центральные факторы конечной p -группы являются конечными абелевыми p -группами. Прямая сумма нижних центральных факторов задает структуру кольца Ли, определяя скобку как коммутатор двух представителей смежного класса; см. пример ниже.

p-адические группы Ли связаны с алгебрами Ли над полем p -адических чисел , а также над кольцом p -адических целых чисел . ^[40] Часть конструкции Клода Шевалле конечных групп типа Ли включает демонстрацию того, что простая алгебра Ли над комплексными числами происходит из алгебры Ли над целыми числами, а затем (с большей осторожностью) групповой схемы над целыми числами. ^[41] ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Примеры

• Вот конструкция колец Ли, возникающая из изучения абстрактных групп. Для элементов группы определим коммутатор . Пусть будет фильтрацией группы , то есть цепочкой подгрупп такой, что содержится в для всех . (Для соответствия Лазара фильтрация берется как нижний центральный ряд группы G .) Тогда ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle [x,y]=x^{-1}y^{-1}xy}$ ${\displaystyle G=G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq G_{3}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [G_{i},G_{j}]}$ ${\displaystyle G_{i+j}}$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle L=\bigoplus _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}$

— кольцо Ли, в котором сложение задается групповым умножением (которое абелево на каждой факторгруппе ), а скобка Ли задается коммутаторами в группе: ^[42] ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$ ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\times G_{j}/G_{j+1}\to G_{i+j}/G_{i+j+1}}$

${\displaystyle [xG_{i+1},yG_{j+1}]:=[x,y]G_{i+j+1}.}$

Например, кольцо Ли, связанное с нижним центральным рядом на диэдральной группе порядка 8, является алгеброй Ли Гейзенберга размерности 3 над полем . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Определение с использованием теоретико-категорной нотации

Определение алгебры Ли можно переформулировать более абстрактно на языке теории категорий . А именно, можно определить алгебру Ли в терминах линейных отображений, то есть морфизмов в категории векторных пространств , не рассматривая отдельные элементы. (В этом разделе предполагается, что поле, над которым определяется алгебра, имеет характеристику, отличную от 2.)

Для категорно-теоретического определения алгебр Ли необходимы два изоморфизма сплетения . Если A — векторное пространство, изоморфизм перестановки определяется как ${\displaystyle \tau :A\otimes A\to A\otimes A}$

${\displaystyle \tau (x\otimes y)=y\otimes x.}$

Циклически -перестановочное плетение определяется как ${\displaystyle \sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}$

${\displaystyle \sigma =(\mathrm {id} \otimes \tau )\circ (\tau \otimes \mathrm {id} ),}$

где — морфизм тождества. Эквивалентно, определяется как ${\displaystyle \mathrm {id} }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma (x\otimes y\otimes z)=y\otimes z\otimes x.}$

С помощью этой записи алгебра Ли может быть определена как объект в категории векторных пространств вместе с морфизмом ${\displaystyle A}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon A\otimes A\rightarrow A}$

который удовлетворяет двум равенствам морфизма

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau )=0,}$

и

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0.}$

Смотрите также

• Аффинная алгебра Ли
• Автоморфизм алгебры Ли
• Теорема Фробениуса об интегрируемости (интегрируемость — то же самое, что быть подалгеброй Ли)
• Когомологии Гельфанда–Фукса
• алгебра Хопфа
• Индекс алгебры Ли
• алгебра Лейбница
• Когомологии алгебры Ли
• Расширение алгебры Ли
• Представление алгебры Ли
• Биалгебра Ли
• Коалгебра Ли
• Ложь операдная
• Физика элементарных частиц и теория представлений
• Супералгебра Ли
• Ортогональная симметричная алгебра Ли
• алгебра Пуассона
• Пред-Лиева алгебра
• Квантовые группы
• Алгебра Мойала
• Квазифробениусова алгебра Ли
• Квазилиевская алгебра
• Ограниченная алгебра Ли
• Серрские отношения

Замечания

1. В более общем смысле, имеется понятие алгебры Ли над любым коммутативным кольцом R : R -модуль с чередующимся R -билинейным отображением, удовлетворяющим тождеству Якоби (Бурбаки (1989, раздел 2)).

