Ассоциативная алгебра

В математике ассоциативная алгебра A над коммутативным кольцом (часто полем ) K представляет собой кольцо A вместе с гомоморфизмом колец из K в центр A. Таким образом, это алгебраическая структура со сложением, умножением и скалярным умножением (умножением на образ на кольцевой гомоморфизм элемента из K ). Операции сложения и умножения вместе придают A структуру кольца ; операции сложения и скалярного умножения вместе дают A структуру модуля или векторного пространства над K . В этой статье мы также будем использовать термин K -алгебра.означает ассоциативную алгебру над K . Стандартным первым примером K -алгебры является кольцо квадратных матриц над коммутативным кольцом K с обычным умножением матриц .

Коммутативная алгебра — это ассоциативная алгебра, имеющая коммутативное умножение, или, что то же самое, ассоциативная алгебра, которая также является коммутативным кольцом .

В этой статье предполагается, что ассоциативные алгебры имеют мультипликативное тождество, обозначаемое 1; для пояснения их иногда называют ассоциативными алгебрами с единицей . В некоторых областях математики это предположение не делается, и мы будем называть такие структуры неединичными ассоциативными алгебрами. Мы будем также предполагать, что все кольца унитальны и все гомоморфизмы колец унитальны.

Каждое кольцо является ассоциативной алгеброй над своим центром и над целыми числами.

Определение

Пусть R — коммутативное кольцо (так что R может быть полем). Ассоциативная R -алгебра A (или, проще говоря, R -алгебра A ) — это кольцо A , которое также является R -модулем таким образом, что два сложения (сложение кольца и сложение модуля) представляют собой одну и ту же операцию : и скалярное умножение удовлетворяет

r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)

для всех r в R и x , y в алгебре. (Из этого определения следует, что алгебра, будучи кольцом, унитальна , поскольку предполагается, что кольца обладают мультипликативным тождеством .)

Эквивалентно , ассоциативная алгебра A представляет собой кольцо вместе с гомоморфизмом колец из R в центр A . Если f — такой гомоморфизм, скалярное умножение равно ( r , x ) ↦ f ( r ) x (здесь умножение — это кольцевое умножение); если задано скалярное умножение, гомоморфизм колец определяется равенством r ↦ r ⋅ 1 _A . (См. также § Из кольцевых гомоморфизмов ниже).

Каждое кольцо является ассоциативной Z -алгеброй, где Z обозначает кольцо целых чисел .

Акоммутативная алгебра — ассоциативная алгебра, которая также являетсякоммутативным кольцом.

Как моноидный объект в категории модулей

Это определение эквивалентно утверждению, что ассоциативная R -алгебра с единицей является моноидным объектом в R -Mod ( моноидальной категории R -модулей). По определению кольцо — это моноидный объект в категории абелевых групп ; таким образом, понятие ассоциативной алгебры получается заменой категории абелевых групп категорией модулей .

Развивая эту идею, некоторые авторы ввели «обобщенное кольцо» как моноидный объект в какой-то другой категории, которая ведет себя как категория модулей. Действительно, такая реинтерпретация позволяет избежать явного указания на элементы алгебры A. Например, ассоциативность можно выразить следующим образом. По универсальному свойству тензорного произведения модулей умножению ( R -билинейному отображению) соответствует уникальное R -линейное отображение.

m:A\otimes _{R}A\to A

Тогда ассоциативность относится к идентичности:

m\circ ({\operatorname {id} }\otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id} ).

Из кольцевых гомоморфизмов

Ассоциативная алгебра представляет собой кольцевой гомоморфизм , образ которого лежит в центре . Действительно , начиная с кольца A и кольцевого гомоморфизма η : R → A , образ которого лежит в центре A , мы можем сделать A R -алгеброй, определив

r\cdot x=\eta (r)x

для всех r ∈ R и x ∈ A. Если A — R -алгебра, принимая x = 1 , та же формула, в свою очередь, определяет кольцевой гомоморфизм η : R → A , образ которого лежит в центре.

Если кольцо коммутативно, то оно равно его центру, так что коммутативную R -алгебру можно определить просто как коммутативное кольцо A вместе с коммутативным гомоморфизмом колец η : R → A .

