Алгебра Клиффорда

Алгебра на основе векторного пространства квадратичной формы

В математике алгебра Клиффорда ^[a] — это алгебра , порожденная векторным пространством квадратичной формы , и ассоциативная алгебра с единицей . Как K -алгебры , они обобщают действительные числа , комплексные числа , кватернионы и некоторые другие гиперкомплексные системы счисления. ^{[1] [2]} Теория алгебр Клиффорда тесно связана с теорией квадратичных форм и ортогональных преобразований . Алгебры Клиффорда имеют важные приложения в различных областях, включая геометрию , теоретическую физику и цифровую обработку изображений . Они названы в честь английского математика Уильяма Кингдона Клиффорда (1845–1879).

Наиболее известные алгебры Клиффорда, ортогональные алгебры Клиффорда , также называются ( псевдо ) римановыми алгебрами Клиффорда , в отличие от симплектических алгебр Клиффорда . ^[б]

Введение и основные свойства

Алгебра Клиффорда — это ассоциативная алгебра с единицей , которая содержит и порождается векторным пространством V над полем K , где V снабжено квадратичной формой Q  : V → K. Алгебра Клиффорда Cl( V , Q ) является «самой свободной» унитарной ассоциативной алгеброй, порожденной V , подчиняющейся условию ^[c]

$${\displaystyle v^{2}=Q(v)1\ {\text{ for all }}v\in V,}$$

1мультипликативная единицасвойства

Когда V — конечномерное вещественное векторное пространство и Q невырождено , Cl( V , Q ) может быть идентифицирован меткой Cl _{p , q} ( R ) , указывающей, что V имеет ортогональный базис с p элементами с e _i ² = +1 , q , где e _i ² = −1 , и где R указывает, что это алгебра Клиффорда над действительными числами; т.е. коэффициенты элементов алгебры являются действительными числами. Этот базис можно найти путем ортогональной диагонализации .

Свободную алгебру, порожденную V , можно записать как тензорную алгебру ⨁ _{n ≥0} V ⊗ ⋯ ⊗ V , то есть прямую сумму тензорного произведения n копий V по всем n . Следовательно, алгебру Клиффорда можно получить как фактор этой тензорной алгебры по двустороннему идеалу , порожденному элементами вида v ⊗ v − Q ( v )1 для всех элементов v ∈ V . Произведение, индуцированное тензорным произведением в факторалгебре, записывается с использованием сопоставления (например, uv ). Его ассоциативность следует из ассоциативности тензорного произведения.

Алгебра Клиффорда имеет выделенное подпространство V , являющееся образом отображения вложения . Такое подпространство, вообще говоря, не может быть определено однозначно, если только K -алгебра изоморфна алгебре Клиффорда.

Если характеристика основного поля K не равна 2 , то фундаментальное тождество, приведенное выше, можно переписать в виде

$${\displaystyle uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\ {\text{ for all }}u,v\in V,}$$

$${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)}$$

симметричная билинейная формаQтождество поляризации

Квадратичные формы и алгебры Клиффорда в характеристике 2 представляют собой исключительный случай. В частности, если char( K ) = 2 , неверно ни то, что квадратичная форма однозначно определяет симметричную билинейную форму, удовлетворяющую Q ( v ) = ⟨ v , v ⟩ , ни то, что каждая квадратичная форма допускает ортогональный базис . Многие утверждения в этой статье включают условие, что характеристика не равна 2 , и являются ложными, если это условие удалено.

Как квантование внешней алгебры

Алгебры Клиффорда тесно связаны с внешними алгебрами . Действительно, если Q = 0 , то алгебра Клиффорда Cl( V , Q ) — это просто внешняя алгебра ⋀ V. Для ненулевого Q существует канонический линейный изоморфизм между ⋀ V и Cl( V , Q ) всякий раз, когда основное поле K не имеет характеристики два. То есть они естественно изоморфны как векторные пространства, но с разными умножениями (в случае характеристики два они все еще изоморфны как векторные пространства, но не естественным образом). Умножение Клиффорда вместе с выделенным подпространством строго богаче внешнего произведения , поскольку оно использует дополнительную информацию, предоставляемую Q .

Алгебра Клиффорда — фильтрованная алгебра , ассоциированная с ней градуированная алгебра — внешняя алгебра.

Точнее, алгебры Клиффорда можно рассматривать как квантования (ср. квантовую группу ) внешней алгебры, точно так же, как алгебра Вейля является квантованием симметричной алгебры .

Алгебры Вейля и алгебры Клиффорда допускают дополнительную структуру *-алгебры и могут быть объединены как четные и нечетные члены супералгебры , как обсуждалось в алгебрах CCR и CAR .

Универсальная недвижимость и строительство

Пусть V — векторное пространство над полем K , и пусть Q  : V → K — квадратичная форма на V. В большинстве представляющих интерес случаев поле K является либо полем действительных чисел R , либо полем комплексных чисел C , либо конечным полем .

Алгебра Клиффорда Cl( V , Q ) — это пара ( A , i ) , ^{[d] [3]} где A — ассоциативная алгебра с единицей над K , а i — линейное отображение i  : V → Cl( V , Q ), удовлетворяющее условиям i ( v ) ² = Q ( v )1 для всех v в V , определяемое следующим универсальным свойством : дана любая ассоциативная алгебра с единицей A над K и любое линейное отображение j  : V → A такое, что

$${\displaystyle j(v)^{2}=Q(v)1_{A}{\text{ for all }}v\in V}$$

1 _AAгомоморфизм алгебр f  : Cl( V , Q ) → Aкоммутируетf ∘ i = j

Квадратичная форма Q может быть заменена (не обязательно симметричной) билинейной формой ⟨⋅,⋅⟩ , которая обладает свойством ⟨ v , v ⟩ = Q ( v ), v ∈ V , и в этом случае эквивалентным требованием к j является

$${\displaystyle j(v)j(v)=\langle v,v\rangle 1_{A}\quad {\text{ for all }}v\in V,}$$

Если характеристика поля не равна 2 , это может быть заменено эквивалентным требованием:

$${\displaystyle j(v)j(w)+j(w)j(v)=(\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle )1_{A}\quad {\text{ for all }}v,w\in V,}$$

Алгебра Клиффорда, описанная выше, всегда существует и может быть построена следующим образом: начните с наиболее общей алгебры, содержащей V , а именно с тензорной алгебры T ( V ) , а затем обеспечьте фундаментальное тождество, взяв подходящее частное . В нашем случае мы хотим взять двусторонний идеал I _Q в T ( V ) , порожденный всеми элементами вида

$${\displaystyle v\otimes v-Q(v)1}$$

Cl( V , Q ) ${\displaystyle v\in V}$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)=T(V)/I_{Q}.}$$

Кольцевое произведение, унаследованное этим фактором , иногда называют произведением Клиффорда ^[4] , чтобы отличить его от внешнего произведения и скалярного произведения.

