stringtranslate.com

Математическое образование в Соединенных Штатах

Студент решает математические задачи с помощью графического калькулятора (2010)

Математическое образование в Соединенных Штатах значительно различается от штата к штату и даже в пределах одного штата. Однако с принятием стандартов Common Core в большинстве штатов и округе Колумбия в начале 2010 года содержание математики по всей стране стало более согласованным для каждого уровня обучения. SAT , стандартизированный вступительный экзамен в университет, был реформирован, чтобы лучше отражать содержание Common Core. [1] Однако многие студенты выбирают альтернативы традиционным путям, включая ускоренные курсы. По состоянию на 2023 год двадцать семь штатов требуют, чтобы студенты прошли три курса математики до окончания средней школы (с 9 по 12 классы, для учащихся обычно в возрасте от 14 до 18 лет), в то время как семнадцать штатов и округ Колумбия требуют четыре. [2] Типичная последовательность курсов математики в средней школе (с 6 по 12 классы) выглядит следующим образом: предынтеллект (7 или 8 класс), алгебра I, геометрия, алгебра II, предысчисление и исчисление или статистика. Однако некоторые ученики поступают на интегрированные программы [3], в то время как многие заканчивают среднюю школу, не сдав исчисление или статистику. [4] [5] С другой стороны, консультанты в конкурентоспособных государственных или частных средних школах обычно поощряют талантливых и амбициозных учеников изучать исчисление независимо от планов на будущее, чтобы повысить их шансы на поступление в престижный университет [6] , а их родители записывают их на углубленную программу по математике. [7]

Алгебра в средней школе оказывается поворотным моментом трудностей, которые многие учащиеся пытаются преодолеть, [8] [9] [10] [11] и, как следствие, многие учащиеся плохо подготовлены к университетским программам в области естественных наук, технологий, инженерии и математики ( STEM ) [10] [11] [12] или будущей высококвалифицированной карьере. [13] [14] Согласно отчету Министерства образования США за 1997 год , прохождение строгих курсов математики в средней школе предсказывает успешное завершение университетских программ независимо от специальности или дохода семьи. [15] [16] Между тем, число учеников восьмого класса, зачисленных на курс «Алгебра I», сократилось в период с начала 2010-х до начала 2020-х годов. [17] По всей территории Соединенных Штатов наблюдается нехватка квалифицированных преподавателей математики. [18] [19] Несмотря на свои лучшие намерения, родители могут передавать свою математическую тревожность своим детям, у которых также могут быть школьные учителя, которые боятся математики, [20] [21] и они переоценивают математические познания своих детей. [ 22] Примерно один из пяти взрослых американцев функционально не умеет считать. [18] Хотя подавляющее большинство согласно с тем, что математика важна, многие, особенно молодые, не уверены в своих собственных математических способностях. [18] [23] С другой стороны, высокоэффективные школы могут предлагать своим ученикам ускоренные курсы (включая возможность прохождения университетских курсов после исчисления) [24] и подготавливать их к математическим соревнованиям. [25] [26] На уровне высшего образования интерес учеников к STEM значительно вырос. [27] Однако многим ученикам приходится проходить коррективные курсы по математике в старшей школе [28] [29] , и многие бросают программы STEM из-за недостаточных математических навыков. [12] [7]

По сравнению с другими развитыми странами Организации экономического сотрудничества и развития ( ОЭСР ), средний уровень математической грамотности американских школьников посредственный. [8] [30] [31] [32] [33] Как и во многих других странах, результаты по математике снизились во время пандемии COVID-19. [34] Однако результаты школьников азиатского и европейского происхождения выше среднего по ОЭСР. [35]

Содержание и стандарты учебной программы

Карта, показывающая штаты США, которые приняли, не приняли, частично приняли или отменили единые государственные стандарты образования по состоянию на 2016 год:
  Государства, принявшие Стандарты
  Государства, которые частично приняли Стандарты
  Государства, которые приняли, но позже отменили Стандарты
  Государства, которые никогда не принимали Стандарты

Каждый штат США устанавливает собственные стандарты обучения, а детали обычно устанавливаются каждым местным школьным округом. Хотя федеральных стандартов нет, с 2015 года большинство штатов основывают свои учебные программы на государственных стандартах Common Core по математике. Заявленная цель стандартов Common Core по математике — добиться большей направленности и согласованности в учебной программе. [36] Это в значительной степени является ответом на критику того, что американские учебные программы по математике «шириной в милю и глубиной в дюйм». [37] [38] Национальный совет учителей математики опубликовал образовательные рекомендации по математическому образованию в 1989 и 2000 годах, которые были весьма влиятельными, описывая математические знания, навыки и педагогические акценты от детского сада до средней школы. Координационные центры учебной программы NCTM 2006 года также были влиятельными благодаря своим рекомендациям по наиболее важным математическим темам для каждого уровня обучения вплоть до 8-го класса. Однако некоторые штаты либо отказались, либо никогда не принимали стандарты Common Core, а вместо этого ввели свои собственные. (См. Внедрение Common Core по штатам .) Фактически, существуют значительные разногласия по стилю и содержанию преподавания математики, включая вопрос о том, должны ли вообще существовать какие-либо национальные стандарты. [4] [39] [38]

В Соединенных Штатах программа по математике в начальной и средней школе интегрирована , в то время как в старшей школе она традиционно разделена по темам, причем каждая тема обычно длится весь учебный год. Однако некоторые округа имеют интегрированные учебные программы или решили попробовать интегрированные учебные программы после принятия Common Core. [3] [40] Со времен Спутника в 1950-х годах последовательность курсов математики в средней школе не изменилась: предынтеллект, алгебра I, геометрия, алгебра II, предынтеллект (или тригонометрия) и исчисление. Тригонометрия обычно интегрирована в другие курсы. Исчисление изучают лишь немногие избранные. [4] [41] В некоторых школах алгебру II преподают перед геометрией. [41] Успех в курсах математики в средней школе коррелирует с пониманием чисел к началу первого класса. [42] Эта традиционная последовательность предполагает, что студенты будут изучать программы STEM в колледже, хотя на практике только меньшинство готовы и способны выбрать этот вариант. [4] Часто также предлагается курс по статистике. [18]

Хотя большинство школьных учителей строят свои уроки на основе основной учебной программы, они не обязательно следуют ей до последней буквы. Многие также пользуются дополнительными ресурсами, которые им не предоставляются их школьными округами. [43]

Начальная школа

Умножение, рассматриваемое как масштабирование на числовой оси

Младшие школьники изучают счет, арифметику и свойства операций, геометрию, измерение, статистику и вероятность. Обычно они начинают изучать дроби в третьем классе.

Средняя школа

Доказательство теоремы Пифагора Джеймса Гарфилда .

Предалгебру могут изучать в средней школе ученики седьмого или восьмого классов. Обычно ученики начинают с изучения действительных чисел и базовой теории чисел ( простые числа , разложение на простые множители, основная теорема арифметики , отношения и проценты), тем, необходимых для алгебры (степени, корни, построение графиков, порядок операций, переменные, выражения и научная запись ) и геометрии (четырехугольники, многоугольники, площади плоских фигур, теорема Пифагора , формула расстояния, уравнения прямой, простые тела, их площади поверхности и объемы), а иногда и вводной тригонометрии (определения тригонометрических функций). Такие курсы обычно затем переходят в простую алгебру с решениями простых линейных уравнений и неравенств.

Алгебра I — это первый курс, который изучают студенты по алгебре. Хотя некоторые студенты изучают его в восьмом классе, этот курс чаще всего изучают в девятом или десятом классе, [44] после того, как студенты изучают Предалгебру. Студенты изучают действительные числа и порядок операций (PEMDAS), функции, линейные уравнения, графики, многочлены, теорему о факторах , радикалы и квадратные уравнения (разложение на множители, завершение квадрата и квадратная формула ), а также степенные функции.

Этот курс считается посредником для тех, кто хочет изучать STEM [11], поскольку изучение алгебры I в восьмом классе позволяет ученикам в конечном итоге изучать исчисление до окончания средней школы. [45] Таким образом, отслеживание учеников по их способностям и решение, когда им следует изучать алгебру I, стало предметом споров в Калифорнии [46] и Массачусетсе. [47] Родители учеников с высокой успеваемостью являются одними из самых ярых критиков политики, препятствующей изучению алгебры I в средней школе. [46] [47]

Геометрия , обычно изучаемая в девятом или десятом классе, знакомит учащихся с понятием строгости в математике посредством некоторых основных понятий, в основном, евклидовой геометрии . Учащиеся изучают основы пропозициональной логики , методы доказательства ( прямое и от противного ), параллельные линии , треугольники ( конгруэнтность и подобие ), окружности ( секущие , касательные, хорды , центральные углы и вписанные углы ), теорему Пифагора, элементарную тригонометрию (углы возвышения и понижения, закон синусов ), базовую аналитическую геометрию ( уравнения прямых , формы точка-наклон и наклон-пересечение, перпендикулярные линии и векторы ) и геометрическую вероятность. [48] Традиционно учащихся учат демонстрировать простые геометрические теоремы с помощью доказательств в два столбца , метода, разработанного в начале 20-го века в США специально для этого курса, хотя могут использоваться и другие методы. [49] [50] В зависимости от учебной программы и преподавателя студенты могут получить ориентацию в области исчисления, например, с введением метода исчерпывания и принципа Кавальери . [48]

Визуальное доказательство тождества двойного угла для синуса

Algebra II имеет Algebra I в качестве предварительного условия и традиционно является курсом уровня средней школы. Содержание курса включает неравенства , обозначение функций, квадратные уравнения, степенные функции, показательные функции , логарифмы , системы линейных уравнений, матрицы (включая умножение матриц, определители матриц , правило Крамера и обратную матрицу ), радианную меру, графики тригонометрических функций, тригонометрические тождества (тождества Пифагора, формулы суммы и разности, двойного угла и половинного угла, законы синусов и косинусов ), конические сечения и другие темы. [51]

Требование алгебры II для окончания средней школы получило поддержку в Соединенных Штатах в начале 2010-х годов. [52] Математические стандарты Common Core признают как последовательный, так и интегрированный подход к преподаванию математики в средней школе, что привело к более широкому принятию интегрированных математических программ для средней школы. Соответственно, организации, предоставляющие послесреднее образование, обновили свои требования к зачислению. Например, система Калифорнийского университета (UC) требует трех лет «подготовительной математики для колледжа, которая включает темы, охватываемые элементарной и продвинутой алгеброй, а также двух- и трехмерной геометрией» [53] для поступления. После того, как Департамент образования Калифорнии принял Common Core, система UC разъяснила, что «одобренные интегрированные курсы математики могут использоваться для выполнения части или всего» [53] этого требования к зачислению. С другой стороны, в спорном решении Техасский совет по образованию проголосовал за исключение алгебры II из числа обязательных курсов для окончания средней школы. [54]

В Калифорнии предложения о том, что алгебра II должна быть деакцентирована в пользу науки о данных (комбинации алгебры, статистики и компьютерных наук), столкнулись с серьезной критикой из-за опасений, что такой путь оставит студентов плохо подготовленными к университетскому образованию. В 2023 году преподавательский состав системы Калифорнийского университета проголосовал за отмену политики приема, которая принимает науку о данных вместо алгебры II. [46]

Студенты, заинтересованные в прохождении AP Computer Science A [55] или AP Computer Science Principles [56], должны были пройти по крайней мере один курс по алгебре в средней школе. AP Chemistry требует конкретно алгебры II. [57]

Арифметический треугольник Паскаля появляется в комбинаторике, а также в алгебре через биномиальную теорему.