Ссылки

1. О'Коннор и Робертсон 2000.
2. О'Коннор и Робертсон 2005.
3. Хамфрис 1978, стр. 1.
4. Бурбаки 1989, §1.2. Пример 1.
5. Бурбаки 1989, §1.2. Пример 2.
6. В силу антикоммутативности коммутатора понятия левого и правого идеала в алгебре Ли совпадают.
7. Якобсон 1979, стр. 28.
8. Бурбаки 1989, раздел I.1.1.
9. Хамфрис 1978, стр. 4.
10. Варадараджан 1984, стр. 49.
11. Серр 2006, Часть I, раздел VI.3.
12. Фултон и Харрис 1991, Предложение D.40.
13. Варадараджан 1984, раздел 2.10, примечание 2.
14. Холл 2015, §3.4.
15. Эрдманн и Уайлдон 2006, Теорема 3.1.
16. Эрдманн и Уайлдон 2006, раздел 3.2.1.
17. Холл 2015, Пример 3.27.
18. Wigner 1959, главы 17 и 20.
19. Эрдманн и Уайлдон 2006, Глава 8.
20. Серр 2006, Часть I, Глава IV.
21. Якобсон 1979, Гл. VI.
22. Hall 2015, Теорема 10.9.
23. Хамфрис 1978, раздел 17.3.
24. Якобсон 1979, раздел II.3.
25. Якобсон 1979, раздел I.7.
26. Якобсон 1979, стр. 24.
27. Якобсон 1979, Гл. III, § 5.
28. Эрдманн и Уайлдон 2006, Теорема 12.1.
29. Варадараджан 1984, Теорема 3.16.3.
30. Варадараджан 1984, раздел 3.9.
31. Якобсон 1979, Гл. III, § 9.
32. Якобсон 1979, раздел IV.6.
33. Варадараджан 1984, Теоремы 2.7.5 и 3.15.1.
34. Варадараджан 1984, раздел 2.6.
35. Милнор 2010, Предупреждения 1.6 и 8.5.
36. Кнапп 2001, раздел III.3, задача III.5.
37. Fulton & Harris 1991, §26.1.
38. Квиллен 1969, Следствие II.6.2.
39. Хухро 1998, Гл. 6.
40. Серр 2006, Часть II, раздел V.1.
41. Хамфрис 1978, раздел 25.
42. Серр 2006, Часть I, Глава II.

Источники

• Бурбаки, Николас (1989). Группы Ли и алгебры Ли: Главы 1-3. Springer. ISBN 978-3-540-64242-8. МР  1728312.
• Эрдманн, Карин ; Уайлдон, Марк (2006). Введение в алгебры Ли . Springer. ISBN 1-84628-040-0. МР  2218355.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• Холл, Брайан С. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Graduate Texts in Mathematics. Том 222 (2-е изд.). Springer. doi :10.1007/978-3-319-13467-3. ISBN 978-3319134666. ISSN  0072-5285. MR  3331229.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1978). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Graduate Texts in Mathematics. Том 9 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90053-7. МР  0499562.
• Якобсон, Натан (1979) [1962]. Алгебры Ли . Дувр. ISBN 978-0-486-63832-4. МР  0559927.
• Хухро, Э.И. (1998), p-автоморфизмы конечных p-групп , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511526008, ISBN 0-521-59717-X, МР  1615819
• Кнапп, Энтони В. (2001) [1986], Теория представлений полупростых групп: обзор на основе примеров , Princeton University Press , ISBN 0-691-09089-0, г-н  1880691
• Милнор, Джон (2010) [1986], «Замечания о бесконечномерных группах Ли», Сборник статей Джона Милнора , т. 5, стр. 91–141, ISBN 978-0-8218-4876-0, МР  0830252
• О'Коннор, Дж. Дж .; Робертсон, Э. Ф. (2000). «Marius Sophus Lie». Архив истории математики MacTutor.
• О'Коннор, Дж. Дж .; Робертсон, Э. Ф. (2005). «Вильгельм Карл Йозеф Киллинг». Архив истории математики MacTutor.
• Куиллен, Дэниел (1969), «Рациональная теория гомотопий», Annals of Mathematics , 90 (2): 205–295, doi :10.2307/1970725, JSTOR  1970725, MR  0258031
• Серр, Жан-Пьер (2006). Алгебры Ли и группы Ли (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3-540-55008-2. МР  2179691.
• Варадараджан, Виравалли С. (1984) [1974]. Группы Ли, алгебры Ли и их представления . Springer. ISBN 978-0-387-90969-1. МР  0746308.
• Вигнер, Юджин (1959). Теория групп и ее применение к квантовой механике атомных спектров . Перевод Дж. Дж. Гриффина. Academic Press . ISBN 978-0127505503. МР  0106711.

Внешние ссылки

• Кац, Виктор Г. и др. Заметки к курсу MIT 18.745: Введение в алгебры Ли. Архивировано из оригинала 20.04.2010.
• «Алгебра Ли», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Маккензи, Дуглас (2015). «Элементарное введение в алгебры Ли для физиков».