Тогда несложно показать, что Cl( V , Q ) содержит V и удовлетворяет указанному выше универсальному свойству, так что Cl уникален с точностью до единственного изоморфизма; таким образом, говорят об «алгебре Клиффорда Cl( V , Q ) . Из этой конструкции также следует, что i инъективно . Обычно отбрасывают i и рассматривают V как линейное подпространство Cl ( V , Q ) .

Универсальная характеризация алгебры Клиффорда показывает, что конструкция Cl( V , Q ) носит функториальный характер. А именно, Cl можно рассматривать как функтор из категории векторных пространств с квадратичными формами ( морфизмы которых представляют собой линейные отображения, сохраняющие квадратичную форму) в категорию ассоциативных алгебр. Свойство универсальности гарантирует, что линейные отображения между векторными пространствами (сохраняющие квадратичную форму) однозначно распространяются на гомоморфизмы алгебр между ассоциированными алгебрами Клиффорда.

Основа и размерность

Поскольку V снабжен квадратичной формой Q , в характеристике , отличной от 2 , существуют ортогональные базы для V. Ортогональный базис — это такой базис, что для симметричной билинейной формы

$${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$$

${\displaystyle i\neq j}$

$${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =Q(e_{i}).}$$

Фундаментальное тождество Клиффорда означает, что для ортогонального базиса

$${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$$

${\displaystyle i\neq j}$

$${\displaystyle e_{i}^{2}=Q(e_{i}).}$$

Это делает манипуляции с ортогональными базисными векторами довольно простыми. Учитывая произведение различных ортогональных базисных векторов V , можно привести их в стандартный порядок, включая общий знак, определяемый количеством парных замен , необходимых для этого (т.е. сигнатуру перестановки порядка ) . ${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}}$

Если размерность V над K равна n и { e1 ,..., e n _} является ортогональным базисом ( V , Q ) , то Cl( V , Q ) свободен над K _с базисом

$${\displaystyle \{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n{\text{ and }}0\leq k\leq n\}.}$$

Пустой продукт ( k = 0 ) определяется как мультипликативный единичный элемент . Для каждого значения k существует n выбора k базисных элементов, поэтому общая размерность алгебры Клиффорда равна

$${\displaystyle \dim \operatorname {Cl} (V,Q)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}.}$$

Примеры: вещественные и комплексные алгебры Клиффорда.

Наиболее важными алгебрами Клиффорда являются алгебры над вещественными и комплексными векторными пространствами, снабженными невырожденными квадратичными формами .

Каждая из алгебр Cl _{p , q} ( R ) и Cl _n ( C ) изоморфна A или A ⊕ A , где A — полное матричное кольцо с элементами из R , C или H . Полную классификацию этих алгебр см. в разделе «Классификация алгебр Клиффорда ».

Вещественные числа

Алгебры Клиффорда также иногда называют геометрическими алгебрами , чаще всего над действительными числами.

Каждая невырожденная квадратичная форма в конечномерном вещественном векторном пространстве эквивалентна стандартной диагональной форме:

$${\displaystyle Q(v)=v_{1}^{2}+\dots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\dots -v_{p+q}^{2},}$$

n = p + q( p , q )сигнатуройR ^{p , q} . ^на Rp ^{, q}Clp _{, q} ( _R ) . Cl _n ( R )Cl _{n ,0} ( R ),Cl _{0, n} ( R )

Стандартный базис { e ₁ , ..., e _n } для R ^{p , q} состоит из n = p + q взаимно ортогональных векторов, p из которых квадрат к +1 и q из которых квадрат к  −1 . Следовательно , из такого базиса алгебра Cl _{p , q} ( R ) будет иметь p векторов, которые возводятся в квадрат +1 , и q векторов, которые возводятся в квадрат -1 .

Вот несколько случаев низкой размерности:

• Cl _0,0 ( R ) естественно изоморфен R , поскольку не существует ненулевых векторов.
• Cl _0,1 ( R ) — двумерная алгебра, порожденная e ₁ , которая приводится в квадрат к −1 и алгебраически изоморфна C , полю комплексных чисел .
• Cl _0,2 ( R ) — четырехмерная алгебра, натянутая на {1, e ₁ , e ₂ , e ₁ e ₂ }. Последние три элемента квадратичны к −1 и антикоммутируют, поэтому алгебра изоморфна кватернионам H .
• Cl _0,3 ( R ) — 8-мерная алгебра, изоморфная прямой сумме H ⊕ H , расщепленным бикватернионам .

Комплексные числа

Можно также изучать алгебры Клиффорда на комплексных векторных пространствах. Любая невырожденная квадратичная форма в комплексном векторном пространстве размерности n эквивалентна стандартной диагональной форме

$${\displaystyle Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\dots +z_{n}^{2}.}$$

nАлгебру Клиффорда на Cn_будемчерез Cln ⁽ C )

Для первых нескольких случаев обнаруживается, что

• Cl ₀ ( C ) ≅ C , комплексные числа
• Cl ₁ ( C ) ≅ C ⊕ C , бикомплексные числа
• Cl ₂ ( C ) ≅ M ₂ ( C ) , бикватернионы

где M _n ( C ) обозначает алгебру матриц размера n × n над C .