Precalculus следует из вышесказанного и обычно изучается студентами колледжей. Precalculus объединяет алгебру, аналитическую геометрию и тригонометрию. Темы по алгебре включают в себя теорему о биноме Ньютона , комплексные числа , основную теорему алгебры , извлечение корня , деление полиномов в столбик , разложение простейших дробей и матричные операции. В главах по тригонометрии студенты изучают меру угла в радианах , показывают функции синуса и косинуса как координаты на единичной окружности , связывают шесть общих тригонометрических функций и их обратные и строят их графики, решают уравнения с участием тригонометрических функций и практикуются в манипулировании тригонометрическими тождествами . В главах по аналитической геометрии студенты знакомятся с полярными координатами и углубляют свои знания о конических сечениях. Некоторые курсы включают в себя основы векторной геометрии, включая скалярное произведение и проекцию одного вектора на другой. Если позволяют время и способности, студенты могут изучить формулу Герона или векторное векторное произведение . Студентам предлагают использовать графический калькулятор, чтобы визуализировать графики уравнений и дополнить традиционные методы поиска корней многочлена, такие как теорема о рациональном корне и правило знаков Декарта . Precalculus заканчивается введением в пределы функции. Некоторые преподаватели могут читать лекции по математической индукции и комбинаторике в этом курсе. [58] [59] [60] Precalculus является предварительным условием для AP Physics 1 и AP Physics 2 (ранее AP Physics B ). [61] [62]

В AP Precalculus есть только три обязательных главы. полиномиальные и рациональные функции, показательные и логарифмические функции, тригонометрические функции и полярные кривые. Дополнительные материалы включают параметрические уравнения, неявные функции, конические сечения, векторы и матричную алгебру ( обращение матриц, определители и линейные преобразования ). [63] Согласно College Board, «AP Precalculus может быть последним курсом математики в средней школе студента, курс структурирован так, чтобы обеспечить последовательный опыт завершения обучения и не сосредоточен исключительно на подготовке к будущим курсам». [64]

В зависимости от школьного округа несколько курсов могут быть сжаты и объединены в течение одного учебного года, либо изучаться последовательно, либо одновременно. Например, в Калифорнии алгебра II и начальный курс исчисления могут быть взяты как один сжатый курс. [45] Без такого ускорения может оказаться невозможным изучать более продвинутые курсы, такие как исчисление в старшей школе.

В Орегоне ученики младших и старших классов могут выбирать между тремя отдельными направлениями в зависимости от своих интересов. Те, кто стремится к карьере в области математики, физических наук и инженерии, могут выбрать традиционный путь, выбрав алгебру II и начальные вычисления. Те, кто хочет продолжить карьеру в области наук о жизни, социальных наук или бизнеса, могут выбрать статистику и математическое моделирование. Учащиеся, направляющиеся на техническую подготовку, могут выбрать прикладную математику и математическое моделирование. [65] Во Флориде ученики также могут посещать уроки по математической логике и теории множеств в разных классах средней школы после новых реформ 2020 года. [66] Новые стандарты Флориды также способствуют финансовой грамотности и подчеркивают, как связаны между собой различные математические темы из разных классов. [67] В Юте последний обязательный курс математики в средней школе включает элементы алгебры II, тригонометрии, начальных вычислений и науки о данных. Однако с 2023 года ученики смогут отказаться от этого занятия, написав письмо с подписью родителей, и примерно половина так и поступает. [68]

Колледжская алгебра предлагается во многих общественных колледжах в качестве коррективных курсов для студентов, которые не прошли курсы до изучения исчисления. [69] Ее не следует путать с абстрактной алгеброй и линейной алгеброй , которые изучают студенты, специализирующиеся в математике и смежных областях (например, компьютерных науках) в четырехгодичных колледжах и университетах.

Иллюстрация определения предела функции с помощью эпсилон-дельта

Исчисление обычно изучают старшеклассники или первокурсники университета, но иногда его можно изучать уже в десятом классе. В отличие от многих других стран от Франции до Израиля и Сингапура, которые требуют, чтобы учащиеся старших классов, нацеленные на карьеру в STEM или направленные на получение высшей математики, изучали исчисление, в Соединенных Штатах исчисление обычно рассматривается как университетская математика. Успешно завершенный курс исчисления на уровне колледжа, такой как предлагаемый по программе Advanced Placement ( AP Calculus AB и AP Calculus BC), является курсом переводного уровня, то есть он может быть принят колледжем в качестве кредита для выполнения требований к окончанию обучения. Считается, что престижные колледжи и университеты требуют успешного завершения курсов AP, включая AP Calculus, для поступления. [70] [71] Исчисление является предварительным условием или сопутствующим условием для AP Physics C: Mechanics и AP Physics C: Electricity and Magnetism . [72] Начиная с 1990-х годов роль исчисления в программе средней школы стала предметом споров. [4]

На этом занятии студенты изучают пределы и непрерывность (теоремы о промежуточных и средних значениях ), дифференцирование ( правила произведения , частного и цепочки ) и его приложения ( неявное дифференцирование , логарифмическое дифференцирование , связанные ставки , оптимизация , вогнутость , метод Ньютона , правила Лопиталя ), интегрирование и основную теорему исчисления , методы интегрирования ( u -подстановка , по частям , тригонометрическая и гиперболическая подстановка и разложение на простейшие дроби ), другие приложения интегрирования (вычисление накопленных изменений, различные задачи в науках и технике, разделяемые обыкновенные дифференциальные уравнения , длина дуги кривой, площади между кривыми, объемы и площади поверхностей тел вращения ), несобственные интегралы , численное интегрирование (правило средней точки, правило трапеции , правило Симпсона ), бесконечные последовательности и ряды и их сходимость ( n -й член , сравнение , отношение , корень , интеграл , p -ряды и тесты чередующихся рядов ), теорема Тейлора (с остатком Лагранжа), обобщенная биномиальная теорема Ньютона , комплексное тождество Эйлера , полярное представление комплексных чисел, параметрические уравнения и кривые в полярных координатах. [73] [74] [75] [76]

В зависимости от курса и преподавателя, специальные темы вводного исчисления могут включать классическую дифференциальную геометрию кривых ( параметризация длины дуги , кривизна , кручение и формулы Френе-Серре ), определение предела через эпсилон-дельта , линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка , дифференциальные уравнения Бернулли . [73] [75] Некоторые американские средние школы сегодня также предлагают многомерное исчисление [24] (частное дифференцирование, правило многомерной цепи и теорема Клеро ; ограниченная оптимизация, множители Лагранжа и гессиан ; многомерное интегрирование, теорема Фубини , замена переменных и определители Якоби ; градиенты , производные по направлению , расхождения , завитки , основная теорема градиентов, теорема Грина , теорема Стокса и теорема Гаусса ). [73] [75] [76]

Могут быть предложены и другие факультативные курсы по математике, такие как статистика (включая AP Statistics ) или бизнес-математика. Студенты учатся использовать графические и числовые методы для анализа распределений данных (включая одномерные , двумерные и категориальные данные), различные методы сбора данных и виды выводов, которые можно сделать из них, вероятность и статистический вывод ( точечная оценка , доверительные интервалы и тесты значимости ).

Учащиеся старших классов с исключительными способностями могут быть отобраны для участия в соревнованиях, таких как математическая олимпиада США [77] [ 25] или Международная математическая олимпиада [26] [78] .

Высшая школа

Иллюстрация теоремы Стокса в векторном исчислении

Все студенты STEM, особенно математики, физики, химии, компьютерных наук и инженерии, должны изучать исчисление с одной переменной, если у них нет кредитов Advanced Placement (или эквивалентов, таких как IB Math HL ). Студенты, специализирующиеся на математике, физических науках, [79] [80] и инженерии [81], затем изучают исчисление с несколькими переменными, [73] [75 ] [76] линейную алгебру, [82] [83] [84] комплексные переменные, [85] [86] [87] обыкновенные дифференциальные уравнения , [88] [89] [90] и уравнения в частных производных . [91] [92] [93]

Студенты, изучающие математику, могут пройти курс, предлагающий строгое введение в концепции современной математики [94] [95] [96], прежде чем они приступят к изучению абстрактной алгебры, [97] [98] [99] теории чисел, [100] [101] [102] действительного анализа , [103] [104] [105] [106] продвинутого исчисления , [107] [108] [109] комплексного анализа , [110] [111] [112] [113] теории вероятностей, [114] [115] статистики, [116] [117] и продвинутых тем, таких как теория множеств и математическая логика , [118] [119] [120] [121] стохастических процессов , [122] теории интегрирования и меры , [123] [124] [125] [126] анализа Фурье , [127] [128] функциональный анализ , [129] дифференциальная геометрия , [130] [131] [132] и топология . [133] [134] Они могут дополнительно выбрать курсы по прикладной математике, такие как математическое моделирование, численный анализ , [135] теория игр , [136] [137] [138] или математическая оптимизация . Вариационное исчисление , [ 139] [140] [141] история математики , [142] [143] [144] [145] и темы теоретической или математической физики (такие как классическая механика, [146] [140] [147] [ 148] электродинамика, [149] [150] нелинейная динамика, [151] механика жидкости, [152] [153] квантовая механика, [154] [155] [156] или общая теория относительности [157] [158] [159] [160] ) могут рассматриваться в качестве факультативов.

Специальности по информатике должны изучать дискретную математику [161] [162] (такую ​​как комбинаторика и теория графов ), теорию информации [163] , теорию вычислений [164] [ 165] и криптографию . Студенты по информатике и экономике могут иметь возможность изучать алгоритмическую теорию игр [166] .

Те, кто изучает биомедицинские и социальные науки, должны изучать элементарную вероятность [167] и статистику. [168] Студенты, изучающие физические науки и инженерию, должны понимать анализ ошибок для своих лабораторных занятий и курсов. [169] [170] Студенты старших курсов и начинающие аспиранты по физике могут пройти курс по передовым математическим методам для физики, который может охватывать контурное интегрирование , теорию распределений ( обобщенные функции ), анализ Фурье, функции Грина , специальные функции (особенно гамма- и бета-функции Эйлера ; функции Бесселя ; полиномы Лежандра ; полиномы Эрмита ; полиномы Лагерра ; ​​и гипергеометрические ряды ), асимптотические разложения , вариационное исчисление, тензоры и теорию групп . [171] [172] [173] [174] [175] [176] Точные требования и доступные курсы будут зависеть от конкретного учреждения.

