Пространство Анти-де Ситтера

Максимально симметричное лоренцево многообразие с отрицательной космологической постоянной

Трехмерное антидеситтеровское пространство похоже на стопку гиперболических дисков , каждый из которых представляет состояние Вселенной в данный момент времени. ^[a]

В математике и физике n -мерное антидеситтеровское пространство (AdS _n ) представляет собой максимально симметричное лоренцево многообразие с постоянной отрицательной скалярной кривизной . Антидеситтеровское пространство и пространство де Ситтера названы в честь Виллема де Ситтера (1872–1934), профессора астрономии в Лейденском университете и директора Лейденской обсерватории . Виллем де Ситтер и Альберт Эйнштейн тесно сотрудничали в Лейдене в 1920-х годах над пространственно-временной структурой Вселенной. Поль Дирак был первым человеком, который тщательно исследовал антидеситтеровское пространство, сделав это в 1963 году. ^{[1] [2] [3] [4]}

Многообразия постоянной кривизны наиболее известны в случае двух измерений, где эллиптическая плоскость или поверхность сферы является поверхностью постоянной положительной кривизны, плоская (т. е. евклидова ) плоскость является поверхностью постоянной нулевой кривизны, а гиперболическая плоскость является поверхностью постоянной отрицательной кривизны.

Общая теория относительности Эйнштейна ставит пространство и время на равные позиции, так что рассматривается геометрия единого пространства-времени, а не отдельное рассмотрение пространства и времени. Случаями пространства-времени постоянной кривизны являются пространство де Ситтера (положительное), пространство Минковского (нулевое) и анти-де Ситтера (отрицательное). Таким образом, они являются точными решениями уравнений поля Эйнштейна для пустой вселенной с положительной, нулевой или отрицательной космологической постоянной соответственно.

Пространство анти-де Ситтера обобщается на любое количество пространственных измерений. В более высоких измерениях оно наиболее известно своей ролью в соответствии AdS/CFT , которое предполагает, что можно описать силу в квантовой механике (например, электромагнетизм , слабое взаимодействие или сильное взаимодействие ) в определенном количестве измерений (например, четыре) с помощью теории струн , где струны существуют в пространстве анти-де Ситтера с одним дополнительным (некомпактным) измерением.

Нетехническое объяснение

Технические термины переведены

Максимально симметричное лоренцево многообразие — это пространство-время, в котором ни одна точка в пространстве и времени не может быть каким-либо образом отличена от другой, и (будучи лоренцевым) единственный способ, которым можно отличить направление (или касательную к траектории в точке пространства-времени), — это то, является ли оно пространственноподобным, светоподобным или времениподобным. Пространство специальной теории относительности ( пространство Минковского ) является примером.

Постоянная скалярная кривизна означает искривление пространства-времени, подобное гравитации в общей теории относительности, имеющее кривизну, описываемую одним числом, которое одинаково повсюду в пространстве-времени при отсутствии материи или энергии.

Отрицательная кривизна означает гиперболическую кривизну, подобную седловидной поверхности или поверхности рога Гавриила , подобной поверхности колокола трубы .

Пространство-время в общей теории относительности

Общая теория относительности — это теория природы времени, пространства и гравитации, в которой гравитация — это искривление пространства и времени, возникающее из-за присутствия материи или энергии. Энергия и масса эквивалентны (как выражено в уравнении E  =  mc ² ). Значения пространства и времени могут быть связаны соответственно с единицами времени и пространства путем умножения или деления значения на скорость света (например, секунды, умноженные на метры в секунду, равны метрам).

Распространенная аналогия включает в себя то, как провал в плоском листе резины, вызванный тяжелым предметом, лежащим на нем, влияет на путь, по которому катятся рядом небольшие предметы, заставляя их отклоняться внутрь от пути, по которому они бы двигались, если бы тяжелый предмет отсутствовал. Конечно, в общей теории относительности как небольшие, так и большие объекты взаимно влияют на кривизну пространства-времени.