Примеры: построение кватернионов и двойственных кватернионов.

Кватернионы

В этом разделе кватернионы Гамильтона строятся как четная подалгебра алгебры Клиффорда Cl _3,0 ( R ) .

Пусть векторное пространство V ^— вещественное трехмерное пространство R3 , а квадратичная форма — обычная квадратичная форма. Тогда для v , w в R ³ имеем билинейную форму (или скалярное произведение)

$${\displaystyle v\cdot w=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$$

vw

$${\displaystyle vw+wv=2(v\cdot w).}$$

Обозначим набор ортогональных единичных векторов _R3 как { e1 , e2 ^, e3 } _{, тогда} произведение Клиффорда дает соотношения

$${\displaystyle e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2},\,\,\,e_{1}e_{3}=-e_{3}e_{1},\,\,\,e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},}$$

$${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=1.}$$

Cl _3,0 ( R )

$${\displaystyle A=a_{0}+a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}+a_{4}e_{2}e_{3}+a_{5}e_{1}e_{3}+a_{6}e_{1}e_{2}+a_{7}e_{1}e_{2}e_{3}.}$$

Линейная комбинация элементов четной степени из Cl _3,0 ( R ) определяет четную подалгебру Cl^[0]
_3,0( R ) с общим элементом

$${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}e_{2}e_{3}+q_{2}e_{1}e_{3}+q_{3}e_{1}e_{2}.}$$

i , j , k

$${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{1}e_{3},k=e_{1}e_{2},}$$

Cl^[0]
_3,0( R ) — вещественная алгебра кватернионов

Чтобы увидеть это, вычислите

$${\displaystyle i^{2}=(e_{2}e_{3})^{2}=e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}=-1,}$$

$${\displaystyle ij=e_{2}e_{3}e_{1}e_{3}=-e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}=-e_{2}e_{1}=e_{1}e_{2}=k.}$$

$${\displaystyle ijk=e_{2}e_{3}e_{1}e_{3}e_{1}e_{2}=-1.}$$

Двойные кватернионы

В этом разделе двойственные кватернионы строятся как четная алгебра Клиффорда вещественного четырехмерного пространства с вырожденной квадратичной формой. ^{[5] [6]}

Пусть векторное пространство V является вещественным четырехмерным пространством R ⁴ и квадратичная форма Q является вырожденной формой, полученной из евклидовой метрики на R ³ . Для v , w в R ⁴ введем вырожденную билинейную форму

$${\displaystyle d(v,w)=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$$

R ⁴R ³

Произведение Клиффорда векторов v и w определяется выражением

$${\displaystyle vw+wv=-2\,d(v,w).}$$

Обозначим набор взаимно ортогональных единичных векторов R ⁴ как { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ }, тогда произведение Клиффорда дает соотношения

$${\displaystyle e_{m}e_{n}=-e_{n}e_{m},\,\,\,m\neq n,}$$

$${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$$

Общий элемент алгебры Клиффорда Cl( ^R4 , d ) имеет 16 компонент. Линейная комбинация элементов четной степени определяет четную подалгебру Cl ^[0] ( R ⁴ , d ) с общим элементом

$${\displaystyle H=h_{0}+h_{1}e_{2}e_{3}+h_{2}e_{3}e_{1}+h_{3}e_{1}e_{2}+h_{4}e_{4}e_{1}+h_{5}e_{4}e_{2}+h_{6}e_{4}e_{3}+h_{7}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$$

Базисные элементы можно отождествить с базисными элементами кватернионов i , j , k и двойственной единицей ε как

$${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},\,\,\varepsilon =e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$$

Cl^[0]
_0,3,1( R )дуальной алгеброй кватернионов

Чтобы увидеть это, вычислите

$${\displaystyle \varepsilon ^{2}=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}=-e_{1}e_{2}e_{3}(e_{4}e_{4})e_{1}e_{2}e_{3}=0,}$$

$${\displaystyle \varepsilon i=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})e_{2}e_{3}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{3}=e_{2}e_{3}(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})=i\varepsilon .}$$

e ₁e ₄εi , j , k .

Примеры: в маленьком измерении

Пусть K — любое поле характеристики, отличной от 2 .

Размер 1

Для dim V = 1 , если Q имеет диагонализацию Diag( a ) , то есть существует ненулевой вектор x такой, что Q ( x ) = a , то Cl( V , Q ) алгебра-изоморфен K -алгебре порождается элементом x, удовлетворяющим x ² = a , квадратичной алгебре K [ X ] / ( X ² - a ) .

В частности, если a = 0 (т. е. Q — нулевая квадратичная форма), то Cl( V , Q ) алгебра-изоморфна алгебре двойственных чисел над K.

Если a — ненулевой квадрат в K , то Cl ( V , Q ) ≃ K ⊕ K.

В противном случае Cl( V , Q ) изоморфно расширению квадратичного поля K ( √ a ) поля K .

Размер 2

Для dim V = 2 , если Q имеет диагонализацию diag( a , b ) с ненулевыми a и b (которая всегда существует, если Q невырожден), то Cl( V , Q ) изоморфен K -алгебре, порожденной элементами x и y, удовлетворяющими x ² = a , y ² = b и xy = - yx .

Таким образом, Cl( V , Q ) изоморфна (обобщённой) алгебре кватернионов ( a , b ) _K . Мы извлекаем кватернионы Гамильтона, когда a = b = −1 , поскольку H = (−1, −1) _R .

В частном случае, если некоторый x в V удовлетворяет Q ( x ) = 1 , то Cl( V , Q ) ≃ M ₂ ( K ) .

Характеристики

Связь с внешней алгеброй

Учитывая векторное пространство V , можно построить внешнюю алгебру ⋀ V , определение которой не зависит от какой-либо квадратичной формы на V. Оказывается, если K не имеет характеристики 2 , то существует естественный изоморфизм между ⋀ V и Cl( V , Q ) , рассматриваемыми как векторные пространства (и существует изоморфизм в характеристике два, который может быть неестественным). Это изоморфизм алгебры тогда и только тогда, когда Q = 0 . Таким образом, можно рассматривать алгебру Клиффорда Cl( V , Q ) как обогащение (или, точнее, квантование, см. Введение) внешней алгебры на V с умножением, которое зависит от Q (все еще можно определить внешнее произведение независимо от Q ).