Во многих колледжах и университетах уверенные в себе студенты могут принять участие в Integration Bee . [177] [178] [179] [180] Исключительные студенты могут принять участие в ежегодном математическом конкурсе Уильяма Лоуэлла Патнэма . [181] [182] Многие успешные участники продолжили плодотворную исследовательскую карьеру в области математики. Хотя успешная сдача экзамена Putnam не является обязательным условием для того, чтобы стать математиком, он поощряет студентов развивать навыки и оттачивать интуицию , которые могут помочь им стать успешными исследователями. [181] [183] ​​Помимо денежного приза, победителям практически гарантировано поступление в престижную аспирантуру. [184] Такие конкурсы являются одним из способов для математических талантов выделиться. [185]

Показатели посещаемости и завершения

При изучении курса «Алгебра I» существуют значительные расовые и половые различия. [186]

Для многих студентов сдача экзамена по алгебре часто является сложнейшей задачей, [8] [10] [11] настолько, что многие студенты бросили школу из-за этого. [8] Самым большим препятствием для достижения успеха в алгебре является беглость с дробями, чего нет у многих американцев. [9] Без овладения алгеброй средней школы — алгеброй I и II — студенты не смогут продолжить обучение по курсам STEM в колледжах. [11] [10] [186] Фактически, отсутствие адекватной подготовки по математике является одной из причин, по которой уровень отсева в STEM так высок. [12] С 1986 по 2012 год, хотя больше студентов заканчивали алгебру II, их средняя успеваемость упала. Действительно, студенты, которые сдали курсы средней школы, включая курсы с пометкой «отлично», все равно могли провалить вступительные экзамены в колледж и должны были проходить корректирующие курсы. [28] Что касается алгебры I, то число учащихся 13-летнего возраста сократилось с 34% в 2012 году до 24% в 2023 году. [17]

Лонгитюдный анализ показывает, что число студентов, заканчивающих курсы средней школы по исчислению и статистике, включая курсы AP, снизилось до 2019 года. [5] [187] Данные, взятые из стенограмм студентов ( ) с конца 2000-х до середины 2010-х годов, показывают, что большинство студентов закончили алгебру I (96%), геометрию (76%) и алгебру II (62%). Но не так много изучали предыскажение (34%), тригонометрию (16%), исчисление (19%) или статистику (11%), и только абсолютное меньшинство изучало интегрированную математику (7%). В целом, девушки-студентки с большей вероятностью заканчивали все курсы математики, за исключением статистики и исчисления. Азиатские американцы с наибольшей вероятностью изучали вводный курс (55%), статистику (22%) и исчисление (47%), в то время как афроамериканцы с наименьшей вероятностью изучали исчисление (8%), но с наибольшей вероятностью изучали интегрированную математику (10%) в старшей школе. [188] Среди учащихся, определенных PSAT как математически квалифицированные , азиаты с гораздо большей вероятностью, чем чернокожие, посещали курсы с отличием или продвинутые курсы по математике. [189] Азиаты также с наибольшей вероятностью набрали не менее 3 баллов на экзаменах AP по исчислению. [70] Учащиеся с более низким социально-экономическим статусом с меньшей вероятностью сдавали вводный курс, исчисление и статистику. [188] В то время как мальчики и девочки с одинаковой вероятностью будут изучать AP Statistics и AP Calculus AB, мальчики составляют большинство в AP Calculus BC (59%), а также в некоторых других предметах с высоким уровнем математики, таких как AP Computer Science A (80%), AP Physics C: Mechanics (74%) и AP Physics C: Electricity and Magnetism (77%). [190] Хотя мужчины и женщины на бакалавриате в среднем получают одинаковые оценки по Calculus I (в колледже), женщины чаще, чем мужчины, бросают учебу из-за математической тревожности. [191] Восприятие и стереотипы о том, что девочки менее способны к математике, чем мальчики, начинаются уже во втором классе, и они влияют на то, как девочки на самом деле выступают в классе или на соревнованиях, таких как Международная математическая олимпиада. [192] Среди студентов университетов, которые изучали исчисление, инженерные дисциплины являются наиболее популярными среди мужчин, а биология — среди женщин. [70]

В 1970-х и 1980-х годах число студентов, посещающих корректирующие курсы в колледже, существенно возросло, отчасти из-за снижения акцента на исчислении в средней школе, что привело к меньшему вниманию к темам, предшествующим исчислению. [4] В двадцать первом веке американские общественные колледжи требуют, чтобы 60% их студентов прошли по крайней мере один курс по математике, в зависимости от программы. [29] Но около 80% не выполняют это требование, [29] и 60% требуют корректирующие курсы. [10] Многие студенты в этих школах бросают учебу, не сдав даже корректирующие курсы, такие как (эквивалент) Алгебра II. [193] С другой стороны, четырехлетние учреждения увидели возросший интерес студентов к программам STEM, включая математику и статистику. [27]

Здравоохранение и предметы STEM , включая математику и статистику, стали более популярными, в то время как гуманитарные науки и общественные науки, особенно история, пришли в упадок из-за рыночных сил. [27] [194]

Споры и проблемы

Школьник в Сиэтле (1961). Содержание математического образования является предметом споров на протяжении десятилетий.

Математическое образование стало предметом споров среди ученых, родителей, а также педагогов. [4] [9] [195] [38] Большинство согласны с тем, что математика имеет решающее значение, но существует множество различных мнений о том, какой вид математики следует преподавать и следует ли подчеркивать соответствие «реальному миру» или строгость. [45] [13] Другим источником разногласий является децентрализованный характер американского образования, что затрудняет введение стандартной учебной программы, реализуемой по всей стране, несмотря на преимущества такой программы, как видно из опыта других стран, таких как Италия. [196] В начале 2020-х годов решение некоторых педагогов включить темы расы и сексуальности в математическую программу также встретило жесткое сопротивление. [197]

Прогрессивное образование

В первой половине двадцатого века существовало движение, направленное на систематическое реформирование американского государственного образования на более « прогрессивных » основаниях. Уильям Херд Килпатрик , один из самых ярых сторонников прогрессивного образования, выступал за снижение акцента на интеллектуальной «роскоши», такой как алгебра, геометрия и тригонометрия, называя их «вредными, а не полезными для мышления, необходимого для обычной жизни». Он рекомендовал, чтобы более сложные темы в математике преподавались только избранным. Действительно, до Второй мировой войны педагоги обычно выступали против преподавания академических предметов и в пользу более утилитарных проблем «дома, магазина, склада, гражданства и здоровья», предполагая, что большинство учеников старших классов не смогут встать на путь получения высшего образования, а вместо этого обречены стать неквалифицированными рабочими или их женами. [4]

Однако к 1940-м годам недостаток математических навыков среди новобранцев стал публичным скандалом. Сам адмирал Честер Нимиц жаловался на недостаток навыков, которые должны были преподаваться в государственных школах среди офицеров-стажеров и добровольцев. Чтобы решить эту проблему, военным пришлось открыть курсы для обучения базовым навыкам, таким как арифметика для бухгалтерского учета или артиллерийского дела. [4]

Действительно, многие родители выступали против прогрессивных реформ, критикуя отсутствие содержания. К середине века технологические чудеса, такие как радар , ядерная энергия и реактивный двигатель , сделали прогрессивное образование несостоятельным. [4]

Новая математика

Студенты племени навахо изучают арифметику (ок. 1940 г.). К концу 1950-х годов преподавание математики стало более строгим.

В рамках инициативы « Новая математика », созданной после успешного запуска советского спутника «Спутник» в 1957 году, концептуальная абстракция, а не вычисления, приобрела центральную роль в математическом образовании. [39] Образовательный статус-кво подвергся резкой критике как источник национального унижения, и потребовались реформы, побудившие Конгресс принять Закон об образовании в области национальной обороны 1958 года. [4] Федеральное правительство США при президенте Дуайте Д. Эйзенхауэре осознало, что ему нужны тысячи ученых и инженеров, чтобы соответствовать мощи своего идеологического соперника Советского Союза, и начало вкладывать огромные суммы денег в исследования и разработки, а также в образование. [198] [199] Задуманная в ответ на отсутствие акцента на содержании прогрессивного образования [4] и технологические достижения Второй мировой войны, [200] Новая математика была частью международного движения, находившегося под влиянием школы Николаса Бурбаки во Франции, пытавшегося приблизить математику, преподаваемую в школах, к тому, что на самом деле используют математики-исследователи. Студенты получали уроки по теории множеств , которая является тем, что математики фактически используют для построения множества действительных чисел, обычно преподаваемой продвинутым студентам в области действительного анализа (см. Дедекиндовы разрезы и последовательности Коши ). Также преподавалась арифметика с основаниями, отличными от десяти (см. двоичную арифметику и модульную арифметику ). [201] Другие темы включали теорию чисел , теорию вероятностей и аналитическую геометрию. [200]

Однако эта образовательная инициатива вскоре столкнулась с сильным сопротивлением, не только со стороны учителей, которые с трудом понимали новый материал, не говоря уже о том, чтобы преподавать его, но и со стороны родителей, у которых были проблемы с помощью своим детям с домашним заданием. [39] Она также подверглась критике со стороны экспертов. В эссе 1965 года физик Ричард Фейнман утверждал: «Во-первых, должна быть свобода мысли; во-вторых, мы не хотим учить только словам; и в-третьих, предметы не должны вводиться без объяснения цели или причины, или без указания какого-либо способа, которым материал мог бы быть действительно использован для открытия чего-то интересного. Я не думаю, что стоит преподавать такой материал». [202] В своей книге 1973 года « Почему Джонни не умеет складывать: провал новой математики» математик и историк математики Моррис Клайн заметил, что «практически невозможно» изучать новые математические творения, не поняв сначала старые, и что «абстракция — это не первая, а последняя стадия в математическом развитии». [203] Клайн критиковал авторов учебников «Новой математики» не за их математические способности, а скорее за их узкий подход к математике и ограниченное понимание педагогики и образовательной психологии. [204] Математик Джордж Ф. Симмонс в разделе алгебры своей книги «Предвычислительная математика в двух словах» (1981) писал , что «Новая математика» подготовила студентов, которые «слышали о коммутативном законе , но не знали таблицу умножения ». [205]

К началу 1970-х годов это движение потерпело поражение. Тем не менее, некоторые из идей, которые оно продвигало, все еще жили. Одним из ключевых вкладов инициативы Новой математики было преподавание исчисления в средней школе. [4]

Реформы на основе стандартов и NCTM

С конца двадцатого века до начала двадцать первого века шли ожесточенные дебаты о том, как следует преподавать математику. С одной стороны, некоторые выступают за более традиционную программу обучения под руководством учителя, включающую алгоритмы и некоторое запоминание. С другой стороны, некоторые предпочитают концептуальный подход с упором на решение задач и чувство чисел. [206] Однако, как объяснил математик Хун-Си Ву, очевидная дихотомия между базовыми навыками и пониманием математических концепций является заблуждением. [207]

В 1989 году Национальный совет учителей математики (NCTM) разработал Учебную программу и стандарты оценки для школьной математики . Несмотря на широкое принятие новых стандартов, педагогическая практика мало изменилась в Соединенных Штатах в 1990-х годах. [208] Фактически, математическое образование стало предметом горячих споров в 1990-х и начале 2000-х годов. В этом споре участвовали математики (например, математик Калифорнийского университета в Беркли Хун-Си Ву) и родители, многие из которых обладали значительными знаниями в области математики (например, физик Института перспективных исследований Кьяра Р. Наппи ), которые выступали против реформ NCTM, против специалистов в области образования, которые хотели подчеркнуть то, что они называли «концептуальным пониманием». Однако во многих случаях специалисты в области образования не понимали математику так же хорошо, как их критики. Это стало очевидным с публикацией книги « Знание и преподавание элементарной математики » (1999) Липин Ма. Автор привел доказательства того, что, хотя большинство китайских учителей имели только 11 или 12 лет формального образования, они понимали базовую математику лучше, чем их американские коллеги, многие из которых работали над получением степени магистра. [4]

В 1989 году более радикальные реформы NCTM были отменены. Вместо этого больший упор был сделан на предметную математику. [4] В некоторых крупных школьных округах это стало означать требование некоторого изучения алгебры всеми учениками к девятому классу, по сравнению с традицией отслеживания только тех, кто собирается поступать в колледж, и самых продвинутых учеников младших классов средней школы, которые должны были изучать алгебру. Проблема с внедрением Стандартов учебной программы и оценки заключалась в том, что в то время никакие учебные материалы не были разработаны для соответствия целям Стандартов. В 1990-х годах Национальный научный фонд финансировал разработку учебных программ, таких как проект Core-Plus Mathematics . В конце 1990-х и начале 2000-х годов в сообществах, которые выступали против некоторых из наиболее радикальных изменений в обучении математике, разразились так называемые математические войны . Некоторые ученики жаловались, что их новые курсы математики помещали их в коррективную математику в колледже. [209] Однако данные, предоставленные регистратором Мичиганского университета в то же время, показывают, что на курсах по математике в Мичиганском университете выпускники Core-Plus показали такие же или лучшие результаты, чем выпускники традиционной программы по математике, а студенты, посещающие традиционные курсы, также были зачислены на корректирующие курсы по математике. [210] Преподаватель математики Хайме Эскаланте отклонил стандарты NCTM, назвав их чем-то, написанным учителем физкультуры. [4]

В 2001 и 2009 годах NCTM выпустила Принципы и стандарты школьной математики (PSSM) и Основные положения учебной программы , которые расширили работу предыдущих документов стандартов. В частности, PSSM повторил стандарты 1989 года, но более сбалансированным образом, в то время как Основные положения предложили три области акцента для каждого уровня класса. Опровергая отчеты и редакционные статьи [211] о том, что он отказывается от более ранних стандартов, NCTM заявила, что Основные положения в значительной степени заново подчеркивают необходимость обучения, которое формирует навыки и углубляет математическое понимание учащихся. В этих документах повторилась критика того, что американские учебные программы по математике «шириной в милю и глубиной в дюйм» по сравнению с математикой большинства других стран, вывод Второго и Третьего международных исследований математики и естественных наук.