Сила притяжения, создаваемая материей, обусловлена ​​отрицательной кривизной пространства-времени, представленной в аналогии с резиновым листом отрицательно искривленной (похожей на трубу) впадиной на листе.

Ключевой особенностью общей теории относительности является то, что она описывает гравитацию не как традиционную силу, вроде электромагнетизма, а как изменение геометрии пространства-времени, возникающее в результате присутствия материи или энергии.

Аналогия, использованная выше, описывает кривизну двумерного пространства, вызванную гравитацией в общей теории относительности в трехмерном суперпространстве, в котором третье измерение соответствует эффекту гравитации. Геометрический способ мышления об общей теории относительности описывает эффекты гравитации в реальном мире четырехмерного пространства геометрически, проецируя это пространство в пятимерное суперпространство с пятым измерением, соответствующим кривизне в пространстве-времени, которая создается гравитацией и гравитационно-подобными эффектами в общей теории относительности.

В результате в общей теории относительности знакомое ньютоновское уравнение гравитации (т. е. гравитационное притяжение между двумя объектами равно гравитационной постоянной , умноженной на произведение их масс, деленное на квадрат расстояния между ними) является всего лишь приближением гравитационных эффектов, наблюдаемых в общей теории относительности. Однако это приближение становится неточным в экстремальных физических ситуациях, таких как релятивистские скорости (в частности, света) или очень большие и плотные массы. ${\displaystyle \textstyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ }$

В общей теории относительности гравитация вызвана искривлением («искажением») пространства-времени. Распространенным заблуждением является приписывание гравитации искривленному пространству; ни пространство, ни время не имеют абсолютного значения в теории относительности. Тем не менее, чтобы описать слабую гравитацию, как на Земле, достаточно рассмотреть искажение времени в определенной системе координат. Мы находим гравитацию на Земле очень заметной, в то время как релятивистское искажение времени требует точных приборов для обнаружения. Причина, по которой мы не осознаем релятивистские эффекты в нашей повседневной жизни, заключается в огромном значении скорости света ( c =примерно 300 000  км/с ), что заставляет нас воспринимать пространство и время как разные сущности.

Пространство де Ситтера в общей теории относительности

Пространство Де Ситтера включает в себя вариацию общей теории относительности, в которой пространство-время слегка искривлено при отсутствии материи или энергии. Это аналогично соотношению между евклидовой геометрией и неевклидовой геометрией .

Внутренняя кривизна пространства-времени при отсутствии материи или энергии моделируется космологической постоянной в общей теории относительности. Это соответствует вакууму, имеющему плотность энергии и давление. Такая геометрия пространства-времени приводит к мгновенно параллельным времениподобным геодезическим ^[b], расходящимся, с пространственноподобными сечениями, имеющими положительную кривизну.

Анти-де-ситтеровское пространство, отличное от де-ситтеровского пространства

Анти-де-ситтеровское пространство в общей теории относительности похоже на пространство де Ситтера , за исключением того, что знак кривизны пространства-времени изменен. В анти-де-ситтеровском пространстве при отсутствии материи или энергии кривизна пространственноподобных сечений отрицательна, что соответствует гиперболической геометрии , и на мгновение параллельные времениподобные геодезические ^[b] в конечном итоге пересекаются. Это соответствует отрицательной космологической постоянной , где само пустое пространство имеет отрицательную плотность энергии, но положительное давление, в отличие от стандартной модели ΛCDM нашей собственной Вселенной, для которой наблюдения далеких сверхновых указывают на положительную космологическую постоянную, соответствующую (асимптотическому) пространству де Ситтера .

В антиде-ситтеровском пространстве, как и в де-ситтеровском пространстве, внутренняя кривизна пространства-времени соответствует космологической постоянной.

Анти-де-ситтеровское пространство AdS ₂ также является де-ситтеровским пространством dS ₂ посредством обмена времениподобными и пространственноподобными метками. ^[5] Такая перемаркировка меняет знак кривизны, который традиционно соотносится с направлениями, обозначенными как пространственноподобные.