Кольцевой гомоморфизм η , возникающий выше, часто называют структурным отображением . В коммутативном случае можно рассмотреть категорию, объектами которой являются гомоморфизмы колец R → A ; т. е. коммутативные R -алгебры, морфизмы которых являются кольцевыми гомоморфизмами A → A ′ , находящимися под R ; т. е. R → A → A ′ есть R → A ′ (т. е. кос-категория категории коммутативных колец под R .) Функтор простого спектра Spec затем определяет антиэквивалентность этой категории категории аффинных схем над Спец Р. _

Как ослабить предположение о коммутативности, является предметом некоммутативной алгебраической геометрии , а в последнее время и производной алгебраической геометрии . См. также: Родовое матричное кольцо .

Алгебра гомоморфизмы

Гомоморфизм между двумя R - алгебрами — это R -линейный кольцевой гомоморфизм . Явно, φ : A ₁ → A ₂ является гомоморфизмом ассоциативной алгебры , если

{\begin{aligned}\varphi (r\cdot x)&=r\cdot \varphi (x)\\\varphi (x+y)&=\varphi (x)+\varphi (y)\\\varphi (xy)&=\varphi (x)\varphi (y)\\\varphi (1)&=1\end{aligned}}

Класс всех R -алгебр вместе с гомоморфизмами алгебр между ними образуют категорию , иногда обозначаемую R -Alg .

Подкатегория коммутативных R -алгебр может быть охарактеризована как кос-категория R / CRing , где CRing — категория коммутативных колец .

Примеры

Самый простой пример — само кольцо; это алгебра над своим центром или любым подкольцом, лежащим в центре. В частности, любое коммутативное кольцо является алгеброй над любым своим подкольцом. Других примеров имеется множество как из алгебры, так и из других областей математики.

Алгебра

Любое кольцо A можно рассматривать как Z -алгебру. Единственный гомоморфизм колец из Z в A определяется тем фактом, что он должен переводить 1 в единицу в A . Следовательно, кольца и Z -алгебры — эквивалентные понятия, точно так же, как эквивалентны абелевы группы и Z -модули.
Любое кольцо характеристики n аналогичным образом является ( Z / n Z )-алгеброй.
Для данного R -модуля M кольцо эндоморфизмов M , обозначаемое End _R ( M ) , является R -алгеброй по определению ( r · φ )( x ) = r · φ ( x ) .
Любое кольцо матриц с коэффициентами из коммутативного кольца R образует R -алгебру при сложении и умножении матриц. Это совпадает с предыдущим примером, когда M — конечно порожденный свободный R -модуль.
- В частности, квадратные матрицы размером n × n с элементами из поля K образуют ассоциативную алгебру над K.
Комплексные числа образуют двумерную коммутативную алгебру над действительными числами .
Кватернионы образуют 4-мерную ассоциативную алгебру над действительными числами ( но не алгебру над комплексными числами, поскольку комплексные числа не находятся в центре кватернионов).
Каждое кольцо полиномов R [ x ₁ , ..., x _n ] является коммутативной R -алгеброй. Фактически это свободная коммутативная _R - алгебра на множестве { x1 _, ..., xn } .
Свободная R -алгебра на множестве E — это алгебра «многочленов» с коэффициентами из R и некоммутирующими неопределёнными , взятыми из множества E.
Тензорная алгебра R -модуля, естественно , является ассоциативной R -алгеброй. То же самое верно и для таких факторов, как внешняя и симметрическая алгебры . Категорически говоря, функтор , отображающий R -модуль в его тензорную алгебру, сопряжен слева с функтором, который переводит R -алгебру в лежащий в ее основе R -модуль (забывая о мультипликативной структуре).
Следующее кольцо используется в теории λ-колец . Пусть задано коммутативное кольцо A , набор формальных степенных рядов с постоянным членом 1. Это абелева группа с групповой операцией, которая представляет собой умножение степенных рядов. Тогда это кольцо с умножением, обозначаемым , таким, что определяется этим условием и аксиомами кольца. Аддитивное тождество равно 1, а мультипликативное тождество равно . Тогда A имеет каноническую структуру G ( A )-алгебры, заданную кольцевым гомоморфизмом $G(A)=1+tA[\![t]\!],$ $\circ$ $(1+at)\circ (1+bt)=1+abt,$ $1+t$