Интегрированная математика

Некоторые геометрические кривые, выраженные алгебраически в полярных координатах

Как уже говорилось ранее, американские дети обычно изучают уникальную последовательность курсов математики в средней школе (с 6 по 12 классы), изучая один предмет за раз. Они изучают два года алгебры, перемежаемые годом геометрии. Геометрия, до сих пор являвшаяся университетским курсом, была введена в средние школы в девятнадцатом веке. В Европе школы последовали призыву Феликса Клейна к интеграции геометрии с другими математическими предметами. В 1892 году Американский комитет десяти рекомендовал ту же стратегию для Соединенных Штатов, но американские учителя уже вырабатывали привычку преподавать геометрию отдельным курсом. Американская программа по геометрии в старших классах была в конечном итоге кодифицирована в 1912 году и разработала отличительный американский стиль геометрической демонстрации для таких курсов, известный как доказательства «в две колонки». [49] Это во многом остается верным и сегодня, поскольку геометрия является основанным на доказательствах математическим классом в старших классах. С другой стороны, во многих странах мира, от Израиля до Италии, математику преподают в соответствии с тем, что американцы называют интегрированной учебной программой , знакомя учащихся с различными аспектами исчисления и предварительными условиями на протяжении всей средней школы. [70] [71] Фактически, многие темы по алгебре и геометрии, которые американцы обычно изучают в средней школе, преподаются в средней школе в Европе, [196] что позволяет европейским странам требовать и преподавать исчисление в средней школе. Во Франции и Германии исчисление было введено в учебную программу средней школы благодаря поддержке известных математиков, таких как Анри Пуанкаре и Феликс Кляйн соответственно. [70] [71] Однако, как показывает случай Сингапура, раннее знакомство с концепциями исчисления не обязательно приводит к фактическому пониманию среди учащихся старших классов. [212] [71] В США это отражается в опасениях, высказанных многими профессорами университетов, по словам которых их ученики не имеют достаточной подготовки в области предисчисления. [70] Сторонники преподавания интегрированной программы считают, что ученики лучше поймут связи между различными разделами математики. С другой стороны, критики, включая родителей и учителей, предпочитают традиционный американский подход как из-за их знакомства с ним, так и из-за их беспокойства о том, что некоторые ключевые темы могут быть пропущены, оставляя ученика плохо подготовленным к колледжу. [3] Как упоминалось выше, только 7% американских учеников старших классов изучают интегрированную математику. [188]

Подготовка к колледжу

Начиная с 2011 года большинство штатов приняли стандарты Common Core по математике, которые частично основаны на предыдущей работе NCTM. Споры все еще продолжаются, поскольку критики указывают на то, что стандарты Common Core не полностью готовят учащихся к колледжу, а некоторые родители продолжают жаловаться, что не понимают математику, которую изучают их дети. Действительно, даже если они выразили заинтересованность в изучении науки, технологий, инженерии и математики ( STEM ) в старшей школе, многие студенты университетов оказываются плохо подготовленными к строгому образованию STEM отчасти из-за своей недостаточной подготовки по математике. [12] [7] Между тем, китайские, индийские и сингапурские студенты подвергаются воздействию математики и естественных наук высокого уровня в молодом возрасте. [12] Около половины студентов STEM в США бросили свои программы в период с 2003 по 2009 год. [7] Вдобавок ко всему, многие школьные учителя математики не были настолько хорошо подкованы в своих предметах, как следовало бы, и вполне могли чувствовать себя некомфортно с математикой. [20] [7] [213] Акцент на скорость и механическое запоминание вызывает у трети учащихся в возрасте от пяти лет и старше математическую тревожность . [32]

Родители и консультанты старших классов считают, что крайне важно, чтобы ученики сдавали исчисление, если они стремятся поступить в конкурентоспособный университет. Консультанты частных школ особенно склонны давать такую ​​рекомендацию, в то время как сотрудники приемных комиссий, как правило, менее склонны считать это требованием. [45] Более того, было движение за то, чтобы перестать акцентировать внимание на традиционном пути с исчислением в качестве последнего курса математики в старшей школе в пользу статистики и науки о данных для тех, кто не планирует специализироваться на предмете STEM в колледже. [6] Тем не менее, исчисление остается наиболее рекомендуемым курсом для амбициозных учеников. [6] Но в случае Юты с 2023 года ученики могут пропустить последний обязательный курс для окончания средней школы — тот, который сочетает в себе элементы алгебры II, тригонометрии, предварительного исчисления и статистики — если они представят письмо, подписанное их родителями, в котором признается, что это решение может поставить под угрозу их шансы на поступление в университет. [68]

К середине 2010-х годов только четверть выпускников американских школ способны выполнять математику на уровне своего класса, [214] однако около половины заканчивают среднюю школу с оценками «отлично», что вызывает опасения по поводу инфляции оценок . [215] Высокие результаты по алгебре I, геометрии и алгебре II предсказывают хорошие оценки по исчислению на университетском уровне даже лучше, чем изучение исчисления в средней школе. [44]

Еще одной проблемой математического образования стала интеграция с естественными науками. Это трудно сделать для государственных школ, поскольку естественные науки и математика преподаются отдельно. Ценность интеграции заключается в том, что наука может предоставить аутентичные контексты для изучаемых математических концепций, и, кроме того, если математика преподается синхронно с естественными науками, то ученики получают пользу от этой взаимосвязи. [216]

Программы обогащения и ускоренные курсы

Математический клуб в подготовительной школе в Техасе (2018)

Все больше родителей предпочитают отправлять своих детей на программы обогащения и ускоренного обучения после школы или на летние программы по математике, что приводит к трениям со школьными чиновниками, которые обеспокоены тем, что их основными бенефициарами являются обеспеченные белые и азиатские семьи, что побуждает родителей выбирать частные учреждения или математические кружки . Некоторые государственные школы, обслуживающие районы с низким доходом, даже отрицают существование математически одаренных учеников. [7] Фактически, американские педагоги, как правило, сосредотачиваются на плохо успевающих учениках, а не на тех, кто находится на вершине, в отличие от их азиатских коллег. [217] Предложение родителей об ускоренном курсе для их детей часто встречает враждебность со стороны школьных администраторов. [218] И наоборот, инициативы, направленные на снижение акцента на определенных основных предметах, таких как алгебра I, вызвали резкую негативную реакцию со стороны родителей и преподавателей университета. [46] [47] Учащиеся, определенные в исследовании «Математически одаренная молодежь» как обладатели наивысших баллов по разделу математики (а позднее и по разделу устного обучения) SAT, часто становились очень успешными в своих областях. [219] К середине 2010-х годов некоторые государственные школы начали предлагать своим ученикам программы обогащения. [7]

Аналогичным образом, хотя некоторые школьные округа предложили прекратить разделение учащихся по математическим способностям, чтобы гарантировать, что они начнут среднюю школу на одном уровне, родители одаренных детей выступили против этой инициативы, опасаясь, что она поставит под угрозу будущие перспективы поступления их детей в колледж, особенно в области STEM. [45] [6] Например, в Сан-Франциско такой план был отклонен из-за неоднозначных результатов и негативной реакции общественности. [45]

Нехватка инструкторов

Нехватка квалифицированных учителей математики в школах уже много лет является серьезной проблемой в Соединенных Штатах. [18] [19] Чтобы решить эту проблему, в программах бакалавриата, направленных на подготовку учителей начальной школы, было увеличено количество учебных часов, отведенных на изучение математического содержания. [220] Учителя часто неосознанно передают свое собственное негативное отношение к математике своим ученикам, что подрывает качество обучения. [213]

Стандартизированные тесты

Программа международной оценки учащихся (PISA) проводится каждые три года для 15-летних учащихся по всему миру. [221] В 2012 году Соединенные Штаты получили средние баллы по естественным наукам и чтению. Они показали лучшие результаты, чем другие прогрессивные страны по математике, заняв 36-е место из 65 других стран. Оценка PISA проверяла понимание учащимися математики, а также их подход к этому предмету и их ответы. Они указали на три подхода к обучению. Некоторые из учащихся полагались в основном на запоминание. Другие были более рефлексивны по новым концепциям. Другая группа больше концентрировалась на принципах, которые они еще не изучали. В США была высокая доля запоминающих по сравнению с другими развитыми странами. [32] Во время тестирования 2015 года Соединенные Штаты не смогли попасть в десятку лучших по всем категориям, включая математику. Экзамен сдавали более 540 000 подростков из 72 стран. Средний балл американских учащихся по математике снизился на 11 баллов по сравнению с предыдущим тестированием. [31] Тест PISA 2022 года показал, что средний национальный показатель по математике в США отстает от показателей других промышленно развитых стран и остается ниже среднего показателя по ОЭСР. [222] Более того, треть американских учащихся не соответствуют требованиям к базовым знаниям по математике. [223]

Однако европейские и особенно азиатско-американские студенты показывают результаты выше среднего по ОЭСР. См. диаграмму ниже. [35]

Согласно отчету Национального научного фонда (NSF) за 2021 год, уровень математической грамотности американских школьников занимает 25-е место из 37 стран Организации экономического сотрудничества и развития ( ОЭСР ). [224]

В 2000-х и 2010-х годах, поскольку все больше и больше студентов, готовящихся к поступлению в колледж, сдавали SAT, результаты снизились. [225] [33] [30] (См. таблицу ниже.) Это отчасти связано с тем, что некоторые штаты требуют, чтобы все учащиеся старших классов сдавали SAT, независимо от того, собираются ли они поступать в колледж или нет. [225]

Исторически средние баллы по математике в тесте SAT достигли самого низкого уровня в 1980 году, снижались в период с 2005 по 2016 год и после пересчета в 2016 году.