Пространство де Ситтера и пространство анти-де Ситтера, рассматриваемые как встроенные в пять измерений

Аналогия, использованная выше, описывает кривизну двумерного пространства, вызванную гравитацией в плоском окружающем пространстве на одно измерение выше. Аналогично, (искривленные) пространства де Ситтера и анти-де Ситтера четырех измерений могут быть вложены в (плоское) псевдориманово пространство пяти измерений. Это позволяет напрямую определять расстояния и углы во вложенном пространстве из расстояний и углов в пятимерном плоском пространстве.

Предостережения

Оставшаяся часть этой статьи объясняет детали этих концепций с гораздо более строгим и точным математическим и физическим описанием. Люди плохо приспособлены для визуализации вещей в пяти или более измерениях, но математические уравнения не испытывают подобных трудностей и могут представлять пятимерные концепции таким же подходящим способом, как и методы, которые математические уравнения используют для описания более простых для визуализации трех- и четырехмерных концепций.

Существует особенно важное следствие более точного математического описания, которое отличается от эвристического описания пространства де Ситтера и анти-де Ситтера, основанного на аналогии, приведенного выше. Математическое описание пространства анти-де Ситтера обобщает идею кривизны. В математическом описании кривизна является свойством конкретной точки и может быть отделена от некоторой невидимой поверхности, с которой сливаются искривленные точки в пространстве-времени. Так, например, такие концепции, как сингулярности (наиболее широко известная из которых в общей теории относительности — черная дыра ), которые не могут быть полностью выражены в геометрии реального мира, могут соответствовать конкретным состояниям математического уравнения.

Полное математическое описание также фиксирует некоторые тонкие различия, проводимые в общей теории относительности между пространственно-подобными измерениями и времени-подобными измерениями.

Определение и свойства

Подобно тому, как сферические и гиперболические пространства можно визуализировать изометрическим вложением в плоское пространство одного большего измерения (как сфера и псевдосфера соответственно), анти-де-ситтеровское пространство можно визуализировать как лоренцев аналог сферы в пространстве одного дополнительного измерения. Дополнительное измерение времениподобно. В этой статье мы принимаем соглашение, что метрика во времениподобном направлении отрицательна.

Изображение (1 + 1) -мерного анти-де-ситтеровского пространства, вложенного в плоское (1 + 2) -мерное пространство. Оси t ₁ и t ₂ лежат в плоскости вращательной симметрии, а ось x ₁ нормальна к этой плоскости. Вложенная поверхность содержит замкнутые времениподобные кривые, окружающие ось x ₁ , хотя их можно устранить, «развернув» вложение (точнее, взяв универсальное покрытие).

Анти-де-ситтеровское пространство сигнатуры ( p , q ) может быть затем изометрически вложено в пространство с координатами ( x ₁ , ..., x _p , t ₁ , ..., t _{q +1} ) и метрикой ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q+1}}$

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{p}dx_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}dt_{j}^{2}}$

как квазисфера

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}x_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}t_{j}^{2}=-\alpha ^{2},}$

где — ненулевая константа с размерностью длины ( радиус кривизны ). Это (обобщенная) сфера в том смысле, что она представляет собой набор точек, для которых «расстояние» (определяемое квадратичной формой) от начала координат постоянно, но визуально это гиперболоид , как на показанном изображении. ${\displaystyle \alpha }$

Метрика на анти-де-ситтеровском пространстве индуцирована из метрики окружения . Она невырождена и в случае q = 1 имеет лоренцеву сигнатуру.

При q = 0 эта конструкция дает стандартное гиперболическое пространство. Оставшаяся часть обсуждения применима при q ≥ 1 .