{\begin{cases}G(A)\to A\\1+\sum _{i>0}a_{i}t^{i}\mapsto a_{1}\end{cases}}

{\begin{cases}A\to G(A)\\a\mapsto 1+\sum _{i>0}\lambda ^{i}(a)t^{i}\end{cases}}

GAA

Учитывая модуль M над коммутативным кольцом R , прямая сумма модулей R ⊕ M имеет структуру R -алгебры, поскольку M состоит из бесконечно малых элементов; т.е. умножение задается как ( a + x )( b + y ) = ab + ay + bx . Это понятие иногда называют алгеброй двойственных чисел .
Квазисвободная алгебра , введенная Кунцем и Квилленом, является своего рода обобщением свободной алгебры и полупростой алгебры над алгебраически замкнутым полем.

Теория представлений

Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли — это ассоциативная алгебра, которую можно использовать для изучения данной алгебры Ли.
Если G — группа, а R — коммутативное кольцо, множество всех функций от G до R с конечным носителем образует R -алгебру со сверткой как умножением. Она называется групповой алгеброй группы G. Конструкция является отправной точкой для применения к изучению (дискретных) групп.
Если G — алгебраическая группа (например, полупростая комплексная группа Ли ), то координатное кольцо G — это алгебра Хопфа A , соответствующая G. Многие структуры G транслируются в структуры A.
Колчанная алгебра (или алгебра путей) ориентированного графа — это свободная ассоциативная алгебра над полем, порожденным путями в графе.

Анализ

Для любого банахова пространства X непрерывные линейные операторы A : X → X образуют ассоциативную алгебру (используя композицию операторов как умножение) ; это банахова алгебра .
Для любого топологического пространства X непрерывные вещественные или комплекснозначные функции на X образуют действительную или комплексную ассоциативную алгебру; здесь функции складываются и умножаются поточечно.
Множество семимартингалов , определенных на фильтрованном вероятностном пространстве (Ω, F , ( F _t ) _{t ≥0} , P), образует кольцо при стохастическом интегрировании . ^{[ нужна цитата ]}
Алгебра Вейля
Алгебра Адзумая

Геометрия и комбинаторика

Алгебры Клиффорда , полезные в геометрии и физике .
Алгебры инцидентности локально конечных частично упорядоченных множеств — ассоциативные алгебры, рассматриваемые в комбинаторике .
Алгебра разбиения и ее подалгебры, включая алгебру Брауэра и алгебру Темперли-Либа .
Дифференциальная градуированная алгебра — это ассоциативная алгебра вместе с градуировкой и дифференциалом. Например, алгебра де Рама , где состоит из дифференциальных p -форм на многообразии M , является дифференциально-градуированной алгеброй. ${\textstyle \Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{n}\Omega ^{p}(M)}$ ${\textstyle \Omega ^{p}(M)}$

Математическая физика

Алгебра Пуассона — это коммутативная ассоциативная алгебра над полем вместе со структурой алгебры Ли, так что скобка Ли удовлетворяет правилу Лейбница; то есть, . $\{,\}$ $\{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}$
Учитывая алгебру Пуассона , рассмотрим векторное пространство формальных степенных рядов по . If имеет структуру ассоциативной алгебры с умножением такую, что при , ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}[\![u]\!]$ ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}[\![u]\!]$ $*$ $f,g\in {\mathfrak {a}}$
$f*g=fg-{\frac {1}{2}}\{f,g\}u+\cdots$ ,

тогда называется деформационным квантованием .

{\mathfrak {a}}[\![u]\!]