Самый простой способ установить изоморфизм — выбрать ортогональный базис { e1 ,..., en _{} для} V и расширить его до базиса для Cl( V , Q ) , как описано выше. Отображение Cl( V , Q ) → ⋀ V определяется уравнением

$${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}.}$$

{ e ₁ , ..., e _n }

Если характеристика K равна 0 , изоморфизм можно также установить путем антисимметризации . Определим функции f _k  : V × ⋯ × V → Cl( V , Q ) формулой

$${\displaystyle f_{k}(v_{1},\ldots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}}$$

симметрической группеkS _kf _k,⋀ ^k V → Cl( V , Q )сумма⋀ VCl( V , Q )

Более сложный способ просмотреть взаимосвязь — построить фильтрацию на Cl ( V , Q ) . Напомним, что ^{тензорная} алгебра T ( V ) имеет естественную фильтрацию: F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ ⋯ ^, где ^{Fk содержит} суммы тензоров порядка ≤ k . Проецирование этого на алгебру Клиффорда дает фильтрацию на Cl( V , Q ) . Соответствующая градуированная алгебра

$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{F}\operatorname {Cl} (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}}$$

⋀ VF ^kF ^{k +1}k

Оценка

Далее предположим, что характеристика не равна 2 . ^[э]

Алгебры Клиффорда — это Z ₂ - градуированные алгебры (также известные как супералгебры ). Действительно, линейное отображение на V , определенное как v ↦ − v ( отражение через начало координат ), сохраняет квадратичную форму Q и поэтому по универсальному свойству алгебр Клиффорда продолжается до автоморфизма алгебры

$${\displaystyle \alpha :\operatorname {Cl} (V,Q)\to \operatorname {Cl} (V,Q).}$$

Поскольку α является инволюцией (т. е. оно квадратично до единицы ), можно разложить Cl( V , Q ) на положительные и отрицательные собственные пространства α

$${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[0]}(V,Q)\oplus \operatorname {Cl} ^{[1]}(V,Q)}$$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)=\left\{x\in \operatorname {Cl} (V,Q)\mid \alpha (x)=(-1)^{i}x\right\}.}$$

Поскольку α является автоморфизмом, отсюда следует, что:

$${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)\operatorname {Cl} ^{[j]}(V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[i+j]}(V,Q)}$$

( V , Q )Z2 _- градуированной алгебрыCl ^[0] ( V , Q )подалгебру( V , Q )четной подалгебройCl ^[1] ( V , Q )нечетной частью( V , Q )Эта Z ₂αглавной инволюциейградуированной инволюциейZ ₂

Замечание . Алгебра Клиффорда не является Z -градуированной алгеброй, но является Z - фильтрованной , где Cl ^{⩽ i} ( V , Q ) — подпространство, натянутое на все произведения не более чем i элементов V.

$${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\leqslant i}(V,Q)\cdot \operatorname {Cl} ^{\leqslant j}(V,Q)\subset \operatorname {Cl} ^{\leqslant i+j}(V,Q).}$$

Степень числа Клиффорда обычно относится к степени N -градации.

Четная подалгебра Cl ^[0] ( V , Q ) алгебры Клиффорда сама изоморфна алгебре Клиффорда. ^{[f] [g]} Если V — ортогональная прямая сумма вектора a ненулевой нормы Q ( a ) и подпространства U , то Cl ^[0] ( V , Q ) изоморфен Cl( U , − Q ( a ) Q ) , где − Q ( a ) Q — форма Q, ограниченная на U и умноженная на − Q ( a ) . В частности, в отношении реалов это означает, что:

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}(\mathbf {R} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Cl} _{p,q-1}(\mathbf {R} )&q>0\\\operatorname {Cl} _{q,p-1}(\mathbf {R} )&p>0\end{cases}}}$$

В отрицательно определенном случае это дает включение Cl _{0, n −1} ( R ) ⊂ Cl _{0, n} ( R ) , которое расширяет последовательность

Р ⊂ С ⊂ ЧАС ⊂ ЧАС ⊕ ЧАС ⊂ ⋯

Аналогично, в комплексном случае можно показать, что четная подалгебра в Cl _n ( C ) изоморфна Cl _{n −1} ( C ) .

Антиавтоморфизмы

Помимо автоморфизма α , существуют два антиавтоморфизма , которые играют важную роль в анализе алгебр Клиффорда. Напомним, что тензорная алгебра T ( V ) имеет антиавтоморфизм, который меняет порядок во всех произведениях векторов:

$${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.}$$

I _Q ^{инвариантен относительно этого}Cl( V , Q )транспонированияобращенияxt( xy ) ^t = y ^t x ^tZ ₂αсопряжением Клиффорда, ${\displaystyle {\bar {x}}}$

$${\displaystyle {\bar {x}}=\alpha (x^{\mathrm {t} })=\alpha (x)^{\mathrm {t} }.}$$

^[час]

Обратите внимание, что все эти операции являются инволюциями . Можно показать, что они действуют как ±1 на элементы, чистые по Z -градации. Фактически все три операции зависят только от степени по модулю 4 . То есть, если x чист со степенью k , то

$${\displaystyle \alpha (x)=\pm x\qquad x^{\mathrm {t} }=\pm x\qquad {\bar {x}}=\pm x}$$

Скалярное произведение Клиффорда

Когда характеристика не равна 2 , квадратичная форма Q на V может быть расширена до квадратичной формы на всем Cl( V , Q ) (которую мы также обозначили Q ). Независимое от базиса определение одного такого расширения:

$${\displaystyle Q(x)=\left\langle x^{\mathrm {t} }x\right\rangle _{0}}$$

⟨ a ⟩ ₀a0Z

$${\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})}$$

v _iVневерноCl( V , Q )

Соответствующая симметричная билинейная форма на Cl( V , Q ) определяется выражением

$${\displaystyle \langle x,y\rangle =\left\langle x^{\mathrm {t} }y\right\rangle _{0}.}$$

VCl( V , Q ),V.