Замкнутые времениподобные кривые и универсальное покрытие

Когда q ≥ 1 , вложение выше имеет замкнутые времениподобные кривые ; например, путь, параметризованный и все остальные координаты равны нулю, является такой кривой. Когда q ≥ 2, эти кривые присущи геометрии (неудивительно, поскольку любое пространство с более чем одним временным измерением содержит замкнутые времениподобные кривые), но когда q = 1 , их можно устранить, перейдя к универсальному покрывающему пространству , эффективно «разворачивая» вложение. Похожая ситуация возникает с псевдосферой , которая закручивается вокруг себя, хотя гиперболическая плоскость этого не делает; в результате она содержит самопересекающиеся прямые линии (геодезические), в то время как гиперболическая плоскость их не делает. Некоторые авторы определяют пространство анти-де Ситтера как эквивалент самой вложенной квазисфере, в то время как другие определяют его как эквивалент универсального покрытия вложения. ${\displaystyle t_{1}=\alpha \sin(\tau ),t_{2}=\alpha \cos(\tau ),}$

Симметрии

Если универсальное покрытие не взято, то ( p , q ) анти-де-ситтеровское пространство имеет O( p , q + 1) в качестве своей группы изометрий . Если универсальное покрытие взято, то группа изометрий является покрытием O( p , q + 1) . Это проще всего понять, определив анти-де-ситтеровское пространство как симметричное пространство , используя конструкцию фактор-пространства , приведенную ниже.

Нестабильность

Недоказанная «гипотеза нестабильности AdS», выдвинутая физиками Петром Бизоном и Анджеем Ростворовским в 2011 году, утверждает, что произвольно малые возмущения определенных форм в AdS приводят к образованию черных дыр. ^[6] Математик Георгиос Москидис доказал, что при наличии сферической симметрии эта гипотеза верна для конкретных случаев эйнштейновской нулевой пылевой системы с внутренним зеркалом (2017) и эйнштейновской безмассовой системы Власова (2018). ^{[7] [8]}

Координатные патчи

Координатный патч, покрывающий часть пространства, дает полупространственную координатизацию анти-де-ситтеровского пространства. Метрический тензор для этого патча равен

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{y^{2}}}\left(-dt^{2}+dy^{2}+\sum _{i}dx_{i}^{2}\right),}$

с указанием полупространства. Эта метрика конформно эквивалентна плоскому полупространству Минковского-пространству-времени. ${\displaystyle y>0}$

Постоянные временные срезы этого патча координат являются гиперболическими пространствами в метрике полупространства Пуанкаре. В пределе, когда , эта метрика полупространства конформно эквивалентна метрике Минковского . Таким образом, пространство анти-де Ситтера содержит конформное пространство Минковского на бесконечности («бесконечность», имеющая нулевую y-координату в этом патче). ${\displaystyle y\to 0}$ ${\textstyle ds^{2}=-dt^{2}+\sum _{i}dx_{i}^{2}}$

В пространстве AdS время периодично, а универсальное покрытие имеет непериодическое время. Координатный участок выше покрывает половину одного периода пространства-времени.

Поскольку конформная бесконечность AdS является времениподобной , задание начальных данных на пространственноподобной гиперповерхности не будет определять будущую эволюцию однозначно ( т.е. детерминировано), если только не будут определены граничные условия, связанные с конформной бесконечностью.

Область «полупространства» антиде-ситтеровского пространства и ее граница.

Другая часто используемая система координат, охватывающая все пространство, задается координатами t и гиперполярными координатами α , θ и  φ . ${\displaystyle r\geqslant 0}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(k^{2}r^{2}+1\right)dt^{2}+{\frac {1}{k^{2}r^{2}+1}}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$

Соседнее изображение представляет собой область "полупространства" анти-де-ситтеровского пространства и ее границу. Внутренняя часть цилиндра соответствует анти-де-ситтеровскому пространству-времени, а его цилиндрическая граница соответствует его конформной границе. Зеленая заштрихованная область внутри соответствует области AdS, охватываемой полупространственными координатами, и она ограничена двумя нулевыми, или светоподобными, геодезическими гиперплоскостями; зеленая заштрихованная область на поверхности соответствует области конформного пространства, охватываемой пространством Минковского.