{\mathfrak {a}}

Квантованная обертывающая алгебра . Двойственная такой алгебре оказывается ассоциативной алгеброй (см. § Двойственная ассоциативной алгебре) и представляет собой, философски говоря, (квантованное) координатное кольцо квантовой группы .
Алгебра Герстенхабера

Конструкции

Подалгебры: Подалгебра R -алгебры A — это подмножество A , которое является одновременно подкольцом и подмодулем A . То есть он должен быть замкнутым относительно сложения, кольцевого умножения, скалярного умножения и должен содержать единичный элемент A .
Факторалгебры: Пусть A — R -алгебра. Любой теоретико-кольцевой идеал I в A автоматически является R -модулем, поскольку r · x = ( r 1 _A ) x . Это придает фактор-кольцу A / I структуру R -модуля и, по сути, R -алгебры. Отсюда следует, что любой кольцевой гомоморфный образ A также является R -алгеброй.
Прямые продукты: Прямое произведение семейства R -алгебр - это теоретико-кольцевое прямое произведение . Это становится R -алгеброй с очевидным скалярным умножением.
Бесплатные продукты: Свободное произведение R - алгебр можно образовать аналогично свободному произведению групп. Свободный продукт — это копроизведение в категории R -алгебр.
Тензорные продукты: Тензорное произведение двух R -алгебр также является R -алгеброй естественным образом. Более подробную информацию см. в тензорном произведении алгебр . Для коммутативного кольца R и любого кольца A тензорному произведению R ⊗ _Z A можно придать структуру R -алгебры, определив r · ( s ⊗ a ) = ( rs ⊗ a ) . Функтор, переводящий A в R ⊗ _Z A , сопряжен слева с функтором, переводящим R -алгебру в лежащее в ее основе кольцо (забывая о структуре модуля). Читайте также: Смена колец .
Бесплатная алгебра: Свободная алгебра — это алгебра, порожденная символами. Если кто-то навязывает коммутативность; т. е. факторизуем по коммутаторам, то получаем полиномиальную алгебру.

Двойственная ассоциативной алгебре

Пусть A — ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом R. Поскольку A, в частности, является модулем, мы можем взять модуль A ^* , двойственный к A. Двойственная А ^* априори не обязана иметь структуру ассоциативной алгебры. Однако A может иметь дополнительную структуру (а именно структуру алгебры Хопфа), так что двойственная алгебра также является ассоциативной алгеброй.

Например, возьмем A — кольцо непрерывных функций на компактной группе G . Тогда не только A является ассоциативной алгеброй, но также имеет коумножение и соединицу . ^[1] «Со-» относится к тому факту, что они удовлетворяют двойственному обычному умножению и единице в аксиоме алгебры. Следовательно, двойственная A ^* является ассоциативной алгеброй. Коумножение и коединица также важны для формирования тензорного произведения представлений ассоциативных алгебр (см. § Представления ниже). $\Delta (f)(g,h)=f(gh)$ $\epsilon (f)=f(1)$

Обертывающая алгебра

Для ассоциативной алгебры A над коммутативным кольцом R обертывающей алгеброй A ^e кольца A является алгебра A ⊗ _RA op или A ^op ⊗ _RA ^{, в зависимости} от авторов . ^[2]

Заметим, что бимодуль над А ^— это в точности левый модуль над Ае .

Сепарабельная алгебра

Пусть A — алгебра над коммутативным кольцом R. Тогда алгебра A является правым ^[a] модулем над A ^e := A ^op ⊗ _R A с действием x ⋅ ( a ⊗ b ) = axb . Тогда по определению A называется сепарабельным , если отображение умножения A ⊗ _RA → A : x ⊗ y ↦ xy распадается как A ^e -линейное отображение, [ ^3] где A ⊗ A является A ^e -модулем посредством ( Икс ⊗ y ) ⋅ ( а ⊗ б ) знак равно топор ⊗ yb . Эквивалентно, ^[b]A отделим, если он является проективным модулем над A ^e ; таким образом, A ^e -проективная размерность A , иногда называемая биразмерностью A , измеряет невозможность разделимости.

Конечномерная алгебра

Пусть A — конечномерная алгебра над полем k . Тогда A — артиново кольцо .