Оператор левого (соответственно правого) умножения Клиффорда на транспонирование a ^t элемента a является сопряженным к левому (соответственно правому) умножению Клиффорда на a по отношению к этому скалярному произведению. То есть,

$${\displaystyle \langle ax,y\rangle =\left\langle x,a^{\mathrm {t} }y\right\rangle ,}$$

$${\displaystyle \langle xa,y\rangle =\left\langle x,ya^{\mathrm {t} }\right\rangle .}$$

Структура алгебр Клиффорда

В этом разделе мы предполагаем, что характеристика не равна 2 , векторное пространство V конечномерно и что соответствующая симметричная билинейная форма Q невырождена.

Центральная простая алгебра над K — это матричная алгебра над (конечномерной) алгеброй с делением с центром K. Например, центральные простые алгебры над вещественными числами являются матричными алгебрами либо над вещественными числами, либо над кватернионами.

• Если V имеет четную размерность, то Cl ( V , Q ) — центральная простая алгебра над K.
• Если V имеет четную размерность, то четная подалгебра Cl ^[0] ( V , Q ) является центральной простой алгеброй над квадратичным расширением K или суммой двух изоморфных центральных простых алгебр над K .
• Если V имеет нечетную размерность, то Cl( V , Q ) является центральной простой алгеброй над квадратичным расширением K или суммой двух изоморфных центральных простых алгебр над K .
• Если V имеет нечетную размерность , то четная подалгебра Cl ^[0] ( V , Q ) является центральной простой алгеброй над K.

Строение алгебр Клиффорда можно выяснить явно, используя следующий результат. Предположим, что U имеет четную размерность и неособую билинейную форму с дискриминантом d , и предположим, что V — другое векторное пространство с квадратичной формой. Алгебра Клиффорда группы U + V изоморфна тензорному произведению алгебр Клиффорда группы U и (−1) ^{dim( U )/2} dV , которое представляет собой пространство V с его квадратичной формой, умноженной на (−1) ^{dim( U )/2} дня . В отношении реальных значений это, в частности, означает, что

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+2,q}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )\otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} )}$$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )\otimes \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )}$$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q+2}(\mathbf {R} )=\mathbf {H} \otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} ).}$$

классификацию алгебр Клиффорда

Примечательно, что класс эквивалентности Мориты алгебры Клиффорда (ее теория представлений: класс эквивалентности категории модулей над ней) зависит только от сигнатуры ( p − q ) mod 8 . Это алгебраическая форма периодичности Ботта .

Липшицева группа

Класс групп Липшица ( также известных как ^[7] группы Клиффорда или группы Клиффорда–Липшица) был открыт Рудольфом Липшицем . ^[8]

В этом разделе мы предполагаем, что V конечномерна и квадратичная форма Q невырождена .

Действие на элементы алгебры Клиффорда ее группы единиц может быть определено в терминах скрученного сопряжения: скрученное сопряжение с помощью x отображает y ↦ α ( x ) y x ⁻¹ , где α — основная инволюция, определенная выше.

Группа Липшица Γ определяется как набор обратимых элементов x , которые стабилизируют набор векторов относительно этого действия, ^[9] это означает, что для всех v в V мы имеем:

$${\displaystyle \alpha (x)vx^{-1}\in V.}$$

Эта формула также определяет действие группы Липшица на векторное пространство V , которое сохраняет квадратичную форму Q и, таким образом, дает гомоморфизм группы Липшица в ортогональную группу. Группа Липшица содержит все элементы r из V , для которых Q ( r ) обратимо в K , и они действуют на V посредством соответствующих отражений, которые переводят v в v - ( ⟨ r , v ⟩ + ⟨ v , r ⟩ ) r / Q ( р ) . (В характеристике 2 они называются ортогональными трансвекциями, а не отражениями.)

Если V — конечномерное вещественное векторное пространство с невырожденной квадратичной формой, то группа Липшица отображается в ортогональную группу V относительно формы (по теореме Картана–Дьедонне ), а ядро ​​состоит из ненулевых элементов поле К. _ Это приводит к точным последовательностям

$${\displaystyle 1\rightarrow K^{\times }\rightarrow \Gamma \rightarrow {\mbox{O}}_{V}(K)\rightarrow 1,}$$

$${\displaystyle 1\rightarrow K^{\times }\rightarrow \Gamma ^{0}\rightarrow {\mbox{SO}}_{V}(K)\rightarrow 1.}$$

По другим полям или с неопределенными формами отображение, как правило, не является включенным, и отказ фиксируется спинорной нормой.

Спинорная норма

В произвольной характеристике спинорная норма Q определяется на группе Липшица формулой

$${\displaystyle Q(x)=x^{\mathrm {t} }x.}$$

K ^×KQVV−12−2 разаΓ ¹

Ненулевые элементы поля K имеют спинорную норму в группе ( K × ⁾ 2 ^{квадратов} ненулевых элементов поля K. Поэтому, когда V конечномерно и неособо, мы получаем индуцированное отображение ортогональной группы V в группу K ^× /( K ^× ) ² , также называемую спинорной нормой. Спинорная норма отражения относительно r ^⊥ для любого вектора r имеет образ Q ( r ) в K ^× /( K ^× ) ² , и это свойство однозначно определяет ее на ортогональной группе. Это дает точные последовательности:

$${\displaystyle {\begin{aligned}1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}}_{V}(K)&\to {\mbox{O}}_{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},\\1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Spin}}_{V}(K)&\to {\mbox{SO}}_{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

Заметим, что в характеристике 2 группа {±1} имеет всего один элемент.