Закрашенная зеленым область охватывает половину пространства AdS и половину конформного пространства-времени; левые концы зеленых дисков будут соприкасаться таким же образом, как и правые концы.

Как однородное, симметричное пространство

Точно так же, как 2-сфера

${\displaystyle S^{2}={\mathrm {O} (3)}/{\mathrm {O} (2)}}$

является частным двух ортогональных групп , анти-де Ситтера с четностью (отражательная симметрия) и симметрией обращения времени можно рассматривать как частное двух обобщенных ортогональных групп

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}={\mathrm {O} (2,n-1)}/{\mathrm {O} (1,n-1)}}$

тогда как AdS без P или C можно рассматривать как частное

${\displaystyle {\mathrm {Spin} ^{+}(2,n-1)}/{\mathrm {Spin} ^{+}(1,n-1)}}$

спиновых групп .

Эта фактор-формулировка дает структуру однородного пространства . Алгебра Ли обобщенной ортогональной группы задается матрицами ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {o}}(1,n)}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\cdots 0\cdots \\\leftarrow v^{t}\rightarrow \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\vdots &\uparrow \\0&v\\\vdots &\downarrow \end{pmatrix}}&B\end{pmatrix}}}$,

где - кососимметричная матрица . Дополнительный генератор в алгебре Ли - это ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {o}}(2,n)}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&a\\-a&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\leftarrow w^{t}\rightarrow \\\cdots 0\cdots \\\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\uparrow &\vdots \\w&0\\\downarrow &\vdots \end{pmatrix}}&0\end{pmatrix}}.}$

Эти два удовлетворяют . Явное вычисление матриц показывает, что и . Таким образом, анти-де Ситтер является редуктивным однородным пространством и неримановым симметричным пространством . ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle [{\mathcal {H}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle [{\mathcal {Q}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {H}}}$

Обзор пространства-времени AdS в физике и его свойств

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$представляет собой n -мерное вакуумное решение для теории гравитации с действием Эйнштейна–Гильберта с отрицательной космологической постоянной , ( ), т.е. теория, описываемая следующей плотностью лагранжиана : ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda <0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{16\pi G_{(n)}}}(R-2\Lambda )}$,

где G _{( n )} — гравитационная постоянная в n- мерном пространстве-времени. Следовательно, это решение уравнений поля Эйнштейна :

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=0,}$

где - тензор Эйнштейна , а - метрика пространства-времени. Вводя радиус как , это решение можно погрузить в -мерное плоское пространство-время с метрикой в ​​координатах с помощью следующего ограничения: ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\textstyle \Lambda ={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle \mathrm {diag} (-1,-1,+1,\ldots ,+1)}$ ${\displaystyle (X_{1},X_{2},X_{3},\ldots ,X_{n+1})}$

${\displaystyle -X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+\sum _{i=3}^{n+1}X_{i}^{2}=-\alpha ^{2}.}$

Глобальные координаты

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$параметризуется в глобальных координатах параметрами как: ${\displaystyle (\tau ,\rho ,\theta ,\varphi _{1},\cdots ,\varphi _{n-3})}$

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=\alpha \cosh \rho \cos \tau \\X_{2}=\alpha \cosh \rho \sin \tau \\X_{i}=\alpha \sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1\end{cases}}}$,

где параметризуем сферу, а в координатах это , , и т. д. Метрика в этих координатах: ${\displaystyle {\hat {x}}_{i}}$ ${\displaystyle S^{n-2}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \sin \varphi _{n-3}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{2}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \cos \varphi _{n-3}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{3}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \cos \varphi _{n-2}}$ ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=\alpha ^{2}\left(-\cosh ^{2}\rho \,d\tau ^{2}+\,d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\rho \,d\Omega _{n-2}^{2}\right)}$