В 2015 году педагог-психолог Джонатан Вай из Университета Дьюка проанализировал средние результаты тестов по армейскому классификационному тесту 1946 года (10 000 студентов), отборочному тесту на поступление в колледж в 1952 году (38 420), Project Talent в начале 1970-х годов (400 000), экзамену Graduate Record Examination между 2002 и 2005 годами (более 1,2 миллиона) и SAT Math and Verbal в 2014 году (1,6 миллиона). Вай выявил одну устойчивую закономерность: те, у кого самые высокие результаты тестов, как правило, выбирали математику и статистику, естественные и социальные науки, а также инженерию в качестве своих основных предметов, в то время как те, у кого самые низкие результаты, чаще выбирали здравоохранение, образование и сельское хозяйство. (См. две диаграммы ниже.) [226] [227]

Результаты теста Национальной оценки образовательного прогресса (NAEP) показывают, что баллы по математике выравниваются в 2010-х годах, но с растущим разрывом между лучшими и худшими учениками. Пандемия COVID-19, которая заставила школы закрыться и проводить уроки онлайн, еще больше увеличила разрыв, поскольку лучшие ученики потеряли меньше баллов по сравнению с худшими и, следовательно, смогли наверстать упущенное быстрее. [34] В то время как баллы учащихся упали по всем предметам, математика пострадала сильнее всего, с падением на восемь баллов, [228] самым резким падением за 50 лет. [17] Баллы упали у учащихся всех рас, полов, социально-экономических классов, типов школ и штатов, за очень немногими исключениями. [229] [230] Это может быть связано с тем, что математическое образование больше зависит от опыта в классе, чем от чтения, [230] поскольку ученики, которым разрешили вернуться к очным занятиям, в целом показали лучшие результаты, больше по математике, чем по чтению. [231] Однако по темам статистики и вероятности успеваемость студентов снизилась еще до пандемии. [14] Как следствие, вся когорта студентов колледжей в 2022-2023 учебном году имеет более низкие средние оценки и математические стандарты. [232]

Сравнение мнений родителей и результатов стандартизированных тестов в 2023 году выявило значительный разрыв: большинство родителей переоценивали академические способности своих детей. В математике только 26% были хороши, хотя 90% опрошенных родителей считали, что их дети соответствуют стандартам оценок. [22] Более высокий балл по математике NAEP в восьмом классе коррелирует с высокой успеваемостью, более высоким доходом, более низкими показателями подросткового родительства и более низкими шансами на преступность. [233]

Продвинутый курс математики

Когда в начале 1950-х годов впервые был предложен курс Advanced Placement (AP) Mathematics , велись жаркие споры о том, следует ли включать исчисление . AP Mathematics в конечном итоге превратился в AP Calculus благодаря физикам и инженерам, которые убедили математиков в необходимости знакомить студентов, изучающих эти предметы, с исчислением на ранних этапах их университетских программ. [24]

В начале 21-го века возникла потребность в создании курса AP Multivariable Calculus, и действительно, ряд американских средних школ начали предлагать этот курс, создавая для колледжей проблемы с распределением поступающих студентов. [24]

По состоянию на 2021 год курс AP Precalculus находился в стадии разработки College Board, хотя существовали опасения, что университеты и колледжи не будут засчитывать такой курс, учитывая, что ранее от студентов ожидалось знание этого материала до поступления в вуз. [24] Курс AP Precalculus был запущен осенью 2023 года . [234]