С точки зрения когомологий Галуа алгебраических групп , спинорная норма является связующим гомоморфизмом на когомологиях. Записывая µ ₂ для алгебраической группы квадратных корней из 1 (над полем характеристики, отличной от 2 , это примерно то же самое, что двухэлементная группа с тривиальным действием Галуа), короткая точная последовательность

$${\displaystyle 1\to \mu _{2}\rightarrow {\mbox{Pin}}_{V}\rightarrow {\mbox{O}}_{V}\rightarrow 1}$$

$${\displaystyle 1\to H^{0}(\mu _{2};K)\to H^{0}({\mbox{Pin}}_{V};K)\to H^{0}({\mbox{O}}_{V};K)\to H^{1}(\mu _{2};K).}$$

0-я группа когомологий Галуа алгебраической группы с коэффициентами из K — это просто группа K -значных точек: H ⁰ ( G ; K ) = G ( K ) и H ¹ (μ ₂ ; K ) ≅ K ^× /( K ^× ) ² , который восстанавливает предыдущую последовательность

$${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}}_{V}(K)\to {\mbox{O}}_{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},}$$

H ⁰ (OV _; K ) → H ¹ (μ ₂ ; K )

Группы спинов и штифтов

В этом разделе мы предполагаем, что V конечномерно и его билинейная форма неособа.

Группа контактов Pin _V ( K ) является подгруппой группы Липшица Γ элементов спинорной нормы 1 , и аналогично группа спина Spin _V ( K ) является подгруппой элементов инварианта Диксона 0 в Pin _V ( K ) . Когда характеристика не равна 2 , это элементы определителя 1 . Группа вращения обычно имеет индекс 2 в группе контактов.

Напомним из предыдущего раздела, что существует гомоморфизм группы Липшица в ортогональную группу. Мы определяем специальную ортогональную группу как образ Γ ⁰ . Если K не имеет характеристики 2, то это просто группа элементов ортогональной группы определителя 1 . Если K действительно имеет характеристику 2 , то все элементы ортогональной группы имеют определитель 1 , а специальная ортогональная группа представляет собой набор элементов инварианта Диксона 0 .

Существует гомоморфизм группы штифтов в ортогональную группу. Образ состоит из элементов спинорной нормы 1 ∈ K ^× /( K ^× ) ² . Ядро состоит из элементов +1 и −1 и имеет порядок 2 , если K не имеет характеристики 2 . Аналогично существует гомоморфизм группы Spin в специальную ортогональную группу V .

В общем случае, когда V является положительно или отрицательно определенным пространством над действительными числами, группа спинов отображается в специальную ортогональную группу и является односвязной, когда V имеет размерность не менее 3 . Далее ядро ​​этого гомоморфизма состоит из 1 и −1 . Итак, в этом случае спиновая группа Spin( n ) является двойным покрытием SO( n ) . Однако обратите внимание, что простая связность спиновой группы в общем случае неверна: если V равно R ^{p , q} для p и q оба не менее 2 , то спиновая группа не является односвязной. В этом случае алгебраическая группа Spin _{p , q} односвязна как алгебраическая группа, хотя ее группа вещественнозначных точек Spin _{p , q} ( R ) не является односвязной. Это довольно тонкий момент, который окончательно сбил с толку авторов как минимум одной стандартной книги о спиновых группах. ^{[ который? ]}

Спиноры

Алгебры Клиффорда Cl _{p , q} ( C ) с p + q = 2 n четным являются матричными алгебрами, которые имеют комплексное представление размерности 2 ⁿ . Ограничивая группу Pin _{p , q} ( R ), мы получаем комплексное представление группы Pin той же размерности, называемое спиновым представлением . Если мы ограничим это спиновой группой Spin _{p , q} ( R ) , то она распадается как сумма двух представлений половинного спина (или представлений Вейля ) размерности  2 ^{n −1} .

Если p + q = 2 n + 1 нечетно, то алгебра Клиффорда Cl _{p , q} ( C ) представляет собой сумму двух матричных алгебр, каждая из которых имеет представление размерности 2 ⁿ , и оба они также являются представлениями булавки группа Pin _{p , q} ( р ) . При ограничении на спиновую группу Spin _{p , q} ( R ) они становятся изоморфными, поэтому спиновая группа имеет комплексное спинорное представление размерности  2 ⁿ .

В более общем смысле, спинорные группы и группы штифтов над любым полем имеют схожие представления, точная структура которых зависит от структуры соответствующих алгебр Клиффорда : всякий раз, когда алгебра Клиффорда имеет фактор, который является матричной алгеброй над некоторой алгеброй с делением, мы получаем соответствующее представление группы штифтов и спинов над этой алгеброй с делением. Примеры реалов см. в статье о спинорах .

Настоящие спиноры

Чтобы описать реальные представления спина, нужно знать, как спиновая группа располагается внутри своей алгебры Клиффорда. Группа контактов , Pin _{p , q} — это набор обратимых элементов в Cl _{p , q} , которые можно записать как произведение единичных векторов:

$${\displaystyle \mathrm {Pin} _{p,q}=\left\{v_{1}v_{2}\cdots v_{r}\mid \forall i\,\|v_{i}\|=\pm 1\right\}.}$$

O( p , q )группаPin _{p , q}теореме Картана–ДьедоннеSO( p , q )

Пусть α  : Cl → Cl — автоморфизм, задаваемый отображением v ↦ − v , действующим на чистые векторы. Тогда, в частности, Spin _{p , q} — подгруппа Pin _{p , q} , элементы которой фиксированы α . Позволять

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}=\{x\in \operatorname {Cl} _{p,q}\mid \alpha (x)=x\}.}$$

Cl _{p , q}Cl^[0]
_{п , д}

Неприводимые представления Cl _{p , q} ограничиваются представлениями группы выводов. И наоборот, поскольку группа контактов генерируется единичными векторами, все ее неприводимые представления индуцируются таким образом. Таким образом, два представления совпадают. По тем же причинам неприводимые представления спина совпадают с неприводимыми представлениями Cl^[0]
_{п , д}.