где и . Учитывая периодичность времени и для того, чтобы избежать замкнутых времениподобных кривых (ЗВК), следует взять универсальное покрытие . В пределе можно приблизиться к границе этого пространства-времени, обычно называемой конформной границей. ${\displaystyle \tau \in [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle \rho \in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \rho \to \infty }$ ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

С помощью преобразований и мы можем получить обычную метрику в глобальных координатах: ${\displaystyle r\equiv \alpha \sinh \rho }$ ${\displaystyle t\equiv \alpha \tau }$ ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=-f(r)\,dt^{2}+{\frac {1}{f(r)}}\,dr^{2}+r^{2}\,d\Omega _{n-2}^{2}}$

где ${\displaystyle f(r)=1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}}$

Координаты Пуанкаре

По следующей параметризации:

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}+{\vec {x}}^{2}-t^{2}\right)\right)\\X_{2}={\frac {r}{\alpha }}t\\X_{i}={\frac {r}{\alpha }}x_{i}\qquad i\in \{3,\ldots ,n\}\\X_{n+1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}-{\vec {x}}^{2}+t^{2}\right)\right)\end{cases}},}$

метрика в координатах Пуанкаре равна: ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {\alpha ^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,d{\vec {x}}^{2}}$

в котором . Поверхность коразмерности 2 является горизонтом Пуанкаре-Киллинга и приближается к границе пространства-времени. Поэтому в отличие от глобальных координат, координаты Пуанкаре не покрывают все многообразие . Используя эту метрику можно записать следующим образом: ${\displaystyle 0\leq r}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$ ${\displaystyle u\equiv {\frac {r}{\alpha ^{2}}}}$

${\displaystyle ds^{2}=\alpha ^{2}\left({\frac {\,du^{2}}{u^{2}}}+u^{2}\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right)}$

где . С помощью преобразования также можно записать как: ${\displaystyle x^{\mu }=\left(t,{\vec {x}}\right)}$ ${\displaystyle z\equiv {\frac {1}{u}}}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}\left(\,dz^{2}+\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right).}$

Последние координаты являются координатами, которые обычно используются в соответствии AdS/CFT , при этом граница AdS находится в точке . ${\displaystyle z\to 0}$

FRW открытые координаты нарезки

Поскольку AdS максимально симметричен, его также можно привести к пространственно однородной и изотропной форме, подобной пространству-времени FRW (см. метрику Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера ). Пространственная геометрия должна быть отрицательно искривленной (открытой), а метрика —

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sin ^{2}(t/\alpha )dH_{n-1}^{2},}$

где — стандартная метрика на -мерной гиперболической плоскости. Конечно, это не охватывает все AdS. Эти координаты связаны с глобальными координатами вложения соотношением ${\displaystyle dH_{n-1}^{2}=d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\rho d\Omega _{n-2}^{2}}$ ${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=\alpha \cos(t/\alpha )\\X_{2}=\alpha \sin(t/\alpha )\cosh \rho \\X_{i}=\alpha \sin(t/\alpha )\sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad 3\leq i\leq n+1\end{cases}}}$

где параметризуем . ${\displaystyle \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1}$ ${\displaystyle S^{n-3}}$

Нарезка Де Ситтера

Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\sinh \left({\frac {t}{\alpha }}\right)\cosh \xi ,\\X_{2}&=\alpha \cosh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right),\\X_{3}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\cosh \left({\frac {t}{\alpha }}\right),\\X_{i}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\sinh \left({\frac {t}{\alpha }}\right)\sinh \xi \,{\hat {x}}_{i},\qquad 4\leq i\leq n+1\end{aligned}}}$

где параметризуем . Тогда метрика читается как: ${\displaystyle \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1}$ ${\displaystyle S^{n-3}}$

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2},}$

где

${\displaystyle ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {t}{\alpha }}\right)dH_{n-2}^{2}}$

— метрика размерного пространства де Ситтера с радиусом кривизны в открытых координатах среза. Гиперболическая метрика задается как: ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\Omega _{n-3}^{2}.}$