Конференции

Научные и практические конференции по математическому образованию включают: Региональную конференцию и выставку NCTM и Ежегодную встречу и выставку; Ежегодную конференцию Североамериканского отделения Психологии математического образования; а также многочисленные более мелкие региональные конференции.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Левин, Тамар (5 марта 2014 г.). «Новый SAT стремится соответствовать школьным заданиям». The New York Times . Архивировано из оригинала 13 мая 2014 г. Получено 14 мая 2014 г. Он сказал, что также хотел, чтобы тест более точно отражал то, что ученики делали в старшей школе, и, возможно, самое важное, обуздать интенсивное обучение и наставничество по поводу того, как сдавать тест, которые часто давали преимущество обеспеченным ученикам.
  2. ^ Шварц, Сара (17 января 2023 г.). «Нужны ли студентам четыре года математики в старшей школе?». Education Week . Архивировано из оригинала 26 января 2023 г. Получено 26 января 2023 г.
  3. ^ abc Will, Madeline (10 ноября 2014 г.). «При переходе на Common Core некоторые средние школы переходят на „интегрированную“ математику». Education Week . Архивировано из оригинала 31 августа 2022 г. . Получено 31 августа 2022 г. .
  4. ^ abcdefghijklmnop Кляйн, Дэвид (2003). «Краткая история американского математического образования K-12 в 20 веке». Калифорнийский государственный университет, Нортридж . Получено 16 марта 2023 г.
  5. ^ ab Bressoud, David (1 сентября 2022 г.). «Упадок исчисления в старших классах». Math Values ​​. Mathematical Association of America . Получено 18 марта 2023 г. .
  6. ^ abcd Шварц, Сара (7 сентября 2022 г.). «Почему прием в элитные колледжи может играть огромную роль в программах по математике для учащихся с K по 12 класс». Education Week . Архивировано из оригинала 10 сентября 2022 г.
  7. ^ abcdefg Tyre, Peg (8 февраля 2016 г.). «Математическая революция». The Atlantic . Архивировано из оригинала 28 июня 2020 г. . Получено 4 февраля 2021 г. .
  8. ^ abcd Хакер, Эндрю (28 июля 2012 г.). «Необходима ли алгебра?». The New York Times . Архивировано из оригинала 6 июля 2021 г. Получено 24 апреля 2023 г.
  9. ^ abc Lewin, Tamar (14 марта 2008 г.). «Отчет призывает к изменениям в преподавании математики». The New York Times . Архивировано из оригинала 24 апреля 2023 г. Получено 24 апреля 2023 г.
  10. ^ abcde Ханфорд, Эмили (3 февраля 2017 г.). «Пытаемся решить большую математическую задачу». The New York Times . Получено 9 апреля 2023 г.
  11. ^ abcde Шварц, Сара (22 июня 2021 г.). «Алгебра 1 — поворотный момент. Вот как помочь поступающим студентам». Education Week . Архивировано из оригинала 24 марта 2023 г. . Получено 24 марта 2023 г. .
  12. ^ abcde Дрю, Кристофер (4 ноября 2011 г.). «Почему студенты-естественники меняют свое мнение (это так чертовски сложно)» . Education Life. The New York Times . Архивировано из оригинала 2011-11-04 . Получено 28 октября 2019 г.
  13. ^ ab Cavanagh, Sean (7 июня 2007 г.). «Какая математика имеет значение?». Education Week . Архивировано из оригинала 18 октября 2022 г. Получено 17 апреля 2023 г.
  14. ^ ab Шварц, Сара (24 февраля 2023 г.). «Уровень грамотности студентов в области данных снижается, даже когда рабочие места требуют навыков». Education Week . Архивировано из оригинала 25 апреля 2023 г. . Получено 25 апреля 2023 г. .
  15. ^ Министерство образования США. «Математика даёт равные возможности» (PDF) .
  16. ^ Пиковер, Клиффорд А. (2009). Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики . Нью-Йорк: Sterling. стр. 10. ISBN 978-1-4027-5796-9.
  17. ^ abc Rubin, апрель (21 июня 2023 г.). «Успехи учащихся средних классов по чтению и математике резко упали». Axios . Получено 7 августа 2023 г.
  18. ^ abcde Редакционная коллегия (7 декабря 2013 г.). «Кто сказал, что математика должна быть скучной?». The New York Times . Архивировано из оригинала 30 апреля 2023 г. Получено 29 апреля 2023 г.
  19. ^ ab Sparks, Sarah D. (7 сентября 2022 г.). «Как сейчас выглядит нехватка школьного персонала». Education Week . Архивировано из оригинала 25 апреля 2023 г. . Получено 25 апреля 2023 г. .
  20. ^ ab Sparks, Sarah D. (16 мая 2011 г.). «Исследователи исследуют причины математической тревожности». Education Week . Архивировано из оригинала 3 мая 2023 г. . Получено 3 мая 2023 г. .
  21. ^ Хоффман, Ян (24 августа 2015 г.). «Квадратный корень детской математической тревожности: помощь их родителям». The New York Times . Архивировано из оригинала 25 августа 2015 г. Получено 25 апреля 2023 г.
  22. ^ ab Nawaz, Amna; Cuevas, Karina (6 апреля 2023 г.). «Исследование показывает, что родители переоценивают академический прогресс своих учеников». PBS Newshour . Получено 9 апреля 2023 г. .
  23. ^ "В новом исследовании американцы говорят: "Мы не сильны в математике"". Изменить уравнение . Архивировано из оригинала 2 марта 2012 г. Получено 29 апреля 2023 г.
  24. ^ abcde Bressoud, David (1 июля 2022 г.). «Мысли о предварительном изучении математики для продвинутого уровня». Блог MAA . Получено 13 сентября 2022 г.
  25. ^ ab Greitzer, S. (март 1973 г.). «Первая математическая олимпиада США». American Mathematical Monthly . 80 (3): 276–281. doi :10.2307/2318449. JSTOR  2318449.
  26. ^ ab Miller, Michael E. (18 июля 2015 г.). «Формула победы: США впервые за 21 год лидируют на Международной математической олимпиаде». The Washington Post . Архивировано из оригинала 23 апреля 2023 г. Получено 27 апреля 2023 г.
  27. ^ abc Dutt-Ballerstadt, Reshmi (1 марта 2019 г.). «Академическая приоритетность или уничтожение свободных искусств?». Inside Higher Ed . Получено 1 марта 2021 г.
  28. ^ ab Robelen, Erik W. (4 сентября 2013 г.). «Алгебра 2: не тот же самый сертификат, что был раньше?». Education Week . Архивировано из оригинала 7 мая 2023 г. Получено 6 мая 2023 г.
  29. ^ abc Латтимор, Кайла; Депенброк, Джули (19 июля 2017 г.). «Попрощайтесь с X+Y: следует ли общественным колледжам отменить алгебру?». NPR . Получено 9 апреля 2023 г. .
  30. ^ ab Anderson, Nick (3 сентября 2015 г.). «Результаты SAT оказались на самом низком уровне за 10 лет, что усиливает беспокойство по поводу средних школ». The Washington Post . Получено 17 сентября 2020 г.
  31. ^ ab Джексон, Эбби; Кирш, Энди (6 декабря 2016 г.). «Опубликован последний рейтинг стран с лучшими показателями по математике, чтению и науке — и США не вошли в первую десятку». Business Insider . Получено 25 июля 2016 г.
  32. ^ abc Boaler, Jo; Zoido, Pablo (2016-10-13). «Почему математическое образование в США не складывается». Scientific American Mind . 27 (6): 18–19. doi :10.1038/scientificamericanmind1116-18. ISSN  1555-2284. Архивировано из оригинала 23 августа 2022 г.
  33. ^ ab Hobbs, Tawnell D. (24 сентября 2019 г.). «SAT Scores Fall as More Students Take the Test» (Результаты SAT падают, поскольку больше студентов сдают тест). The Wall Street Journal . Архивировано из оригинала 28 ноября 2020 г. Получено 2 февраля 2021 г.
  34. ^ ab Mervosh, Sarah (1 сентября 2022 г.). «Пандемия стерла два десятилетия прогресса в математике и чтении». The New York Times . Архивировано из оригинала 1 сентября 2022 г. . Получено 1 сентября 2022 г. .
  35. ^ ab «Основные моменты веб-отчета о результатах PISA 2018 в США» (PDF) .
  36. ^ "Общие государственные стандарты по математике" (PDF) . Инициатива общих государственных стандартов. стр. 3. Получено 11 февраля 2014 г.
  37. ^ "Математика". Инициатива по единым государственным стандартам . Получено 8 января 2014 г.
  38. ^ abc Schmidt, William H. (5 января 2013 г.). "The Common Core State Standards in Mathematics". Huffington Post . Получено 17 марта 2023 г.
  39. ^ abc Knudson, Kevin (2015). «Common Core — это сегодняшняя Новая Математика, что на самом деле хорошо». The Conversation . Получено 9 сентября 2015 г.
  40. ^ Фенстервальд, Джон. «Округи подтверждают, что они продвигаются вперед с единым ядром». EdSource . Получено 18 ноября 2013 г.
  41. ^ ab Sarikas, Christine (17 мая 2019 г.). «Курсы по математике в старших классах, которые вам следует пройти». PrepScholar . Получено 18 августа 2023 г.
  42. ^ Geary, David ; Hoard, Mary; Nugent, Lara; Bailey, Drew H. (30 января 2013 г.). «Функциональная способность подростков к численному знанию предсказывается их знанием системы счисления для школьного ввода». PLOS ONE . ​​8 (1): e54651. Bibcode :2013PLoSO...854651G. doi : 10.1371/journal.pone.0054651 . PMC 3559782 . PMID  23382934. 
  43. ^ Шварц, Сара (18 мая 2023 г.). «Как выглядит преподавание математики в школах США? 5 диаграмм рассказывают историю». Education Week . Архивировано из оригинала 19 мая 2023 г. . Получено 25 мая 2023 г. .
  44. ^ ab Sparks, Sarah D. (28 июня 2021 г.). «Удвоение нагрузки на алгебру может окупиться в колледже, но также важно, кто ваши сверстники». Education Week . Архивировано из оригинала 25 апреля 2023 г. . Получено 25 апреля 2023 г. .
  45. ^ abcdef Шварц, Сара (21 марта 2023 г.). «Сан-Франциско настоял на алгебре в 9-м классе. Помогло ли это улучшить равенство?». Education Week . Архивировано из оригинала 22 марта 2023 г. Получено 23 марта 2023 г.
  46. ^ abcd Шварц, Сара (12 июля 2023 г.). «Калифорния принимает противоречивую новую математическую структуру. Вот что в ней». Education Week . Архивировано из оригинала 14 июля 2023 г. . Получено 21 июля 2023 г. .
  47. ^ abc Huffaker, Christopher (14 июля 2023 г.). «Кембриджские школы разделены по алгебре в средней школе». Boston Globe . Архивировано из оригинала 14 июля 2023 г. Получено 21 июля 2023 г.
  48. ^ ab Geometry . Prentice Hall. 2008. ISBN 978-0-133-65948-1.
  49. ^ ab Национальный совет учителей математики (NCTM) (1912). «Заключительный отчет Национального комитета пятнадцати по программе геометрии». Учитель математики . 5 (2): 46–131. doi :10.5951/MT.5.2.0046. JSTOR  27949764.
  50. ^ Хербст, Патрисио Г. (март 2002 г.). «Установление традиции доказательства в американской школьной геометрии: эволюция доказательства в двухколоночном виде в начале двадцатого века». Educational Studies in Mathematics . 49 (3): 283–312. doi :10.1023/A:1020264906740. hdl : 2027.42/42653 .
  51. ^ Алгебра 2. Prentice Hall. 2008. ISBN 978-0-133-19759-4.
  52. ↑ Whoriskey, Peter (3 апреля 2011 г.). «Требование алгебры II в старших классах школы набирает обороты по всей стране». The Washington Post . Архивировано из оригинала 7 мая 2023 г. Получено 6 мая 2023 г.
  53. ^ ab "Требования к предметам для поступления в Калифорнийский университет" . Получено 24.08.2018 .
  54. ^ Loewus, Liana (31 января 2014 г.). «Техас официально отменяет требование по алгебре 2 для получения диплома». Education Week . Архивировано из оригинала 7 мая 2023 г. . Получено 6 мая 2023 г. .
  55. ^ "AP Computer Science A Course and Exam Description, Effective 2020" (PDF) . AP Central . стр. 7 . Получено 24 сентября 2020 г. .
  56. ^ "AP Computer Science Principles: Course and Exam Description" (PDF) . College Board. 2020. стр. 7 . Получено 9 августа 2020 г. .
  57. ^ "Описание курса и экзамена AP Chemistry" (PDF) . AP Central . Осень 2022. стр. 7 . Получено 17 апреля 2024 г. .
  58. ^ Демана, Франклин Д.; Уэйтс, Берт К.; Фоли, Грегори Д.; Кеннеди, Дэниел (2000). Precalculus: Graphical, Numerical, Algebraic (7-е изд.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-35693-2.
  59. ^ Симмонс, Джордж (2003). Precalculus Mathematics in a Nutshell: Geometry, Algebra, Trigonometry (Иллюстрированное издание). Wipf & Stock Publishers. ISBN 978-1-592-44130-3.
  60. ^ Стюарт, Джеймс ; Редлин, Лотар; Уотсон, Салим (2006). Алгебра и тригонометрия (2-е изд.). Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01357-0.
  61. ^ Джанколи, Дуглас С. (2005). Физика: принципы с приложениями (6-е изд.). Верхняя Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Pearson Education . ISBN 978-0-130-60620-4.
  62. ^ Serway, Raymond A.; Vuille, Chris (2017). College Physics (11-е изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-305-95230-0.
  63. ^ "AP Precalculus Course Framework (Preview)" (PDF) . AP Central . College Board. Ноябрь 2022 г.
  64. ^ College Board, «AP® Precalculus Proposed Course Framework», 2022. Доступно 26 мая 2022 г.
  65. ^ Гевертц, Кэтрин (13 ноября 2019 г.). «Стоит ли средним школам переосмыслить порядок преподавания математических курсов?». Education Week . Архивировано из оригинала 7 мая 2023 г. Получено 6 мая 2023 г.
  66. ^ "Florida BEST Standards: Mathematics" (PDF) . Департамент образования Флориды. 2020.
  67. ^ «ЛУЧШЕЕ во Флориде: вот что ждет новый образовательный стандарт штата». 12 февраля 2020 г.
  68. ^ ab Sparks, Sarah D. (31 июля 2023 г.). «Получение студентами всей необходимой им математики для достижения успеха?». Education Week . Архивировано из оригинала 31 июля 2023 г. Получено 5 января 2024 г.