Для классификации пин-представлений достаточно обратиться лишь к классификации алгебр Клиффорда . Чтобы найти представления спина (которые являются представлениями четной подалгебры), можно сначала использовать любой из изоморфизмов (см. Выше)

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{p,q-1},{\text{ for }}q>0}$$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{q,p-1},{\text{ for }}p>0}$$

( p , q )( p , q − 1)( q , p − 1)

Приложения

Дифференциальная геометрия

Одно из основных применений внешней алгебры находится в дифференциальной геометрии , где она используется для определения пучка дифференциальных форм на гладком многообразии . В случае ( псевдо- ) риманова многообразия касательные пространства снабжены естественной квадратичной формой, индуцированной метрикой . Таким образом, можно определить расслоение Клиффорда аналогично внешнему расслоению . Это имеет ряд важных приложений в римановой геометрии . Возможно, более важной является связь со спиновым многообразием , связанным с ним спинорным расслоением и многообразиями со спином ^c .

Физика

Алгебры Клиффорда имеют множество важных приложений в физике. Физики обычно считают алгеброй Клиффорда алгебру с базисом, порожденным матрицами γ ₀ , ..., γ ₃ , называемыми матрицами Дирака , которые обладают свойством

$${\displaystyle \gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij}\,}$$

η(1, 3)(3, 1)Cl
_1,3( R )комплексификацияCl
_1,3( R ) _Cклассификации алгебр Клиффорда4 × 4 Cl ₄ ( C ) ≈ M ₄ ( C )Cl
_1,3( R ) _Cне

Таким образом, алгебра пространства-времени Клиффорда, используемая в физике, имеет более структуру, чем Cl ₄ ( C ) . Кроме того, он имеет ряд предпочтительных преобразований – преобразований Лоренца. Необходимость комплексификации для начала зависит частично от используемых соглашений и частично от того, насколько много мы хотим включить напрямую, но комплексификация чаще всего необходима в квантовой механике, где спиновое представление алгебры Ли ( 1, 3) находится внутри алгебра Клиффорда обычно требует комплексной алгебры Клиффорда. Для справки: спиновая алгебра Ли имеет вид

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu \nu }&=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\,\gamma ^{\nu }\right],\\\left[\sigma ^{\mu \nu },\,\sigma ^{\rho \tau }\right]&=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }\right).\end{aligned}}}$$

Это соответствует соглашению (3, 1) , поэтому подходит для Cl.
_3,1( Р ) _С . ^[10]

Матрицы Дирака были впервые записаны Полем Дираком , когда он пытался написать релятивистское волновое уравнение первого порядка для электрона и дать явный изоморфизм алгебры Клиффорда алгебре комплексных матриц. Результат был использован для определения уравнения Дирака и введения оператора Дирака . Вся алгебра Клиффорда проявляется в квантовой теории поля в виде билинейеров поля Дирака .

Использование алгебр Клиффорда для описания квантовой теории было развито, среди прочего, Марио Шенбергом , ^[i] Дэвидом Хестенсом в терминах геометрического исчисления , Дэвидом Бомом и Бэзилом Хили и его сотрудниками в форме иерархии алгебр Клиффорда , и Элио Конте и др. ^{[11] [12]}

Компьютерное зрение

Алгебры Клиффорда применялись в задаче распознавания и классификации действий в компьютерном зрении . Родригес и др. ^[13] предлагают встраивание Клиффорда для обобщения традиционных фильтров MACH на видео (3D пространственно-временной объем) и векторные данные, такие как оптический поток . Векторные данные анализируются с использованием преобразования Фурье Клиффорда . На основе этих векторов синтезируются фильтры действий в области Фурье Клиффорда и распознавание действий осуществляется с использованием корреляции Клиффорда. Авторы демонстрируют эффективность встраивания Клиффорда, распознавая действия, обычно выполняемые в классических художественных фильмах и спортивных трансляциях.

Обобщения

• Хотя эта статья посвящена алгебре Клиффорда векторного пространства над полем, определение без изменений распространяется на модуль над любым ассоциативным коммутативным кольцом с единицей. ^[Дж]
• Алгебры Клиффорда могут быть обобщены до формы степени выше квадратичной в векторном пространстве. ^[14]

Смотрите также

• Математический портал

• Алгебра физического пространства
• Строительство Кэли – Диксона
• Классификация алгебр Клиффорда
• Анализ Клиффорда
• Модуль Клиффорда
• Сложная спиновая структура
• Оператор Дирака
• Внешняя алгебра
• Личность Фирца
• Гамма-матрицы
• Обобщенная алгебра Клиффорда
• Геометрическая алгебра
• Гамма-матрицы более высокой размерности
• Гиперкомплексное число
• Октонион
• Паравектор
• Кватернион
• Спиновая группа
• Спиновая структура
• Спинор
• Спинорное расслоение

Примечания

1. Также известна как геометрическая алгебра (особенно над действительными числами).
2. См. например. Озевич и Ситарчик 1992 г.
3. Математики, которые работают с реальными алгебрами Клиффорда и предпочитают положительно определенные квадратичные формы (особенно те, кто работает в теории индексов ), иногда используют другой выбор знака в фундаментальном тождестве Клиффорда. То есть они берут v ² = − Q ( v ) . При переходе от одного соглашения к другому необходимо заменить Q на – Q.
4. Ваз и да Роча 2016 проясняют, что карта i ( γ в цитате здесь) включена в структуру алгебры Клиффорда, определяя ее как «Пара ( A , γ ) является алгеброй Клиффорда для квадратичного пространства ( V , g ) , когда A порождается как алгебра с помощью { γ ( v ) | v ∈ V  } и { a 1 _A | a ∈ R  } , и γ удовлетворяет условию γ ( v ) γ ( u ) + γ ( u ) γ ( v ) знак равно 2 г ( v , ты ) для всех v , ты ∈ V ».
5. Таким образом, групповая алгебра K [ Z /2] полупроста , а алгебра Клиффорда распадается на собственные пространства основной инволюции.
6. Технически, она не имеет полной структуры алгебры Клиффорда без обозначенного векторного подпространства и поэтому изоморфна как алгебра, но не как алгебра Клиффорда.
7. Мы по-прежнему предполагаем, что характеристика не равна 2 .
8. Обратное верно при использовании альтернативного соглашения о знаках (-) для алгебр Клиффорда: более важным является сопряжение. В общем, значения спряжения и транспонирования меняются местами при переходе от одного соглашения о знаках к другому. Например, в используемом здесь соглашении обратный вектор задается как v ⁻¹ = v ^t  /  Q ( v ) , а в соглашении (−) он задается как v ⁻¹ = v  /  Q ( v ) .
9. См. ссылки на статьи Шенберга 1956 и 1957 годов, описанные в разделе «Алгебра Грассмана – Шенберга G _n » журнала Bolivar 2001.
10. См. например. Озевич и Ситарчик 1992 г.