Коммутативный случай

Поскольку A артиново, если оно коммутативно, то оно является конечным произведением артиновых локальных колец, поля вычетов которых являются алгебрами над базовым полем k . Теперь приведенное артиново локальное кольцо является полем, и поэтому следующие утверждения эквивалентны ^[4]

$A$ является разделимым.
$A\otimes {\overline {k}}$ приведено, где – некоторое алгебраическое замыкание k . ${\overline {k}}$
$A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}$ для некоторых н .
$\dim _{k}A$ — число гомоморфизмов -алгебр . $k$ $A\to {\overline {k}}$

Пусть , проконечная группа конечных расширений Галуа поля k . Тогда есть антиэквивалентность категории конечномерных сепарабельных k -алгебр категории конечных множеств с непрерывными -действиями. ^[5] $\Gamma =\operatorname {Gal} (k_{s}/k)=\varprojlim \operatorname {Gal} (k'/k)$ $A\mapsto X_{A}=\{k{\text{-algebra homomorphisms }}A\to k_{s}\}$ $\Gamma$

Некоммутативный случай

Поскольку простое артиново кольцо является (полным) матричным кольцом над телом, если A — простая алгебра, то A — (полная) матричная алгебра над телом D над k ; т. е. А знак равно M _п ( D ) . В более общем смысле, если A — полупростая алгебра, то это конечное произведение матричных алгебр (над различными k -алгебрами с делением), этот факт известен как теорема Артина – Веддерберна .

Тот факт, что A является артиновым, упрощает понятие радикала Джекобсона; для артинова кольца радикал Джекобсона кольца A является пересечением всех (двусторонних) максимальных идеалов (напротив, в общем случае радикал Джекобсона представляет собой пересечение всех левых максимальных идеалов или пересечение всех правых максимальных идеалов.)

Основная теорема Веддерберна гласит : ^[6] для конечномерной алгебры A с нильпотентным идеалом I , если проективная размерность A / I как модуля над обертывающей алгеброй ( A / I ) ^e не превосходит единицы, то естественная сюръекция p : A → A / I расщепляется; т. е. A содержит такую подалгебру B , которая является изоморфизмом. Принимая I за радикал Джекобсона, теорема, в частности, утверждает, что радикал Джекобсона дополняется полупростой алгеброй. Теорема является аналогом теоремы Леви для алгебр Ли . $p|_{B}:B{\overset {\sim }{\to }}A/I$

Решетки и порядки

Пусть R — нётерова область целостности с полем частных K (например, Z , Q ). Решетка L в конечномерном K -векторном пространстве V — это конечно порожденный R -подмодуль V , натягивающий V ; другими словами, L ⊗ _R K = V .

Пусть AK _— конечномерная K -алгебра. Порядок в AK — это R - _{подалгебра}, являющаяся решеткой. В общем, порядков гораздо меньше, чем решеток; например,1/2Z — решетка в Q , но не порядок (поскольку это не алгебра). ^[7]

Максимальный порядок — это порядок, который является максимальным среди всех порядков.

Связанные понятия

Коалгебры

Ассоциативная алгебра над K задается K -векторным пространством A , наделенным билинейным отображением A × A → A , имеющим два входа (мультипликатор и множимое) и один выход (произведение), а также морфизм K → A , идентифицирующий скаляр кратные мультипликативному тождеству. Если билинейное отображение A × A → A переинтерпретировать как линейное отображение (т. е. морфизм в категории K -векторных пространств) A ⊗ A → A (по универсальному свойству тензорного произведения ), то мы можем рассматривать ассоциативное алгебра над K как K -векторное пространство A , наделенное двумя морфизмами (одним из формы A ⊗ A → A и одним из формы K → A ), удовлетворяющими определенным условиям, которые сводятся к аксиомам алгебры. Эти два морфизма можно дуализировать, используя категориальную двойственность , меняя местами все стрелки в коммутативных диаграммах , описывающих аксиомы алгебры ; это определяет структуру коалгебры .

Существует также абстрактное понятие F -коалгебры , где F — функтор . Это отдаленно связано с обсуждавшимся выше понятием коалгебры.

Представительства

Представлением алгебры A является гомоморфизм алгебры ρ : A → End( V ) из A в алгебру эндоморфизмов некоторого векторного пространства (или модуля ) V. Свойство ρ быть гомоморфизмом алгебры означает, что ρ сохраняет мультипликативную операцию (то есть ρ ( xy ) = ρ ( x ) ρ ( y ) для всех x и y в A ), и что ρ переводит единицу A в единице End( V ) (т. е. тождественному эндоморфизму V ).

Если A и B — две алгебры, а ρ : A → End( V ) и τ : B → End( W ) — два представления, то существует (каноническое) представление A ⊗ B → End( V ⊗ W ) тензорная алгебра произведений A ⊗ B в векторном пространстве V ⊗ W . Однако не существует естественного способа определить тензорное произведение двух представлений одной ассоциативной алгебры таким образом, чтобы результат по-прежнему оставался представлением той же алгебры (а не ее тензорного произведения с самой собой), не налагая при этом каким-либо образом дополнительных условий. . Здесь под тензорным произведением представлений подразумевается обычное значение: результатом должно быть линейное представление той же алгебры в векторном пространстве произведения. Наложение такой дополнительной структуры обычно приводит к идее алгебры Хопфа или алгебры Ли , как показано ниже.

Мотивация для алгебры Хопфа

Рассмотрим, например, два представления σ : A → End( V ) и τ : A → End( W ) . Можно попытаться сформировать представление тензорного произведения ρ : x ↦ σ ( x ) ⊗ τ ( x ) в соответствии с тем, как оно действует на векторное пространство произведения, так что

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w)).

Однако такая карта не была бы линейной, поскольку можно было бы иметь

\rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)

для k ∈ K . Можно спасти эту попытку и восстановить линейность, наложив дополнительную структуру, определив гомоморфизм алгебры Δ: A → A ⊗ A и определив представление тензорного произведения как

\rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta .

Такой гомоморфизм ∆ называется коумножением, если он удовлетворяет некоторым аксиомам. Полученная структура называется биалгеброй . Чтобы соответствовать определениям ассоциативной алгебры, коалгебра должна быть коассоциативной, а если алгебра унитальна, то и коалгебра должна быть коунитальной. Алгебра Хопфа — это биалгебра с дополнительным участком структуры (так называемым антиподом), позволяющим определить не только тензорное произведение двух представлений, но и модуль Hom двух представлений (опять аналогично тому, как это делается в теории представлений групп).

Мотивация для алгебры Ли

Можно попытаться быть более умным в определении тензорного произведения. Рассмотрим, например,

x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)

так что действие на пространстве тензорных произведений определяется выражением

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

Это отображение явно линейно по x , поэтому у него нет проблем, связанных с предыдущим определением. Однако он не сохраняет умножение:

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

Но в целом это не равно

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

Это показывает, что такое определение тензорного произведения слишком наивно; очевидное решение состоит в том, чтобы определить его так, чтобы он был антисимметричным, чтобы два средних члена сокращались. Это приводит к понятию алгебры Ли .

Неединичные алгебры

Некоторые авторы используют термин «ассоциативная алгебра» для обозначения структур, которые не обязательно имеют мультипликативную идентичность, и, следовательно, рассматривают гомоморфизмы, которые не обязательно являются единицами.

Одним из примеров неединичной ассоциативной алгебры является набор всех функций f : R → R , предел которых при приближении x к бесконечности равен нулю.

Другим примером является векторное пространство непрерывных периодических функций вместе с произведением свертки .

Смотрите также

Абстрактная алгебра
Алгебраическая структура
Алгебра над полем
Пучок алгебр — разновидность алгебры над кольцевым пространством.
Гипотеза Делинь о когомологиях Хохшильда

Примечания

^ Редакционное примечание: оказывается, что в интересных случаях A ^e является полным матричным кольцом, и более общепринято позволять матрицам действовать справа.
^ Чтобы убедиться в эквивалентности, обратите внимание , что часть A ⊗ _RA → A можно использовать для построения части сюръекции.

Цитаты

^ Тджин 1992, Пример 1.
^ Vale 2009, Определение 3.1.
^ Кон 2003, § 4.7.
^ Уотерхаус 1979, § 6.2.
^ Уотерхаус 1979, § 6.3
^ Кон 2003, Теорема 4.7.5.
^ Артин 1999, гл. IV, § 1