  69. ^ Бейли, Томас; Дон Ук Чон; Сон-У Чо (весна 2010 г.). «Направление, зачисление и завершение развивающих образовательных последовательностей в общественных колледжах». Обзор экономики образования . 29 (2): 255–270. doi :10.1016/j.econedurev.2009.09.002.
  70. ^ abcdef Брессо, Дэвид М. (2021). «Странная роль исчисления в Соединенных Штатах». ZDM – Математическое образование . 53 (3): 521–533. doi :10.1007/s11858-020-01188-0. S2CID  225295970.
  71. ^ abcd Bressoud, David (1 августа 2021 г.). «Исчисление по всему миру». Math Values . Mathematical Association of America . Получено 18 марта 2023 г.
  72. ^ Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Thomson Brooks/Cole . ISBN 978-0-534-40844-2.
  73. ^ abcd Томас, Джордж Б .; Вейр, Морис Д.; Хасс, Джоэл (2010). Исчисление Томаса: Ранние трансцендентали (12-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-58876-0.
  74. ^ Финни, Росс Л.; Демана, Франклин Д.; Уэйтс, Берт К.; Кеннеди, Дэниел (2012). Исчисление: графическое, численное, алгебраическое (4-е изд.). Prentice Hall. ISBN 978-0-133-17857-9.
  75. ^ abcd Стюарт, Джеймс (2012). Исчисление: Ранние трансцендентали (7-е изд.). Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49790-9.
  76. ^ abc Адамс, Роберт; Эссекс, Кристофер (2021). Исчисление: Полный курс (10-е изд.). Пирсон. ISBN 978-0-135-73258-8.
  77. ^ "United States of America Mathematical Olympiad - USAMO". Математическая ассоциация Америки . 2006. Архивировано из оригинала 6 ноября 2006 года . Получено 29 ноября 2006 года .
  78. ^ Леви, Макс Г. (16 февраля 2021 г.). «Тренер, который вернул математическую команду США на вершину». Журнал Quanta . Получено 27 апреля 2023 г.
  79. ^ Боас, Мэри (2005). Математические методы в физических науках (3-е изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-19826-0.
  80. ^ Хассани, Садри (2008). Математические методы: для студентов физики и смежных дисциплин (2-е изд.). Весна. ISBN 978-0-387-09503-5.
  81. ^ Райли, К. Ф.; Хобсон, Майкл П.; Бенс, С. Дж. (2006). Математические методы для физики и техники . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67971-8.
  82. ^ Стрэнг, Гилберт (2016). Введение в линейную алгебру (5-е изд.). Wellesley-Cambridge Press. ISBN 978-0-980-23277-6.
  83. ^ Акслер, Шелдон (2014). Линейная алгебра, сделанная правильно . Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
  84. ^ Халмос, Пол (2017). Конечномерные векторные пространства (2-е изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-81486-5.
  85. ^ Шпигель, Мюррей Р.; Липшуц, Сеймур; Шиллер, Джон Дж.; Спеллман, Деннис (2009). Схема комплексных переменных Шаума (2-е изд.). Компании МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-071-61569-3.
  86. ^ Квок, Юэ Куэн (2010). Прикладные комплексные переменные для ученых и инженеров (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-70138-9.
  87. ^ Кранц, Стивен Г. (2008). Руководство по комплексным переменным . Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-883-85338-2.
  88. ^ Зилл, Деннис Г.; Райт, Уоррен С. (2013). Дифференциальные уравнения с граничными задачами (8-е изд.). Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 978-1-111-82706-9.
  89. ^ Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (10th ed.). Wiley. ISBN 978-0-470-45831-0.
  90. ^ Арнольд, Владимир (1978). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Перевод Сильвермана, Ричарда. MIT Press. ISBN 978-0-262-51018-9.
  91. ^ Бликер, Дэвид Д.; Чордаш, Джордж (1997). Основные уравнения в частных производных . International Press of Boston. ISBN 978-1-571-46036-3.
  92. ^ Асмар, Нахле Х. (2016). Уравнения с частными производными с рядами Фурье и граничными задачами (3-е изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-80737-9.
  93. ^ Штраус, Уолтер А. (2007). Уравнения с частными производными: Введение . Wiley. ISBN 978-0-470-05456-7.
  94. ^ Экклс, Питер Дж. (1998). Введение в математическое мышление: числа, множества и функции . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59718-0.
  95. ^ Хаммак, Ричард (2013). Book of Proof (2-е изд.). Lightning Source Inc. ISBN 978-0-989-47210-4.
  96. ^ Хэмкинс, Джоэл Дэвид (2020). Доказательство и искусство математики . MIT Press . ISBN 978-0-262-53979-1.
  97. ^ Артин, Майкл (2017). Алгебра (2-е изд.). Пирсон. ISBN 978-0-134-68960-9.
  98. ^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2003). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
  99. ^ Пинтер, Чарльз С. (2010). Книга абстрактной алгебры (2-е изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47417-5.
  100. ^ Шарлау, Винфрид; Ополька, Ганс (2010). От Ферма до Минковского: Лекции по теории чисел и ее историческому развитию . Springer-Verlag. ISBN 978-1-441-92821-4.
  101. ^ Грэнвилл, Эндрю (2019). Раскрытие теории чисел: мастер-класс . Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-6370-0.
  102. ^ Дадли, Андервуд (2008). Элементарная теория чисел (2-е изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-46931-7.
  103. ^ Мэттук, Артур (2013). Введение в анализ . CreateSpace Независимая издательская платформа. ISBN 978-1-484-81411-6.
  104. ^ Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (2011). Введение в реальный анализ (4-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-43331-6.
  105. ^ Эбботт, Стивен (2016). Понимание анализа (2-е изд.). Springer. ISBN 978-1-493-92711-1.
  106. ^ Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-070-54235-8.
  107. ^ Спивак, Майкл (1965). Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления . CRC Press. ISBN 978-0-367-09190-3.
  108. ^ Лумис, Линн Гарольд ; Стернберг, Шломо Цви (2014). Advanced Calculus (пересмотренное издание). World Scientific. ISBN 978-9-814-58393-0.
  109. ^ Марсден, Джерролд Э .; Тромба, Энтони Дж. (2011). Векторные вычисления (6-е изд.). WH Freeman. ISBN 978-1-429-21508-4.
  110. ^ Альфорс, Ларс Валериан (1978). Комплексный анализ: Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной . McGraw-Hill Higher Education. ISBN 978-0-070-00657-7.
  111. ^ Гамелен, Теодор В. (2001). Комплексный анализ . Спрингер. ISBN 978-0-387-95069-3.
  112. ^ Стайн, Элиас М.; Шакарчи, Рами (2003). Комплексный анализ . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11385-2.
  113. ^ Бак, Джозеф; Ньюман, Дональд Дж. (2010). Комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1-441-97287-3.
  114. ^ Андерсон, Дэвид Ф.; Сеппалайнен, Тимо; Валко, Бенедек (2017). Введение в вероятность . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-108-41585-9.
  115. ^ Биллингсли, Патрик (2012). Вероятность и мера (юбилейное издание). Wiley. ISBN 978-1-118-12237-2.
  116. ^ Wackerly, Dennis D.; Mendenhall, William; Scheaffer, Richard L. (2008). Математическая статистика с приложениями (7-е изд.). Thomson Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-11081-1.
  117. ^ Вассерман, Ларри (2003). Вся статистика: краткий курс статистического вывода . Springer. ISBN 978-0-387-40272-7.
  118. ^ Липшуц, Сеймур (1998). Очерк теории множеств Шаума и смежных тем . McGraw-Hill Companies. ISBN 978-0-070-38159-9.
  119. ^ Столл, Роберт Рот (1979). Теория множеств и логика . Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4.
  120. ^ Халмос, Пол Р. (1968). Наивная теория множеств . Спрингер. ISBN 978-0-387-90092-6.
  121. ^ Раутенберг, Вольфганг (2006). Краткое введение в математическую логику . Springer. ISBN 978-0-387-30294-2.
  122. ^ Добров, Роберт П. (2016). Введение в стохастические процессы с Р. Уайли. ISBN 978-1-118-74065-1.
  123. ^ Бартл, Роберт Г. (2001). Современная теория интеграции . Американское математическое общество . ISBN 978-0-821-80845-0.
  124. ^ Stein, Elias M. ; Shakarchi, Rami (2005). Действительный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовы пространства . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11386-9.
  125. ^ Фолланд, Джеральд Б. (2007). Реальный анализ: современные методы и их применение (2-е изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-31716-6.
  126. ^ Кон, Дональд Л. (2015). Теория меры (2-е изд.). Биркхойзер. ISBN 978-1-489-99762-3.
  127. ^ Stein, Elias M. ; Shakarchi, Rami (2003). Анализ Фурье: Введение . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11384-5.
  128. ^ Лайтхилл, М. Дж. (1958). Введение в анализ Фурье и обобщенные функции . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09128-2.
  129. ^ Стайн, Элиас М.; Шакарчи, Рами (2009). Функциональный анализ: введение в дополнительные темы анализа . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11387-6.
  130. ^ Сочи, Таха (2017). Введение в дифференциальную геометрию пространственных кривых и поверхностей . CreateSpace. ISBN 978-1-546-68183-0.
  131. ^ До Кармо, Манфредо П. (2016). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Dover Publications. ISBN 978-0-486-80699-0.
  132. ^ Пресли, Эндрю (2010). Элементарная дифференциальная геометрия (2-е изд.). Springer. ISBN 978-1-848-82890-2.
  133. ^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Пирсон. ISBN 978-0-131-81629-9.
  134. ^ Мендельсон, Берт (1990). Введение в топологию (3-е изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-66352-4.
  135. ^ Süli, Endre; Mayers, David (2003). Введение в численный анализ . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00794-8.
  136. ^ Осборн, Майкл Дж.; Рубинштейн, Ариэль (1994). Курс теории игр . MIT Press. ISBN 978-0-262-65040-3.
  137. ^ Таделис, Стивен (2013). Теория игр: Введение . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12908-2.
  138. ^ Гиббонс, Роберт (1992). Теория игр для прикладных экономистов . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00395-5.
  139. ^ Кот, Марк (2014). Первый курс по вариационному исчислению . Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-1495-5.
  140. ^ ab Lanczos, Cornelius (1986). Вариационные принципы механики (4-е изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-65067-8.
  141. ^ Гельфанд, Израиль М.; Фомин, С.В. (2000). Вариационное исчисление . Перевод Сильвермана, Ричарда. Dover Publications. ISBN 978-0-486-41448-5.
  142. ^ Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (3-е изд.). Springer. ISBN 978-1-441-96052-8.
  143. ^ Кац, Виктор (2008). История математики: Введение (3-е изд.). Эддисон Уэсли Лонгман. ISBN 978-0-321-38700-4.
  144. ^ Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Ута К. (1991). История математики . Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
  145. ^ Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древних времен до наших дней . Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-195-01496-9.
  146. ^ Тейлор, Джон Р. (2005). Классическая механика . Университетские научные книги. ISBN 978-1-891-38922-1.
  147. ^ Голдстейн, Герберт ; Пул, Чарльз; Сафко, Джон (2001). Классическая механика (3-е изд.). Пирсон. ISBN 978-0-201-65702-9.
  148. ^ Арнольд, Владимир (1978). Математические методы классической механики . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90314-9.
  149. ^ Перселл, Эдвард М.; Морин, Дэвид Дж. (2013). Электричество и магнетизм (3-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-01402-2.
  150. ^ Гриффитс, Дэвид Дж. (2017). Введение в электродинамику (4-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-42041-9.
  151. ^ Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике . CRC Press. ISBN 978-0-367-09206-1.
  152. ^ Batchelor, GK (2000). Введение в гидродинамику . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66396-0.
  153. ^ Ландау, Лев Д .; Лифшиц, Евгений (1987). Механика жидкости (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-750-62767-2.
  154. ^ Таунсенд, Джон С. (2012). Современный подход к квантовой механике (2-е изд.). University Science Books. ISBN 978-1-891-38978-8.
  155. ^ Шанкар, Рамамурти (2012). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-1-475-70578-2.
  156. ^ Сакурай, Дж. Дж .; Наполитано, Джим (2020). Современная квантовая механика (3-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47322-4.
  157. ^ Хартл, Джеймс Б. (2002). Гравитация: Введение в общую теорию относительности Эйнштейна . Пирсон. ISBN 978-0-805-38662-2.
  158. ^ Кэрролл, Шон (2019). Пространство-время и геометрия: Введение в общую теорию относительности . Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-48839-6.
  159. ^ Мизнер, Чарльз ; Торн, Кип ; Уилер, Джон (2017). Гравитация . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-17779-3.
  160. ^ Уолд, Роберт (1984). Общая теория относительности . Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-87033-5.
  161. ^ Грэм, Рональд Л.; Кнут, Дональд ; Паташник, Орен (1994). Конкретная математика: основа компьютерной науки (2-е изд.). Addison-Wesley Professional. ISBN 978-0-201-55802-9.
  162. ^ Розен, Кеннет Х. (2018). Дискретная математика и ее приложения (8-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-1-259-67651-2.