Геометрические свойства

Метрика AdS _n с радиусом является одним из максимально симметричных n -мерных пространств-времен. Она имеет следующие геометрические свойства: ${\displaystyle \alpha }$

Тензор кривизны Римана

${\displaystyle R_{\mu \nu \alpha \beta }={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}(g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }-g_{\mu \beta }g_{\nu \alpha })}$

кривизна Риччи

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}(n-1)g_{\mu \nu }}$

Скалярная кривизна

${\displaystyle R={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}n(n-1)}$

Примечания

1. Время здесь показано наблюдателем, чья мировая линия проходит вертикально в этом представлении; только один такой наблюдатель в центре диаграммы является инерциальным. Все остальные инерциальные наблюдатели имеют колеблющиеся мировые линии на диаграмме.
2. То есть мировые линии двух инерциальных наблюдателей, которые относительно неподвижны в одной точке своего времени (пространственноподобный участок одновременности, видимый каждым из них).

Ссылки

1. Дирак, Поль (1963). «Замечательное представление группы де Ситтера 3 + 2». Журнал математической физики . 4. Издательство AIP: 901–909.
2. Добрев, Владимир К. (12 сентября 2016 г.), «Дело группы антиде Ситтера», 5. Дело группы антиде Ситтера , Де Грюйтер, стр. 162–187, doi : 10.1515/9783110427646 -006/html?lang=en, ISBN 978-3-11-042764-6, получено 2023-11-01
3. "представление синглтона в nLab". ncatlab.org . Получено 2023-11-01 .
4. Мезинческу, Лука; Таунсенд, Пол К. (2020-01-07). «DBI в IR». Журнал физики A: Математический и теоретический . 53 (4): 044002. arXiv : 1907.06036 . doi : 10.1088/1751-8121/ab5eab. ISSN  1751-8121.
5. Бенгтссон, Ингемар (1998), Пространство Анти-де Ситтера (PDF) , стр. 4
6. Бизонь, Петр; Ростворовский, Анджей (2011). "Слаботурбулентная неустойчивость антидеситтеровского пространства-времени". Physical Review Letters . 107 (3): 031102. arXiv : 1104.3702 . Bibcode :2011PhRvL.107c1102B. doi :10.1103/PhysRevLett.107.031102. PMID  21838346. S2CID  31556930.
7. «Черные дыры помогают доказать, что особый вид пространства-времени нестабилен». Журнал Quanta . 2020. Получено 14 мая 2020 г.
8. Мошидис, Георгиос (2018). «Доказательство нестабильности AdS для системы Эйнштейна–Власова без массы». arXiv : 1812.04268 [math.AP].

• Цинмин Чэн (2001) [1994], «Пространство Анти-де Ситтера», Энциклопедия математики , EMS Press
• Эллис, GFR ; Хокинг, SW (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , Cambridge University Press , стр. 131–134
• Frances, C. (2005). «Конформная граница анти-де Ситтеровского пространства-времени». Соответствие AdS/CFT: метрики Эйнштейна и их конформные границы. Лекции IRMA по математике и теоретической физике. Том 8. Цюрих: Европейское математическое общество. С. 205–216. doi :10.4171/013-1/8. ISBN 978-3-03719-013-5.
• Мацуда, Х. (1984). «Заметка об изометрическом вложении верхнего полупространства в пространство анти-де Ситтера» (PDF) . Hokkaido Mathematical Journal . 13 (2): 123–132. doi : 10.14492/hokmj/1381757712 .Получено 2017-02-04.
• Вольф, Джозеф А. (1967). Пространства постоянной кривизны . стр. 334.

Внешние ссылки

• Simplified Guide to de Sitter and anti-de Sitter Spaces – педагогическое введение в пространства де Ситтера и анти де Ситтера. Основная статья упрощена, в ней почти нет математики. Приложение техническое и предназначено для читателей с физическим или математическим образованием.