Цитаты

1. Клиффорд 1873, стр. 381–395.
2. Клиффорд 1882 г.
3. Lounesto 1996, стр. 3–30 или сокращенная версия.
4. Лунесто 2001, §1.8
5. Маккарти 1990, стр. 62–65.
6. Боттема и Рот, 2012 г.
7. Ваз и да Роча 2016, с. 126
8. Лунесто 2001, §17.2
9. Первасс 2009, §3.3.1
10. Вайнберг 2002
11. Конте 2007
12. Конте 2012
13. Родригес и Шах, 2008 г.
14. Хайле 1984

Рекомендации

• Боливар, АО (2001), «Классический предел фермионов в фазовом пространстве», J. Math. Физ. , 42 (9): 4020–4030, Bibcode : 2001JMP....42.4020B, doi : 10.1063/1.1386411
• Боттема, О.; Рот, Б. (2012) [1979]. Теоретическая кинематика. Дувр. ISBN 978-0-486-66346-3.
• Бурбаки, Николя (1988), Алгебра , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-19373-9, раздел IX.9.
• Клиффорд, WK (1873 г.). «Предварительный набросок бикватернионов». Учеб. Лондонская математика. Соц . 4 .
• Клиффорд, WK (1882 г.). Такер, Р. (ред.). Математические статьи . Лондон: Макмиллан.
• Карнахан, С., Заметки семинара Борчердса, необрезанный, неделя 5 , Спиноры и алгебры Клиффорда
• Конте, Элио (14 ноября 2007 г.). «Квантовая интерпретация и решение парадокса Эйнштейна, Подольского и Розена в квантовой механике». arXiv : 0711.2260 [квант-ph].
• Конте, Элио (2012), «Некоторые соображения по математической физике: можем ли мы идентифицировать алгебру Клиффорда как общую алгебраическую структуру для классической диффузии и уравнений Шредингера?», Adv. Исследования Теор. Физ. , 6 (26): 1289–1307
• Гарлинг, DJH (2011), Алгебры Клиффорда. Введение , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 78, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-1-107-09638-7, Збл  1235.15025
• Хейл, Даррелл Э. (декабрь 1984 г.). «Об алгебре Клиффорда двоичной кубической формы». Американский журнал математики . Издательство Университета Джонса Хопкинса. 106 (6): 1269–1280. дои : 10.2307/2374394. JSTOR  2374394.
• Джаганнатан, Р. (2010), Об обобщенных алгебрах Клиффорда и их физических приложениях , arXiv : 1005.4300 , Bibcode : 2010arXiv1005.4300J
• Лам, Цит-Юэнь (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Аспирантура по математике , том. 67, Американское математическое общество , ISBN. 0-8218-1095-2, МР  2104929, Збл  1068.11023
• Лоусон, Х. Блейн; Майкельсон, Мария-Луиза (1989), Спиновая геометрия , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08542-5. Расширенный учебник по алгебрам Клиффорда и их приложениям к дифференциальной геометрии.
• Лунесто, П. (1996), «Контрпримеры в алгебрах Клиффорда с CLICAL», Алгебры Клиффорда с числовыми и символьными вычислениями , стр. 3–30, номер документа : 10.1007/978-1-4615-8157-4_1, ISBN 978-1-4615-8159-8
• Лунесто, Пертти (2001), алгебры и спиноры Клиффорда , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-00551-7
• Маккарти, Дж. М. (1990). Введение в теоретическую кинематику. МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-13252-7.
• Озиевич, З.; Ситарчик, С. (1992). «Параллельное рассмотрение римановых и симплектических алгебр Клиффорда». В Микали, А.; Буде, Р.; Хельмстеттер, Дж. (ред.). Алгебры Клиффорда и их приложения в математической физике . Клювер. п. 83. ИСБН 0-7923-1623-1.
• Первасс, Кристиан (2009), Геометрическая алгебра с приложениями в технике , Springer Science & Business Media, Bibcode : 2009gaae.book.....P, ISBN 978-3-540-89068-3
• Портеус, Ян Р. (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55177-9
• Родригес, Микель; Шах, М (2008). «Действие MACH: пространственно-временной фильтр максимальной средней высоты корреляции для классификации действий». Компьютерное зрение и распознавание образов (CVPR) .
• Сильвестр, Дж. Дж. (1882), Слово о нонионах , Проспекты Университета Джона Хопкинса, том. I, стр. 241–2, HDL : 1774.2/32845.; там же II (1883) 46; там же III (1884) 7–9. Краткое изложение в «Сборнике статей по математике Джеймса Джозефа Сильвестра» (издательство Кембриджского университета, 1909 г.), т. III . онлайн и дальше.
• Ваз, Дж.; да Роша, Р. (2016), Введение в алгебры и спиноры Клиффорда , Oxford University Press , Bibcode : 2016icas.book.....V, ISBN 978-0-19-878292-6
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей , том. 1, Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-55001-7

дальнейшее чтение

• Кнус, Макс-Альберт (1991), Квадратичные и эрмитовые формы над кольцами , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 294, Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-3-642-75401-2, ISBN. 3-540-52117-8, МР  1096299, Збл  0756.11008

Внешние ссылки

• «Алгебра Клиффорда», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Запись Planetmath об алгебрах Клиффорда. Архивировано 15 апреля 2005 г. в Wayback Machine.
• История алгебр Клиффорда (непроверенная)
• Джон Баэз об алгебрах Клиффорда
• Алгебра Клиффорда: визуальное введение