  163. ^ Обложка, Томас М.; Томас, Джой А. (2006). Элементы теории информации (2-е изд.). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-24195-9.
  164. ^ Сипсер, Майкл (1996). Введение в теорию вычислений (3-е изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-133-18779-0.
  165. ^ Кормен, Томас Х.; Лейзерсон, Чарльз Э.; Ривест, Рональд Л.; Штейн, Клиффорд (2009). Введение в алгоритмы (3-е изд.). Массачусетский технологический институт Пресс. ISBN 978-0-262-03384-8.
  166. ^ Рафгарден, Тим (2016). Двадцать лекций по алгоритмической теории игр . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-17266-1.
  167. ^ Гросс, Бенедикт ; Харрис, Джозеф ; Риль, Эмили (2019). Fat Chance: Probability from 0 to 1. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-72818-8.
  168. ^ Джонсон, Роберт; Куби, Патрисия (2003). Просто основы элементарной статистики (3-е изд.). Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-38472-2.
  169. ^ Тейлор, Джон Р. (1996). Введение в анализ ошибок: изучение неопределенностей в физических измерениях (2-е изд.). University Science Books. ISBN 978-0-93570-275-0.
  170. ^ Хьюз, Ифан Г.; Хазе, Томас П.А. (2013). Измерения и их неопределенности: практическое руководство по современному анализу ошибок . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-956633-4.
  171. ^ Вебер, Ганс Дж.; Харрис, Фрэнк Э.; Арфкен, Джордж Б. (2012). Математические методы для физиков (7-е изд.). Elsevier Science & Technology. ISBN 978-9-381-26955-8.
  172. ^ Хассани, Садри (2013). Математическая физика: Современное введение в ее основы (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3-319-01194-3.
  173. ^ Нойеншвандер, Дуайт Э. (2014). Тензорное исчисление для физики: краткое руководство . Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-421-41565-9.
  174. ^ Дживанджи, Надир (2015). Введение в тензоры и теорию групп для физиков (2-е изд.). Бостон: Birkhäuser. ISBN 978-3-319-14793-2.
  175. ^ Зи, Энтони (2016). Теория групп в двух словах для физиков (Иллюстрированное издание). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-16269-0.
  176. ^ Бендер, Карл; Орсзаг, Стивен А. (2010). Продвинутые математические методы для ученых и инженеров I: Асимптотические методы и теория возмущений . Springer. ISBN 978-1-441-93187-0.
  177. ↑ Бейкер, Билли (20 января 2012 г.). «Неотъемлемая часть жизни Массачусетского технологического института». Boston Globe . Получено 6 февраля 2021 г.
  178. ^ "Integration Bee". Студенческое отделение AMS, Университет Коннектикута. 2018. Получено 6 февраля 2021 г.
  179. ^ "WVU Integration Bee Competition". Факультет математики и наук о данных, Университет Западной Вирджинии. 2023. Получено 4 мая 2023 г.
  180. ^ "Integration Bee". Berkeley SPS . Калифорнийский университет в Беркли . Получено 6 февраля 2021 г.
  181. ^ ab Miller, Sandi (3 марта 2020 г.). «Студенты MIT доминируют на ежегодном математическом конкурсе Putnam». MIT News . Получено 27 апреля 2023 г. .
  182. ↑ Цзян, Джорджия (27 февраля 2023 г.). «UMD Students Win Fourth Place in Putnam Mathematical Competition». Maryland Today . University of Maryland . Получено 27 апреля 2023 г.
  183. ↑ Шелтон, Джим (29 марта 2023 г.). «Йельская команда преуспевает на студенческом математическом конкурсе в Патнэме». Yale Daily News . Получено 7 мая 2023 г.
  184. ^ Назар, Сильвия (1998). "2: Технологический институт Карнеги". A Beautiful Mind . Нью-Йорк: Simon & Schuster. стр. 43–44. ISBN 0-7432-2457-4.
  185. ^ Миллер, Сэнди (27 марта 2019 г.). «Решение ради удовольствия (а иногда и призов)». MIT News . Получено 6 мая 2023 г.
  186. ^ ab «Утечка в трубопроводе STEM: раннее изучение алгебры». Министерство образования США. Ноябрь 2018 г. Получено 13 мая 2023 г.
  187. ^ "Изменение объема экзамена AP (2009-2019)" (PDF) . Архив данных AP . College Board. 2019.
  188. ^ abc Champion, Joe; Mesa, Vilma (2017). «Факторы, влияющие на завершение исчисления среди учащихся старших классов США». В Bressoud, David (ред.). Роль исчисления при переходе от математики средней школы к математике колледжа (PDF) . Вашингтон, округ Колумбия: MAA и NCTM. стр. 9–25.
  189. ↑ Куинтон, Софи (11 декабря 2014 г.). «Расовый разрыв в классах с отличием в старших классах». The Atlantic . Архивировано из оригинала 2 апреля 2021 г. Получено 17 мая 2023 г.
  190. ^ Робелен, Эрик В. (15 февраля 2012 г.). «Девочки любят биологию, мальчики любят физику? Данные AP намекают на предпочтения». Education Week . Архивировано из оригинала 30 апреля 2023 г. . Получено 30 апреля 2023 г. .
  191. ^ Loewus, Liana (3 августа 2016 г.). «Что удерживает женщин от карьеры в области науки и математики? Исчисление и уверенность». Education Week . Архивировано из оригинала 30 апреля 2023 г. . Получено 30 апреля 2023 г. .
  192. ^ Уитни, АК (18 апреля 2016 г.). «Математика для девочек, математика для мальчиков». The Atlantic . Архивировано из оригинала 4 апреля 2021 г. Получено 2 мая 2023 г.
  193. ↑ Куинтон, Софи (29 октября 2013 г.). «Алгебра не обязательно должна быть страшной». The Atlantic . Архивировано из оригинала 8 июля 2022 г. Получено 2 мая 2023 г.
  194. ^ «Действительно ли ваш диплом стоил того?». The Economist . 3 апреля 2023 г. Архивировано из оригинала 8 апреля 2023 г. Получено 14 апреля 2023 г.
  195. ↑ Стефани Банчеро (8 мая 2012 г.). «Отказ от школьных стандартов». The Wall Street Journal . Получено 23 марта 2013 г.
  196. ^ ab Nappi, Chiara (май 1990 г.). «О математике и естественнонаучном образовании в США и Европе». Physics Today . 43 (5): 77. Bibcode : 1990PhT....43e..77N. doi : 10.1063/1.2810564.
  197. ^ Blad, Evie (17 апреля 2023 г.). «Родители и учителя согласны: математика важна, но школы должны сделать ее актуальной». Education Week . Архивировано из оригинала 17 апреля 2023 г. . Получено 17 апреля 2023 г. .
  198. ^ Гаррати, Джон А. (1991). "Глава XXXII Общество в движении, 1945-1980. Переосмысление государственного образования". Американская нация: История Соединенных Штатов . Соединенные Штаты Америки: Harper Collins. стр. 896–7. ISBN 978-0-06-042312-4.
  199. ^ Фармелло, Грэм (2009). "Двадцать шесть: 1958-1962". Самый странный человек: тайная жизнь Поля Дирака, мистика атома . Basic Books. стр. 363. ISBN 978-0-465-02210-6.
  200. ^ ab Gandel, Stephen (30 мая 2015 г.). «Эта статья в Fortune 1958 года познакомила мир с Джоном Нэшем и его математикой». Fortune . Получено 16 марта 2023 г. .
  201. ^ Жисперт, Элен. «L'enseignement des mathématiques au XXe siècle dans le contexte français». КультураМАТ (на французском языке). Архивировано из оригинала 15 июля 2017 года . Проверено 4 ноября 2020 г.
  202. ^ Фейнман, Ричард П. (1965). «Новые учебники по «новой» математике» (PDF) . Инженерное дело и наука . XXVIII (6): 9–15. ISSN  0013-7812.
  203. ^ Клайн, Моррис (1973). Почему Джонни не умеет складывать: провал новой математики . Нью-Йорк: St. Martin's Press . С. 17, 98. ISBN 0-394-71981-6.
  204. ^ Гиллман, Леонард (май 1974). «Обзор книги « Почему Джонни не умеет складывать ». American Mathematical Monthly . 81 (5): 531–2. JSTOR  2318615.
  205. ^ Симмонс, Джордж Ф. (2003). «Алгебра – Введение». Precalculus Mathematics in a Nutshell: Geometry, Algebra, Trigonometry: Geometry, Algebra, Trigonometry . Wipf and Stock Publishers . стр. 33. ISBN 9781592441303.
  206. ^ "America's Maths Wars". The Economist . 6 ноября 2021 г. Архивировано из оригинала 4 ноября 2021 г. Получено 23 августа 2022 г.
  207. ^ Ву, Хун-Си (осень 1999 г.). «Базовые навыки против концептуального понимания: фиктивная дихотомия в математическом образовании» (PDF) . Американский педагог . Американская федерация учителей.
  208. ^ Хиберт, Джеймс; Стиглер, Джеймс У. (сентябрь 2000 г.). «Предложение по улучшению преподавания в классе: уроки видеоисследования TIMSS». The Elementary School Journal . 101 (1): 3–20. doi :10.1086/499656. S2CID  144020162.
  209. ^ Christian Science Monitor Архивировано 09.05.2008 на Wayback Machine
  210. ^ "Часто задаваемые вопросы о проекте Core-Plus Mathematics". Архивировано из оригинала 21-08-2010 . Получено 26-10-2009 .
  211. ^ Wall Street Journal, New York Times, Chicago Sun Times
  212. ^ Toh, Tin Lam (2021). «Школьная программа по исчислению и структура сингапурской программы по математике». ZDM – Математическое образование . 53 (3): 535–547. doi :10.1007/s11858-021-01225-6. S2CID  233904989.
  213. ^ ab Sparks, Sarah D. (7 января 2020 г.). «Миф, подпитывающий математическую тревожность». Education Week . Архивировано из оригинала 31 августа 2022 г. . Получено 31 августа 2022 г. .
  214. ^ Гонсер, Сара (12 апреля 2018 г.). «Студентов готовят к профессиям, которых больше не существует. Вот как это может измениться». Культура имеет значение. NBC News . Получено 25 октября 2019 г.
  215. ^ Ванг, Эми Икс. (19 июля 2017 г.). «Неудивительно, что молодые американцы чувствуют себя такими важными, когда половина из них заканчивает среднюю школу на «отлично». Quartz . Архивировано из оригинала 19 июня 2021 г.
  216. ^ Фурнер, Джозеф М. и Кумар, Дэвид Д. [1], «Аргумент в пользу интеграции математики и естественных наук: позиция в пользу педагогического образования», Евразийский журнал математического, научного и технологического образования, том 3, номер 3, август 2007 г., дата обращения 15 декабря 2013 г.
  217. ^ Клайнс, Том (7 сентября 2016 г.). «Как воспитать гения: уроки 45-летнего исследования сверхумных детей». Nature . 537 (7619): 152–155. Bibcode :2016Natur.537..152C. doi : 10.1038/537152a . PMID  27604932. S2CID  4459557.
  218. ↑ Мэтьюз, Джей (10 сентября 2022 г.). «Средние школы избегают сложных задач, таких как обучение вашего ребенка алгебре». The Washington Post . Архивировано из оригинала 12 сентября 2022 г. Получено 29 апреля 2023 г.
  219. ^ Клайнс, Том (январь 2017 г.). «Воспитание гения». Scientific American . Архивировано из оригинала 23 декабря 2016 г.
  220. ↑ Уилл, Мадалин (18 мая 2022 г.). «Учат ли начинающие учителя начальной школы достаточно математики?». Education Week . Архивировано из оригинала 31 августа 2022 г. Получено 10 мая 2023 г.
  221. ^ «Чему мир может научиться из последних результатов теста PISA». The Economist . Получено 25 июля 2018 г.
  222. ^ Сарич, Ивана (5 декабря 2023 г.). «Результаты по математике у американских школьников резко упали в глобальной системе оценки образования». Axios . Получено 7 января 2024 г.
  223. ^ Мервош, Сара (5 декабря 2023 г.). «Результаты по математике во всем мире упали, но США по-прежнему отстают от других стран». The New York Times . Архивировано из оригинала 5 декабря 2023 г. Получено 7 января 2024 г.
  224. ^ Ротермунд, Сьюзен; Берк, Эми (8 июля 2021 г.). «Начальное и среднее STEM-образование — Краткое изложение». Национальный научный фонд . Получено 27 января 2023 г.
  225. ^ ab Finder, Alan (28 августа 2007 г.). «Результаты SAT по математике и чтению падают». The New York Times . Архивировано из оригинала 24 апреля 2023 г. Получено 24 апреля 2023 г.
  226. ^ Вай, Джонатан (3 февраля 2015 г.). «Ваша специализация в колледже — довольно хороший показатель того, насколько вы умны». Quartz . Архивировано из оригинала 16 января 2020 г. Получено 30 января 2021 г.
  227. ↑ Crew, Bec (16 февраля 2015 г.). «Ваша специальность в колледже может быть довольно хорошим показателем того, насколько вы умны». Humans. Science Magazine . Получено 30 января 2021 г.
  228. ^ Бинки, Коллин (24 октября 2022 г.). «Результаты тестов показывают, как COVID отбросил детей по всей территории США» PBS Newshour . Получено 31 декабря 2022 г.
  229. ^ Спаркс, Сара Д. (24 октября 2022 г.). «Объяснение резкого падения результатов по математике в NAEP: 5 выводов». Education Week . Архивировано из оригинала 20 марта 2023 г. . Получено 25 апреля 2023 г. .
  230. ^ ab Chapman, Ben (24 октября 2022 г.). «Результаты экзаменов по математике снизились во всех штатах во время пандемии, согласно отчету». The Wall Street Journal . Архивировано из оригинала 24 октября 2022 г. Получено 18 мая 2023 г.
  231. ^ Ласарте, Диего (3 мая 2023 г.). «Результаты тестов по истории среди восьмиклассников США достигли самых низких показателей за всю историю». Quartz . Архивировано из оригинала 19 мая 2023 г. . Получено 18 мая 2023 г. .
  232. ^ Фосетт, Элиза (1 ноября 2022 г.). «Поколение пандемии поступает в колледж. Это было нелегко». The New York Times . Архивировано из оригинала 1 ноября 2022 г. Получено 25 мая 2023 г.
  233. ^ Доти, Елена; Кейн, Томас Дж.; Паттерсон, Тайлер; Стайгер, Дуглас О. (декабрь 2022 г.). «Что подразумевают изменения в результатах государственных тестов для результатов в дальнейшей жизни?». Рабочие документы NBER . Серия рабочих документов. Национальное бюро экономических исследований. doi : 10.3386/w30701 .
  234. ^ Najarro, Ileana (19 мая 2022 г.). «Новый курс AP Precalculus направлен на диверсификацию математического конвейера». Education Week . Архивировано из оригинала 24 марта 2023 г.

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки