Усеченные кубические соты — это заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве, состоящая из усеченных октаэдров (или, что эквивалентно, усеченных кубов). Она имеет 4 усеченных октаэдра вокруг каждой вершины. Будучи полностью составленной из усеченных октаэдров , она является ячейково-транзитивной . Она также является реброво-транзитивной , с 2 шестиугольниками и одним квадратом на каждом ребре, и вершинно-транзитивной . Это одна из 28 однородных сот .
Джон Хортон Конвей называет эту сотовую ячейку усеченным октаэдриллом в своем списке Architectonic and catoptric tessellation , а ее двойственный элемент называется сплющенным тетраэдриллом , также называемым двуклиновидной тетраэдрической сотовой ячейкой . Хотя правильный тетраэдр не может сам по себе замостить пространство, этот двойственный элемент имеет идентичные ячейки двуклиновидного тетраэдра с равнобедренными треугольными гранями.
Его можно реализовать как мозаику Вороного объемно -центрированной кубической решетки. Лорд Кельвин предположил, что вариант битусеченных кубических сот (с изогнутыми гранями и ребрами, но той же комбинаторной структурой) является оптимальной пеной мыльных пузырей. Однако позднее было обнаружено, что ряд менее симметричных структур являются более эффективными пенами мыльных пузырей, среди которых структура Уэйра–Фелана, по-видимому, является лучшей.
Соты представляют собой тесселяцию пермутоэдра для 3-мерного пространства. Координаты вершин одного октаэдра представляют собой гиперплоскость целых чисел в 4-мерном пространстве, а именно перестановки (1,2,3,4). Тесселяция образована переведенными копиями внутри гиперплоскости.
Тесселяция — это наивысшая тесселяция параллелоэдров в трехмерном пространстве.
Усеченные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными расположениями симметрии. Самая высокая (гексагональная) форма симметрии проецируется в неоднородную ромботригексагональную мозаику . Проекция квадратной симметрии образует две перекрывающиеся усеченные квадратные мозаики , которые объединяются вместе как скошенная квадратная мозаика .
Вершинная фигура для этих сот — двуклиновидный тетраэдр , а также тетраэдр Гурса ( фундаментальная область ) для группы Коксетера . Эти соты имеют четыре однородные конструкции, причем усеченные октаэдрические ячейки имеют различные группы Коксетера и конструкции Витхоффа . Эти однородные симметрии можно представить, раскрасив ячейки в каждой конструкции по-разному.
[4,3,4],
, Группа Коксетера генерирует 15 перестановок однородных мозаик, 9 с различной геометрией, включая чередующиеся кубические соты. Расширенные кубические соты (также известные как тессерактические соты с ручьями) геометрически идентичны кубическим сотам.
[4,3 1,1 ],
Группа Коксетера генерирует 9 перестановок однородных мозаик, 4 из которых имеют различную геометрию, включая чередующиеся кубические соты.
Эти соты являются одними из пяти различных однородных сот [1], построенных группой Коксетера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Коксетера–Дынкина :
Эти соты можно чередовать , создавая пиритоэдрические икосаэдры из усеченных октаэдров с дисфеноидными тетраэдрическими ячейками, созданными в зазорах. Существует три конструкции из трех связанных диаграмм Коксетера-Дынкина :
,
, и
. Они имеют симметрию [4,3 + ,4], [4,(3 1,1 ) + ] и [3 [4] ] + соответственно. Первая и последняя симметрия могут быть удвоены как [[4,3 + ,4]] и [[3 [4] ]] + .
Двойные соты состоят из ячеек, называемых декаэдрами «десять алмазов» .
Эта сота представлена атомами бора α-ромбоэдрического кристалла . Центры икосаэдров расположены в позициях ГЦК решетки. [2]
Неоднородные варианты с симметрией [4,3,4] и двумя типами усеченных октаэдров можно удвоить, поместив два типа усеченных октаэдров, чтобы получить неоднородную сотовую структуру с усеченными октаэдрами и шестиугольными призмами (как дитригональными трапециями). Ее вершинная фигура — C 2v -симметричная треугольная бипирамида .
Эти соты затем можно чередовать, чтобы получить другие неоднородные соты с пиритоэдрическими икосаэдрами , октаэдрами (как треугольные антипризмы) и тетраэдрами (как клиновидные). Их вершинная фигура имеет симметрию C2v и состоит из 2 пятиугольников , 4 прямоугольников , 4 равнобедренных треугольников (разделенных на два набора по 2) и 4 разносторонних треугольников .
